Урок содержит описание свойств и формулы нахождения высоты треугольника, а также примеры решения задач. Если Вы не нашли решение подходящей задачи — пишите про это на форуме . Наверняка, курс будет дополнен.
Формулы нахождения высоты треугольника
Другие обозначения:
Сумма обратных значений высот треугольника равна обратному значению радиуса вписанной в такой треугольник окружности (Формула 6) Площадь треугольника можно найти через длины высот этого треугольника (Формула 7) Длину стороны треугольника, на которую опущена высота, можно найти через применение формул 7 и 2. Задача на .В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90 0) проведена высота CD. Определите CD, если AD = 9 см, BD = 16 см Решение . Треугольники ABC, ACD и CBD подобны между собой. Это непосредственно следует из второго признака подобия (равенство углов в этих треугольниках очевидно). Прямоугольные треугольники — единственный вид треугольников, которые можно разрезать на два треугольника, подобных между собой и исходному треугольнику. Обозначения этих трех треугольников в таком порядке следования вершин: ABC, ACD, CBD. Тем самым мы одновременно показываем и соответствие вершин. (Вершине A треугольника ABC соответствует также вершина A треугольника ACD и вершина C треугольника CBD и т. д.) Треугольники ABC и CBD подобны. Значит: AD/DC = DC/BD, то есть Задача на применение теоремы Пифагора.Треугольник ABC является прямоугольным. При этом C-прямой угол. Из него проведена высота CD=6см. Разность отрезков BD-AD=5 см. Найти: Стороны треугольника ABC. Решение . 1.Составим систему уравнений согласно теореме Пифагора CD 2 +BD 2 =BC 2 CD 2 +AD 2 =AC 2 поскольку CD=6 Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда система уравнений принимает вид 36+(AD+5) 2 =BC 2 Сложим первое и второе уравнение. Поскольку левая часть прибавляется к левой, а правая часть к правой — равенство не будет нарушено. Получим: 36+36+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2 72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2 2. Теперь, взглянув на первоначальный чертеж треугольника, по той же самой теореме Пифагора, должно выполняться равенство: AC 2 +BC 2 =AB 2 Поскольку AB=BD+AD, уравнение примет вид: AC 2 +BC 2 =(AD+BD) 2 Поскольку BD-AD=5, то BD = AD+5, тогда AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2 3. Теперь взглянем на результаты, полученные нами при решении в первой и второй части решения. А именно: 72+(AD+5) 2 +AD 2 =AC 2 +BC 2 AC 2 +BC 2 =(AD+AD+5) 2 Они имеют общую часть AC 2 +BC 2 . Таким образом, приравняем их друг к другу. 72+(AD+5) 2 +AD 2 =(AD+AD+5) 2 72+AD 2 +10AD+25+AD 2 =4AD 2 +20AD+25 2AD 2 -10AD+72=0 В полученном квадратном уравнении дискриминант равен D=676, соответственно, корни уравнения равны: Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, отбрасываем первый корень. Соответственно AB = BD + AD = 4 + 9 = 13 По теореме Пифагора находим остальные стороны треугольника: AC = корень из (52) Треугольники. Основные понятия. Треугольник — это фигура, состоящая из трех отрезков и трех точек, не лежащих на одной прямой. Отрезки называются сторонами , а точки — вершинами . Сумма углов треугольника равна 180 º . Высота треугольника. Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины к противолежащей стороне. В остроугольном треугольнике высота содержится внутри треугольника (рис. 1). В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами треугольника (рис.2). В тупоугольном треугольнике высота проходит вне треугольника (рис.3). Свойства высоты треугольника: Биссектриса треугольника. Биссектриса треугольника — это отрезок, который делит угол вершины пополам и соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне (рис.5). Свойства биссектрисы: Медиана треугольника. Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (рис.9а).
Средняя линия треугольника. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон (рис.10). Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине Внешний угол треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух несмежных внутренних углов (рис.11). Внешний угол треугольника больше любого несмежного угла. Прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол (рис.12). Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой . Две другие стороны называются катетами . Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. 1) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из прямого угла, образует три подобных треугольника: ABC, ACH и HCB (рис.14а). Соответственно, углы, образуемые высотой, равны углам А и В. Рис.14а Равнобедренный треугольник. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны (рис.13). Эти равные стороны называются боковыми сторонами , а третья — основанием треугольника. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. (В нашем треугольнике угол А равен углу C). В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является одновременно и биссектрисой, и высотой треугольника. Равносторонний треугольник. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны (рис.14). Свойства равностороннего треугольника: Замечательные свойства треугольников. У треугольников есть оригинальные свойства, которые помогут вам успешно решать задачи, связанные с этими фигурами. Некоторые из этих свойств изложены выше. Но повторяем их еще раз, добавив к ним несколько других замечательных особенностей:
Признаки равенства треугольников . Первый признак равенства : если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Второй признак равенства : если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Третий признак равенства : если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Неравенство треугольника. В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон. Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c 2 = a 2 + b 2 . Площадь треугольника. 1) Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне: ah 2) Площадь треугольника равна половине произведения двух любых его сторон на синус угла между ними: 1 Треугольник, описанный около окружности. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон (рис.16а ). Треугольник, вписанный в окружность. Треугольник называется вписанным в окружность, если он касается ее всеми вершинами (рис. 17a ). Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника (рис.18). Синус острого угла x противолежащего катета к гипотенузе. Косинус острого угла x прямоугольного треугольника — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс острого угла x — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Котангенс острого угла x — это отношение прилежащего катета к противолежащему. Правила: Катет, противолежащий углу x , равен произведению гипотенузы на sin x : b = c · sin x Катет, прилежащий к углу x , равен произведению гипотенузы на cos x : a = c · cos x Катет, противоположный углу x , равен произведению второго катета на tg x : b = a · tg x Катет, прилежащий к углу x , равен произведению второго катета на ctg x : a = b · ctg x . Для любого острого угла x : sin (90° — x ) = cos x cos (90° — x ) = sin x Треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника. Энциклопедичный YouTube1 / 5 ✪ ВЫСОТА МЕДИАНА БИССЕКТРИСА треугольника 7 класс ✪ биссектриса, медиана, высота треугольника. Геометрия 7 класс ✪ 7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника ✪ Медиана, биссектриса, высота треугольника | Геометрия ✪ Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис Трушин СубтитрыСвойства точки пересечения трех высот треугольника (ортоцентра)E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 {\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0} (Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → {\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника. )
Свойства высот равнобедренного треугольника
Свойства оснований высот треугольника
Другие свойства высот треугольника
Свойства минимальной из высот треугольникаМинимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:
Основные соотношения
Теорема о высоте прямоугольного треугольникаЕсли высота в прямоугольном треугольнике ABC длиной h {\displaystyle h} , проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c {\displaystyle c} на отрезки m {\displaystyle m} и n {\displaystyle n} , соответствующие катетам b {\displaystyle b} и a {\displaystyle a} , то верны следующие равенства. Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы. Сбор и использование персональной информацииПод персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним. От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами. Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию. Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Раскрытие информации третьим лицамМы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам. Исключения:
Защита персональной информацииМы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения. Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компанииДля того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности. |
Точка пересечения высот треугольника – уравнение, примеры
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 384.
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 384.
Точка пересечения высот треугольника относится к одной из трех замечательных точек треугольника. Замечательными эти точки зовутся не за красоту, а за отношение к золотому сечению треугольника, которое характеризует данную фигуру.
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Высота
Что такое высота? Высота это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону треугольника (может получиться, что высота будет падать на продолжение стороны, как это бывает с тупоугольными треугольниками).
Рис. 1. Высота в треугольнике.Точка пересечения высот
У любого треугольника есть три высоты, и они всегда пересекаются в одной точке. Эта точка является одним из 3 центров треугольника и зовется ортоцентром.
Еще со времен Древней Греции приставкой «орто» обозначали перпендикуляр. Ортогоналями звались перпендикулярные прямые.
Рис. 2. Ортогональные прямые.Ортоцентр имеет три варианта расположения в зависимости от вида треугольника:
Рис. 3. Точка пересечения высот треугольника.Золотое сечение треугольника
Золотое сечение треугольника это маленький треугольник внутри фигуры, который определяется как пересечение трех центров треугольника.
Три центра треугольника это:
- Точка пересечения биссектрис
- Точка пересечения высот
- Точка пересечения медиан.
Золотое сечение иногда может вырождаться в прямую или даже точку. В равнобедренном треугольнике точка пересечения высот и медиан совпадает, в результате для построения золотого сечения понадобится только 2 точки и золотое сечение выродится в отрезок.
О центрах треугольника существует целая онлайн энциклопедия. Список центров треугольника и свойств каждого из них был начат Карлом Кемберлингом в 1994 году. Онлайн ресурс пополняется все новыми и новыми данными по мере их открытия в высшей математике. В школьном курсе рассматривается только 3 центра треугольника.
В правильном треугольнике и вовсе каждая высота будет совпадать с соответствующей медианой, биссектрисой и высотой. Значит, все три центра треугольника совпадут, и золотым сечением треугольника будет – точка.
Обратите внимание, что нельзя составить уравнение точки пересечения высот треугольника. Можно составить только уравнение прямой. Например, составить два уравнения высот, затем приравнять их и найти координату точки пересечения.
Что мы узнали?
Мы узнали, в каких построениях участвует точка пересечения высот треугольника. Поговорили о случаях, когда эта точка совпадает с другими центрами треугольника, выяснили особенности расположения ортоцентра в разных видах треугольников.
Тест по теме
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Пока никого нет. Будьте первым!
Оценка статьи
4.2
Средняя оценка: 4.2
Всего получено оценок: 384.
А какая ваша оценка?
Равнобедренный треугольник
Что такое треугольник?
Треугольник — это замкнутая двумерная фигура, имеющая три стороны, три вершины и три угла. Это самая простая форма многоугольника. Треугольник можно составить, соединив любые три точки таким образом, чтобы отрезки прямой соединяли друг друга конец к концу. Три отрезка, соединяющие точки, являются сторонами треугольника, точка пересечения двух прямых называется вершиной, а пространство между ними называется углом. Также важно знать, что сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусам.
[Изображение будет загружено в ближайшее время]
Треугольники — простейшая форма многоугольника. Значение слова «Многоугольник» — это плоская фигура, состоящая из множества отрезков, соединенных встык. Одиночные или двойные отрезки вместе никогда не могут образовать многоугольник. Линия, соединяющая любые три точки, может образовывать треугольник, или любые три сегмента линии, соединенные друг с другом встык, также образуют треугольник. Треугольник — это трехсторонняя замкнутая двумерная фигура, имеющая три вершины и три угла.
Типы треугольников:
Треугольники можно классифицировать на основе их размера, а также углов.
Классификация треугольников на основе их сторон выглядит следующим образом:
Равносторонний треугольник: Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны.
Равнобедренный треугольник: Равнобедренный треугольник — это треугольник, две стороны которого равны.
Разносторонний треугольник: Разносторонний треугольник — это треугольник, все три стороны которого не равны.
Классификация треугольников на основе их углов выглядит следующим образом:
Остроугольный треугольник: треугольник, все внутренние углы которого меньше 900.
Прямоугольный треугольник: треугольник, у которого один внутренний угол равен 900.
Тупоугольный треугольник: Треугольник, один из внутренних углов которого больше 900.
Что такое равнобедренный треугольник?
Треугольник с двумя сторонами одинаковой длины называется равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы, прилежащие к равным сторонам, равны. В приведенном ниже треугольнике две стороны равны 5 дюймам, а одна сторона равна 3 дюймам. Таким образом, это равнобедренный треугольник.
[Изображение скоро будет загружено]
Свойства равнобедренного треугольника:
[Изображение будет загружено в ближайшее время]
На приведенном выше рисунке стороны AB и AC имеют равную длину «a».
Неравная сторона равнобедренного треугольника называется основанием.
Два угла, противоположные равным сторонам, равны друг другу. Значит, у него два равных угла при основании. ∠ B и ∠ C равномерны.
Угол при вершине — это угол, не равный двум углам при основании, которые равны.
Высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, делит основание на две равные части, а также делит угол при вершине на два равных угла.
Площадь равнобедренного треугольника = ½ × основание × высота
Периметр равнобедренного треугольника = сумма всех трех сторон
Третий неравный угол равнобедренного треугольника может быть острым или тупым.
Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит внутри треугольника, если все три угла трех треугольников острые.
Стороны треугольника являются хордами описанной окружности.
Если один из углов равен 90 градусов, то центр описанной окружности лежит вне треугольника.
Центроид — это пересечение медиан равнобедренного треугольника.
Медиана, проведенная из вершины, делит треугольник под прямым углом.
Биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются в центре описанной окружности.
Биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются в центре вписанной стороны.
Окружность, нарисованная с центром в центре, касается трех сторон треугольника внутри.
Каждая медиана делит равнобедренный треугольник на два равных треугольника, имеющих одинаковую площадь.
Площадь треугольника можно оценить:
Если известны меры одного угла и одной стороны
Если даны три стороны треугольника.
Если даны две стороны равнобедренного треугольника и углы между ними.
Соединение середины трех сторон делит треугольник на 4 меньших треугольника той же площади.
Когда нарисована окружность с диаметром, равным основанию:
Для тупоугольного равнобедренного треугольника вершина лежит внутри окружности.
В прямоугольном равнобедренном треугольнике вершина лежит на окружности.
В остроугольном равнобедренном треугольнике вершина лежит вне треугольника.
Когда вершина средней точки принимается за радиус и рисуется круг с серединой основания в качестве центра.
Для остроугольного равнобедренного треугольника вершины основания лежат внутри окружности.
Для прямоугольного равнобедренного треугольника вершины основания лежат на окружности
Для тупоугольного равнобедренного треугольника вершины основания лежат вне окружности.
В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота гипотенузы всегда равна половине длины гипотенузы.
В прямоугольном равнобедренном треугольнике центр описанной окружности лежит на гипотенузе, а радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы. 92}}}{4}} \]
Периметр треугольника?
Периметр треугольника равен сумме длин его трех сторон.
[Изображение будет загружено в ближайшее время]
Периметр треугольника (P) = Сторона1 + Сторона2 +Сторона3
Здесь a, b и c — три стороны треугольника.
Таким образом, периметр треугольника (P) = a+b+c
Периметр равнобедренного треугольника
Две стороны равнобедренного треугольника равны.
Итак, периметр равнобедренного треугольника = 2a + c
[Изображение будет загружено в ближайшее время]
Пример: В треугольнике ABC две стороны треугольника (a) = 20 см
Основание (c) = 8 см
Периметр = 2(20) + 8
= 48 см.
Как найти высоту треугольника (прямоугольного, равностороннего, равнобедренного)
Автор:
Malcolm McKinsey
Как найти высоту треугольника
Высота треугольника – это длина отрезка перпендикулярной линии, начинающегося на стороне и пересекающего противоположный угол. Каждый треугольник имеет три высоты или высоты, потому что у каждого треугольника три стороны.
В равностороннем треугольнике, таком как △SUN ниже, каждая высота представляет собой отрезок, который делит сторону пополам, а также является биссектрисой противоположного угла. Это произойдет только в равностороннем треугольнике.
Три высотные линии — равносторонний треугольникПо определению равностороннего треугольника вы уже знаете, что все три стороны конгруэнтны и все три угла равны 60° .
Если у △SUN одна сторона имеет маркировку 24 см , то все три стороны имеют 24 см . Каждый отрезок, показывающий высоту с каждой стороны, также делит равносторонний треугольник на два прямоугольных треугольника.
Вы можете видеть, что отрезок линии, показывающий высоту, делит сторону пополам, поэтому короткая сторона только что созданного прямоугольного треугольника равна 12 см . Мы уже знаем, что гипотенуза равна 24 см .
Формула высоты треугольника
Вы можете взять любую сторону нашего великолепного △SUN выше и увидеть, что отрезок, показывающий его высоту, делит сторону пополам, поэтому каждая короткая сторона вновь созданного прямоугольного треугольника равна 12 см , и мы уже знаем, что гипотенуза нашего нового прямоугольного треугольника равна 24 см .
Зная все три угла и две стороны прямоугольного треугольника, какова длина третьей стороны? Это работа для Теорема Пифагора.
Использование теоремы Пифагора
Сосредоточьтесь на длинах; углы не важны в теореме Пифагора.