Вычислите коэффициент при а3 в разложении выражения: Вычислить коэффициент а^4 в разложении выражения (а+1/а)^10 по формуле бинома ньютона…

Содержание

АЛГЕБРА (3-й семестр) презентация, доклад, проект

Слайд 1Текст слайда:

АЛГЕБРА (3-й семестр)

2010-11 учебный год

Доцент Мартынова Т.А.

Слайд 2Текст слайда:

МНОГОЧЛЕНЫ ОТ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

ЛЕКЦИЯ 6

Доцент Мартынова Т.А.

Слайд 3Текст слайда:

§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Основными задачами этого параграфа являются рассмотрение:
понятий приводимого и неприводимого многочленов;
теоремы об однозначном разложении многочлена в произведение неприводимых;
критерий приводимости многочленов 2-й и 3-й степени.

Слайд 4Текст слайда:

§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены

(2)
Замечание 4. Если в разложении (2) сгруппировать одинаковые сомножители, то получим разложение вида
,
где неприводимые нормированные многочлены попарно различны.

Такое разложение называется каноническим.

Слайд 5Текст слайда:

§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Замечание 5. Теорема 1 не дает практического способа нахождения канонического разложения многочлена над произвольным полем.
В общем случае такого способа не существует.
Но в некоторых частных случаях это сделать можно, например, путем преобразований или, отделяя кратные множители многочлена.
С последним методом мы познакомимся позже, а сейчас рассмотрим пример на использование первого метода.

Слайд 6Текст слайда:

§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Пример 1. Найти каноническое разложение многочлена f(x)=x4 – 16 над полями Q, R и C.
◘ Имеем f(x) = x4 -16 = (x2 – 4) (x2 + 4) =
=(x + 2) (x — 2) (x2 + 4)
каноническое разложение многочлена f(x) = x4 – 16 над полями Q, R, а

f(x) = x4 -16 = (x + 2) (x — 2)(x + 2i) (x – 2i)
каноническое разложение многочлена f(x)=x4 – 16 над полем С.

Слайд 7Текст слайда:

§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Полезно иметь в виду следующие два утверждения.
Т е о р е м а 2. Если степень многочлена f(x) из кольца P[x] больше 1 и f(x) имеет хотя бы один корень с в поле P, то он приводим над P.
◘ В самом деле, по характеристическому свойству корня имеем f(x) = (x-c)q(x) , где многочлен q(x) из P[x] имеет положительную степень. Отсюда следует приводимость f(x) над P. ◙

Слайд 8Текст слайда:

§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Разумеется, приводимыми могут быть и многочлены, не имеющие корней в поле P. Например, f(x) = (x2 – 2)(x2 + 4) не имеет рациональных корней, но он приводим над Q .
Таким образом, наличие корня в поле P – это достаточный признак приводимости многочленов степени > 1 над полем P.

Для многочленов 2-й и 3-й степени этот признак приводимости является также необходимым.

Слайд 9Текст слайда:

§ 3. Приводимые и неприводимые многочлены

Т е о р е м а 3. Многочлен f(x) из кольца P[x] 2-й или 3-й степени приводим над полем P тогда и только тогда, когда он имеет по крайней мере один корень в поле P.
◘ Если f(x) P[x] , deg f(x) >1(в частности, deg f(x)=2 или degf(x)=3) и f(x) имеет корень в поле P, то по теореме 2 f(x) приводим в P[x].
Обратно, если многочлен f(x) 2-й или 3-й степени приводим над P, то в его разложении в произведение двух многочленов из кольца один из множителей имеет первую степень, т.е.
f(x)=(ax+b)q(x).
Отсюда элемент –(b/a) поля P является корнем многочлена f(x). ◙

Слайд 10Текст слайда:

§ 4. Производная многочлена и формула Тейлора

Основными задачами этого параграфа являются рассмотрение вопросов:
понятие и свойства производной многочлена;
теорема Тейлора;

Слайд 11Текст слайда:

1. Производная многочлена и ее свойства.

При изучении многочленов, как и при изучении любых функций, оказывается полезным понятие производной.
Если P – числовое поле, то оно всегда содержит в качестве подполя поле Q рациональных чисел и, следовательно, является плотным, т.е. каждая точка множества P является предельной при обычном понимании окрестности точки. В таких полях можно пользоваться обычным определением производной через предел.
Если же P не является числовым, то не имея в нем понятия обычной окрестности (обычной топологии), мы не можем на такое поле распространить обычное понятие производной.

Над такими полями понятие производной вводится формально, по известному правилу дифференцирования многочленов. Оказывается, что при этом сохраняются все важные свойства, известные для производных функций.

Слайд 12Текст слайда:

1. Производная многочлена и ее свойства.

Определение 1. Производной многочлена

из кольца P[x] называется многочлен, обозначаемый через f’(x) и равный
.
Таким образом, для нахождения производной f’(x) надо каждый член akxk многочлена f(x) взять кратным k раз, а показатель степени k1 переменной x при уменьшить на 1.
Очевидно, что c’=0 для любого элемента c из P. Вторая производная определяется как производная многочлена f’(x) и т.д.

Слайд 13Текст слайда:

1. Производная многочлена и ее свойства.

Т е о р е м а 1 ( о свойствах производной). Пусть f(x) и g(x) – произвольные многочлены из кольца P[x], c – любой элемент поля P. Тогда справедливы следующие свойства:
1. (f(x) ± g(x))’= f’(x) ± g’(x) .
2. (f(x)g(x))’= f’(x)g(x) + f(x)g’(x).
3. (cf(x))’= cf’(x).
4. (f(x)k)’= kf(x)k-1f’(x).

Слайд 14Текст слайда:

1. Производная многочлена и ее свойства.

1. (f(x)±g(x))’= f’(x) ± g’(x) .
2. (f(x)g(x))’= f’(x)g(x) + f(x)g’(x).
3. (cf(x))’= cf’(x).
4. (f(x)k)’= kf(x)k-1f’(x).
◘ Докажем первое из этих равенств. Пусть .
Тогда
,
где s=max{n,m} , ak=0 при k>n и bk=0 при k>m.

По определению производной имеем
. (1)

Слайд 15Текст слайда:

1. Производная многочлена и ее свойства.

1. (f(x)±g(x))’= f’(x) ± g’(x) .
2. (f(x)g(x))’= f’(x)g(x) + f(x)g’(x).
3. (cf(x))’= cf’(x).
4. (f(x)k)’= kf(x)k-1f’(x).

(1)

С другой стороны, учитывая, что
,
имеем
. (2)
Из (1) и (2) получаем равенство 1.

Слайд 16Текст слайда:

1. Производная многочлена и ее свойства.

1. (f(x)±g(x))’= f’(x) ± g’(x) .
2. (f(x)g(x))’= f’(x)g(x) + f(x)g’(x).
3. (cf(x))’= cf’(x).
4. (f(x)k)’= kf(x)k-1f’(x).
Аналогично проверяется свойство 2.
Свойство 3 вытекает из свойства 2 при g(x)=c.
Свойство 2 с помощью индукции можно распространить на любое конечное число сомножителей, т. е.
=
= .

Отсюда при
получим свойство 4. ◙

Слайд 17Текст слайда:

2. Формула Тейлора.

Используя понятие производной многочлена, можно вычислить коэффициенты разложения любого многочлена

из кольца P[x] по степеням двучлена (x-c ).
Предположим, что такое разложение существует
. (3)
Наша задача – найти коэффициенты A0,A1,A2,…,An этого разложения.
Найдем все производные многочлена f(x) из (3):

Слайд 18Текст слайда:

2. Формула Тейлора.

. (3)

………………………………………………………………

Отсюда при x=c получаем
(4)
и, сл-но,
. (5)
Подставив значения коэффициентов из (5) в (3), получим
.

Это выражение и называют формулой Тейлора (1685–1731).

Слайд 19Текст слайда:

Формула Тейлора.

Пример 1. Найти значения многочлена

и всех его производных при x=10, используя схему Горнера.
◘ Запишем разложение многочлена f(x) по степеням вида (3):
.
Очевидно, что коэффициент A0 равен остатку f(x) от деления на x-c :
.

Слайд 20Текст слайда:

2. Формула Тейлора.

Далее, из последнего равенства видно, что коэффициент A1 равен остатку от деления неполного частного, стоящего в квадратных скобках, на x-c и т.д.
Учитывая, что остаток и неполное частное от деления многочлена на двучлен можно находить с помощью схемы Горнера, коэффициенты A0, A1, A2, A3 , A4 находятся из следующей таблицы:

Слайд 21Текст слайда:

2. Формула Тейлора.

Таким образом,

разложение многочлена f(x) по степеням x-c.
По формулам (4) имеем
f(10)= A0=-3, f’(10)= A1=807, f’’(10)=2!A2=522, f(3)(10)=3!A3=168 , f(4)(10)=4!=24 .

◙

Слайд 22Текст слайда:

§5. Отделение кратных множителей.

Эффективных методов разложения многочлена на неприводимые множители нет. Более того, даже критериев приводимости и неприводимости над произвольным полем P нет.
В этом параграфе мы укажем способ, который позволяет выделить произведение неприводимых множителей одинаковой кратности, а это во многих случаях облегчает задачу разложения на неприводимые множители.
Введем сначала понятие кратного неприводимого множителя многочлена.

Слайд 23Текст слайда:

1. Кратные неприводимые множители.

Определение 1. Говорят, что неприводимый над полем P многочлен p(x) является множителем кратности k для многочлена f(x) из кольца P[x] или что p(x) входит в разложение f(x) с кратностью k, если f(x) делится на p(x)k и не делится на p(x)k+1,

т.е. многочлен f(x) представим в виде
f(x)= p(x)kq(x), (1)
где q(x) не делится на p(x).

Множители кратности 1 называются простыми.

Слайд 24Текст слайда:

1. Кратные неприводимые множители.

Т е о р е м а 2. Если неприводимый над полем Р многочлен p(x) входит в разложение многочлена f(x) P[x] с кратностью k, то входит в разложение производной ) с кратностью k-1.
◘ В самом деле, дифференцируя равенство
f(x)= p(x)kq(x), (1)
получим
.
Второе слагаемое в квадратной скобке делится на p(x), но первое не делится, т.к. p’(x) и q(x) не делятся на p(x).
Следовательно, сумма в квадратной скобке не может делиться на p(x).
Таким образом, p(x) входит в разложение f’(x) с кратностью k-1. ◙

Слайд 25Текст слайда:

1. Кратные неприводимые множители.

Т е о р е м а 2. Если неприводимый над полем Р многочлен p(x) входит в разложение многочлена f(x) P[x] с кратностью k, то входит в разложение производной ) с кратностью k-1.
Следствие 1. Если c – корень многочлена f(x) кратности k, то c является корнем кратности k-1 для его производной.
◘ Действительно, достаточно в качестве p(x) взять многочлен x-c и применить теорему 2. ◙
Следствие 2. Если – каноническое разложение многочлена в произведение неприводимых многочленов, то
. ◙
Следствие 3. Многочлен над полем Р не имеет кратных множителей тогда и только тогда, когда он взаимно прост со своей производной.
◘ В самом деле, в силу следствия 2
d(x)=НОД(f(x),f’(x))=1  k1-1=k2-1=…=ks-1=0  k1=k2=…=ks=1. ◙

Слайд 26Текст слайда:

2. Отделение кратных множителей.

Пусть .
Введем обозначения:
Y1, Y2, …,Ys – произведение всех неприводимых множителей соответственно кратности 1, 2, …, k в каноническом разложении f(x).
Тогда
. (2)
Наша задача будет состоять в том, чтобы найти многочлены Y1, Y2, …,Ys .

Слайд 27Текст слайда:

2. Отделение кратных множителей.

Согласно следствию 2 из теоремы 1 имеем:

Составим теперь многочлены

Слайд 28Текст слайда:

2. Отделение кратных множителей.

Отсюда, поделив каждое из полученных равенств на следующее за ним равенство, получим равенства:
.

Подставляя теперь найденные значения anY1,Y2,…,Ys в равенство (2),
окончательно имеем
,

где

Слайд 29Текст слайда:

2. Отделение кратных множителей.

Пример. Отделить кратные множители многочлена
.
Решение. 1) Находим многочлены Di = НОД(Di-1, D’i-1):
,
;
, ;
, .
2) Находим многочлены:

, , .

3) Находим многочлены:

, , .

Ответ: .

Слайд 30

Скачать презентацию

Итоговый урок по теме «Разложение многочлена на множители»

Красникова Наталья Николаевна, заместитель директора по УВР, учитель математики

Разделы: Математика

Цели урока:

Обобщение и систематизация знаний и умений по данной теме.
Создание атмосферы эмоционального комфорта при закреплении материала.
Повысить интерес и мотивацию учеников к изучению математики.

Ход урока

1. Организационный момент.

Ребята! Сегодня у нас итоговый урок по теме “ Разложение многочлена на множители”. Давайте проведем этот урок в форме игры. Разделитесь на 2 команды. Но не просто так, а ответив на вопросы:

Дайте определение степени.
Назовите формулы сокращенного умножения.
Какое выражение называется одночленом?
Какое выражение называется многочленом?
Какое выражение называется одночленом стандартного вида?
Какое выражение называется многочленом стандартного вида?
Как умножить одночлены?
Как умножить многочлен на одночлен?
Как умножить многочлен на многочлен?
Как сложить многочлены?
Какие члены многочлена называются подобными?
Как изменятся знаки слагаемых, если за скобку вынести знак “минус”?
В чем заключается способ группировки”?
Что значит “разложить на множители”?

Разделились? Выберите капитана. Назовите свою команду. Придумайте девиз. Познакомьтесь с жюри.

1-й этап. Разминка.

Каждой команде задаются вопросы:

Назвать основание степени а³.

Представьте одночлен в виде квадрата другого одночлена 0,01 m².

Разложите на множители х²– 1.

Разложите на множители 3а – 6.

Разложите на множители 1 – 2х + х².

Разложите на множители 7х²– 7.

Вычислите 75 * 3 – 75.

Найдите удвоенное произведение одночленов 2а и 3в.

Разложите на множители а²+ 2ав + в².

2-й этап. “Удача выбирает сильнейшего”.

Капитаны по очереди, наугад, выбирают карточки. Решение карточек осуществляется всей группой и сдаются жюри. Одна “счастливая”, сразу в актив – 1 балл.

Упростите (2а – в)(2а + в) + (в – с)(в + с) + (с – 2а)(с + 2а).
Разложите на множители х²(х – 4) – (х – 4).
Разложите на множители (3а + 7в)²– (9а – 5в)².
Вычислите : (69² – 31 * 31) : 19.
Разложите на множители а(а – 2) – 5а + 10.
Представьте в виде произведения 5 а²+ 10ав + 5 в².
Разложите на множители у ⁴ – 8 у ² +16
Преобразуйте в многочлен (а -– 8)(а + 4) – 2а(5 – а)
Преобразуйте в многочлен (а – х)²– (а + х)²
Выполните действие (а+(в + с))²
Вычислите 31 * 29
Удача.
Разложите на множители 3с + 3 с² – а–ас.

3-й этап. Конкурс капитанов.

Задание 1. (2 – 1)(2 + 1)(2²+ 1) (2⁴+ 1) (2⁸+ 1) (2¹⁶+ 1) – 2³².

Задание 2. (1 – 3)(3 + 1)(3²+ 1) (3⁴+ 1) (3⁸+ 1) (3¹⁶+ 1) + 3³².

4-й этап. “Реши сам и передай другому”.

На экране открываются по очереди 3 задания. Решается каждый пример членом команды и передается следующему. Закончив решение задания, передают жюри и получают следующее.

1) Какие из следующих многочленов квадраты?

а²+ 4а + 4;
а²+ 12а + 9;
х⁴ + 6 х² у²+ 9 у²;
а² –10 а в²+ 25в⁴;
4 а х²– 6а + 16;
х²+ 18 х 2 + 9.

2) Среди данных выражений, найдите равные пары:

(2х – у)²;
2(2х – у) ²;
4(2х – у) ²;
(4х – 2у) ²;
0,5(4х – 2у) ².

3) Каждый участник готовил и решил задание дома. Каждый участник команд выбирает себе пару из другой команды и обмениваются карточками. Карточки с заданиями и решениями предварительно проверены учителем.

5-Й этап. “Каждый человек-творец своего успеха”.

Каждый участник получает карточки с заданиями и получает индивидуальную оценку, а количество правильных ответов приносит баллы для команды.

Разложить на множители	Представить в виде многочлена
25а²– 10ав + в²	(2а – 3)(2а + 3)
81– а²	(1 – 5в)(1 + 5в)
5(4а – в)²+ 4а – в)	(2а – 7в)(5в + 3а)
4а – 2ав – 2 + в	(5а – р)(4р + 1)
(а – 3в)² – (а + 4в)²	(5а + в)²

4а²– 4ав + в²	(4а – 3)(4а + 3)
25 – а²	(1 – 2в)²
2(5а – в)²– 5а – в)	(8а – в)(в + 3а)
4а – 2ав – 2 + в	(2а – р)(4р + 1)
(а + 3в)² – (а + 2в)²	(4а – в)²


а²– 2ав + в²	(4а – 7)(4а + 7)
36 – а²	(1 – 7в)(1 + 5в)
2(7а – в)²– (7а – в)	(5а – в)(в + 3а)
Х²+ 3Х – 2ХУ – 6У	Х²+ 2ХУ – 4Х – 8У
(а – 3в)² – (а – 2в)²	(4а – в)²

6-й этап “Кто быстрее?”

Задаются вопросы. Кто первый поднимает знак, тот и отвечает. Команда получает балл за правильный ответ.

Вычислите 11².
Найдите квадрат одночлена 2а³.
Записать сумму одночленов 2а и 4в.
Вычислите(-2\5)².
Решите уравнение 15х = 3.
Вычислите квадрат куба числа в.
Равны ли выражения (а – в)² и (в – а)²?
Какой множитель можно вынести за скобку в выражении а2х – а5х3.
Разложите на множители 1 – 25а⁴.
Назвать все способы разложения на множители.
Какие формулы сокращенного умножения можете назвать.
Назовите коэффициент одночлена -а.
Возведите в куб одночлен (-5а).
Какой множитель можно вынести за скобку в выражении15а²– 25а.
Какой множитель можно вынести за скобку в выражении48а – 24.
Какой множитель можно вынести за скобку в выражении -х–у.
Равны ли выражения (а – в)3 и (в – а)3?

7-й этап. Подведение итогов.

Подведение итогов.
Выставление оценок.
Награждение победителей

Литература:

Ю.Н.Макарычев и др. Учебник математики Алгебра-7.
Методическое пособие. Изучение алгебры в 7-9 классах.
В.И.Жохов, Л.Б.Кранева. Уроки алгебры.
Дидактические материалы. Алгебра.
Алгебра. Устные упражнения и диктанты.
Математика в кроссвордах.
Л.И.Звавич. Контрольные и проверочные работы по алгебре.

28.01.2010

Бином Ньютона, биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля, подмножества

Биноминальное разложение с использованием треугольника Паскаля

Рассмотрим следующие выражения со степенями (a + b)ⁿ, где a + b есть любой бином, а n — целое число.

Каждое выражение — это полином. Во всех выражениях можно заметить особенности.

1. В каждом выражении на одно слагаемое больше, чем показатель степени n.

2. В каждом слагаемом сумма степеней равна n, т.е. степени, в которую возводится бином.

3. Степени начинаются со степени бинома n и уменьшаются к 0. Последний член не имеет множителя a. Первый член не имеет множителя b, т.е. степени b начинаются с 0 и увеличиваются до n.

4. Коэффициенты начинаются с 1 и увеличиваются на определенные значения до «половины пути», а потом уменьшаются на те же значения обратно к 1.

Давайте рассмотрим коэффициенты подробнее. Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)⁶. Согласно особенности, которую мы только что заметили, здесь должно быть 7 членов
a⁶ + c₁a⁵b + c₂a⁴b² + c₃a³b³ + c₄a²b⁴ + c₅ab⁵ + b⁶.
Но как мы можем определить значение каждого коэффициента, c_i? Мы можем сделать это двумя путями. Первый метод включает в себя написание коэффициентов треугольником, как показано ниже. Это известно как Треугольник Паскаля:

Есть много особенностей в треугольнике. Найдите столько, сколько сможете.
Возможно вы нашли путь, как записать следующую строку чисел, используя числа в строке выше. Единицы всегда расположены по сторонам. Каждое оставшееся число это сумма двух чисел, расположенных выше этого числа. Давайте попробуем отыскать значение выражения (a + b)⁶ путем добавления следующей строки, используя особенности, которые мы нашли:

Мы видим, что в последней строке

первой и последнее числа 1;
второе число равно 1 + 5, или 6;
третье число это 5 + 10, или 15;
четвертое число это 10 + 10, или 20;
пятое число это 10 + 5, или 15; и
шестое число это 5 + 1, или 6.

Таким образом, выражение (a + b)⁶ будет равно
(a + b)⁶ = 1a⁶ + 6a⁵b + 15a⁴b² + 20a³b³ + 15a²b⁴ + 6ab⁵ + 1b⁶.

Для того, чтобы возвести в степень (a + b)⁸, мы дополняем две строки к треугольнику Паскаля:

Тогда
(a + b)⁸ = a⁸ + 8a⁷b + 28a⁶b² + 56a⁵b³ + 70a⁴b⁴ + 56a³b⁵ + 28a²b⁶ + 8ab⁷ + b⁸.

Мы можем обобщить наши результаты следующим образом.

Бином Ньютона с использованием треугольника Паскаля

Для любого бинома a+ b и любого натурального числа n,
(a + b)ⁿ = c₀aⁿb⁰ + c₁a^n-1b¹ + c₂a^n-2b² + …. + c_n-1a¹b^n-1 + c_na⁰bⁿ,
где числа c₀, c₁, c₂,…., c_n-1, c_n взяты с (n + 1) ряда треугольника Паскаля.

Пример 1 Возведите в степень: (u — v)⁵.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 6-й ряд треугольника Паскаля:
1 5 10 10 5 1
Тогда у нас есть
(u — v)⁵ = [u + (-v)]⁵ = 1(u)⁵ + 5(u)⁴(-v)¹ + 10(u)³(-v)² + 10(u)²(-v)³ + 5(u)(-v)⁴ + 1(-v)⁵ = u⁵ — 5u⁴v + 10u³v² — 10u²v³ + 5uv⁴ — v⁵.
Обратите внимание, что знаки членов колеблются между + и -. Когда степень -v есть нечетным числом, знак -.

Пример 2 Возведите в степень: (2t + 3/t)⁴.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = 2t, b = 3/t, и n = 4. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:
1 4 6 4 1
Тогда мы имеем

Разложение бинома используя значения факториала

Предположим, что мы хотим найти значение (a + b)¹¹. Недостаток в использовании треугольника Паскаля в том, что мы должны вычислить все предыдущие строки треугольника, чтобы получить необходимый ряд. Следующий метод позволяет избежать этого. Он также позволяет найти определенную строку — скажем, 8-ю строку — без вычисления всех других строк. Этот метод полезен в вычислениях, статистике и он использует биномиальное обозначение коэффициента .
Мы можем сформулировать бином Ньютона следующим образом.

Бином Ньютона с использованием обозначение факториала

Для любого бинома (a + b) и любого натурального числа n,
.

Бином Ньютона может быть доказан методом математической индукции. Она показывает почему называется биноминальным коэффициентом.

Пример 3 Возведите в степень: (x² — 2y)⁵.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = x², b = -2y, и n = 5. Тогда, используя бином Ньютона, мы имеем

Наконец, (x² — 2y)⁵ = x¹⁰ — 10x⁸y + 40x⁶y² — 80x⁴y³ + 80x²y⁴ — 35y⁵.

Пример 4 Возведите в степень: (2/x + 3√x)⁴.

Решение У нас есть (a + b)ⁿ, где a = 2/x, b = 3√x, и n = 4. Тогда, используя бином Ньютона, мы получим

Finally (2/x + 3√x)⁴ = 16/x⁴ + 96/x^5/2 + 216/x + 216x^1/2 + 81x².

Нахождение определенного члена

Предположим, что мы хотим определить тот или иной член термин из выражения. Метод, который мы разработали, позволит нам найти этот член без вычисления всех строк треугольника Паскаля или всех предыдущих коэффициентов.

Обратите внимание, что в биноме Ньютона дает нам 1-й член, дает нам 2-й член, дает нам 3-й член и так далее. Это может быть обощено следующим образом.

Нахождение (k + 1) члена

(k + 1) член выражения (a + b)ⁿ есть .

Пример 5 Найдите 5-й член в выражении (2x — 5y)⁶.

Решение Во-первых, отмечаем, что 5 = 4 + 1. Тогда k = 4, a = 2x, b = -5y, и n = 6. Тогда 5-й член выражения будет

Пример 6 Найдите 8-й член в выражении (3x — 2)¹⁰.

Решение Во-первых, отмечаем, что 8 = 7 + 1. Тогда k = 7, a = 3x, b = -2 и n = 10. Тогда 8-й член выражения будет

Общее число подмножеств

Предположим, что множество имеет n объектов. Число подмножеств, содержащих k элементов есть . Общее число подмножеств множества есть число подмножеств с 0 элементами, а также число подмножеств с 1 элементом, а также число подмножеств с 2-мя элементами и так далее. Общее число подмножеств множества с n элементами есть
.
Теперь давайте рассмотрим возведение в степень (1 + 1)ⁿ:
.
Так. общее количество подмножеств (1 + 1)ⁿ, или 2ⁿ. Мы доказали следующее.

Полное число подмножеств

Полное число подмножеств множества с n элементами равно 2ⁿ.

Пример 7 Сколько подмножеств имеет множество {A, B, C, D, E}?

Решение Множество имеет 5 элементов, тогда число подмножеств равно 2⁵, или 32.

Пример 8 Сеть ресторанов Венди предлагает следующую начинку для гамбургеров:
{кетчуп, горчица, майонез, помидоры, салат, лук, грибы, оливки, сыр}.
Сколько разных видов гамбургеров может предложить Венди, исключая размеры гамбургеров или их количество?

Решение Начинки на каждый гамбургер являются элементами подмножества множества всех возможных начинок, а пустое множество это просто гамбургер. Общее число возможных гамбургеров будет равно

. Таким образом, Венди может предложить 512 различных гамбургеров.

бином | Encyclopedia.com

gale

просмотров обновлено 29 мая 2018

Ресурсы

Биномиальная теорема предоставляет простой метод для определения коэффициентов каждого члена в ряд двучлена с общей формой (A + B ) ⁿ . Расширение ряда или ряд Тейлора представляет собой сумму членов, возможно, бесконечного числа членов, которая равна более простой функции. Расширение (A + B) ⁿ, заданное биномиальной теоремой, содержит только n членов. Его обобщенная форма (где n может быть комплексным числом) была открыта Исааком Ньютоном.

Биномиальная теорема широко использовалась в области теории вероятностей и статистики. Основным аргументом в этой теореме является использование формулы комбинации для вычисления искомых коэффициентов.

Вопрос о расширении уравнения с двумя неизвестными, называемого биномом, был поставлен в начале истории математики. Одно решение (для действительного n), известное как треугольник Паскаля, было определено в Китае еще в тринадцатом веке математиком Ян Хуэем. Его решение было независимо открыто в Европе 300 лет спустя Блезом Паскалем (1623–1662), чье имя с тех пор навсегда связано с ним. Биномиальная теорема, более простое и эффективное решение проблемы, была впервые предложена Исааком Ньютоном (1642–1727). Он разработал эту теорему, будучи студентом Кембриджа, и впервые опубликовал ее в письме, написанном для Готфрида Лейбница (1646–1716), немецкого математика.

Расширение выражения типа (A + B) ⁿ просто означает его умножение. Используя стандартную алгебру, уравнение (A + B) ², например, можно представить в форме A ² + 2AB + B ². Точно так же (A + B) ⁴ можно записать как A ⁴ + 4A ³ B + 6A ² B ² + 4AB ³ + B ⁴ . Обратите внимание, что термины для A и B следуют общему шаблону A ⁿ B ⁰ , A ^N-1 B ¹, A ^N-2 B ², A ^N-3 B ³, A ¹ B ^N-1, A ⁰ B ^{N N-1}, A ⁰ B ^{N N N-1}, A ⁰ B

1 N N-1 , A ⁰ B

N N-1 , A ⁰ B ^N. . Также обратите внимание, что по мере увеличения значения n количество терминов увеличивается. Это делает утомительным поиск коэффициентов для отдельных членов уравнения с большим значением n. Например, было бы затруднительно найти коэффициент для термина A ⁴ B ³ в разложении (A + B) ⁷, если бы мы использовали этот алгебраический подход. Неудобство этого метода привело к разработке других решений задачи разложения бинома.

Одно решение, известное как треугольник Паскаля, использует массив чисел (показан ниже) для определения коэффициентов каждого члена.

Этот треугольник чисел создается с помощью простого правила сложения. Числа в одной строке равны сумме двух чисел в строке непосредственно над ней. В пятой строке второй член, 4, равен сумме двух чисел над ним, а именно 3+1. Каждая строка представляет собой условия расширения бинома слева. Например, термины для (A+B) ³ А ³ +3А ² В+3АВ ² +В ³ . Очевидно, что коэффициент для членов A ³ и B ³ равен 1. Треугольник Паскаля работает более эффективно, чем алгебраический подход, однако также становится утомительным создавать этот треугольник для двучленов с большим значением n.

Биномиальная теорема предлагает более простой и эффективный метод разложения биномов с большими n. Используя эту теорему, коэффициенты для каждого члена находятся с помощью формулы комбинации. Формула комбинации

Обозначение n! читается как «n факториал» и означает умножение n на каждое положительное целое число, меньшее самого себя. Таким образом, 4! равно 4 × 3 × 2 × 1=24. Применяя формулу комбинации к биномиальному расширению (A + B) ⁿ , n — это степень расширения формулы, а r — степень B в каждом члене. Например, для термина A ⁴ B ³ в разложении (A + B) ⁷ n равно 7, а r равно 3. Подставив эти значения

КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ

Биномиальное — Уравнение, состоящее из двух неизвестных, например (A + B).

Коэффициент — Число, умноженное на члены алгебраического уравнения.

Расширение — Умножение слагаемых в уравнении.

Факториал— Операция, представленная символом «!». Термин н! равно умножению n на все положительные целые числа, которые меньше его.

Треугольник Паскаля — Массив целых чисел, представляющий разложение биномиального уравнения.

в формулу комбинации получаем 7!/(3! × 4!) = 35, что является коэффициентом для этого слагаемого. Полная биномиальная теорема может быть сформулирована следующим образом:

(A + B) ⁿ = Σ _n C _r A ^n−r B ^r

4 См. также факториал.

КНИГИ

Ларсон, Рон. Предварительный расчет. 7-е изд. Нью-Йорк: Колледж Хоутон-Миффлин, 2006.

Менденхолл, Уильям и др. Введение в теорию вероятностей и статистику. Pacific Grove, CA: Duxbury Press, 2005.

Perry Romanowski

The Gale Encyclopedia of Science

gale

просмотров обновлено 11 июня 2018

Несмотря на то, что существует огромное разнообразие жизни на этой планете ясно, что одни организмы больше похожи друг на друга, чем на другие. Таким образом, организмы могут быть отнесены к группам на основе их общего сходства с другими организмами. Например, люди принадлежат к группе «млекопитающие», как и все другие организмы, обладающие молочными железами и волосами. Группировка организмов обеспечивает удобный способ классификации; то есть организм можно описать группами, к которым он принадлежит.

Система классификации, которая используется сегодня, называется системой Линнея в честь ее изобретателя, шведского натуралиста Карла Линнея (1707-1778). В своей книге 1758 года Systema Naturae Линней разделил все организмы на семь иерархических групп, расположенных от наиболее включающих до наименее включающих. Это царство, тип, класс, порядок, семейство, род и вид. Люди принадлежат к царству Animalia, типу Chordata, классу Mammalia, отряду Primates и семейству Hominidae, и им было дано общее название (род) Homo и видовое название (вид) sapiens. Линнеевская система иерархична, потому что может быть много видов на род, много родов (множественное число от рода) на семейство и так далее.

Поскольку видовые названия не уникальны (т. е. может существовать растение с видовым названием sapiens), название вида всегда включает как родовое, так и видовое название, например, Homo sapiens. Этот метод присвоения каждому виду уникальной комбинации двух названий называется «биномиальной номенклатурой» и является частью системы классификации Линнея. По соглашению эти научные названия организмов, в отличие от общепринятых названий, всегда выделяются курсивом. Кроме того, общее имя пишется с заглавной буквы, а конкретное — нет. Биологи предпочитают научные названия общепринятым из-за их уникальности, стабильности и универсальности. С другой стороны, общие названия часто относятся к более чем одному виду и меняются со временем и от места к месту. Биологи следуют определенному Номенклатурному кодексу, когда решают, как назвать вновь открытый вид.

Практика именования и классификации организмов называется « таксономия ». Линней классифицировал организмы в основном по их физическим (морфологическим) характеристикам. Он считал, что его группы имеют теологическое значение, то есть раскрывают Божий план создания жизни. Однако с признанием того, что виды эволюционируют, что привело к созданию книги Чарльза Дарвина «Происхождение видов» в 1859 году, стало очевидным, что система классификации Линнея также имеет биологическое значение. Организмы, которые морфологически похожи и, следовательно, сгруппированы вместе, обычно похожи, потому что они имеют общего предка. Таким образом, система Линнея отражает эволюционные отношения между организмами. Например, люди объединены с гориллами и шимпанзе в отряд приматов, потому что мы более тесно связаны с гориллами и шимпанзе, чем с другими млекопитающими. Точно так же приматы сгруппированы с грызунами в классе млекопитающих, потому что приматы и грызуны более тесно связаны друг с другом, чем с другими организмами типа хордовых, такими как рептилии и рыбы.

см. также Linnaeus, Carolus.

Тодд А. Шленке

Библиография

Дарвин, Чарльз. О происхождении видов путем естественного отбора. Лондон: Джон Мюррей, 1859 г. Факсимильное издание, перепечатанное в Кембридже, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета, 1975 г.

Джеффри, Чарльз. Введение в систематику растений. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета, 1982.

Линней, Каролус. Система природы , 10 изд. Стокгольм, Швеция: Laurentius Salvius, 1758. Воспроизведено в Нью-Йорке: Stechert-Hafner Service Agency, 1964.

Schuh, Randall T. Биологическая систематика: принципы и приложения. Итака, Нью-Йорк: Издательство Корнельского университета, 2000.

Симпсон, Джордж Гейлорд. Принципы таксономии животных. Нью-Йорк: Издательство Колумбийского университета, 1961.

Интернет-ресурсы

Мэддисон, Дэвид Р. и Уэйн П. Мэддисон. Древо жизни. .

Науки о животных Шленке, Тодд А.

Гейл

просмотров обновлено 18 мая 2018 г.

Биномиальная теорема обеспечивает простой метод определения коэффициентов каждого члена в разложении биномиального уравнения (А+В)n. Эта теорема, разработанная Исааком Ньютоном, широко использовалась в области вероятностей и статистики . Основным аргументом в этой теореме является использование формулы комбинации для вычисления искомых коэффициентов.

Вопрос о расширении уравнения с двумя неизвестными, называемого биномом, был поставлен в начале истории математики . Одно решение, известное как треугольник Паскаля , было найдено в Китае еще в тринадцатом веке математиком Ян Хуэем. Его решение было независимо открыто в Европе 300 лет спустя Блезом Паскалем, чье имя с тех пор навсегда связано с ним. Биномиальная теорема, более простое и эффективное решение проблемы, была впервые предложена Исааком Ньютоном. Он разработал теорему, будучи студентом Кембриджа, и впервые опубликовал ее в письме, написанном для Готфрида Лейбница, немецкого математика.

Расширение уравнения типа (A + B)n просто означает его умножение. Используя стандартную алгебру , уравнение (A + B)2 можно представить в виде A2 + 2AB + B2. Точно так же (A + B)4 можно записать как A4 + 4A3B + 6A2 B2 + 4AB3 + B4. Обратите внимание, что термины для A и B следуют общему шаблону AnB0,An-1B1,An-2B2,An-3B3,…,A1Bn-1, A0Bn. Также обратите внимание, что по мере увеличения значения n количество терминов увеличивается. Это делает утомительным поиск коэффициентов для отдельных членов уравнения с большим значением n. Например, было бы сложно найти коэффициент для члена A4B3 в разложении (A + B)7, если мы использовали этот алгебраический подход. Неудобство этого метода привело к разработке других решений задачи разложения бинома.

Этот треугольник чисел создается путем следования простому правилу сложения . Числа в одной строке равны сумме двух чисел в строке непосредственно над ней. В пятой строке второй член, 4, равен сумме двух чисел над ним, а именно 3 + 1. Каждая строка представляет члены для разложения бинома слева. Например, условия для (A+B)3 таковы: A3 + 3A2B + 3AB2 + B3. Очевидно, что коэффициент при членах A3 и B 3 равен 1. Треугольник Паскаля работает более эффективно, чем алгебраический подход, однако создание этого треугольника для двучленов с большим значением n также становится утомительным.

Биномиальная теорема предлагает более простой и эффективный метод разложения биномов с большими значениями n. Используя эту теорему, коэффициенты для каждого члена находятся по формуле комбинации. Формула комбинации:

Обозначение n! читается как «n факториал» и означает умножение n на каждое положительное целое число, которое меньше его. Итак, 4! будет равно 4 × 3 × 2 × 1 = 24. Применяя формулу комбинации к биномиальному разложению (A + B)n, n представляет собой степень расширения формулы, а r представляет степень B в каждом члене . Например, для члена A4B3 в разложении (A + B)7 n равно 7, а r равно 3. Подставляя эти значения в формулу комбинации, мы получаем 7! / (3! × 4!) = 35, что является коэффициентом для этого термина. Полная биномиальная теорема может быть сформулирована следующим образом:

См. также Факториал.

Ресурсы
книги
Данэм, Уильям. Путешествие через гениев. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1990.
Евы, Ховард Уитли. Основы и основные понятия математики. Нью-Йорк: Довер, 1997.
Ларсон, Рон. Предварительный расчет. 5-е изд. Нью-Йорк: Houghton Mifflin College, 2000.
Перри Романовски
КЛЮЧЕВЫЕ ТЕРМИНЫ
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Биномиальное
— Уравнение, состоящее из двух неизвестных, таких как (A + B).
Коэффициент
—Число, умноженное на члены алгебраического уравнения.
Расширение
— Умножение членов уравнения.
Факториал
— Операция, представленная символом «!». Термин н! равно умножению n на все положительные целые числа, которые меньше его.
Треугольник Паскаля
— Массив целых чисел, представляющий расширение биномиального уравнения.
The Gale Encyclopedia of Science н. 1. Мат. алгебраическое выражение суммы или разности двух терминов.2. двусоставное имя, особ. латинское название вида живого организма.• прил. 1. Мат. состоящий из двух терминов. ∎ биномиала или биномиальной теоремы или относящегося к ним.2. имеющие или использующие два имени, б.особ. латинское название вида живого организма.
The Oxford Pocket Dictionary of Current English
oxford
просмотра обновлено 11 июня 2018 г.
биномиальная теорема ) ⁿ , где x и y — числовые величины, а n — целое положительное число. Для n = 2 его разложение определяется выражением (x + y) ² = x ² + 2 xy + y ^{2 94. Что такое сумма в нотации суммирования, которая используется для выражения расширения? 415. б. Напишите упрощенные условия расширения. Вы только что выучили 7 терминов! б) Напишите упрощенные условия разложения. Гарольд использует биномиальную теорему для расширения бинома 3x Sex V) (a) Какова сумма в представлении суммирования, которую он использует для выражения расширения? из 4. Ответ: Вопрос: 2. Ясная формулировка этой теоремы была сформулирована в 12 веке. (a + b) 5 = a 5 + 5a 4b + 10a 3b 2 + 10a 2b 3 + 5ab 4 + b 5. Чтобы записать коэффициенты 8 членов, либо начните с комбинации 7 вещей, взятых по 0 за раз, и продолжайте до 7 вещей, взятых по 7 за раз, или используйте 7-й ряд треугольника Паскаля. Гарольд использует биномиальную теорему для разложения бинома (x + 3y). Запишите упрощенные члены разложения. Мат. учиться. Чтобы понять, почему эта формула работает, давайте воспользуемся ею. 5-1/9-1#? Обратите внимание, что: Степени a уменьшаются от n до 0. Степени b увеличиваются от 0 до n. Степени a и b всегда в сумме дают n. Согласно биномиальному приближению, краткий ответ для этого разложения таков: биномиальная теорема помогает найти разложение биномов, возведенных в любую степень. Исаак Ньютон написал обобщенную форму биномиальной теоремы. Теперь приступайте к обучению в режиме обучения. к! Теорему и ее обобщения можно использовать для доказательства результатов и решения задач комбинаторики, алгебры, исчисления и многих других областей математики. В следующем ряду также будут единицы с обоих концов. (x +b)n = n k=0nCkxnkbk. б) Напишите упрощенные условия разложения. Отчет. Биномиальное выражение. Биномиальное выражение — это алгебраическое выражение, содержащее два непохожих термина. В этом видео показано, как расширить биномиальную теорему, и сделать несколько примеров с ее использованием. Пошаговое объяснение: Реклама Реклама Решается проверенным экспертом. 662. Например, чтобы расширить (2x-3), два члена равны 2x и -3, а степень, или значение n, равна 3. Пошаговое объяснение. Гарольд использует биномиальную теорему для разложения бинома (x + 3y). Запишите упрощенные члены разложения. Когда показатель степени равен 1, мы получаем исходное значение без изменений: (a+b) 1 = a+b. Закрыть. Математики довели эти открытия до следующего этапа, пока сэр Исаак Ньютон не обобщил биномиальную теорему для всех показателей в 1665 году. Показать пошаговые решения. Скачать; Фейсбук. Мы упрощаем условия разложения и получаем: В следующей строке также будут единицы с обоих концов. Первая неделя всего $4.94. Дополнительные уроки по алгебре. Справедлива ли биномиальная теорема для каждого многочлена? Показатели x уменьшаются, начиная с n, а показатели y возрастают, начиная с 0, поэтому r-й член разложения (x + y) 2 содержит x n-(r-1) y r-1. Эта теорема используется в архитектуре для придания формы и определения общей площади инфраструктуры для расчета общего количества материала, используемого для строительства. С помощью этой теоремы отбор заявки легко сформировать N числа претендентов. Я буду использовать биномиальную теорему, чтобы ответить на этот показатель степени 2. Вычислите необходимые биномиальные коэффициенты явно из определения («) = IG-D)»: n! Например, (x + y) — двучлен. Самый простой способ понять биномиальную теорему — сначала просто взглянуть на образец полиномиальных разложений ниже. Предварительный расчет. Используйте биномиальную теорему, чтобы выразить ( x + y) 7 в расширенной форме. Найдите десятый член разложения ( x + y) 13. Показатель степени 1. Легко ли получить биномиальную теорему? Биномиальная теорема говорит нам, как разложить выражения вида (a+b), например, (x+y). б) Напишите упрощенные условия разложения. Ответ: Главное меню учебных ресурсов ( a + b) 3 = a 3 + 3 a 2b + 3 ab 2 + b 3. Первый член бинома равен «x 2», второй член — «3», а степень n для этого расширения равно 6. Биномиальное выражение: Биномиальное выражение — это алгебраическое выражение, содержащее два непохожих термина. Биномиальное расширение использует треугольник Паскаля для соответствующего коэффициента для каждой строки, которая соответствует числу, до которого возводится член расширения. 20. 1. Мы будем используйте простой бином a+b, но это может быть любой бином. Пример: a + b, a 3 + b 3 и т. д. далее. i = 0 n n C r x n r. y r + n C r x n r. yrSSWLSR318CP180115094 +12515 0 . Гарольд использует биномиальную теорему, чтобы расширить бином. Введение в биномиальную теорему. Способ, которым вы можете расширить силу бинома, — это использовать треугольник Паскаля и биномиальную теорему. Биномиальная теорема говорит. Предварительный расчет. Записанный текст изображения: 3. Биномиальная теорема утверждает, что для натурального числа n (x +b)n = nC0xn +nC1xn1b + nC2xn2b2 + +nCnbn. Узнайте, как использовать теорему биномиального расширения, чтобы расширить бином и найти любой термин или коэффициент в этом бесплатном математическом видео от Mario’s Math Tutoring. Таким образом, коэффициент каждого члена r разложения (x + y) n определяется как C (n, r — 1). Гарольд использует биномиальную теорему, чтобы расширить бином. (a + b) 4 = a 4 + 4a 3b + 6a 2b 2 + 4ab 3 + b 4. Например: a + b, a3 + b3 и т. 5-1/94. Биномиальное уравнение относится к полиномиальному уравнению с двумя членами, которые обычно соединяются знаком плюс или минус. Следующий набор данных относится к средней длине слова и рекомендуемому возрастному уровню для набора детских книг. Гарольд использует биномиальную теорему, чтобы расширить бином. 1 Ответ Показатель степени 1. Мы будем использовать простой бином a+b, но это может быть любой бином. (x + 1) 5. Биномиальная теорема — это метод расширения выражения, возведенного в любую конечную степень. (б). A: Данное выражение 5x-13Чтобы использовать биномиальную теорему для расширения. Поскольку n = 13 и k = 10, показатель степени 2 Ответ: Вопрос: 4 3. 2. 3x + 4 — классический пример двучлена. Однако в разложении (a + b)n будет (n + 1) членов. Рассмотрим биномиальное разложение (a + b)n = nC0 an + nC1 an-1 b + nC2 an-2 b2 + + nCn-1 a bn-1 + nCn bn . Биномиальная теорема (или биномиальное расширение) является результатом расширения степеней биномов или сумм двух членов. Отвечать. Vanessadeirdre 28 января 2020 г. Биномы — это выражения, содержащие два термина, такие как (x + y) и (2 x). Способ, которым вы применяете Треугольник Паскаля, заключается в просмотре строки, которая вам нужна, на основе вашего наивысшего показателя, указанного в задаче. CCSS.Математика: HSA.APR.C.5. а. Какова сумма в обозначении суммирования, которую он использует для выражения расширения. A: Используемая формула: биномиальная теорема: (a+b)n = j=0nCjnajbn-j. Не записывая формулу, объясните, как разложить (x + 3)7, используя биномиальную теорему. Что такое биномиальный пример? Твиттер. Чем больше мощность, тем сложнее напрямую расширять подобные выражения. Среднее число представляет собой сумму двух чисел над ним, поэтому 1 + 1 равно 2. Чтобы использовать биномиальную теорему для разложения бинома формы ( a + b) n , нам нужно помнить следующее: первый член (а) убывает от n до нуля. Гарольд использует биномиальную теорему, чтобы расширить бином | 3×4 (a) Какую сумму в записи суммирования он использует для выражения разложения? Комментарии (0) Ответ и объяснение. 5-\frac{1}{9{ Вопросы и ответы для предварительного исчисления. Q: Определите коэффициент 5-го члена в разложении (n 2m)’. Вместо этого мне нужно начать свой ответ с подстановки двух членов бинома вместе с внешней степенью в биномиальную теорему. Довольно просто. 15 к=0 15! В элементарной алгебре биномиальная теорема (или биномиальное разложение) описывает алгебраическое разложение степеней бинома. Согласно теореме, можно разложить многочлен (x + y) n в сумму, включающую члены вида ax b y c , где показатели степени b и c — неотрицательные целые числа, где b + c = n, а коэффициент a каждого члена — конкретное положительное значение. Чтобы ответить на этот вопрос, я воспользуюсь биномиальной теоремой. +4. Гарольд использует биномиальную теорему, чтобы расширить бином. Иногда нам нужно разложить биномы следующим образом: ( a + b) 0 = 1. b. Запишите упрощенные члены расширения. Обратите внимание на следующую закономерность: В общем, k-й член любого биномиального разложения может быть выражен следующим образом: Пример 2. 5-1/999; Вопрос: Используйте биномиальную теорему, чтобы расширить выражение. Вопрос. Ответ: На этих уроках мы рассмотрим, как использовать биномиальную теорему для расширения биномиальных выражений. Биномы — это выражения, содержащие два члена, например (x + y) и (2 x). Степени a уменьшаются от n до 0. Степени b увеличиваются от 0 до n. Степени a и b всегда в сумме дают n. В расширении (a + b) n, (r + 1)-й член мне нужна помощь с этим Гарольд использует биномиальную теорему, чтобы расширить Получите больше от вашей подписки * Доступ к более чем 100 миллионам учебных ресурсов для конкретных курсов; Круглосуточная помощь опытных наставников по более чем 140 предметам; Полный доступ к более чем 1 миллиону решений для учебников; Подписаться Биномиальная теорема — это быстрый метод увеличения биномиального выражения с огромными степенями. Хорошо сделано! Вы можете подсчитать количество выпавших орлов в независимых бросках монеты. Пошаговое объяснение: (а). (3x — y) 3. 2. Начнем с показателя степени 0 и будем строить вверх. Теперь о биноме. ( a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2. Для нашего двучлена это дает (b). Математика!! (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2 (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 (x + y) 4 = x 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 Формула биномиальной теоремы Обобщенная формула для приведенного выше шаблона известна как биномиальная теорема 9-5 в расширении -5x³ 3 X². NCERT P Bahadur IIT-JEE Предыдущий год Нарендра Авасти. Что такое лантаноидные элементы? dL указывает на единицу изменения длины. Расширение есть. Напишите тест на хромилхлорид с уравнением. Найдите коэффициент действительного расширения жидкости. Нахождение коэффициента x r в разложении. Что вы понимаете под лантаноидным сокращением. Используйте биномиальную теорему, чтобы найти коэффициент x в разложении (x-1)10. SeriesCoefficient[f, {x, x0, n}] находит коэффициент при (x — x0) n в разложении f относительно точки x = x0. Следовательно, найдите решение этого рекуррентного соотношения с a0 = 4. Найдите r и n. Кроме того, определите квадратный корень из n + 1-r. 4 равен (760+6840+4845=12445). Помните, что Треугольник Паскаля начинается с 1 в качестве первой строки и в качестве первой и последней записи каждой второй строки. Хочешь увидеть весь ответ? Верно ли, что σ2XY=σ2Xσ2Y? Поскольку мы начинаем считать с 0, 9й член на самом деле будет, когда k = 8. 3/5 д. 10/3. . C. 1 8. -5/3 C. -3/10 B. Пример 3. Найдите постоянный член в разложении (√x — 2/x 2) 10. Возведение 0 в квадрат дает нам 0, а умножение на по-прежнему дает 0, оставив только с правой стороны, такой вот. Q: Найдите коэффициент x в разложении по степеням A: Нажмите, чтобы увидеть ответ Q: Найдите ряд по степеням 1/(x-2)2 без использования каких-либо известных степеней или рядов Маклорена, кроме… Ссылка на ответ. Где такое то. Если вы делаете это комбинациями, вы хотите 10nCr7 = 120. Реклама Удалите всю рекламу. Инопланетяне, увлекающиеся азартными играми, вернулись, чтобы сыграть с вами в очередную игру. коэффициент расширения FAQ какой коэффициент расширения админ отправить письмо декабрь 2021 минут читать. Почему Бауэр восемь здесь в минутах. Сумма показателей в каждом члене расширения равна степени бинома. Физика. х н н н. из данного разложения, мы используем формулы биномиальных разложений каждого из отдельных членов из данного разложения, т. е. ( 1 + x) n, ( 1 + y) n и ( x + y) n соответственно, чтобы вычислить коэффициенты. Найдите коэффициент x 11 в разложении ( x 3 − x 2 2 ) 12 . A. Найдите коэффициент: (i) xm в разложении (x + 1/x)n (ii) x в разложении (1 — 2×3 + 3×5) (1 + 1/x)8 . Это дает нам уравнение. 546 просмотров. Рассчитайте коэффициент линейного расширения. Лэнс Морроу не может понять, почему стоимость реализации наличными не уменьшается. В этом . где ( n k) = n! (b) Мера для определения асимметрии распределения называется T r+1 = n C r x (n-r) a r = 6 C r x 2 (6-r) (-1/x 3) r = 6 C r x 12 -2r (-x-3 r) = — 6 C r x 12-5r ——(1) k!]. Коэффициент трех последовательных слагаемых в разложении (1 + x) n находится в соотношении 1 : 7 : 42. Коэффициент x в разложении (x + 3) 3 равен: A. 3 равен: Solve Study Textbooks Guides. Пример 7. Найдите коэффициент при x6y3 в разложении (x + 2y)9.19). а) Найдите коэффициент вариации цен этих трех акций. В колбе находится 100 мл жидкости при температуре 10°С. Найдите E[X],E[Y] и E[XY]. Решение. Формула коэффициента линейного расширения Согласно определению, формула выражается как αL1= ∆L / ∆T или αL1= dL / dT, где α определяет коэффициент линейного расширения. Что вы понимаете под лантаноидным сокращением. Напишите тест на хромилхлорид с уравнением. обратите внимание на коэффициенты x: 0,1,2 Видите закономерность? Найдите коэффициент члена, не зависящего от x, в разложении (x + 1 x 2 3 — x 1 3 + 1 — x — 1 x — x 1 2) 10. NCERT DC Pandey Sunil Batra HC Verma Pradeep Без ошибок. Рассмотрим T 2 как 910 равно 3360, найдите а. спросил 10 февраля в биномиальной теореме by Moniseth (20,2kpoints) методы индукции биномиальной теоремы Но без этого есть биномиальное расширение: (a + b) n = сумма для r . Подгоните ваше уравнение под приведенное выше, затем попытайтесь связать любой ваш коэффициент x с уравнением биномиального разложения. n. 11+y f (y) = In 11-y Q: Найдите значение константы b, которое сделает радиус сходимости степенного ряда b’x»… A: Биномиальный коэффициент – это целое число, которое появляется в биномиальном Найдите разложение функции в ряд по синусу Фурье. Формула биномиального разложения включает биномиальные коэффициенты, которые имеют вид (n/k)(или) n C k и рассчитывается по формуле n C k =n!/ [(n — k)! (10 получается из строки 10, определяемой суммой двух показателей степени, 7 получается из показателя степени члена х). Выразите здесь вместе пять и около восьми. Я знаю, что ответ 499. при k=1, r=19. n — нечетное натуральное число и (1 + x + x2 + x3)n = 3n ∑ r = 0arxr, то a0 − a1 + a2 − a3 + ⋯ − a3n равно Answer. Нам нужно найти коэффициент . Формула биномиальной теоремы такова. Формула биномиального разложения также известна как биномиальная теорема. Возможные ответы: Правильный ответ: Объяснение: Самый простой способ найти for — это начать с подстановки каждой пары координат в функцию. Школа НМИМС университета; Название курса MBA 12; Тип. 3 равен 250. 1. (y)r . Коэффициент. к!]. Где . Предварительные вопросы и ответы. найти коэффициент x 8 в разложении (x-1)(x-2)(x-3)..(x-9)(x-10) найти коэффициент x 8 в разложении (x-1)(x-2)(x-3)..(x-9)(x-10) Ритик Радж, 5 лет назад Класс:10 . Мы знаем, что общий член разложения (a + b)n равен Tr+1 = nCr an-r br Для (x + 2y)9, Положив n = 9 , a = x , b = 2y Tr + 1 = 9Cr (x )9 — r (2y)r = 9Cr (x)9 — r . Нахождение коэффициента xn в разложении {({log e (1 + x)}) 2} Я пытался найти коэффициент xn в разложении ({log e (1 + x)}) 2 Я явно записал расширение { ( { log e ( 1 + x ) } ) 2 } и попытался обобщить термины, включающие x n , но пока безуспешно. dT указывает на единицу изменения температуры. 320 B. Формула биномиальной теоремы используется при разложении любой степени двучлена в виде ряда. Определить значения констант A и B такие, что an = An + B является решением рекуррентного соотношения an = 2an−1 + n + 5. См. Решение. Ряд 9: 1 9 36 84 126 . 4!1! Подсчет того, что является коэффициентом X Y в расширении X Y, является противоположностью факторизации Qa; . 39., т.е. вопросы и ответы по тригонометрии. + 3 (8!/(4! Найдено 2 решения от Gogonati, poliphob3.14: Ответ от Gogonati (855) ( Показать источник ): Вы можете разместить это решение на ВАШЕМ веб-сайте!}
Теплопередача в замкнутой системе, Технические характеристики Mazda Miata 1991 года, Вдохновляющие цитаты супергероев, Недорогие бруклинские лофты в аренду, Little Tikes Hide And Seek Альпинист и качели, Уилмингтон, Северная Каролина Триатлон 2022, 2012 Honda Cr-v против Mazda Cx-5, Когда Hyundai выпустит модели 2023 года, Должен Произношение британское,
worldreader glassdoor
Средняя зарплата директора Worldreader: [зарплата]. Бесплатный внутренний взгляд на тенденции заработной платы Worldreader на основе 11 окладов для 9 рабочих мест в Worldreader. Средняя заработная плата менеджера проекта Worldreader: [зарплата]. Читатели строят лучший мир. Зарплаты, отзывы и многое другое — все это размещено сотрудниками Worldreader. Kenya Law Kenya Gazette Возможности стажировки в литературном бюро Кении 10 1 мая 2018 г. — … Заработная плата менеджера — Сообщено о 1 зарплате. Зарплаты публикуются анонимно сотрудниками Worldreader. Это профиль компании Worldreader. Работа в кенийском литературном бюро Glassdoor, ок. Тенденции зарплат Worldreader. Эта оценка основана на 2 отчетах о зарплате директоров Worldreader, предоставленных сотрудниками или оцененных на основе … 78 062 долларов США в год. Заработная плата старшего менеджера — 1 заработная плата. Заработная плата директора — 2 оклада указаны. Тенденции заработной платы Worldreader основаны на данных о заработной плате, опубликованных анонимно сотрудниками Worldreader. Поиск вакансий на Worldreader. Нет, если мы уничтожим его плохой космической гигиеной Проблема с кроликами Основан в 1925, … Динамика заработной платы Worldreader основана на данных о заработной плате, опубликованных анонимно сотрудниками Worldreader. На ее написание ушло 16 лет, и это скорее «энциклопедия еврейской жизни», чем «Есть ли жизнь на Марсе?». 10 окладов за 9 рабочих мест в Worldreader в Сан-Франциско, Калифорния, США. Средняя зарплата менеджера Worldreader в Сан-Франциско: 76 987 долларов США. 860 Издательские зарплаты в Ад-Дахле, Западная Сахара, предоставлены анонимно сотрудниками. Плюсы Название работы. На основе 1 зарплаты, опубликованной анонимно сотрудниками Worldreader Manager в Сан-Франциско. Поиск вакансий на Worldreader. Люди в Worldreader и миссия действительно делают опыт. Зарплаты, опубликованные анонимно сотрудниками Worldreader в Барселоне. Тенденции зарплат Worldreader. Весь контент публикуется анонимно сотрудниками Worldreader. Поиск вакансий на Worldreader. Подробности бесплатного интервью, размещенные анонимно кандидатами на собеседование Worldreader. Зарплата. Средняя зарплата менеджера Worldreader: 24 455 фунтов стерлингов. 163 747 долларов США в год. Какую зарплату получает издатель в Ad Dakhla? 145 753 долл. США в год. Читатель мира | 5018 подписчиков в LinkedIn. Средняя заработная плата менеджера Worldreader: [зарплата]. Большинство ролей связаны с поездками. Зарплаты, опубликованные анонимно сотрудниками Worldreader в Барселоне, Испания. Glassdoor дает вам представление о том, каково это работать в Worldreader, включая зарплаты, отзывы, офисные фотографии и многое другое. 1 вопрос интервью директора Worldreader и 1 обзор интервью. Тенденции заработной платы Worldreader основаны на данных о заработной плате, опубликованных анонимно сотрудниками Worldreader. 3 зарплаты на 3 рабочих места в Worldreader в Барселоне, Испания. Зарплаты публикуются анонимно сотрудниками Worldreader. Менеджер по международному развитию сосредоточится в первую очередь на возможностях развития на рынках Европы и Великобритании, чтобы расширить влияние Worldreader на глобальном юге, но также будет … На основе 1 зарплат, анонимно опубликованных сотрудниками отдела разработки программного обеспечения Worldreader в Испании. … Средняя зарплата директора Worldreader: 24 455 фунтов стерлингов. Люди чертовски умны, но у них большие и теплые сердца. Зарплаты, опубликованные анонимно сотрудниками Worldreader в Сан-Франциско, Калифорния, … сотрудником по маркетингу в Kenya Literature. | Worldreader верит в мир, где каждый может быть читателем. Basado en 1 sueldos publicados anónimamente por empleados (помощник по административным вопросам) Фонда сообщества Силиконовой долины в Маунтин-Вью. [count] зарплаты для [jobTitleCount] вакансий в Worldreader в Барселоне. Тенденции заработной платы Worldreader основаны на данных о заработной плате, опубликованных анонимно сотрудниками Worldreader. Бесплатный взгляд изнутри на обзоры компаний и зарплаты, опубликованные анонимно сотрудниками. Посмотрите, что говорят сотрудники о работе в Worldreader. Подробности интервью Worldreader: 2 вопроса интервью и 2 отзыва об интервью, опубликованные анонимно кандидатами на собеседование Worldreader. 3 вакансии Worldreader, включая зарплаты, рейтинги и отзывы, опубликованные сотрудниками Worldreader. 2 мая 2018 г. — Найдите последние вакансии в Kenya Literature Bureau в Кении Загрузите свое резюме и подайте заявку на открытые вакансии сегодня »Менеджер по публикации в Kenya Literature Bureau Fuzu Jobs May … 4 вакансии Worldreader, включая зарплаты, рейтинги и обзоры, опубликованные Worldreader сотрудники. Бесплатный внутренний взгляд на тенденции заработной платы Worldreader на основе 1 зарплаты за 1 работу в Worldreader. 1 Вакансии Worldreader, включая зарплаты, рейтинги и отзывы, опубликованные сотрудниками Worldreader. Подробности бесплатного интервью, размещенные анонимно кандидатами на собеседование Worldreader. Достижение должности помощника по административным вопросам в Фонде сообщества Силиконовой долины в Маунтин-Вью: 56,968 долларов США. Заработная плата директора в Worldreader может варьироваться от 121 997 до 150 454 долларов. Поиск вакансий на Worldreader. С недорогими технологиями, культурно значимыми цифровыми технологиями… 16 обзоров Worldreader. 1 Вакансии Worldreader, включая зарплаты, рейтинги и отзывы, опубликованные сотрудниками Worldreader. Тенденции заработной платы Worldreader основаны на данных о заработной плате, опубликованных анонимно сотрудниками Worldreader. 1 вопрос интервью Worldreader Manager и 1 обзор интервью. Средняя зарплата менеджера по разработке программного обеспечения Worldreader в Испании: 70 483 евро. Тенденции зарплат Worldreader.
Конюшни Вестминстер События, Лучшая книга по гистологии для Mbbs, Биржевые номера плей-офф Jordan 12, Мысли о Грейси Барра, 1-комнатная квартира в Париже на продажу, Список промежуточных внедорожников Avis, Результаты Атлантского марафона 2022, Лучшее воскресное жаркое, лондонское увлечение,
Как найти значение коэффициента
Как найти значение коэффициента — Алгебра 1
—>
Войти
Биографии репетитора
Подготовка к тесту
СРЕДНЯЯ ШКОЛА
ACT Репетиторство
SAT Репетиторство
Репетиторство PSAT
ASPIRE Репетиторство
ШСАТ Репетиторство
Репетиторство STAAR
ВЫСШАЯ ШКОЛА
Репетиторство MCAT
Репетиторство GRE
Репетиторство по LSAT
Репетиторство по GMAT
К-8
Репетиторство AIMS
Репетиторство по HSPT
Репетиторство ISEE
Репетиторство по ISAT
Репетиторство по SSAT
Репетиторство STAAR
Поиск 50+ тестов

Академическое обучение
репетиторство по математике
Алгебра
Исчисление
Элементарная математика
Геометрия
Предварительное исчисление
Статистика
Тригонометрия
репетиторство по естественным наукам
Анатомия
Биология
Химия
Физика
Физиология
иностранные языки
французский
немецкий
Латинский
Китайский диалект
Испанский
начальное обучение
Чтение
Акустика
Элементарная математика
прочее
Бухгалтерский учет
Информатика
Экономика
Английский
Финансы
История
Письмо
Лето
Поиск по 350+ темам

О
Обзор видео
Процесс выбора наставника
Онлайн-репетиторство
Мобильное обучение
Мгновенное обучение
Как мы работаем
Наша гарантия
Влияние репетиторства
Обзоры и отзывы
Освещение в СМИ
О преподавателях университета
Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:
(888) 888-0446
Все ресурсы по алгебре 1
10 Диагностические тесты 557 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept
Алгебра 1 Помощь » Переменные » Полиномы » Биномы » Как найти значение коэффициента
Укажите коэффициент в произведении
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Хотя эту задачу можно решить, умножив три бинома, это не обязательно. Есть три способа умножения одного члена из каждого бинома таким образом, чтобы умножались два члена и одна константа; Найдите три продукта и добавьте их, следующим образом:
Добавить :.
Правильный ответ .
Сообщить об ошибке. Объяснение:
Хотя эту задачу можно решить, умножив три бинома, это не обязательно. Есть три способа умножения одного члена из каждого бинома таким образом, чтобы умножались два члена и одна константа; найдите три продукта и добавьте их следующим образом:

Добавить:
Сообщить об ошибке
Укажите коэффициент биномиального разложения .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Если выражение расширить, то по биномиальной теореме член равен
или, эквивалентно, коэффициент IS
Следовательно, коэффициент можно определить путем установки
:
. Сообщение о ошибке
. биномиальное расширение .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Если выражение расширить, то по биномиальной теореме член равен
или, эквивалентно, коэффициент IS
Следовательно, коэффициент можно определить путем установки
:
. Сообщение о ошибке
. биномиальное расширение .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Если выражение расширить, то по биномиальной теореме член равен
или, эквивалентно, коэффициент IS
Следовательно, коэффициент может быть определен путем установки
. Сообщение о ошибке
. Сообщайте коэффициент. Коэффициент. Коэффициент. продукт
.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Хотя эту задачу можно решить, умножив три бинома, это не обязательно. Есть три способа умножения одного члена из каждого бинома таким образом, чтобы умножались два члена и одна константа; найдите три продукта и добавьте их следующим образом:
Добавить:
Правильный ответ составляет -122.
Сообщить об ошибке
Каково значение коэффициента ?
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Чтобы определить коэффициент, нам нужно будет полностью упростить это выражение.
Числитель первого члена имеет общую переменную, которую можно разделить.
Вычтите это выражение из .
Коэффициент — это число перед . Коэффициент равен .
Сообщить об ошибке
Уведомление об авторских правах
Просмотреть преподавателей алгебры
Ларри
Сертифицированный репетитор
Университет штата Юго-Восточная Оклахома, бакалавриат, микробиология/химия.
Посмотреть репетиторов по алгебре
Ping
Сертифицированный преподаватель
Техасский университет в Далласе, бакалавр компьютерных наук. Университет Северного Техаса, магистр искусств, образование.
No related posts.