| 1 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 8 | cos(pi/4) | ||
| 9 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 11 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 16 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 25 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 27 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 28 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 29 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 31 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 32 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 33 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 34 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 36 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 37 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 39 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 45 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 46 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 47 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 48 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 49 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 53 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 54 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 58 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 59 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 61 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 62 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 63 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 66 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 69 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 70 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 76 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | csc(45) | |
| 83 | Упростить | arctan( квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | sin(135) | |
| 85 | Найти точное значение | sin(105) | |
| 86 | Найти точное значение | sin(150 град. ) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | tan((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/4 | |
| 90 | Найти точное значение | sin(pi/2) | |
| 91 | Найти точное значение | sec(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | ||
| 95 | Найти точное значение | sin(120 град. ) | |
| 96 | Найти точное значение | tan((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | cos(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразовать из градусов в радианы | 88 град. |
О НОВОЙ ФОРМЕ ПРОВЕДЕНИЯ ВЫПУСКНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ
О НОВОЙ ФОРМЕ ПРОВЕДЕНИЯ ВЫПУСКНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ Г. Муравин, МоскваПримеры решения задач раздела 4
Задания четвертого раздела, в основном, являются стандартными для школьного курса математики, и оформление их решений не требует подробных пояснений
ТРИГОНОМЕТРИЯ
1.
Вычислите .
Имеем:
9. Укажите наименьшее положительное число x, при котором sinx = sin215° – 2 sin215°cos215° + cos215°.
Имеем:
Наименьший положительный корень уравнения
Ответ: 30.
15. Решите уравнение cos
Имеем: cos2x + 6sinx – 6 = 0, 1 – sin2x + 6sinx – 6 = 0, sin2x – 6sinx + 5 = 0.
Обозначим sinx = z и решим уравнение z2 – 6z + 5 = 0: z1 = 6 или z2 = 1.
Возвращаясь к переменной x, получим sinx = 6 или sinx = 1. Поскольку наибольшее значение sinx равно 1, уравнение sinx = 6 корней не имеет. Корни второго уравнения: x = p/2 + 2kp (k О Z).
Ответ: p/2 + 2kp (k О Z).
34. Найдите все решения уравнения принадлежащие отрезку
Имеем:
(поскольку ). Промежутку принадлежат два решения этого уравнения: .
Ответ:
39. Найдите все решения уравнения , принадлежащие отрезку
Имеем: .
Из условия равенства дробей следует:
5cosx = 5sinx, cosx = sinx.
Нули косинуса не являются корнями последнего уравнения, значит, его можно разделить на cosx: tgx = 1,
При этих значениях x cosx – 7sinx № 0.
Ответ:
Комментарий
1. В процессе решения
уравнения нам пришлось разделить обе его части
на выражение с переменной. При делении на
выражение с переменной, вообще говоря, может
произойти потеря корней, но только в том случае,
когда множество корней уравнения и множество
нулей делителя имеют общие элементы.
В
противном случае после деления получается
равносильное уравнение. В нашем случае при
равенстве cosx нулю sinx в нуль не обращается, т.е.
нули косинуса не являются корнями уравнения, и,
разделив его на cosx, мы получаем равносильное
уравнение.
2. Можно было получить ответ, использовав условие равенства синуса и косинуса – поскольку они являются соответственно ординатой и абсциссой точки тригонометрической окружности, то равенство их достигается только на биссектрисе I и III координатных углов.
49. Найдите абсциссы общих точек графиков функций y = 3sin2x и y = 4cosx.
Имеем:
3sin2x = 4cosx, 6sinxcosx – 4cosx = 0,
6cosx(sinx – 2/3) = 0,
1) cosx = 0 или 2) sinx – 2/3 = 0. 1) x = np;
2) sinx = 2/3, x = ( – 1)narcsin(2/3) + np (n О Z).
Ответ: pp; ( – 1)narcsin(2/3) + np (n О Z).
СТЕПЕНИ И ЛОГАРИФМЫ
51. Вычислите log21627 + log3616 + log63.
Имеем:
log21627 + log3616 + log63 = log63 + log64 + log63 = log6(3•4•3) = log636 = 2.
Ответ: 2.
59. Решите уравнение 22 – x – 2x – 1 = 1.
Решение. 22 – x – 2x – 1 = 1, 2Ч21 – x – 2x – 1 = 1.
Обозначим 21 – x= z, тогда
Имеем: 1) 21 – x = – 1 – нет корней, 2) 21 – x = 1, 1 – x = 0, x = 1.
Ответ: 1.
82. Решите неравенство
Поскольку показательная
функция с основанием 3 возрастает, имеем: 3x < 2x2 – 2, 2x2 – 3x – 2 > 0, x < – 0,5 или x > 2.
Ответ:
86. Решите неравенство
Решение:
При всех значениях x первый сомножитель положителен, значит
Так как показательная функция с основанием убывает, имеем: 2x + 2 < 2, x < 0.
Ответ: x < 0.
88. Найдите наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 3x + 32-x> 10.
Решение. Оба слагаемых в левой части неравенства положительны, причем при любом целом отрицательном x 32-x> 10, значит, любое целое отрицательное значение x является решением данного неравенства.
Ответ: Не существует наименьшего целого решения неравенства.
Примечание. В записи условия допущена опечатка – должно быть 3x+ 32-x < 10, и решение выглядит иначе:
Обозначим 3x буквой z, тогда
1 < z < 9, 1 < 3x<
9.
Поскольку показательная
функция с основанием 3 является возрастающей, имеем: 0 < x < 2. 1 –
наименьшее (и единственное) целое число,
удовлетворяющее данному неравенству.
91. Решите уравнение
Решение:
По определению логарифма x2 – 5x + 6 = 2. Далее имеем: x2 – 5x + 4 = 0, x1 = 1,x2=4.
Ответ: {1;4}.
94. Укажите все натуральные решения неравенства
Решение.
Логарифмическая функция с основанием убывает. С учетом ее области определения имеем:
Натуральными решениями этих неравенств являются числа 1 и 5.
Ответ: 1 и 5.
106. Укажите положительный корень уравнения
Решение.
Так как функция y = 4x возрастающая, имеем 3x + 1 = 0 или
Единственный положительный корень – число
Ответ:
121.
Решите неравенство
Решение
Найдем нули числителя и знаменателя и определим знаки дроби на соответствующих интервалах:
Ответ:
Комментарий. Можно было решать системы: или или
Так как показательная функция с основанием 3 возрастает, имеем:
Ответ:
126. Решите неравенство
Найдем нули числителя и знаменателя дроби
Учитывая убывание функции y = log 1/4 x и ее область определения, найдем знаки дроби на соответствующих интервалах.
Ответ:
149. Решите систему уравнений
Решение. По определению логарифма имеем:
Ответ: x = 8, y = 1.
152. Решите систему уравнений
Ответ: Система имеет бесконечно много решений – это координаты точек прямой y = 2x + 2, абсциссы которых больше – 2.
ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
165.
Составьте уравнение
касательной к графику функции y = x – 3x2 в точке с абсциссой x0 = 2.
1. Найдем y0 – значение функции y в точке x0 = 2:
y0 = 2 – 3•22 = – 10.
2. Найдем производную данной функции:
y’ = (x – 3x2)’ = 1 – 6x.
3. Найдем угловой коэффициент касательной (значение производной в точке x0 = 2):
k = y ‘(x0) = 1 – 6•2 = – 11.
4. Напишем уравнение касательной:
y – ( – 10) = – 11(x – 2), y + 11x = 12.
Ответ: y + 11x = 12.
169. Выясните, является ли
прямая y = 12x – 10 касательной к графику функции y = 4x3.
Решение. Найдем, при каких значениях x угловой коэффициент касательной к графику данной функции равен 12.
Найдем производную: y ‘ = (4x3)’ = 12x2, и решим уравнение 12x2 = 12, x1 = – 1, x2 = 1.
Чтобы быть касательной, данная прямая должна касаться графика данной функции в точке с абсциссой – 1 или 1, а значит, хотя бы одно из данных чисел – корень уравнения 4x3 = 12x – 10. Подставляя их в данное равенство, получаем соответственно – 4 = – 12 – 10 и 4 = 12 – 10. Ни – 1, ни 1 не являются корнями, значит данная прямая не является касательной.
Ответ: Прямая y = 12x – 10 не является касательной к графику функции y = 4x3.
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | 92|||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. )/3 | |
| 42 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 43 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 44 | Найти точное значение | тан(пи/2) | |
| 45 | Найти точное значение | грех(300) | |
| 46 | Найти точное значение | соз(30) | |
| 47 | Найти точное значение | соз(60) | |
| 48 | Найти точное значение | соз(0) | |
| 49 | Найти точное значение | соз(135) | |
| 50 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 51 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 52 | Найти точное значение | сек(60 градусов) | |
| 53 | Найти точное значение | грех(300 градусов) | |
| 54 | Преобразование градусов в радианы | 135 | |
| 55 | Преобразование градусов в радианы | 150 | |
| 56 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/6 | |
| 57 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/3 | |
| 58 | Преобразование градусов в радианы | 89 градусов | |
| 59 | Преобразование градусов в радианы | 60 | |
| 60 | Найти точное значение | грех(135 градусов) | |
| 61 | Найти точное значение | грех(150) | |
| 62 | Найти точное значение | грех(240 градусов) | |
| 63 | Найти точное значение | детская кроватка(45 градусов) | |
| 64 | Преобразовать из радианов в градусы | (5 дюймов)/4 | |
| 65 | Найти точное значение | грех(225) | |
| 66 | Найти точное значение | грех(240) | |
| 67 | Найти точное значение | cos(150 градусов) | |
| 68 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(45) | |
| 69 | Оценить | грех(30 градусов) | |
| 70 | Найти точное значение | сек(0) | |
| 71 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 72 | Найти точное значение | КСК(30) | |
| 73 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень из 2)/2) | |
| 74 | Найти точное значение | загар((5pi)/3) | |
| 75 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(0) | |
| 76 | Оценить | грех(60 градусов) | |
| 77 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень из 3)/3) | |
| 78 | Преобразовать из радианов в градусы | (3 пи)/4 | |
| 79 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 80 | Найти точное значение | угловой синус(-1/2) | |
| 81 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 82 | Найти точное значение | КСК(45) | |
| 83 | Упростить | арктан(квадратный корень из 3) | |
| 84 | Найти точное значение | грех(135) | |
| 85 | Найти точное значение | грех(105) | |
| 86 | Найти точное значение | грех(150 градусов) | |
| 87 | Найти точное значение | sin((2pi)/3) | |
| 88 | Найти точное значение | загар((2pi)/3) | |
| 89 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/4 | |
| 90 | Найти точное значение | грех(пи/2) | |
| 91 | Найти точное значение | сек(45) | |
| 92 | Найти точное значение | cos((5pi)/4) | |
| 93 | Найти точное значение | cos((7pi)/6) | |
| 94 | Найти точное значение | угловой синус(0) | |
| 95 | Найти точное значение | грех(120 градусов) | |
| 96 | Найти точное значение | желтовато-коричневый ((7pi)/6) | |
| 97 | Найти точное значение | соз(270) | |
| 98 | Найти точное значение | sin((7pi)/6) | |
| 99 | Найти точное значение | arcsin(-( квадратный корень из 2)/2) | |
| 100 | Преобразование градусов в радианы | 88 градусов |
| 1 | Найти точное значение | грех(30) | |
| 2 | Найти точное значение | грех(45) | |
| 3 | Найти точное значение | грех(30 градусов) | |
| 4 | Найти точное значение | грех(60 градусов) | |
| 5 | Найти точное значение | загар (30 градусов) | |
| 6 | Найти точное значение | угловой синус(-1) | |
| 7 | Найти точное значение | грех(пи/6) | |
| 8 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 9 | Найти точное значение | грех(45 градусов) | |
| 10 | Найти точное значение | грех(пи/3) | |
| 11 | Найти точное значение | арктан(-1) | |
| 12 | Найти точное значение | cos(45 градусов) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(30 градусов) | |
| 14 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(60) | |
| 15 | Найти точное значение | csc(45 градусов) | |
| 16 | Найти точное значение | загар (60 градусов) | |
| 17 | Найти точное значение | сек(30 градусов) | |
| 18 | Найти точное значение | cos(60 градусов) | |
| 19 | Найти точное значение | соз(150) | |
| 20 | Найти точное значение | грех(60) | |
| 21 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 22 | Найти точное значение | загар (45 градусов) | |
| 23 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень из 3) | |
| 24 | Найти точное значение | csc(60 градусов) | |
| 25 | Найти точное значение | сек(45 градусов) | |
| 26 | Найти точное значение | csc(30 градусов) | |
| 27 | Найти точное значение | грех(0) | |
| 28 | Найти точное значение | грех(120) | |
| 29 | Найти точное значение | соз(90) | |
| 30 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/3 | |
| 31 | Найти точное значение | желтовато-коричневый(30) | |
| 32 | Преобразование градусов в радианы 92 | ||
| 35 | Преобразовать из радианов в градусы | пи/6 | |
| 36 | Найти точное значение | детская кроватка(30 градусов) | |
| 37 | Найти точное значение | арккос(-1) | |
| 38 | Найти точное значение | арктан(0) | |
| 39 | Найти точное значение | детская кроватка(60 градусов) | |
| 40 | Преобразование градусов в радианы | 30 | |
| 41 | Преобразовать из радианов в градусы | (2 шт. |