Y корень из sinx: Attention Required! | Cloudflare

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a.

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Таблица 1

Объяснение и обоснование

1. Корни уравнения cos x = a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a < -1 не пересекает график функции y = cos x).

Пусть | a | ≤ 1. Тогда прямая y = a пересекает график функции y = cos x (рис. из пункта 1 табл. 1). На промежутке [0; π] функция y = cos x убывает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение cos x = a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккосинуса равен: x₁ = arccos a (и для этого корня cos

Косинус – четная функция, поэтому на промежутке [-π; 0] уравнение cos x = a также имеет только один корень – число, противоположное x₁, то есть                x₂ = — arccos a.

Таким образом, на промежутке [-π; π] (длиной 2π) уравнение cos x = a при |a| ≤ 1 имеет только корни x = ±arccos a.

Функция y = cos x периодическая с периодом 2π, поэтому все остальные корни отличаются от найденных на 2πn (n ∈  Z). Получаем следующую формулу корней уравнения cos x = a при |a| ≤ 1:

x = ±arccos a + 2πn, n

2. Частые случаи решения уравнения cos x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения cos x = a при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность.

Поскольку косинус равен абсциссе соответствующей точки единичной окружности, получаем, что cos x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка А или точка В (рис. из пункта 2 табл. 1). Тогда

Аналогично cos x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка С, следовательно, 

Также cos x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка D, таким образом, x = п + 2πk, k ∈  Z

Примеры решения задач

19.2. Уравнение sin x = a

Таблица 2

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнения sin x

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a < -1 не пересекает график функции y = sin x).

Рисунок 1

Пусть |a| ≤ 1. Тогда прямая y = a пересекает график функции y = sin x (рис. 1). На промежутке  функция y = sin x возрастает от -1 до 1. Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение sin x = a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арксинуса равен: x₁ = arcsin a (и для этого корня sin

На промежутке  функция y = sin x убывает от 1 до -1. Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение sin x = a имеет на этом промежутке только один корень x₂ = π — arcsin a (рис. 1). Для проверки правильности записи значения второго корня x₂ заметим, что x₂ = π — x₁, тогда sin x₂ = sin (π- x₁) = sin x₁ = a. То есть x₂ – корень уравнения sin x = a.

Таким образом на промежутке   (длиной 2π) уравнение sin

Функция y = sin x периодическая с периодом 2π, поэтому все остальные корни отличаются от найденных 2πk (k ∈ Z). Получаем следующие формулы корней уравнения sin x = a при |a| ≤ 1:

x=arcsin a + 2πk, k ∈  Z.            (1)

x= π — arcsin a + 2πk, k ∈  Z.      (2)

Все значения корней уравнения sin x = a при |a| ≤ 1, которые дают формулы (1) и (2), можно записать с помощью одной формулы

x=(-1)ⁿ arcsin a + 2πn, n ∈  Z      (3)

Действительно, из формулы (3) при четном n = 2k получаем x = arcsin a + 2πk – формулу (1), а при нечетном n = 2k +1 – формулу x= — arcsin a + π(2k+1)= π — arcsin a + 2πk, то есть формулу (2).

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Рисунок 2

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что