Пределы для чайников с примерами решения
Содержание:
- Сформулируем определение предела функции
Прежде чем перейти к определению предела, напомним, что в математике используются три вида бесконечностей
Бесконечность не является числом, она показывает, как меняется переменная величина, которая конечна в любой момент времени.
Теперь определим понятие последовательности и ее предела.
Последовательностью называется множество чисел, которое перенумеровано с помощью целых чисел и расположено в порядке возрастания номеров
Если задана последовательность то тем самым любому целому неотрицательному значению поставлено в соответствие значение
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Например, члены геометрической прогрессии являются последовательными значениями функции где
Может случиться так, что с увеличением значения будет неограниченно приближаться к какому-то числу В этом случае говорят, что число является пределом функции целочисленного аргумента или последовательности при и пишут или
Число является пределом последовательности если для можно найти такое что для всех с номерами справедливо неравенство [4, 32]
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Используя приведенное определение, докажем, что последовательность имеет предел, равный 1
Согласно определению имеем
Таким образом, мы доказали, что для любого наперед заданного можно найти такое что при всех будет выполняться (3.
1), а это означает, что 1 есть предел исходной последовательности.
Теперь рассмотрим функцию непрерывного аргумента и предположим, что неограниченно приближается к числу При этом может оказаться, что соответствующее значение неограниченно приближается к некоторому’ числу В этом случае говорят, что число есть предел функции при
Сформулируем определение предела функции
Число называется пределом функции при если для можно найти такое что для всех удовлетворяющих условию будет справедливо неравенство Заметим, что функция не обязательно должна быть определена в предельной точке она должна быть определена лишь в некоторой окрестности этой точки.
Тот факт, что — предел функции при записывается так:
Данное нами определение иллюстрируется рис. 3.3. Используя приведенное определение предела, докажем, что
На основании определения имеем
Таким образом, мы доказали, что исходная функция будет отличаться от 6 меньше чем на если будет выполняться неравенство (3.
2). В данном случае
Приведенное определение не дает способа вычисления пределов. Ниже мы рассмотрим некоторые из таких методов.
Дадим понятие о левых и правых пределах функции и точках ее разрыва.
Если при так что принимает только значения меньшие то пишут и называют левым пределом.
Аналогично, если при так что принимает только значения большие то пишут и называют правым пределом [4, 30].
Геометрическая иллюстрация левого и правого пределов дана на рис. 3.4
Из рис. 3.4. следует, что в точке функция имеет разрыв. Он носит название разрыва первого рода (в точке разрыва первого рода левый и правый пределы не равны и конечны). Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода [4, 30]. Примерами разрывов второго рода являются бесконечные разрывы (рис. 3.5)
Предположим, что аргумент функции неограниченно возрастает т.е. является бесконечно большим аргументом. Может оказаться, что при этом функция стремится к некоторому пределу ( рис. 3.6).
Функция стремится к пределу при если для можно найти такое что для всех значений удовлетворяющих неравенству будет выполняться условие
Теперь рассмотрим случай стремления функции к бесконечности при
Функция стремится к бесконечности при если для можно найти такое что для всех значений удовлетворяющих условию выполняется неравенство
Это определение иллюстрируется рис. 3.7.
Напомним, что функция называется ограниченной в данной области изменения аргумента, если существует такое, что для всех значений принадлежащих рассматриваемой области, будет выполняться неравенство Если такого числа нет, то является неограниченной в данной области.
Например, функция является ограниченной на своей области определения (рис. 3.8).
Дадим определение бесконечно малой величины. Функция называется бесконечно малой при или если или
Например, функция при есть бесконечно малая величина, так как
Постоянное очень малое число не является бесконечно малой величиной. Единственное число, которое рассматривается в качестве бесконечно малой величины, это ноль. Связь бесконечно малых и бесконечно больших величин можно проследить из теоремы 3.1: если — бесконечно малая величина, то — бесконечно большая величина, и наоборот [4]
Пример с решениемПример 3.1
Пример 3.2
Пример 3.3
Если подставить предельное значение, то получим неопределенность Поэтому для решения подобных примеров используют следующий прием: делят числитель и знаменатель на в максимальной степени, в данном случае на Тогда получим
Пример 3.4
Пример 3.5
(Предел в квадратных скобках — это второй замечательный предел).
Пример 3.6
Пример 3.7
Так как логарифмичеешя функция непрерывна, то можно воспользоваться формулой (3.5).
Пример 3.8
Данный предел можно свести к первому замечательному пределу путем замены переменной, т.е.
при
тогда получим
Пример 3.9
Пример З.10
Пример 3.11
Пример 3.12
lim как решать
Вы искали lim как решать? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и алгебра лимит, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «lim как решать».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как lim как решать,алгебра лимит,алгебра пределы,все о пределах,высшая математика для чайников пределы,высшая математика лимиты,высшая математика пределы,высшая математика пределы для чайников,вычислить пределы функций пошаговое решение,задания пределы,задачи на пределы,задачи на пределы с решениями,задачи пределы,задачи с решениями на пределы,лимит как решать,лимит математика,лимиты как решать,матанализ для тупых,матанализ для чайников пределы,матанализ пределы,матанализ пределы для чайников,математика предел,математика пределы,математика пределы для чайников,математический анализ для чайников пределы,математический анализ пределы,математический анализ пределы для чайников,математический предел,матпрофи пределы,методы решения пределов,нахождение пределов с подробным решением,предел 0,предел алгебра,предел в математике,предел в математике это,предел математика,предел математический,предел функции для чайников,предел это в математике,пределы алгебра,пределы в математике,пределы высшая математика,пределы для чайников,пределы как решать,пределы как решаются,пределы матан,пределы матанализ для чайников,пределы математика,пределы математика для чайников,пределы математический анализ,пределы математический анализ для чайников,пределы примеры решений,пределы примеры решения,пределы решений примеры,пределы решения,пределы с бесконечностью как решать,пределы теория с примерами,примеры на пределы,примеры решений пределов,примеры решения пределов,решение пределов онлайн с подробным решением для чайников,решение пределов примеры,решение пределов примеры с решением,решение пределов с подробным решением,решения пределов пример,способы нахождения пределов,способы решения пределов,теория пределов для чайников,формулы лимитов,что такое в математике предел,что такое в математике пределы,что такое предел в математике. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и lim как решать. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, алгебра пределы).
Где можно решить любую задачу по математике, а так же lim как решать Онлайн?
Решить задачу lim как решать вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Высшая математика для чайников. Предел функции_Виосагмир И.А_2011 -88с
Высшая математика для чайников. Предел функции
2011 год
89
’89
На рисунке представлены две функции: | ||
| •O и | E•O . |
Как видите, они очень похожи, поэтому очень важно, запомните Вы их или нет. Давайте проведем небольшой опыт. Попробуйте запомнить два графика. Как только будете уверены в том, что все выучили, прорешайте все пределы ниже, а потом проверьте себя по графикам.
№1. Посчитать пределы:
→ |
|
|
→ | → | |
|
|
|
→ | → | → |
→ |
|
|
→ | → | |
|
|
|
→ | → | → |
arcsin
| arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
функции |
| . | – | обратная | функция | к |
|
|
|
|
| ||||
| arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
| sin |
| – | обратная | функция | к |
|
|
|
|
| |||
функции |
| . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| arccos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
| cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
№1. Посчитать предел: |
|
|
|
| → |
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| lim arcsin . |
| → 0 |
|
| |
Давайте посмотрим на график |
|
|
|
| . Что мы видим? При | функция принимает | |||||||||
|
|
|
|
|
| Например, |
|
|
| и |
| и т.д. Делаем | |||
бесконечно много значений. |
|
| arcsin |
|
|
|
| ||||||||
вывод: у нашего графика есть период. |
| lim→ arcsin | 0 lim→ arcsin ‚ |
| |||||||||||
|
| → |
|
|
|
| w целое число, лежащее в промежутке ∞, ∞ | ||||||||
|
| lim arcsin ‚w, | |||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 30 |
|
|
|
| |
| Высшая математика для чайников. Предел функции |
|
|
То же самое с | 2011 год |
arccos . |
|
| arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
| arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
| arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
| tg |
|
| – обратная функция к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
функции |
| . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
| arcctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
| ctg |
|
| – обратная функция к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
функции |
|
| . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
№1. Посчитать предел: | lim | arctg | w ∙ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||
w |
|
|
|
|
|
|
| → |
| arctg | ‚ |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
целое число, имеющее шаг 2. Т.е. | lim | → |
|
|
|
| . Можно записать | ||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||
вот так: |
|
|
|
| lim arctg | 2 | ˆ | 2 2 w |
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||
|
|
|
|
|
|
| → |
|
|
| ‚ |
|
| ‚ ‚ |
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
Заметим, что ‰ это произвольное целое число, которое мы задаем сами. |
|
| |||||||||||||||||||||
На этом, мы заканчиваем наш раздел – графики элементарных функций.
От автора:
Поздравляю! Вы смогли завершить первую главу “Предел функции” первой части “Предел и непрерывность функции”. Конечно, это не все. Я рассказал Вам лишь элементарные вещи. Далее нас будут ждать первый замечательный и второй замечательный приделы и другие методы взятия пределов. Если Вы поняли все, что я здесь написал, то дальше будет только интересно! Ничего сверхсложного вас не ожидает…
31
Высшая математика для чайников. Предел функции
2011 год
Глава 2. Непрерывность функции в точке.
Содержание:
1)Непрерывность функции в точке
2)Непрерывность сложной функции
3)Классификация точек разрыва
4)Непрерывность элементарных функций
5)Первый замечательный предел
6)Второй замечательный предел
7)Кратко о Maple
1. Непрерывность функции в точке.
Функция называется
непрерывной в точке a, если
lim
→
Запомните это определение раз и навсегда! Если вы его не знаете, вы – ничто и никто в
математике. Давайте рассмотрим простой пример: | 1 |
|
| ||||||
|
|
|
|
|
|
|
| 1; 0. | |
Задание: проверить функцию на непрерывность в точках | |||||||||
1. | 1. Используя определение 1, получаем: |
| 1 |
| |||||
| → | 1 | 1 1 | 1 | |||||
| lim |
| 1 | ||||||
| Выполняется определение 1? Да! |
|
| 1 | 1 |
| |||
|
|
| lim |
| |||||
|
|
| → | 1 | 1. |
|
|
| |
| Вывод: функция непрерывна в точке |
|
|
|
| ||||
2. | 0. Используя определение 1, получаем: |
| 1 |
| |||||
| → | 1 | ∞ 0 | → | |||||
| lim |
| 0 | ||||||
| Выполняется определение 1? Нет! |
| lim | 0 |
| ||||
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
| → | 1 |
|
|
|
|
|
|
|
| 32 |
|
|
| |
Высшая математика для чайников. Предел функции
2011 год
Вывод: функция не существует в точке 0.
Пусть функция определена в правой (левой) полу окрестности точки a, т.е. на некотором полуинтервале , & (соответственно
, ). | Функция | называется | непрерывной справа | |
(соответственно слева) в точке a, если |
|
| ||
lim |
| >соответственно | lim | E. |
→ |
|
| → |
|
Здесь то же самое. Пожалуйста, рассмотрите сами такие функции как ln , и другие. Хотя, думаю, что все предельно ясно.
Для того чтобы функция была непрерывна в , необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева.
| O | , |
| , | O |
| также непрерывны | в точке |
|
| O |
| |
|
| O /O |
|
|
|
|
| ||||||
| Если функции | и |
| непрерывны в точке | , то функции |
| , | ||||||
| O 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
| (частное – при | ||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||
условии |
| ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример №1.
Исследовать на непрерывность функцию |
|
|
|
|
| ||||
| . |
|
| ||||||
Для начала распишем область определения |
|
|
|
| , т.к. знаменатель не | ||||
|
|
|
|
| теорему 6: |
|
| ||
может равняться 0. Теперь просто используем D |
| ∞, 0 0, ∞ | |||||||
|
|
|
| lim |
|
| , |
|
|
| 0 | → |
|
|
|
|
| ||
| 0 |
|
|
|
| ||||
где |
|
|
|
|
|
| непрерывна в любой точке, | ||
|
| . Следовательно, по теореме 6, функция |
| ||||||
кроме |
|
| . |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
| |||
33
Высшая математика для чайников. Предел функции
2011 год
2. Непрерывность сложной функции.
Пусть функция F определена на множестве , а G множество
значений этой функции. Пусть, далее, на | множестве | G | определена | |
функция H . Тогда говорят, что | на | множестве |
| определена |
сложная функция, и пишут H , где | F, или H F. | |||
Впрочем, пока что вам это не сильно понадобиться. Привожу примеры сложных функций: | ||||||
1 | , | log |
|
|
| 1 . |
b|sin |, cos |
|
| ||||
Почему они сложные? Давайте рассмотрим цепочку последовательных преобразований для первой из них:
• | sin • | |•| | √•. |
Вот и все! Теперь перейдем ко второй функции: |
|
| |
• | 1 | cos • | •. |
• | |||
И так далее. Не хочется уделять этому много времени. Надеюсь, вы и так все поняли. Ну что же, перейдем к теореме.
непрерывна в |
|
|
| • |
|
|
| • |
| • |
|
непрерывна в точке . |
|
| • |
| в точке , а | P• Q | ‘ | ||||
Пусть функция |
|
|
| непрерывна |
| функция |
|
| |||
| точке |
|
|
| . Тогда сложная функция |
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
|
|
| ||||
Давайте рассмотрим пример на доказательства. Здесь как раз и нужно рассматривать сложную функцию.
Пример №1 |
|
|
|
Доказать, что: | lim |
| ln , 0, 1. |
| |||
Рассмотрим функцию • | → | 1 |
|
1. Она непрерывна в точке 0 и 0 0. При этом | |||
34
Высшая математика для чайников. Предел функции
|
|
|
|
|
|
| 2011 год |
| |
|
|
| log |
| 1 , | 1 | |||
|
|
|
|
| log 1 . | ||||
Вычислим lim→ |
| : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ln | ||
|
|
| → |
| → | ||||
|
|
| lim log 1 | lim ln 1 | |||||
Этот шаг может быть непонятен, поэтому я должен напомнить вам формулу преобразования к логарифму с другим основанием:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| log | log |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| log |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||
Запомните ее и больше не возвращайтесь к этому. В данном случае |
|
|
| ’ | новое основание. | ||||||||||||||||||||||||||
Давайте напишем формулу именно для нашего случая: |
| ln 1 |
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| log |
| 1 |
|
| log 1 |
| . |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||
Итак, продолжаем: |
|
|
|
|
| log |
|
|
| ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||
|
|
|
|
|
|
| ln |
|
| 1 |
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||
|
|
|
|
|
| → |
|
|
| → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||
|
|
|
|
|
| lim log 1 |
| lim ln 1 | ln → | ln 1 | . |
|
|
|
| ||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
Верно? ln это число, поэтому мы его и вынесли. Теперь нужно посчитать предел lim→ |
| . | |||||||||||||||||||||||||||||
Представим | функцию в | виде | ln 1 |
| ln “ | (тоже свойство | логарифма!), где | “ | |||||||||||||||||||||||
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ∙ log log |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
Так как |
| → |
|
|
| (Это второй замечательный предел. Пока что мы его не прошли, | |||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| непрерывна в точке |
|
|
| , то |
|
|
| |||||||||||
но, | поверьте, равенство верно), а функция |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||
| lim |
|
| 1 |
| ’ |
|
|
|
|
| ln “ |
|
|
| ln ’ | 1. |
| “ |
| ’ |
|
|
|
|
|
| ||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| lim ln 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||
Возвращаемся к нашему примеру. И вот, что у нас получается:
35
Высшая математика для чайников. Предел функции
2011 год
lim |
|
|
| = lim |
|
| ln |
|
| = ln |
|
| → |
|
|
| 1 |
|
|
| = | ln |
| = ln |
| . | ||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||
| → | log |
|
| → | ln 1 + |
|
|
|
|
| ln(1 + |
| ) |
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||
|
|
| (1 + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 1 |
|
|
| ||||||||||||
Рассмотрим теперь функцию ( ), непрерывную в точке = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| ” |
|
| ln |
|
|
|
|
|
|
|
| при | = 0 |
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (1 + |
| ) |
| при |
| ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
| = |
|
|
| log |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||
Согласно теореме 8 сложная функция |
|
|
|
|
|
| • |
|
|
|
|
|
|
|
| при = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||
|
|
|
|
|
| P• Q |
|
|
|
| ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| = |
|
|
|
| − 1 | при |
|
| ≠ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||
Является непрерывной в точке = 0. Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| → |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| lim |
|
| − 1 = ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||||||||||||
Сложно? Может быть, но вы должны в этом разобраться, потому что это очень важно для понимания этой темы. Тем более, здесь требуется внимательность, ну и “немножко подумать”.
36
Высшая математика для чайников. Предел функции
2011 год
3. Классификация точек разрыва.
Для начала, давайте поймем, что вообще означает “точка разрыва”. Все предельно просто!
Точка называется точкой разрыва функции , если в этой точке не является непрерывной.
Прежде чем начинать рассматривать классификацию точек разрыва, вы должны всегда проверять условие: должна быть определена в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки .
Если условие выполняется, то можно рассматривать классификацию точек разрыва.
Точка – устранимая точка
разрыва, если
lim #
→
Пример №1. |
|
|
|
|
| sin |
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
|
|
|
|
|
| ∞; 0 0; ∞ |
|
| ||||
| 0 | необычная точка. В ней |
|
| D |
|
| |||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| ||
Прежде всего, напишем область определения: |
|
|
|
|
| . Отсюда сразу видно, | ||||||
что |
|
|
| функция | не | определена, но |
|
| определена в ее | |||
окрестности. | → sin |
|
|
| sin |
|
|
|
| |||
|
| 1 | 0 | . |
|
|
| |||||
|
| lim |
|
|
|
|
|
| ||||
Отсюда следует, что 0 устранимая точка разрыва. |
|
|
|
|
| |||||||
37
Высшая математика для чайников. Предел функции
2011 год
Точка – точка разрыва первого рода, если
lim | # | lim # |
→ |
| → |
|
|
|
Пример №1. |
| sgn | |
|
| ||
Функция sgn уже должна быть ранее вам известна, но я вам ее напомню. | |||
sgn | 1, | 0 | |
” 0, |
| 0, | |
| 1, | , 0 | |
→ | sgn | 1, |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
| ||
→ | sgn | 1, |
|
| f(x) = sgn(x) | ||
lim |
|
|
|
|
| ||
0 | 0. |
| lim→ sgn lim→ sgn sgn |
|
| 0 |
|
Отсюда следует, что | точка | точка разрыва | |||||
первого рода. |
|
|
| ||||
Точка – точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Пример №1. |
| tg |
| |
| ‚w˜ , w 0 ™. | |||
Прежде всего, напишем область определения D | –\ 2 | |||
| → | tg | ∞ |
|
|
|
| ||
| lim |
| ||
| 38 |
|
| |
Высшая математика для чайников. Предел функции
2011 год
| → | tg | ∞ |
| |
|
|
| |||
| lim |
| |||
Т.к. хотя бы один из пределов равен бесконечности, то | ‚w точка разрыва второго рода. | ||||
Пример №2. |
| ln |
|
| |
| 0; ∞ . | ||||
Прежде всего, напишем область определения D |
| ||||
| → |
| 0 |
| |
| lim ln |
|
| ||
| → |
|
|
| |
| lim ln |
|
| ||
Т.к. хотя бы один из пределов не существует, то |
| 0 точка разрыва второго рода. | |||
Итак, мы теперь знаем классификацию точек разрыва. Мы рассмотрели примеры к каждому случаю. Они достаточно легкие, поэтому давайте еще попрактикуемся. Во всех следующих номерах определить точки разрыва.
P.S. Для начала попробуйте сделать это сами, ну а потом проверьте себя. Удачи ☺!
№1.
т. 1 функция
№2.
Прежде всего, напишем
|
| , | ( 1 |
| |
2ln , | 1 |
| |||
lim | lim |
| ln | 0, | |
→ |
| → |
| 1. | |
lim | lim | ||||
→ |
| → |
|
| |
lim | lim | ||||
→ |
| → |
| ||
имеет разрыв первого рода.
’ |
|
|
D |
| ∞, 0 0, ∞ . |
|
Что такое предел функции как его найти
При каком условии Вам будут совсем не страшны любые задачи, где требуется найти предел функции? Условие следующее: у Вас есть базовый навык деления одних чисел на другие, на очень-очень маленькие числа и на очень-очень большие числа. Успех придет в процессе решения.
А теперь посмотрим, что о пределе функции гласит теория. Впрочем, можно зайти чуть-чуть вперед и сразу перейти к задачам, а потом вернуться к теории. Как удобнее.
Обобщённое понятие предела: число a есть предел некоторой переменной величины, если в процессе своего изменения эта переменная величина неограниченно приближается к a.
Поясним это на примере, который также проиллюстрируем. А после примера приведём общий алгоритм решения пределов.
Запишем приведённый пример на языке формул. Итак, номер окружности возрастает и стремится к бесконечности, то есть . Допустим, существует такой равнобедренный треугольник, что длина диаметра каждой вписанной в него окружности расчитывается по формуле
Величина, которую нам требуется найти, будет записана так:
Lim это и есть предел, а под ним указывается переменная, которая стремится к определённому значению – нулю, любому другому числу, бесконечности.
Теперь вычислим предел, присвоив переменной x значение бесконечность (в более строгом определении это называется «доопределить функцию», с этим определением вы можете ознакомиться в последующих частях главы «Предел»). Примем, что конечная величина, поделенная на бесконечность, равна нулю:
С рассмотренной последовательностью окружностей свяжем другую переменную величину — последовательность сумм их диаметров:
Рассмотрев рисунок снова, обнаружим, что предел последовательности равен h – высоте равнобедренного треугольника. Вообще, предел может быть равен нулю, любому другому числу или бесконечности.
Теперь более строгие определения предела функции, которые Вас могут спросить на экзамене, и для понимания которых потребуется чуть больше внимания.
Предел функции при
Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть дана точка . Возьмём из X последовательность точек, отличных от :
(1)
сходящуюся к . Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
(2)
и можно ставить вопрос о существовании её предела.
Это означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить то значение, к которому стремится x.
Пример 1. Найти предел функции при .
Решение. Подставляем вместо x значение 0. Получаем:
.
Итак, предел данной функции при равен 1.
Предел функции при , при и при
Кроме рассмотренного понятия предела функции при существует также понятие предела функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение 2. Число A называется пределом функции f(x) при , если для любой бесконечно большой последовательности (1) значений аргумента соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.
Символически это записывается так: .
Определение 3. Число A называется пределом функции f(x) при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к A.
Символически это записывается так: ().
Это, как и в случае определения 1, означает: чтобы найти предел функции, нужно в функцию вместо x подставить бесконечность, плюс бесконечность или минус бесконечность.
Пример 2. Найти предел функции при .
Решение. Подставляем вместо x бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю:
.
Для наглядности и убедительности, решая данный пример в черновике, можете подставить вместо x супербольшое число. При делении получите супермалое число.
А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Теорема 1. (о единственности предела функции). Функция не может иметь более одного предела.
Следствие. Если две функции f(x) и g(x) равны в некоторой окрестности точки , за исключением, может быть, самой точки , то либо они имеют один и тот же предел при , либо обе не имеют предела в этой точке.
Теорема 2. Если функции f(x) и g(x) имеют пределы в точке , то:
1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.
(3)
2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.
(4)
3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.
(5)
Замечание. Формулы (3) и (4) справедливы для любого конечного числа функций.
Следствие 1. Предел постоянной равен самой постоянной, т.е.
Следствие 2. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.
Пример 3. Найти предел:
Решение.
А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Пример 4. Найти предел:
Решение. Предварительно убедимся, что предел делителя не равен нулю:
Таким образом, формула (5) применима и, значит,
А проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Теорема 3 (о пределе сложной функции). Если существует конечный предел
а функция f(u) непрерывна в точке , то
Другими словами, для непрерывных функций символы предела и функции можно поменять местами.
Непосредственное применение теорем о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию, чтобы иметь возможность применить следствие из теоремы 1.
Пример 5. Найти предел:
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как
Преобразуем заданную дробь, разложив числитель и знаменатель на множители. В числителе получим
где
корни квадратного трёхчлена (если Вы забыли, как решать квадратные уравнения, то Вам сюда). Теперь сократим дробь и, используя следствие из теоремы 1, вычислим предел данной функции:
При решении примеров 5 и 8 нам уже встретилась неопределённость вида . Эта неопределённость и неопределённость вида — самые распространённые неопределённости, которые требуется раскрывать при решении пределов.
БОльшая часть задач на пределы, попадающихся студентам, как раз несут в себе такие неопределённости. Для их раскрытия или, точнее, ухода от неопределённостей существует несколько искусственных приёмов преобразования вида выражения под знаком предела. Эти приёмы следующие: почленное деление числителя и знаменателя на старшую степень переменной, домножение на сопряжённое выражение и разложение на множители для последующего сокращения с использованием решений квадратных уравнений и формул сокращённого умножения.
Освоим эти приёмы на примерах.
Для преобразования выражений потребуются пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.
Неопределённость вида
Пример 12. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :
.
Комментарий к правой части выражения. Стрелками и цифрами обозначено, к чему стремятся дроби после подстановки вместо n значения бесконечность. Здесь, как и в примере 2, степень n в знаменателя больше, чем в числителе, в результате чего вся дробь стремится к бесконечно малой величине или «супермалому числу».
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .
Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Пример 13. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. Здесь старшая степень переменной x равна 1. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на x:
.
Комментарий к ходу решения. В числителе загоняем «икс» под корень третьей степени, а чтобы его первоначальная степень (1) оставалась неизменной, присваиваем ему ту же степень, что и у корня, то есть 3. Стрелок и дополнительных чисел в этой записи уже нет, так что попробуйте мысленно, но по аналогии с предыдущим примером определить, к чему стремятся выражения в числителе и знаменателе после подстановки бесконечности вместо «икса».
Получили ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен нулю.
Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Неопределённость вида
Пример 14. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение. В числителе — разность кубов. Разложим её на множители, применяя формулу сокращённого умножения из курса школьной математики:
.
В знаменателе — квадратный трёхчлен, который разложим на множители, решив квадратное уравнение (ещё раз ссылка на решение квадратных уравнений):
Запишем выражение, полученное в результате преобразований и найдём предел функции:
Проверить решение задачи на пределы можно на калькуляторе пределов онлайн.
Пример 15. Раскрыть неопределённость и найти предел
Решение. Теорема о пределе частного здесь неприменима, поскольку
Поэтому тождественно преобразуем дробь: умножив числитель и знаменатель на двучлен, сопряжённый знаменателю, и сократим на x +1.{3x}=1$.
Предел (математика)
Предел — одно из основных понятий математического анализа. Различают предел последовательности и предел функции.
Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.
1. История
Интуитивное понятие о предельном переходе использовалось еще учеными Древней Греции при вычислении площадей и объемов различных геометрических фигур. Методы решения таких задач в основном были развиты Архимедом.
При создании дифференциального и интегрального исчислений математики XVII века также явно или неявно использовали понятие предельного перехода. Впервые определение понятия предела было введено в работе Валлиса «Арифметика бесконечных величин» XVII век, однако исторически это понятие не лежало в основе дифференциального и интегрального исчислений.
Лишь в XIX веке в работах Коши теория пределов была использована для строгого обоснования математического анализа. Дальнейшей разработкой теории пределов занимались Вейерштрасс и Больцано.
С помощью теории пределов во второй половине XIX века было, в частности, обосновано использование в анализе бесконечных рядов, которые явились удобным аппаратом для построения новых функций.
2. Предел последовательности
Пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются ростом номера.
Число a {\displaystyle a} называется пределом последовательности x 1, x 2., x n. {\displaystyle x_{1},x_{2}.,x_{n}.}, если
∀ ε 0, ∃ N ε, ∀ n N ε | x n − a | ε {\displaystyle \forall {\text{ }}\varepsilon 0{\text{, }}\exists {\text{ }}N\varepsilon{\text{, }}\forall {\text{ }}n N\varepsilon{\text{ }}{\text{ }}|x_{n}-a| a n x n b n ∀ n {\displaystyle a_{n} x_{n} b_{n}\forall n} и lim a n = lim b n {\displaystyle \lim a_{n}=\lim b_{n}}, то lim x n = lim a n = lim b n {\displaystyle \lim x_{n}=\lim a_{n}=\lim b_{n}}
3. Предел функции
Функция f x {\displaystyle fx} имеет предел A {\displaystyle A} в точке x 0 {\displaystyle x_{0}}, если для всех значений x {\displaystyle x}, достаточно близких к x 0 {\displaystyle x_{0}}, значение f x {\displaystyle fx} близко к A {\displaystyle A}.
Число b называется пределом функции fx в точке a, если ∀ ε 0 {\displaystyle \forall \varepsilon 0} существует δ 0 {\displaystyle \delta 0}, такое что ∀ x, 0 | x − a | δ {\displaystyle \forall x,0 n{\text{ }}{\text{ }}x_{i}\in Ux}
Дата публикации:
05-16-2020
Дата последнего обновления:
05-16-2020Предел функции. Односторонний предел
Задачи на нахождение предела очень часто можно встретить в таких науках как механика, физика, высшая математика, прикладная математика и т.д. Суть таких задач заключается в отыскании значения функции при движении аргумента до некоторого значения при котором функция может быть и неопределена. Поведение функции в определенной точке и называется ее пределом. Он может принимать как постоянное значение так и быть равным бесконечности ().
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Пусть имеем функцию которая определена в некоторой окрестности точки . Число называется пределом функции при , если для любого малого наперед заданного положительного числа можно найти такое положительное число что для всех удовлетворяющих неравенство
выполняется неравенство
В упрощенной форме определения записывают так
При функция является бесконечно большой, если для любого числа можно найти такое число что для всех , удовлетворяющих неравенство оправдывается неравенство
В краткой форме это определение примет вид
Функция является бесконечно малой при , если выполняется
ОДНОСТОРОННИЕ ГРАНИЦЫ
Запись можно понимать как приближение к точке слева, когда и дело, когда . аким образом, приближение точек до может быть двусторонним. На основе этого введены определения правой и левой границы.
Число есть пределом функции слева (левой границей), если для любого числа существует такое, что при выполняется неравенство
Число является пределом функции справа (правой границей) если для сколь угодно малого значения найдется такое что для всех из промежутка выполняется неравенство
Левая и правая границы называются односторонними границами.
Функция имеет предел в точке тогда и только тогда, когда существуют одновременно границы справа и слева и они равны между собой
Рассмотрим примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. «Высшая математика» на нахождение границ.
————————————
Пример 1. Найти пределы.
1) (4. 331)
2) (4. 333)
3) (4. 337)
4) (4. 342)
5) (4. 348)
6) (4. 357)
Решение.
1) Первые примеры не являются сложными и их решения сводится к подстановки значения аргумента в функцию
2) Как и в предыдущем примере проводим подстановку
3) Выполняем подстановку переменной в предел
4) В такого типа примерах нужно знаменатель разложить по правилу разности квадратов, после этого выполнить подстановку
5) В таких примерах нужно числитель и знаменатель сократить на множитель, который вносит наибольший вклад
6) В подобных примерах ищут наибольший показатель переменной в числителе и знаменателе, а потом проводят анализ. При следовании корни ведут себя следующим образом
С оценки показателей видим что числитель быстрее растет чем знаменатель
следовательно функция бесконечно большая и ее предел бесконечный
На этом вводной урок нахождения пределов функций завершен. Другие примеры вычисления пределов и методику их нахождения Вы найдете в следующих материалах.
————————————
Посмотреть материалы:
Исчисление I — Предел
Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметкиПохоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана (, т.е. , вероятно, вы используете мобильный телефон). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме.Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы сможете прокручивать их, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.
Раздел 2-2: Предел
В предыдущем разделе мы рассмотрели пару проблем, и в обеих задачах у нас была функция (наклон в случае касательной задачи и средняя скорость изменения в задаче скорости изменения), и мы хотели знать, как эта функция ведет себя в некоторая точка \ (x = a \).На этом этапе игры нас больше не волнует, откуда взялись функции, и нас больше не волнует, увидим мы их в будущем или нет. Все, что нам нужно знать или о чем беспокоиться, — это то, что у нас есть эти функции, и мы хотим что-то о них знать.
Чтобы ответить на вопросы в последнем разделе, мы выбираем значения \ (x \), которые все ближе и ближе к \ (x = a \), и вставляем их в функцию. Мы также убедились, что мы посмотрели на значения \ (x \), которые были как слева, так и справа от \ (x = a \).2} + 25}} {{t — 5}} = 15 \]
В этих обозначениях мы заметим, что мы всегда указываем функцию, с которой работаем, а также указываем значение \ (x \) (или \ (t \)), к которому мы движемся.
В этом разделе мы собираемся применить интуитивный подход к ограничениям и постараемся понять, что они собой представляют и что они могут рассказать нам о функции. Помня об этой цели, мы пока не будем вдаваться в подробности того, как на самом деле вычислять пределы. Вместо этого мы будем полагаться на то, что мы сделали в предыдущем разделе, а также на другой подход, чтобы угадать значение пределов.
Оба подхода, которые мы собираемся использовать в этом разделе, призваны помочь нам понять, что такое ограничения. Как правило, мы обычно не используем методы, описанные в этом разделе, для вычисления пределов, и во многих случаях их может быть очень сложно использовать даже для оценки значения предела и / или иногда мы даем неправильное значение. Мы рассмотрим фактически вычисляемые пределы в нескольких разделах.
Давайте сначала начнем со следующего «определения» лимита.
Определение
Мы говорим, что предел \ (f (x) \) равен \ (L \), когда \ (x \) приближается к \ (a \), и записываем это как
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to a} f \ left (x \ right) = L \]при условии, что мы можем сделать \ (f (x) \) настолько близким к \ (L \), насколько мы хотим, для всех \ (x \), достаточно близких к \ (a \), с обеих сторон, фактически не позволяя \ (x \) быть \ (а \).
Это не точное определение предела. Если вы хотите увидеть более точное и математическое определение лимита, вам следует ознакомиться с разделом «Определение лимита» в конце этой главы. Приведенное выше определение является скорее «рабочим» определением. Это определение помогает нам понять, что такое ограничения и что они могут сказать нам о функциях.
Так что же означает это определение? Что ж, предположим, что мы знаем, что предел действительно существует.В соответствии с нашим «рабочим» определением мы можем решить, насколько близко к \ (L \) мы хотим сделать \ (f (x) \). В качестве аргумента предположим, что мы хотим сделать \ (f (x) \) не более чем на 0,001 от \ (L \). Это означает, что нам нужен один из следующих
\ [\ begin {array} {lcl} f \ left (x \ right) — LТеперь, согласно «рабочему» определению, это означает, что если мы получим \ (x \) достаточно близко к \ (a \), мы можем сделайте одно из вышеперечисленных истинным. Однако на самом деле это говорит немного больше.Он говорит, что где-то в мире есть значение \ (x \), скажем \ (X \), так что для всех \ (x \), которые ближе к \ (a \), чем \ (X \), то одно из приведенных выше утверждений будет верным.
Это довольно важная идея. В мире есть много функций, которые мы можем сделать как можно ближе к \ (L \) для определенных значений \ (x \), которые близки к \ (a \), но будут и другие значения \ (x \) ближе к \ (a \), которые дают значения функций, далеко не близкие к \ (L \).Чтобы предел существовал, как только мы получим \ (f (x) \) настолько близко к \ (L \), насколько мы хотим для некоторого \ (x \), тогда ему нужно будет оставаться в таком близком к \ (L \) ) (или приблизиться) для всех значений \ (x \), которые ближе к \ (a \). Мы увидим пример этого позже в этом разделе.
В несколько более простых терминах определение говорит, что по мере того, как \ (x \) становится все ближе и ближе к \ (x = a \) (с обеих сторон, конечно …), то \ (f (x) \) должно быть приближаться и ближе к \ (L \). Или, когда мы приближаемся к \ (x = a \), тогда \ (f (x) \) должно двигаться к \ (L \).
Важно еще раз отметить, что мы должны смотреть на значения \ (x \), которые находятся по обе стороны от \ (x = a \). Мы также должны отметить, что нам не разрешено использовать \ (x = a \) в определении. Мы часто будем использовать информацию, которую дают нам ограничения, чтобы получить некоторую информацию о том, что происходит прямо в \ (x = a \), но само ограничение не связано с тем, что на самом деле происходит в \ (x = a \) . Предел касается только того, что происходит вокруг точки \ (x = a \). Это важное понятие об ограничениях, которое нам нужно иметь в виду.
Альтернативное обозначение, которое мы иногда будем использовать для обозначения пределов, —
. \ [f (x) \ to L \ hspace {0,25 дюйма} {\ rm {as}} \ hspace {0,25in} x \ to a \]Как мы используем это определение, чтобы помочь нам оценить пределы? Мы делаем именно то, что делали в предыдущем разделе. Мы берем \ (x \) с обеих сторон от \ (x = a \), которые перемещаются все ближе и ближе к \ (a \), и вставляем их в нашу функцию. Затем мы смотрим, можем ли мы определить, к какому числу движутся значения функции, и используем это в качестве нашей оценки.2} — 2x}} \] Показать решение
Обратите внимание, что мы сказали «оценка значения лимита». Опять же, в этом разделе мы не собираемся напрямую вычислять пределы. Цель этого раздела — дать нам лучшее представление о том, как работают ограничения и что они могут рассказать нам о функции.
Итак, имея это в виду, мы будем работать с этим почти так же, как мы делали в предыдущем разделе. Мы выберем значения \ (x \), которые становятся все ближе и ближе к \ (x = 2 \), и подставим эти значения в функцию.Это дает следующую таблицу значений.
| \ (х \) | \ (е (х) \) | \ (х \) | \ (е (х) \) |
|---|---|---|---|
| 2,5 | 3,4 | 1,5 | 5,0 |
| 2,1 | 3.857142857 | 1.9 | 4,157894737 |
| 2,01 | 3.985074627 | 1,99 | 4.015075377 |
| 2,001 | 3.998500750 | 1,999 | 4,001500750 |
| 2.0001 | 3.999850007 | 1,9999 | 4.000150008 |
| 2,00001 | 3.999985000 | 1,99999 | 4,000015000 |
Обратите внимание, что мы убедились и выбрали значения \ (x \), которые были по обе стороны от \ (x = 2 \), и что мы переместились очень близко к \ (x = 2 \), чтобы убедиться, что любые тенденции, которые мы можем наблюдать, на самом деле верны.2} — 2x}} = 4 \]
Давайте еще немного подумаем о том, что здесь происходит. Давайте изобразим график функции из последнего примера. График функции в интересующем диапазоне значений \ (x \) показан ниже.
Во-первых, обратите внимание на довольно большую открытую точку в точке \ (x = 2 \). Это нужно для того, чтобы напомнить нам, что функции (и, следовательно, графика) не существует в \ (x = 2 \).
Когда мы вставляли значения \ (x \) в функцию, мы фактически перемещаемся по графику в направлении точки как \ (x = 2 \).Это показано на графике двумя стрелками на графике, которые перемещаются к точке.
Когда мы вычисляем пределы, мы действительно задаемся вопросом, к какому значению \ (y \) приближается наш график, когда мы приближаемся к \ (x = a \) на нашем графике. Мы НЕ спрашиваем, какое значение \ (y \) принимает график в рассматриваемой точке. Другими словами, мы спрашиваем, что делает график вокруг точки \ (x = a \). В нашем случае мы можем видеть, что по мере того, как \ (x \) приближается к 2 (с обеих сторон), функция приближается к \ (y = 4 \), хотя самой функции даже не существует в \ (x = 2 \ ).Таким образом, можно сказать, что лимит на самом деле равен 4.
Итак, что мы узнали об ограничениях? Пределы спрашивают, что делает функция вокруг \ (x = a \), и не связаны с тем, что функция на самом деле делает в \ (x = a \). Это хорошо, поскольку многие функции, которые мы рассмотрим, даже не будут существовать в \ (x = a \), как мы видели в нашем последнем примере.
Давайте рассмотрим еще один пример, чтобы доказать это.
Пример 2 Оцените значение следующего предела.2} — 2x}} & {\ mbox {if}} x \ ne 2 \\ 6 & {\ mbox {if}} x = 2 \ end {array} \ right. \] Показать решениеПрежде всего, следует отметить, что это точно такая же функция, как и в первом примере, за исключением того, что мы присвоили ей значение для \ (x = 2 \). Итак, сначала отметим, что
\ [g \ left (2 \ right) = 6 \]Что касается оценки значения этого лимита, то по сравнению с первым примером ничего не изменилось.Мы могли бы составить таблицу значений, как в первом примере, или быстро взглянуть на график функции. Любой метод даст нам значение лимита.
Давайте сначала взглянем на таблицу значений и посмотрим, что она нам говорит. Обратите внимание, что наличие значения функции в \ (x = 2 \) не изменит наш выбор для \ (x \). Мы выбираем только значения \ (x \), которые становятся ближе к \ (x = 2 \), но никогда не берем \ (x = 2 \). Другими словами, таблица значений, которую мы использовали в первом примере, будет точно такой же, как и здесь.Итак, поскольку мы уже сделали это один раз, нет причин переделывать его здесь.
Из этой таблицы снова ясно, что предел равен
. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} g \ left (x \ right) = 4 \]Предел НЕ 6! Помните из обсуждения после первого примера, что ограничения не заботятся о том, что функция на самом деле делает в рассматриваемой точке. Пределы касаются только того, что происходит на около точки.Поскольку единственное, что мы изменили в функции, — это ее поведение при \ (x = 2 \), это не изменит предел.
Давайте также быстро взглянем на график этой функции, чтобы убедиться, что это то же самое.
Опять же, мы видим, что по мере того, как мы приближаемся к \ (x = 2 \) на нашем графике, функция все еще приближается к значению \ (y \), равному 4. Помните, что мы только спрашиваем, что функция делает вокруг \ (x = 2 \), и нам все равно, что функция на самом деле делает в \ (x = 2 \).График также подтверждает вывод о том, что предел составляет
\ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {x \ to 2} g \ left (x \ right) = 4 \]Давайте еще раз поговорим об этом, чтобы убедиться, что мы все поняли. Пределы , а не , связанные с тем, что происходит в \ (x = a \). Ограничения касаются только того, что происходит на около \ (x = a \). Мы постоянно говорим об этом, но это очень важная концепция ограничений, которую мы всегда должны помнить.Итак, мы воспользуемся любой возможностью, чтобы напомнить себе об этой идее.
Поскольку ограничения не связаны с тем, что на самом деле происходит в \ (x = a \), мы иногда будем видеть ситуации, подобные предыдущему примеру, где предел в точке и значение функции в точке различаются. Конечно, это не всегда будет происходить. Бывают случаи, когда значение функции и предел в одной точке совпадают, и в конечном итоге мы увидим несколько таких примеров. Однако важно не волноваться из-за того, что функция и предел не принимают одно и то же значение в одной точке.Иногда такое случается, поэтому нам нужно иметь возможность разбираться в тех случаях, когда они возникают.
Давайте взглянем на другой пример, чтобы попытаться опровергнуть эту идею.
Пример 3 Оцените значение следующего предела. \ [\ mathop {\ lim} \ limits _ {\ theta \ to 0} \, \ frac {{1 — \ cos \ left (\ theta \ right)}} {\ theta} \] Показать решениеВо-первых, не волнуйтесь о функции \ (\ theta \) in. Это просто буква, как \ (x \) буква! Это греческая буква, но это буква, и иногда вам будет предложено работать с греческими буквами, так что сейчас неплохо бы начать к ним привыкать.
Теперь также обратите внимание, что если мы подключим \ (\ theta = 0 \), мы получим деление на ноль, и поэтому функция в данный момент не существует. Фактически, в этот момент мы получаем 0/0, но из-за деления на ноль этой функции не существует в \ (\ theta = 0 \).
Итак, как мы сделали в первом примере, давайте возьмем таблицу значений и посмотрим, что, если мы сможем угадать, к какому значению движется функция.
| \ (\ theta \) | \ (е \ влево (\ тета \ вправо) \) | \ (\ theta \) | \ (е \ влево (\ тета \ вправо) \) |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.45969769 | -1 | -0,45969769 |
| 0,1 | 0,04995835 | -0,1 | -0,04995835 |
| 0,01 | 0,00499996 | -0,01 | -0,00499996 |
| 0,001 | 0.00049999 | -0,001 | -0,00049999 |
Хорошо, похоже, что функция приближается к значению нуля, поскольку \ (\ theta \) приближается к 0, конечно с обеих сторон.
Следовательно, предположим, что предел имеет значение
\ [\ mathop {\ lim} \ limits _ {\ theta \ to 0} \, \ frac {{1 — \ cos \ left (\ theta \ right)}} {\ theta} = 0 \]Итак, еще раз, предел имел значение, даже если функция не существовала в интересующей нас точке.
Пришло время поработать еще пару примеров, которые приведут нас к следующему представлению об ограничениях, которое мы собираемся обсудить.
Пример 4 Оцените значение следующего предела. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 0} \ cos \ left ({\ frac {\ pi} {t}} \ right) \] Показать решениеДавайте составим таблицу значений и посмотрим, что в этом случае происходит с нашей функцией.
| \ (т \) | \ (f (t) \) | \ (т \) | \ (f (t) \) |
|---|---|---|---|
| 1 | -1 | -1 | -1 |
| 0.1 | 1 | -0,1 | 1 |
| 0,01 | 1 | -0,01 | 1 |
| 0,001 | 1 | -0,001 | 1 |
Теперь, если бы мы угадали предел из этой таблицы, мы бы предположили, что предел равен 1.Однако, если бы мы сделали это предположение, мы ошиблись бы. Рассмотрим любую из следующих оценок функций.
\ [f \ left ({\ frac {1} {{2001}}} \ right) = — 1 \ hspace {0,55 дюйма} f \ left ({\ frac {2} {{2001}}} \ right) = 0 \ hspace {0,5 дюйма} f \ left ({\ frac {4} {{4001}}} \ right) = \ frac {{\ sqrt 2}} {2} \]Во всех трех оценках функции мы оценили функцию с числом меньше 0,001 и получили три совершенно разных числа. Напомним, что определение предела, с которым мы работаем, требует, чтобы функция приближалась к единственному значению (наше предположение) по мере приближения \ (t \) к рассматриваемой точке.Это не говорит о том, что только некоторые значения функции должны приближаться к предположению. Он говорит, что все значения функций должны приближаться к нашему предположению.
Было бы удобно увидеть, что здесь происходит, на графике функции.
Из этого графика мы видим, что по мере того, как мы приближаемся к \ (t = 0 \), функция начинает дико колебаться, и на самом деле колебания увеличиваются по скорости по мере приближения к \ (t = 0 \), которое мы получаем.Вспомните из нашего определения предела, что для того, чтобы предел существовал, функция должна устанавливаться в сторону единственного значения по мере того, как мы приближаемся к рассматриваемой точке.
Эта функция явно не сводится к одному номеру, и поэтому этот предел не существует !
Этот последний пример указывает на недостаток простого выбора значений переменной и использования таблицы значений функций для оценки значения предела.Значения переменной, которые мы выбрали в предыдущем примере, были действительными и на самом деле, вероятно, были значениями, которые многие выбрали бы. Фактически, это были точно такие же значения, которые мы использовали в задаче до этой, и они работали в этой задаче!
При использовании таблицы значений всегда будет вероятность того, что мы не выберем правильные значения и что мы будем неправильно угадывать наш предел. Это то, что мы всегда должны помнить, когда делаем это, чтобы угадать значение лимитов.Фактически, это такая проблема, что после этого раздела мы никогда не будем использовать таблицу значений, чтобы снова угадать значение лимита.
Этот последний пример также показал нам, что ограничения не должны существовать. До этого момента мы видели только существующие ограничения, но это не всегда так.
Давайте взглянем на еще один пример в этом разделе.
Пример 5 Оцените значение следующего предела. \ [\ mathop {\ lim} \ limits_ {t \ to 0} H \ left (t \ right) \ hspace {0.25 дюймов} {\ mbox {где,}} \ hspace {0,25 дюйма} H \ left (t \ right) = \ left \ {\ begin {array} {ll} 0 & {\ mbox {if}} t Показать решениеЭта функция часто называется функцией Heaviside или step . Мы могли бы использовать таблицу значений для оценки предела, но в этом случае, вероятно, так же быстро можно использовать график, так что давайте сделаем это. Ниже представлен график этой функции.
Из графика видно, что если мы приближаемся к \ (t = 0 \) с правой стороны, функция приближается к значению \ (y \), равному 1.На самом деле он просто остается на 1, но в терминологии, которую мы использовали в этом разделе, он приближается к 1…
.Кроме того, если мы переместимся в сторону \ (t = 0 \) слева, функция будет двигаться в направлении значения \ (y \), равного 0.
Согласно нашему определению предела, функция должна приближаться к одному значению, когда мы приближаемся к \ (t = a \) (с обеих сторон). В данном случае этого не происходит, поэтому в этом примере мы также скажем, что ограничения не существует.
Обратите внимание, что ограничение в этом примере немного отличается от предыдущего. В предыдущем примере функция не сводилась к одному числу, когда мы приближались к \ (t = 0 \). Однако в этом примере функция сводится к одному числу как \ (t = 0 \) с обеих сторон. Проблема в том, что число разное с каждой стороны от \ (t = 0 \). Это идея, которую мы рассмотрим более подробно в следующем разделе.
Давайте подведем итог тому, что мы (надеюсь) узнали в этом разделе.В первых трех примерах мы видели, что ограничения не заботятся о том, что функция на самом деле делает в рассматриваемой точке. Их беспокоит только то, что происходит вокруг точки. Фактически, у нас могут быть пределы в \ (x = a \), даже если самой функции в этой точке не существует. Точно так же, даже если функция существует в какой-то точке, нет причин (на этом этапе) думать, что предел будет иметь то же значение, что и функция в этой точке. Иногда предел и функция будут иметь одно и то же значение в одной точке, а в других случаях — разные значения.
Далее, в третьем и четвертом примерах мы увидели основную причину отказа от использования таблицы значений для определения значения лимита. В этих примерах мы использовали точно такой же набор значений, однако они работали только в одном из примеров. Использование таблиц значений для угадывания значения лимитов — просто не лучший способ получить значение лимита. Это единственный раздел, в котором мы это сделаем. Таблицы значений всегда должны быть вашим последним выбором при поиске значений пределов.
Последние два примера показали нам, что на самом деле не все ограничения существуют.Мы не должны зацикливаться на идее, что ограничения будут существовать всегда. В большинстве курсов по математике мы работаем с ограничениями, которые существуют почти всегда, поэтому легко начать думать, что пределы существуют всегда. Пределы существуют не всегда, поэтому не привыкайте предполагать, что они будут.
Наконец, в четвертом примере мы увидели, что единственный способ справиться с ограничением — это построить график функции. Иногда это единственный способ, однако этот пример также проиллюстрировал недостаток использования графиков.Чтобы использовать график, чтобы угадать значение предела, вам нужно иметь возможность на самом деле нарисовать график. Для многих функций это сделать не так просто.
Есть еще один недостаток в использовании графиков. Даже если у вас есть график, он будет полезен, только если значение \ (y \) приближается к целому числу. Если значение \ (y \) приближается, скажем, \ (\ frac {{- 15}} {{123}} \), вы никак не сможете угадать это значение по графику, а мы обычно требуются точные значения для наших пределов.
Итак, хотя графики функций могут иногда облегчить вам жизнь при угадывании значений пределов, они снова, вероятно, не лучший способ получить значения пределов. Они будут полезны только в том случае, если вы сможете их достать, а значение лимита — «хорошее» число.
Возникает естественный вопрос, почему мы вообще говорили об использовании таблиц и / или графиков для оценки пределов, если они не являются лучшим способом. На то было несколько причин.
Во-первых, они могут помочь нам лучше понять, что такое ограничения и что они могут нам сказать.Если мы не сделаем хотя бы пару ограничений таким образом, мы не сможем понять, что это за пределы.
Вторая причина использования ограничений таким образом — указать на их недостатки, чтобы у нас не возникало соблазна использовать их все время!
В конце концов мы поговорим о том, как мы действительно устанавливаем лимиты. Однако есть еще одна тема, которую мы должны обсудить, прежде чем делать это. Поскольку этот раздел уже существует некоторое время, мы поговорим об этом в следующем разделе.
Интуитивное введение в пределы — лучше объяснение
Пределы, основы исчисления, кажутся такими искусственными и надменными: «Пусть x приближается к 0, но не достигает его, но мы будем действовать так, как будто оно есть…» Ух.
Вот как я научился ими пользоваться:
- Что такое лимит? Наше лучшее предсказание точки, которую мы не наблюдали.
- Как сделать прогноз? Увеличьте соседние точки.Если наш прогноз всегда находится между соседними точками, независимо от того, насколько мы увеличиваем масштаб, это наша оценка.
- Зачем нужны лимиты? Math имеет сценарии «черной дыры» (деление на ноль, уход в бесконечность), и ограничения дают нам оценку, когда мы не можем вычислить результат напрямую.
- Как мы узнаем, что правы? Нет. Наше предсказание, предел, не обязательно должно соответствовать действительности. Но для большинства природных явлений так и должно быть.
Пределы позвольте спросить «А что, если?».Если мы можем непосредственно наблюдать функцию при значении (например, x = 0 или x бесконечно растущем), нам не нужен прогноз. Предел задается вопросом: «Если вы видите все , кроме , одно значение, как вы думаете, что там?».
Когда наш прогноз согласуется и улучшается по мере приближения к , мы чувствуем в нем уверенность. И если функция работает плавно, как большинство реальных функций, предел — это место, где должна быть отсутствующая точка.
Ключевая аналогия: предсказание футбольного мяча
Представьте, что вы смотрите футбольный матч.К сожалению, соединение нестабильно:
Ack! Мы пропустили то, что произошло в 4:00. Даже в этом случае, как вы прогнозируете положение мяча?
Легко. Просто возьмите соседние моменты (3:59 и 4:01) и предсказывайте, что мяч окажется где-то посередине.
И… работает! Объекты реального мира не телепортируются; они перемещаются через промежуточные позиции на своем пути от A до B. Наш прогноз: «В 4:00 мяч находился между его положением в 3:59 и 4:01».Неплохо.
С камерой замедленной съемки мы могли бы даже сказать: «В 4:00 мяч находился между своими позициями в 3: 59.999 и 4: 00.001».
Наш прогноз кажется верным. Можем ли мы сформулировать почему?
Прогнозы совпадают при увеличении масштабов . Представьте, что диапазон 3: 59–4: 01 составлял 9,9–10,1 метра, но после увеличения до 3: 59,999–4: 00.001 диапазон расширился до 9–12 метров. Ой ой! Масштабирование должно сузить до нашей оценки, а не ухудшить ее! Не каждый уровень масштабирования должен быть точным (представьте, что вы смотрите игру каждые 5 минут), но чтобы чувствовать себя уверенно, должен быть некоторый порог, при котором последующие увеличения только усиливают нашу оценку диапазона.
Согласен до и после. Представьте, что в 3:59 мяч летел на 10 метров вправо, а в 4:01 он был на 50 метрах и катился влево. Что произошло? У нас был внезапный прыжок (смена камеры?), И теперь мы не можем определить положение мяча. У кого был мяч в 4:00? Эта двусмысленность лишает нас возможности делать уверенные прогнозы.
С учетом этих требований можно сказать: «В 4:00 мяч был на расстоянии 10 метров. Эта оценка подтверждается нашим первоначальным увеличением (3: 59-4: 01, которое составляет 9.От 9 до 10,1 метра) и следующего (3: 59.999-4: 00.001, что составляет от 9,999 до 10,001 метра) ».
Лимиты — это стратегия для уверенных прогнозов.
Изучение интуиции
Давайте пока не будем приводить математические определения. Для каких вещей в реальном мире мы хотим получить точный прогноз, но не можем легко измерить?
Какова длина окружности?
Найти Пи «экспериментально» сложно: выбить строку и линейку?
Мы не можем измерить фигуру с кажущимися бесконечными сторонами, но мы можем задаться вопросом: «Есть ли предсказанное значение числа Пи, которое всегда будет точным, если мы продолжаем увеличивать стороны?»
Архимед вычислил, что число пи имеет диапазон
., используя такой процесс:
Это было предшественником исчисления: он определил, что пи — это число, которое остается между его постоянно сужающимися границами.В настоящее время у нас есть современные предельные определения числа пи.
Как выглядит идеально непрерывный рост?
e, одно из моих любимых чисел, можно определить так:
Мы не можем легко измерить результат бесконечно сложного роста. Но если мы, , сможем сделать прогноз , есть ли хоть один коэффициент, который когда-либо был бы точным? Вроде около 2,71828…
Можем ли мы использовать простые формы для измерения сложных?
Круги и кривые сложно измерить, но прямоугольники — легко.Если бы мы, , могли использовать бесконечное количество прямоугольников для имитации искривленной области, сможем ли мы получить результат, выдерживающий бесконечную проверку? (Возможно, нам удастся найти площадь круга.)
Можем ли мы узнать скорость в мгновение ока?
Скорость — это забавно: для этого нужны измерения до и после (пройденное расстояние / затраченное время), но разве мы не можем определить скорость в отдельные моменты времени? Грм.
Пределы помогают решить эту загадку: спрогнозируйте свою скорость, путешествуя в соседний момент.Затем задайте «невозможный вопрос»: какова ваша прогнозируемая скорость, когда разрыв с соседним моментом равен нулю?
Примечание. Предел — не панацея. Мы не можем предположить, что он существует, и не может быть ответа на каждый вопрос. Например: число целых чисел четное или нечетное? Количество бесконечно, и ни «четное», ни «нечетное» предсказание не остается точным, когда мы считаем больше. Никакого надежного прогноза не существует.
Для пи, е и основ исчисления умные умы провели доказательства, чтобы определить: «Да, наши предсказанные значения становятся тем точнее, чем ближе мы смотрим.«Теперь я понимаю, почему так важны: это знак одобрения наших прогнозов.
Математика: формальное определение предела
Пределы — это хорошо подтвержденные прогнозы. Вот официальное определение:
означает, что для всех действительных ε> 0 существует вещественное δ> 0 такое, что для всех x с 0Давайте сделаем это читаемым:
Математика Английский Человек Английский Когда мы «строго прогнозируем», что f (c) = L, мы имеем в виду для всех действительных ε> 0 для любой допустимой погрешности, которую мы хотим (+/-.1 метр) существует реальное значение δ> 0 существует уровень масштабирования (+/- 0,1 секунды) , такой, что для всех x с 0 , где прогноз остается точным в пределах погрешность Здесь есть несколько тонкостей:
- Уровень масштабирования (дельта, δ) — это вход функции, то есть время в видео
- Допустимая погрешность (эпсилон, ε) — это максимальное значение, которое выходной сигнал функции (положение мяча) может отличаться от нашего прогноза на всем уровне масштабирования
- Условие абсолютного значения (0 <| x - c | <δ) означает, что положительные и отрицательные смещения должны работать, и мы пропускаем саму черную дыру (когда | x - c | = 0).
Мы не можем оценить ввод черной дыры, но можем сказать: «За исключением отсутствующей точки, весь уровень масштабирования подтверждает предсказание $ f (c) = L $». И поскольку $ f (c) = L $ справедливо для , любой допустимый предел ошибки , который мы можем найти, мы чувствуем уверенно.
Можно ли сделать несколько прогнозов? Представьте, что мы предсказали L1 и L2 для f (c). Между ними есть некоторая разница (назовем это .1), поэтому есть некоторая погрешность (0,01), которая позволит выявить более точную. Выход каждой функции в диапазоне не может быть в пределах.01 обоих прогнозов. У нас либо есть единый бесконечно точный прогноз, либо его нет.
Да, мы можем проявить симпатию и попросить «левый предел» (прогноз до события) и «правый предел» (прогноз после события), но у нас есть реальный предел только тогда, когда они согласны.
Функция является непрерывной, если она всегда соответствует предсказанному значению (и прерывистой, если нет):
Исчисление обычно изучает непрерывные функции, играя в игру «Мы делаем прогнозы, но только потому, что знаем, что они верны.”
Математика: показывает, что предел существует
У нас есть требования для надежного прогноза. Вопросы, просящие вас «доказать, что предел существует», требуют, чтобы вы обосновали свою оценку.
Например: докажите, что предел при x = 2 существует для
Первая проверка: нужен ли вообще лимит? К сожалению, мы это делаем: просто вставка «x = 2» означает, что у нас есть деление на ноль. Drats.
Но интуитивно мы видим, что один и тот же «ноль» (x — 2) может быть отменен сверху и снизу.Вот как танцевать это опасное танго:
- Предположим, что x равно , кроме 2 (Должно быть! Мы делаем прогноз извне.)
- Затем мы можем отменить (x — 2) сверху и снизу, поскольку он не равен нулю.
- Осталось f (x) = 2x + 1. Эту функцию можно использовать за пределами черной дыры.
- Что предсказывает эта более простая функция? Это f (2) = 2 * 2 + 1 = 5.
Итак, f (2) = 5 — это наш прогноз. Но вы заметили коварство? Мы притворились, что x не 2 [чтобы разделить (x-2)], а затем подключили 2 после того, как этот проблемный элемент исчез! Подумайте об этом так: мы использовали простое поведение из вне события , чтобы предсказать грубое поведение в событии .
Мы можем доказать, что эти махинации дают надежный прогноз, и что f (2) = 5 бесконечно точное.
Для любого порога точности (ε) нам нужно найти «диапазон масштабирования» (δ), при котором мы остаемся в пределах заданной точности. Например, можем ли мы сохранить оценку в пределах +/- 1,0?
Конечно. Нам нужно узнать, где
т.
Другими словами, x должен оставаться в пределах 0,5 из 2, чтобы поддерживать начальное требование точности 1,0. Действительно, когда x находится между 1.5 и 2.5, f (x) изменяется от f (1.5) = 4 до f (2.5) = 6, оставаясь +/- 1.0 от нашего предсказанного значения 5.
Мы можем сделать обобщение для любого допуска ошибок (ε), подключив его к 1.0 выше. Получаем:
Если наш уровень масштабирования равен «δ = 0,5 * ε», мы останемся в пределах исходной ошибки. Если наша ошибка равна 1.0, нам нужно увеличить до .5; если 0,1, нам нужно увеличить до 0,05.
Эта простая функция была удобным примером. Идея состоит в том, чтобы начать с начального ограничения (| f (x) — L | <ε), подключить f (x) и L и найти расстояние от точки черной дыры (| x - c | < ?).Часто это упражнение по алгебре.
Иногда вас просят просто найти предел (вставьте 2 и получите f (2) = 5), в других случаях вас просят доказать, что предел существует, то есть прокрутить эпсилон-дельта-алгебру.
Переворот нуля и бесконечности
Infinity, когда используется в качестве лимита, означает «растет без остановки». Символ ∞ не более чем число, чем предложение «растет без остановки» или «у меня запас трусов сокращается». Это понятия, а не числа (для нашего уровня математики, только Алеф я).
При использовании ∞ в ограничении мы спрашиваем: «Если x растет без остановки, можем ли мы сделать прогноз, который останется точным?». Если есть предел, это означает, что прогнозируемое значение всегда подтверждается, как бы далеко мы не смотрели.
Но я все еще не люблю бесконечность, потому что не вижу ее. Но я вижу ноль. С ограничениями можно
переписатькак
Можно хитростью определить y = 1 / x, заменить элементы в формуле, а затем использовать
, так что снова похоже на нормальную проблему! (Примечание Тима в комментариях: предел идет справа, так как x стремится к положительной бесконечности).Я предпочитаю эту схему, потому что я могу видеть место, к которому мы сужаемся (у нас всегда заканчивается бумага при построении бесконечной версии).
Почему пределы не используются чаще?
Представьте себе ребенка, который понял, что «ставим ноль на конце» делает число в 10 раз больше. Есть 5? Запишите «5», затем «0» или 50. Есть 100? Сделайте 1000. И так далее.
Он не понял, почему работает умножение, почему это правило оправдано … но, согласитесь, он уверен, что умножает на 10.2 $ »без строгого обоснования. Тем не менее, судя по его неофициальным результатам, двигатели крутятся, а самолеты летают.
Ошибка педагогики математического анализа создает препятствие, подобное тому, что «вы должны знать пределы ™, прежде чем научиться ценить математический анализ», хотя очевидно, что изобретатели математического анализа этого не знали. Я бы предпочел эту прогрессию:
- Исчисление задает, казалось бы, невозможные вопросы: когда прямоугольники могут измерять кривую? Можем ли мы обнаружить мгновенное изменение?
- Пределы дают стратегию ответа на «невозможные» вопросы («Если вы можете сделать прогноз, выдерживающий бесконечную проверку, мы скажем, что это нормально.2 $), точно так же, как мы запоминаем ярлыки для правил, которые мы проверили с помощью умножения (добавление нуля означает умножение на 10). Но все же приятно знать, почему короткие пути оправданы.
Пределы — не единственный инструмент для проверки ответов на невозможные вопросы; бесконечно малые тоже работают. Ключом является понимание того, что мы пытаемся предсказать, , затем , изучение правил построения прогнозов.
Счастливая математика.
Другие сообщения из этой серии
- Нежное введение в изучение исчисления
- Понимание исчислений с помощью метафоры банковского счета
- Доисторическое исчисление: открытие числа Пи
- Аналогия с исчислением: интегралы как умножение
- Исчисление: построение интуиции для производных
- Как понять деривативы: правила продукта, власти и цепочки
- Как понимать производные: правило частного, экспоненты и логарифмы
- Интуитивное введение в ограничения
- Интуиция к серии Тейлора (аналогия с ДНК)
- Зачем нужны пределы и бесконечно малые?
- Обучение исчислению: преодоление нашей искусственной потребности в точности
- Дружеский чат о том, 0.999 … = 1
- Аналогия: камера исчисления
- Практика абстракции: графы исчисления
- Quick Insight: более простая арифметика с исчислением
- Как сложить от 1 до 100 с помощью исчисления
- Интеграл греха (x): геометрическая интуиция
Пределы — математика средней школы
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
1. Пределы и дифференциация
М. Борна
Чтобы понять, что на самом деле происходит в дифференциальном исчислении, нам сначала нужно понять пределы .
Пределы
При изучении исчисления нас интересует, что происходит со значением функции. поскольку независимая переменная очень близка к определенному значению. Мы столкнулись с этой концепцией во введении, где увеличили масштаб кривой, чтобы получить приблизительное значение наклона этой кривой.
Иногда определение предельного значения выражения означает просто подставив число.
Пример 1
Найдите предел, когда t приближается к `10` выражения `P = 3t + 7`.
Ответ
Мы запишем это с использованием обозначения предела как: `lim_ (trarr10) (3t + 7)`
В этом примере нет никаких сложностей — мы просто подставить и написать
`lim_ (trarr10) (3t + 7) = 37`
Нет никаких сложностей, потому что f (t) = 3t + 7 — непрерывная функция.
Но есть случаи, когда мы не можем просто так заменить.
Пример 2
Мы знаем, что x не может равняться «3» в следующем выражении (потому что у нас не может быть знаменателя, равного нулю):
`f (x) = (x ^ 2-2x-3) / (x-3)`
Каково значение функции, когда x приближается к `3`?
Ответ
Мы видим, что функция приближается к определенному значение x приближается к `3` слева:
| x | 2.5 | 2,6 | 2,7 | 2,8 | 2,9 |
| f ( x ) | 3,5 | 3,6 | 3,7 | 3,8 | 3,9 |
Продолжая, мы приближаемся к `x = 3`:
| x | 2,9 | 2,92 | 2,94 | 2.96 | 2,97 | 2,98 | 2,99 |
| f ( x ) | 3,9 | 3,92 | 3,94 | 3,96 | 3,97 | 3,98 | 3,99 |
Аналогично, приближение к `x = 3` справа дает то же предельное значение:
| x | 3,5 | 3.2-2х-3) / (х-3) ` `= lim_ (xrarr3) ((x + 1) (x-3)) / (x-3)` `= lim_ (xrarr3) (x + 1)` `= 4` ВНИМАНИЕ: Процесс факторизации возможен только в этом примере, потому что мы имеем: x ≠ 3. Это типичная проблема при изучении вводных ограничений. Это кажется немного глупым, поскольку мы могли бы его разложить на множители, отменить и заменить x = 3, как мы только что видели. Но пример важен для концепции, что нет фактического значения функции, когда `x = 3`, но если мы действительно, очень близко к` 3`, значение функции действительно близко к некоторому значению (`4` , в таком случае). Пределы какx Подходы 0Мы должны помнить, что мы не можем делить на ноль — это неопределенный. Но есть некоторые интересные и важные ограничения, в которых существует ограничивающее значение, поскольку x приближается к «0» и где, по-видимому, у нас есть знаменатель «0». Пример 3Найдите предел, когда x приближается к `0` из` (sin \ x) / x` Ответ Обратите внимание, что мы не можем просто подставить 0, потому что `(sin \ 0) / 0` не определено. Нет никакого алгебраического процесса, чтобы найти этот предел. Мы можем подставить значения x , которые все ближе и ближе к `0` (как с левой, так и с правой стороны), и заключить, что
Способ проверить это — построить график и увидеть, что предел приближения x к `0` действительно равен` 1`: Мы указали, что есть «дыра» в точке x = 0 на нашем графике, используя открытый кружок. Пределы при приближенииx к бесконечностиПример 4Рассмотрим дробь «5 / x».Что происходит как `x -> oo`? Ответ Очевидно, что если мы возьмем все большие и большие значения x , значение дроби становится все меньше и меньше, пока не станет очень близко к `0`. Мы говорим, что «предел« 5 / x »при приближении x к бесконечности равен« 0 ». Мы запишем это в математической записи как: `lim_ (x-> oo) (5 / x) = 0`. Вот график y = 5 / x (для положительного x), показывающий, что значение y приближается к 0 по мере увеличения x: Пределы, когда переменная находится в знаменателеВсего: `lim_ (x -> + — oo) (1 / (x)) = 0` И аналогично `lim_ (x -> + — oo) (1 / (x ^ 2)) = 0` Мы используем эти пределы при оценке пределов функций и особенно полезен при построении кривых. Пример 5Найдите предел `lim_ (x-> oo) ((5-3x) / (6x + 1)).` Ответ На этот раз не так очевидно, каково предельное значение. Мы можно было бы заменить все большие и большие значения x , пока мы мог видеть, что происходит (попробуйте `100`, затем` 1 \ 000`, затем `1 \ 000 \ 000` и так далее). Или мы могли бы изменить выражение и использовать тот факт, что `lim_ (x-> oo) (1 / x) = 0` , чтобы найти предельное значение. Делим на x , чтобы получить выражение в форме, в которой мы можете оценить это.
Обратите внимание, что мы не можем подставить ∞ в дробь `((5 / x-3) / (6 + 1))`, потому что это не делает математический смысл. Пожалуйста, не пишите `((5-3 (oo)) / (6 (oo) +1))`. Это очень расстраивает математиков.2)) ` `= -1 / 8` ШуткаОбъяснив студенту ограничения, я привел ему следующий пример: Я попытался проверить, действительно ли он это понял, поэтому привел ему другой пример. Его ответ был: Преемственность и дифференциацияВ этой главе мы будем дифференцировать многочлены. Но позже мы столкнемся с более сложными функциями, и порой мы не сможем их различить.2-x) ` не определен для` x = 0` и `x = 1`. В этих точках он прерывистый. Следовательно, мы не можем дифференцировать функцию для этих значений. Функции разделения и дифференциацияМы встречали функции разделения раньше в главе «Функции и графики». Функция разделения дифференцируема для всех x , если она непрерывна для всех x . Пример 7Мы встречали этот пример в предыдущей главе.2 + 2, текст (для) \ x> = 1):} ` Эта функция имеет разрыв при x = 1, но на самом деле она определена для `x = 1` (и имеет значение` 1`). Он дифференцируемый для всех значений x , кроме «x = 1», поскольку он не является непрерывным при «x = 1». Непрерывные функцииВсе наши функции, описанные в предыдущих главах, посвященных дифференциации и интеграции, будут непрерывно . В следующих главах мы увидим прерывистые функции, особенно функции разделения.(см. Ряд Фурье и преобразования Лапласа) Далее …Теперь мы переходим к рассмотрению того, как ограничения применяются к проблеме нахождения скорости изменения функции из первых принципов. Это то же самое, что найти наклон касательной. Пределы функций | Блестящая вики по математике и наукеНаиболее важными свойствами пределов являются алгебраических свойств , которые, по сути, говорят, что ограничения относятся к алгебраическим операциям:
Все это можно доказать с помощью определения эпсилон-дельта. Обратите внимание, что результаты верны только в том случае, если существуют пределы отдельных функций: если limx → af (x) \ lim \ limits_ {x \ to a} f (x) x → alim f (x) и lim x → ag (x) \ lim \ limits_ {x \ to a} g (x) x → alim g (x) не существует, предел их суммы (или разницы, произведения или частного) может существовать. В сочетании с основными ограничениями limx → ac = c, \ lim_ {x \ to a} c = c, limx → a c = c, где c cc — постоянная, и limx → ax = a, \ lim_ {x \ to a} x = a, limx → a x = a, свойства могут использоваться для вывода пределов, включающих рациональные функции:
|