Если график функции $y=\ln x$ и $y=ax$ пересекается ровно в двух точках, то a должно быть:a.) (0, e)b.) $\left( \dfrac{1 }{e},0 \right)$ c.) $\left( 0,\dfrac{1}{e} \right)$d.) Ничего из вышеперечисленного
Дата последнего обновления: 15 марта 2023 г.
•
Всего просмотров: 249,3 тыс.
•
Просмотров сегодня: 4,29 тыс. Чтобы решить данное уравнение, мы сначала приравняем обе функции. Поскольку они оба пересекаются ровно в двух точках, $\ln x=ax$ также будет иметь ровно два решения. Таким образом, $\dfrac{\ln x}{x}=a$ также будет иметь ровно два решения. Итак, мы найдем диапазон $\dfrac{\ln x}{x}$, а диапазон y равен a.
Полный пошаговый ответ:
Из вопроса мы знаем, что графики функций $y=\ln x$ и $y=ax$ пересекаются ровно в двух точках.
Таким образом, $\ln x=ax$ также будет иметь ровно два решения.
Итак, мы можем сказать, что $\dfrac{\ln x}{x}=a$ также имеет ровно два решения.
Следовательно, значение a равно диапазону $\dfrac{\ln x}{x}$.
Теперь предположим, что $y=\dfrac{\ln x}{x}$ и $x > 0$
Итак, продифференцировав y с обеих сторон, получим: 9{2}}}$
Теперь мы будем говорить, что y является возрастающей функцией, поскольку y = lnx и y = ax являются возрастающими функциями.
А для возрастающей функции мы знаем, что $\dfrac{dy}{dx} > 0$
Итак, $1-\ln x > 0$ для каждого x больше нуля.
$\следовательно \ln x < 1$
$\Rightarrow x < e$
Итак, мы можем сказать, что x принадлежит $\left( 0,e \right)$.
Следовательно, диапазон значений y равен $-\infty < y < \dfrac{1}{e}$ .
$\Rightarrow y\in \left( -\infty ,\dfrac{1}{e} \right)$
Таким образом, ровно для двух решений $\dfrac{\ln x}{x}=a$, a будет принадлежать $\left( 0,\dfrac{1}{e} \right)$, потому что $y=ax$ будет пересекаться, только если a больше 0. Это также видно из графика.
$\Rightarrow a\in \left( 0,\dfrac{1}{e} \right)$
Это искомое решение.
Итак, вариант (c) и есть искомое решение .
Примечание:
Учащийся должен отметить, что для нахождения диапазона функции в данной области мы сначала проверяем непрерывность этой функции в этом интервале, и когда функция возрастает, первая производная всегда больше больше нуля, а когда он убывает, то первая производная меньше нуля.
График y = |ln x|
График y = |ln x|ТИ-89 очень хороший калькулятор, и ловить его очень необычно это в «ошибке», но бывает. Рассмотрение ситуаций, когда калькулятор выдает странные результаты указывает, что калькулятор, каким бы «умным» это ни казалось, это всего лишь инструмент — ты надо быть математиком.
Проблема:
Введите функцию y1 = abs(ln(x)) на экране «y =», и графически в стандартном окне. | |
На скриншоте справа показано, что вы (вероятно) получите. |
Если вы бдительны, вы спрашиваете себя: «График на
первый квадрант выглядит нормально, но что происходит во втором
квадрант? Область определения y = ln(x) равна x > 0, поэтому y = |ln
(х)| также должно быть неопределенным, когда x = 0, верно?» Да, вы
правы — мы не ожидаем увидеть часть графика в
II. Читай дальше.Решение:
Установите угол вашего калькулятора в «степень» и перерисуйте функцию. | |
На этот раз вы получите «правильный» график. (Если вы получили это
изначально график, переключитесь в режим радиан, чтобы увидеть график
выше.) Так как мы обычно (всегда?) работаем в радианном режиме в AP
Исчисление, это немного беспокоит. |
Что происходит?Причина этой странности:
Вернуться к экран снова. Установите режим угла на RADIAN и сложный формат. на «2: Прямоугольный». | |
Теперь немного теории. Вы помните из предалгебры (т. «старые добрые времена»!) уравнение, включающее полярную форму комплексный номер: Если позволите, это становится: Это форма уравнения Эйлера, уравнение, которое содержит все важные константы элементарная математика («Смысл жизни»)! Предположим, мы попробуйте оценить ln(-3) как комплексное число: Это результат, который дает вам TI-89, если вы
оценить ln(-3). | |
Хорошо, а как насчет |ln(-3)|? Ну а в «комплексном числе земля», «| |» означает «величину», а не «абсолютную value»! Помните, что комплексные числа изображались на комплексных (Арган) самолет? Величина комплексного числа ln(-3): , что является реальным числом! (примерно 3,328)! | |
На снимке экрана справа показано, что калькулятор
действительно нарисовал точку (-3, 3,32815)! Итак, калькулятор
не ошибается — это просто применение немного более сложной математики, чем
мы действительно хотим видеть в этом случае. Помните, что вы можете
отключите это, переключившись на DEGREE . |
