Y tg ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ x Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: Ѐункция y = tgx ΠΈ Π΅Ρ‘ свойства β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра, 10 класс.

ЭлСмСнтарная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°

Β Β 

Π‘ΠΊΠ°Π½Π°Π²ΠΈ М.И. ЭлСмСнтарная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°. 2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄., ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ€Π°Π±. ΠΈ Π΄ΠΎΠΏ., М.: 1974Π³. — 592с.

Книга прСдставляСт собой ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ курс элСмСнтарной ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ рассчитана Π½Π° Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΡ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ, ΡƒΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡΠΈΡΡ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ свои знания. Как ΠΈ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ, содСрТаниС ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π²ΡΡ‚ΡƒΠΏΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… экзамСнов Π² тСхничСскиС Π²ΡƒΠ·Ρ‹ ΠΈ, Π² особСнности, Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… завСдСниях, для учащихся ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ надССмся, ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π° окаТСтся ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎΠΉ.

(Книга Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя Π§1 — АрифмСтика, Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° ΠΈ элСмСнтарныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π§2 — ГСомСтрия. ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ большоС количСство Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡΠΌΠΈ.)



ОглавлСниС

Π’Π’Π•Π”Π•ΠΠ˜Π•
Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ пСрвая.
ΠΠ Π˜Π€ΠœΠ•Π’Π˜ΠšΠ, АЛГЕБРА И Π­Π›Π•ΠœΠ•ΠΠ’ΠΠ ΠΠ«Π• ЀУНКЦИИ
Π“Π»Π°Π²Π° I. Π”Π•Π™Π‘Π’Π’Π˜Π’Π•Π›Π¬ΠΠ«Π• И ΠšΠžΠœΠŸΠ›Π•ΠšΠ‘ΠΠ«Π• Π§Π˜Π‘Π›Π
2. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ‹Π΅ ΠΈ составныС числа. ΠŸΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊΠΈ дСлимости.
3. Наибольший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ наимСньшСС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅.
4. Π¦Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.
5. ДСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. ΠŸΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл дСсятичными дробями.
6. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.
7. ДСйствия с ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ числами.
8. Числовая ось. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° плоскости.
Β§ 2. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ
9. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
10. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
11. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ.
12. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ показатСлями.
13. Алгоритм извлСчСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня.
Β§ 3. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа
14. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ понятия ΠΈ опрСдСлСния.
15. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ дСйствия с комплСксными числами.
16. ГСомСтричСскоС ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ комплСксных чисСл. ВригономСтричСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° комплСксного числа.
17. ДСйствия с комплСксными числами, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π² тригономСтричСской Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅.
Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠœΡƒΠ°Π²Ρ€Π°.
18. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня ΠΈΠ· комплСксного числа.
Π“Π»Π°Π²Π° II. Π’ΠžΠ–Π”Π•Π‘Π’Π’Π•ΠΠΠ«Π• ΠŸΠ Π•ΠžΠ‘Π ΠΠ—ΠžΠ’ΠΠΠ˜Π―
19. АлгСбраичСскиС выраТСния. ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹.
20. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ сокращСнного умноТСния.
21. Π‘ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°.
22. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
23. Π”Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ алгСбраичСскиС выраТСния.
Β§ 2. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ алгСбраичСскиС выраТСния
24. Π Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Ρ‹ ΠΈΠ· алгСбраичСских Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
25. ОсвобоТдСниС ΠΎΡ‚ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.
Π“Π»Π°Π²Π° III. Π›ΠžΠ“ΠΠ Π˜Π€ΠœΠ«
26. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ свойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².
27. Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ основаниям. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π°.
Β§ 2. ДСсятичныС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹
28. Π₯арактСристика ΠΈ мантисса дСсятичного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.
29. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСсятичных Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΊ вычислСниям.
Π“Π»Π°Π²Π° IV. ЀУНКЦИИ И Π“Π ΠΠ€Π˜ΠšΠ˜
30. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°. ЧисловыС мноТСства.
31. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
32. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Бпособы задания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
33. Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½ΠΎΠ΅ исслСдованиС повСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
34. БлоТная функция.
35. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ функция.
36. n.
41. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ. БтСпСнная функция с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ стСпСни.
42. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция.
43. ЛогарифмичСская функция.
Β§ 3. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²
44. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сдвиг Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.
45. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.
46. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ-Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
47. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ симмСтрии. Π‘ΠΆΠ°Ρ‚ΠΈΠ΅ ΠΈ растяТСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.
48. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
49. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ².
Β§ 4. НСкоторыС свСдСния ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… функциях
50. Π¦Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ².
51. Π‘Ρ…Π΅ΠΌΠ° Π“ΠΎΡ€Π½Π΅Ρ€Π°. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π‘Π΅Π·Ρƒ.
52. Нули ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
Π“Π»Π°Π²Π° V. Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π―
53. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния.
54. Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
55. БистСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
56. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Β§. 2. АлгСбраичСскиС уравнСния с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ нСизвСстной
57. Число ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.
58. УравнСния ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ стСпСни (Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния).
59. УравнСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни (ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния).
60. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π’ΠΈΠ΅Ρ‚Π°. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
61. ИсслСдованиС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.
62. УравнСния Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй. Π¦Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
63. Π”Π²ΡƒΡ‡Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
64. УравнСния, сводящиСся ΠΊ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ.
65. Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ уравнСния.
Β§ 3. БистСмы алгСбраичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ
66. Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ систСмы.
67. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ порядка. ИсслСдованиС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с двумя нСизвСстными.
68. БистСмы, состоящиС ΠΈΠ· уравнСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.
69. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ систСм Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни. БистСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй.
Β§ 4. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ логарифмичСскиС уравнСния
70. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
71. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния.
72. ЛогарифмичСскиС уравнСния.
73. Π Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ уравнСния. БистСмы ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
Π“Π»Π°Π²Π° VI. НЕРАВЕНБВВА
74. Бвойства нСравСнств. ДСйствия Π½Π°Π΄ нСравСнствами.
75. АлгСбраичСскиС нСравСнства.
Β§ 2. РСшСниС нСравСнств
76. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ нСравСнства. Π Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
77. ГрафичСскоС Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ нСравСнств.
79. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ нСравСнства.
80. НСравСнства Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй. НСравСнства, содСрТащиС Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ….
81. Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ логарифмичСскиС нСравСнства.
82. НСравСнства с двумя нСизвСстными.
Π“Π»Π°Π²Π° VII. ΠŸΠžΠ‘Π›Π•Π”ΠžΠ’ΠΠ’Π•Π›Π¬ΠΠžΠ‘Π’Π˜
83. Числовая ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
84. ΠŸΡ€Π΅Π΄Π΅Π» числовой ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ.
85. БСсконСчно ΠΌΠ°Π»Ρ‹Π΅. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π°.
Β§ 2. АрифмСтичСская прогрСссия
86. АрифмСтичСская прогрСссия. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.
87. Бвойства арифмСтичСской прогрСссии.
88. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° для суммы n Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² арифмСтичСской прогрСссии.
Β§ 3. ГСомСтричСская прогрСссия
89. ГСомСтричСская прогрСссия. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.
90. Бвойства гСомСтричСской прогрСссии.
91. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для суммы n Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² гСомСтричСской прогрСссии.
92. БСсконСчно ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ гСомСтричСская прогрСссия.
Π“Π»Π°Π²Π° VIII. Π’Π Π˜Π“ΠžΠΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• ЀУНКЦИИ УГЛА (Π”Π£Π“Π˜)
93. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, проСкция Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.
94. ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ ΠΈ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ, мСньшиС 360Β°.
95. Π£Π³Π»Ρ‹ ΠΈ Π΄ΡƒΠ³ΠΈ, большиС 360Β°.
96. ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
Β§ 2. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π°
97. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ основных тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
98. ИзмСнСниС основных тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 2pi.
Β§ 3. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тригономСтричСскими функциями ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π°
99. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС тоТдСства.
100. ВычислСниС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….
101. ЗначСния тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
Β§ 4. Π§Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
102. Π§Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
103. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ пСриодичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
104. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
Β§ 5. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния
105. Π—Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ тригономСтричСскими функциями Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
106. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ привСдСния.
Π“Π»Π°Π²Π° IX. Π’Π Π˜Π“ΠžΠΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• ЀУНКЦИИ Π§Π˜Π‘Π›ΠžΠ’ΠžΠ“Πž ΠΠ Π“Π£ΠœΠ•ΠΠ’Π И ИΠ₯ Π“Π ΠΠ€Π˜ΠšΠ˜
Β§ 1. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ числового Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°
108. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΠΈ опрСдСлСния ΠΈ области измСнСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
109. НСкоторыС нСравСнства ΠΈ ΠΈΡ… слСдствия.
Β§ 2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ
110. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ свСдСния ΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
111. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ.
112. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
113. Π”Π°Π»ΡŒΠ½Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
Π“Π»Π°Π²Π° X. ΠŸΠ Π•ΠžΠ‘Π ΠΠ—ΠžΠ’ΠΠΠ˜Π• Π’Π Π˜Π“ΠžΠΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π₯ Π’Π«Π ΠΠ–Π•ΠΠ˜Π™
114. РасстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Π½Π° плоскости.
115. ΠšΠΎΡΠΈΠ½ΡƒΡ суммы ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².
116. Бинус суммы ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².
117. ВангСнс суммы ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².
118. О Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°Ρ… слоТСния для Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².
Β§ 2. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ sin na ΠΈ cos na Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· стСпСни sin a ΠΈ cos a
119. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.
120. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ sin na ΠΈ cos na Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· стСпСни sin a ΠΈ cos a ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ числС n.
121. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.
122. Π’Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ основных тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· tg(a/2).
Β§ 3. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² сумму Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° sinaβ€’cosb, cosaβ€’cosb ΠΈ sinΠ°β€’sinb
Β§ 4. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ сумм Π²ΠΈΠ΄Π°
Β§ 5. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² произвСдСния с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ввСдСния Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°
127. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния aβ€’sina + bβ€’cosa.
128. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ aβ€’sina+b ΠΈ aβ€’cosa+b
129. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния aβ€’tga+b.
Π“Π»Π°Π²Π° XI. ΠžΠ‘Π ΠΠ’ΠΠ«Π• Π’Π Π˜Π“ΠžΠΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• ЀУНКЦИИ И ИΠ₯ Π“Π ΠΠ€Π˜ΠšΠ˜
130. Ѐункция Ρƒ = arcsin x (арксинус).
131. Ѐункция y = arccos x (арккосинус).
132. Ѐункция y = arctg x (арктангСнс).
133. Ѐункция y = arcctg x (арккотангСнс).
134. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.
Β§ 2. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ тригономСтричСскими функциями
135. ВригономСтричСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ.
136. ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния (вычитания).
Β§ 3. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ тригономСтричСскими функциями
137.
Ѐункция Ρƒ = arcsin (sin x).
138. Ѐункция y = arctg (tg x).
Π“Π»Π°Π²Π° XII. Π’Π Π˜Π“ΠžΠΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• Π£Π ΠΠ’ΠΠ•ΠΠ˜Π― И НЕРАВЕНБВВА
139. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ sin Ρ… = Π°.
140. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos Ρ… = a.
141. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ tg x = a.
142. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ctg x = a.
143. НСкоторыС дополнСния.
Β§ 2. Бпособ привСдСния ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°
145. НСкоторыС Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, приводящихся ΠΊ уравнСниям ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.
146. Бпособ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ.
147. РСшСниС Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ тригономСтричСской подстановки tg(x/2) = t.
Β§ 3. НСкоторыС частныС ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ тригономСтричСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΈ систСм
148. Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.
149. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ произвСдСния Π² сумму ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
150. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ функциям ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°.
151. РСшСниС уравнСния типа…
152. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ подстановок sinx Β± соsx = y.
Β§ 4. РСшСниС тригономСтричСских нСравСнств
154. ΠŸΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠ΅ тригономСтричСскиС нСравСнства.

155. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ тригономСтричСских нСравСнств, сводящихся ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌ.
Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ вторая. Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π―
156. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ°. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ. Π›ΡƒΡ‡. ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ.
157. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π€ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°.
160. РавСнство Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€. Π”Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
161. РавСнство Ρ‚Π΅Π».
Β§ 2. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ гСомСтричСских Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½
162. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ². Π”Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.
163. ΠžΠ±Ρ‰Π°Ρ ΠΌΠ΅Ρ€Π° Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ².
164. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² ΠΈ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½Ρ‹Ρ….
165. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
166. Радианная ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΡƒΠ³Π»Π°.
167. Π˜Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄Π΅ΠΉ.
168. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. ОбъСм ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°.
Π“Π»Π°Π²Π° XIV. ΠŸΠ•Π ΠŸΠ•ΠΠ”Π˜ΠšΠ£Π›Π―Π ΠΠ«Π• И ΠŸΠΠ ΠΠ›Π›Π•Π›Π¬ΠΠ«Π• ΠŸΠ Π―ΠœΠ«Π•. Π—ΠΠ”ΠΠ§Π˜ НА ΠŸΠžΠ‘Π’Π ΠžΠ•ΠΠ˜Π•
169. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€ ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅.
170. Бвойство пСрпСндикуляра, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ Π² Π΅Π³ΠΎ сСрСдинС.
171. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС.
172. Π£Π³Π»Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ двумя ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ прямыми ΠΈ сСкущСй.
173. Π£Π³Π»Ρ‹ с ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ пСрпСндикулярными сторонами.
Β§ 2. ГСомСтричСскиС мСста Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
174. ГСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.
175. Бвойство биссСктрисы ΡƒΠ³Π»Π°.
176. ΠžΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
177. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямой ΠΈ окруТности. ΠšΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ сСкущая.
178. Π₯ΠΎΡ€Π΄Π° ΠΈ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. Π‘Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ сСгмСнт.
179. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС Π΄Π²ΡƒΡ… окруТностСй.
Β§ 3. ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° построСниС
181. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΏΠΎΠΏΠΎΠ»Π°ΠΌ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ пСрпСндикуляров.
182. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ².
183. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° построСниС.
Π“Π»Π°Π²Π° XV. Π’Π Π•Π£Π“ΠžΠ›Π¬ΠΠ˜ΠšΠ˜, Π§Π•Π’Π«Π Π•Π₯Π£Π“ΠžΠ›Π¬ΠΠ˜ΠšΠ˜
184. Π‘Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Ρ‹ ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
185. БиссСктрисы Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Вписанная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
186. Оси симмСтрии сторон Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Описанная ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
187. ΠœΠ΅Π΄ΠΈΠ°Π½Ρ‹ ΠΈ Π²Ρ‹cΠΎΡ‚Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
188. РавСнство Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
189. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
190. Π Π°Π²Π½ΠΎΠ±Π΅Π΄Ρ€Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
191. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
Β§ 2. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹
192. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
193. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ свойства.
194. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ.
Β§ 3. ВрапСция
196. ВрапСция.
197. БрСдняя линия Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
198. БрСдняя линия Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.
199. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ части.
Β§ 4. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ² ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
200. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°.
201. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
202. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠΈ.
Π“Π»Π°Π²Π° XVI. ΠŸΠžΠ”ΠžΠ‘Π˜Π• Π“Π•ΠžΠœΠ•Π’Π Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π₯ Π€Π˜Π“Π£Π 
203. ΠŸΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ.
204. Бвойства биссСктрис Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ внСшнСго ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Β§ 2. ПодобноС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ (гомотСтия)
205. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΎΠΌΠΎΡ‚Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€.
206. Бвойства прСобразования подобия.
Β§ 3. ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€
207. ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.
208. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Ρ‹ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
209. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ подобия ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° построСниС.
Π“Π»Π°Π²Π° XVII. ΠœΠ•Π’Π Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π• Π‘ΠžΠžΠ’ΠΠžΠ¨Π•ΠΠ˜Π― Π’ Π’Π Π•Π£Π“ΠžΠ›Π¬ΠΠ˜ΠšΠ• И ΠšΠ Π£Π“Π•
210. Π£Π³Π»Ρ‹ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π½Π° окруТности.
211. Π£Π³Π»Ρ‹ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ ΠΈ Π²Π½Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π°.
212. Π£Π³ΠΎΠ», ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π½ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ.
213. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ, вписанныС Π² ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
214. ΠŸΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ Π² ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π΅.
215. Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π° построСниС.
Β§ 2. ΠœΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅
216. ΠŸΡ€ΠΎΠΏΠΎΡ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠŸΠΈΡ„Π°Π³ΠΎΡ€Π°.
218. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° синусов. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π“Π΅Ρ€ΠΎΠ½Π°.
217. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ стороны, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² острого ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΡ‚Π»Π° ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° косинусов.
218. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° синусов. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° Π“Π΅Ρ€ΠΎΠ½Π°.
219. Радиусы вписанной ΠΈ описанной окруТностСй.
Β§ 3. РСшСниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ²
220. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.
221. РСшСниС Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ². Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ° основных Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ».
222. РСшСниС ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
223. РСшСниС ΠΊΠΎΡΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΎΠ².
Π“Π»Π°Π²Π° XVIII. ΠŸΠ ΠΠ’Π˜Π›Π¬ΠΠ«Π• ΠœΠΠžΠ“ΠžΠ£Π“ΠžΠ›Π¬ΠΠ˜ΠšΠ˜. Π”Π›Π˜ΠΠ окруТности И ΠŸΠ›ΠžΠ©ΠΠ”Π¬ ΠšΠ Π£Π“Π
224. Π’Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
225. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠΈ.
226. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ стороной, радиусом ΠΈ Π°ΠΏΠΎΡ„Π΅ΠΌΠΎΠΉ.
227. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ n-ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
228. Π£Π΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа сторон ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.
Β§ 2. Π”Π»ΠΈΠ½Π° окруТности. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ частСй
229. Π”Π»ΠΈΠ½Π° окруТности.
230. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ частСй.
Π“Π»Π°Π²Π° XIX. ΠŸΠ Π―ΠœΠ«Π• И ΠŸΠ›ΠžΠ‘ΠšΠžΠ‘Π’Π˜ Π’ ΠŸΠ ΠžΠ‘Π’Π ΠΠΠ‘Π’Π’Π•
231. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС Π΄Π²ΡƒΡ… прямых Π² пространствС.
232. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈ плоскости.
233. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ располоТСниС Π΄Π²ΡƒΡ… плоскостСй.
234. Бвойства ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… прямых ΠΈ плоскостСй.
235. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ Π² стСрСомСтрии.
Β§ 2. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых ΠΈ плоскостСй
236. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€ ΠΊ плоскости.
237. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€ ΠΈ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅.
238. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямой ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.
239. Бвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ прямых ΠΈ плоскостСй.
240. ΠžΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ пСрпСндикуляр Π΄Π²ΡƒΡ… ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ прямых.
Β§ 3. Π”Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹
241. Π”Π²ΡƒΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ».
242. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярныС плоскости.
243. Π’Ρ€Π΅Ρ…Π³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹.
244. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΡƒΠ³Π»Ρ‹.
Β§ 4. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ
245. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ.
246. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΊΠΈ.
Π“Π»Π°Π²Π° XX. ΠœΠΠžΠ“ΠžΠ“Π ΠΠΠΠ˜ΠšΠ˜ И ΠšΠ Π£Π“Π›Π«Π• ВЕЛА
247. Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.
248. ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Ρ‹.
249. ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌ ΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠ².
250. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€ΠΈΠ·ΠΌΡ‹.
251. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.
Β§ 2. ΠŸΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°. ΠšΠΎΠ½ΡƒΡ
252. Бвойства ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ конуса.
253. ОбъСм ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ конуса.
254. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ Π±ΠΎΠΊΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Ρ‹ ΠΈ конуса.
255. УсСчСнный конус ΠΈ усСчСнная ΠΏΠΈΡ€Π°ΠΌΠΈΠ΄Π°.
Β§ 3. Шаровая ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π¨Π°Ρ€
256. Π¨Π°Ρ€ ΠΈ ΡˆΠ°Ρ€ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
257. ОбъСм ΡˆΠ°Ρ€Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ частСй.
258. ΠŸΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности ΡˆΠ°Ρ€Π° ΠΈ Π΅Π΅ частСй.
259. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ тСлСсного ΡƒΠ³Π»Π°.
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚Ρ‹ ΠΊ упраТнСниям
ΠŸΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ

Cos x ΠΏ 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cos(x)

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ рассмотрим вопрос ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² Ο‰x , Π³Π΄Π΅ Ο‰ — Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin Ο‰x сравним эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρƒ = sin x . ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = x 0 функция Ρƒ = sin Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Ρƒ 0 . Π’ΠΎΠ³Π΄Π°

Ρƒ 0 = sin x 0 .

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ это ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция Ρƒ = sin Ο‰x ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = x 0 / Ο‰ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ 0 , Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ функция Ρƒ = sin Ρ… ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = x 0 . А это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Ρƒ = sin Ο‰x повторяСт свои значСния Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· Ρ‡Π°Ρ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ функция Ρƒ = sin x . ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin Ο‰x получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «ΡΠΆΠ°Ρ‚ия» Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· вдоль оси Ρ….

НапримСр, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin 2Ρ… получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «сТатия» синусоиды Ρƒ = sin x Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси абсцисс.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x / 2 получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «растяТСния» синусоиды Ρƒ = sin Ρ… Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° (ΠΈΠ»ΠΈ «сТатия» Π² 1 / 2 Ρ€Π°Π·Π°) вдоль оси Ρ….

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ функция Ρƒ = sin Ο‰x повторяСт свои значСния Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· Ρ‡Π°Ρ‰Π΅, Ρ‡Π΅ΠΌ функция
Ρƒ = sin x , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Π΅Π΅ Π² Ο‰ Ρ€Π°Π· мСньшС ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x . НапримСр, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin 2Ρ… Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2Ο€ / 2 = Ο€ , Π° ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin x / 2 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ο€ / x / 2 = 4Ο€ .

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎ провСсти исслСдованиС повСдСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = sin Π°x Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ просто ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Maple :

Аналогично строятся Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². На рисункС прСдставлСн Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = cos 2Ρ… , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «сТатия» косинусоиды Ρƒ = cos Ρ… Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° вдоль оси абсцисс.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = cos x / 2 получаСтся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ «растяТСния» косинусоиды Ρƒ = cos Ρ… Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси Ρ….

На рисункС Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = tg 2x , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ «сТатиСм» тангСнсоиды Ρƒ = tg x Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси абсцисс.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = tg x / 2 , ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ «растяТСниСм» тангСнсоиды Ρƒ = tg x Π²Π΄Π²ΠΎΠ΅ вдоль оси Ρ….

И, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, анимация, выполнСнная ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ Maple:

УпраТнСния

1. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния этих Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

Π°). y = sin 4x / 3 Π³). y = tg 5x / 6 ΠΆ). y = cos 2x / 3

Π±). Ρƒ= cos 5x / 3 Π΄). Ρƒ = ctg 5x / 3 Π·). Ρƒ= ctg x / 3

Π²). y = tg 4x / 3 Π΅). Ρƒ = sin 2x / 3

2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ρƒ = sin (Ο€Ρ…) ΠΈ Ρƒ = tg ( Ο€Ρ… / 2 ).

3. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС значСния ΠΎΡ‚ -1 Π΄ΠΎ +1 (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ эти Π΄Π²Π° числа) ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 10.

4 *. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС значСния ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 1 (Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ эти Π΄Π²Π° числа) ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ο€ / 2 .

5. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 1.

6 *. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ всС ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΡŒ, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния ΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ пСриодичСски с ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ 5.

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹
Π£Π²Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ, Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ свои ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ, ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π²Ρ‹, поТСлания. ВсС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ антивирусной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠΎΠΉ.

ΠžΠ±ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ пособия ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π½Π°ΠΆΠ΅Ρ€Ρ‹ Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚-ΠΌΠ°Π³Π°Π·ΠΈΠ½Π΅ «Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»» для 10 класса
АлгСбраичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ, 9–11 классы
ΠŸΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ½Π°Ρ срСда «1Π‘: ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ конструктор 6.1»

Π§Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ:
1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.
2. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
3. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X).
4. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ косинуса Ρƒ=cos(x)

РСбята, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ познакомились с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Y=sin(X).

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вспомним ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привидСния : sin(X + Ο€/2) = cos(X).

Благодаря этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X + Ο€/2) ΠΈ cos(X) тоТдСствСнны, ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X + Ο€/2) получаСтся ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ sin(X) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ пСрСносом Π½Π° Ο€/2 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π»Π΅Π²ΠΎ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X).

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ синусоидой.

Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ cos(x)

    Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ свойства нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния – мноТСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.
  • Ѐункция чСтная. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ вспомним ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Ѐункция называСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли выполняСтся равСнство y(-x)=y(x). Как ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» привидСния: cos(-x)=-cos(x), ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° косинус – чСтная функция.
  • Ѐункция Y=cos(X) ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ ΠΈ возрастаСт Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [Ο€; 2Ο€]. Π’ этом ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  • Ѐункция Y=cos(X) ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π° снизу ΠΈ свСрху. Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ свойство слСдуСт ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ
    -1 ≀ cos(X) ≀ 1
  • НаимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ -1 (ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = Ο€ + 2Ο€k). НаибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 1 (ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… = 2Ο€k).
  • Ѐункция Y=cos(X) являСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ убСдимся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нашСй Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠ², это ΠΈ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.
  • ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [- 1; 1]. Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.
  • Ѐункция Y=cos(X) — пСриодичСская функция. ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ значСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ cos(x)

1. Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ cos(X)=(x — 2Ο€) 2 + 1

РСшСниС: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ 2 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y=cos(x) ΠΈ y=(x — 2Ο€) 2 + 1 (см. рисунок).


y=(x — 2Ο€) 2 + 1 — это ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, смСщСнная Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° 2Ο€ ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… Π½Π° 1. Наши Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ А(2Ο€;1), это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: x = 2Ο€.

2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ≀ 0 ΠΈ Y=sin(X) ΠΏΡ€ΠΈ x β‰₯ 0

РСшСниС: Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ построим Π΄Π²Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ «ΠΊΡƒΡΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ». ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ кусочСк: y=cos(x) ΠΏΡ€ΠΈ Ρ… ≀ 0. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ кусочСк: y=sin(x)
ΠΏΡ€ΠΈ x β‰₯ 0. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π° «ΠΊΡƒΡΠΎΡ‡ΠΊΠ°» Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.


3. Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y=cos(X) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [Ο€; 7Ο€/4]

РСшСниС: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ рассмотрим наш ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [Ο€; 7Ο€/4]. На Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наибольшиС ΠΈ наимСньшиС значСния Π΄ΠΎΡΡ‚ΠΈΠ³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°: Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ο€ ΠΈ 7Ο€/4 соотвСтствСнно.
ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: cos(Ο€) = -1 – наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, cos(7Ο€/4) = наибольшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.


4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(Ο€/3 — x) + 1

РСшСниС: cos(-x)= cos(x), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° искомый Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ получится ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ пСрСноса Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° Ο€/3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ 1 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ….

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ для ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

1)Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: cos(x)= x – Ο€/2.
2) Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: cos(x)= — (x – Ο€) 2 — 1.
3) ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(Ο€/4 + x) — 2.
4) ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(-2Ο€/3 + x) + 1.
5) Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ .
6) Найти наибольшСС ΠΈ наимСньшСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=cos(x) Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ΅ [- Ο€/6; 5Ο€/4].

Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΈΡ… свойства» — y = ctg x. 4) ΠžΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. 3) НСчётная функция. (Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚). y = tg x. 7) Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π° (?k; ? + ?k). Ѐункция y = tg x Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π°. 4) Ѐункция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° любом ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ Π²ΠΈΠ΄Π° (?k; ? + ?k). Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = tg x называСтся тангСнсоидой.

Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Y XΒ» — Π¨Π°Π±Π»ΠΎΠ½ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Ρƒ = Ρ…2. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ, Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΠΈ ΠΌΡ‹ΡˆΠΊΠΎΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = x2 + 1, ΠΎΠΏΠΈΡ€Π°ΡΡΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=x2 (Ρ‰Π΅Π»Ρ‡ΠΎΠΊ ΠΌΡ‹ΡˆΠΊΠΎΠΉ). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Π”ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρƒ = Ρ…2 + 6Ρ… + 8 являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, ΠΈ построим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=(x — m)2 являСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ с Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ (m; 0).

Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈΒ» — Как ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ? НаиболСС СстСствСнно Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ зависимости ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ². Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: рисунки,… Π—Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ? Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π§Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²? РассматриваСм ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Ρ…: ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅,…

Β«ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉΒ» — ΠžΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ эскиз Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Найти асимптоты Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ. ΠΠ°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ убывания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π° учащихся. Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ знания. Π£Ρ€ΠΎΠΊ закрСплСния ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°. ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ свои умСния. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Β«Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ с ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌΒ» — ΠžΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈ «ниТнюю» Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠœΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Бвойства Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = |x|. |x|. Числа. Алгоритм построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Алгоритм построСния. Ѐункция y= lΡ…l. Бвойства. Π‘Π°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°. Нули Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π‘ΠΎΠ²Π΅Ρ‚Ρ‹ Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΡ…. РСшСниС ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹.

Β«Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉΒ» — Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈ. Если,Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎΠ΄ прямым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ. Условия ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ ΠΈ пСрпСндикулярности Π΄Π²ΡƒΡ… прямых. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ функция Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ прямыС Π·Π°Π΄Π°Π½Ρ‹ уравнСниями ΠΈ.

ВсСго Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ 25 ΠΏΡ€Π΅Π·Π΅Π½Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΉ

python — ИспользованиС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Sympy для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²

Как Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Sympy, ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π²Ρ€ΠΎΠ΄Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ этого уравнСния?

Π£ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ символьноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½ΠΎ я Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ массив Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°. Π’ΠΎΡ‚ ΠΌΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠ΄:

 ΠΈΠ· символов ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π° sympy
ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ matplotlib.pyplot ΠΊΠ°ΠΊ MPL
Ρ‚ = символы ('Ρ‚')
Ρ… = 0,05*t + 0,2/((t - 5)**2 + 2)
числа = []
для я в диапазонС (1000):
    nums.append(t)
    Ρ‚ += 0,02
Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ = [x для t Π² Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π°Ρ…]
mpl. plot(построСно)
mpl.ylabel("Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ")
mpl.show()
 

Π’ ΠΌΠΎΠ΅ΠΌ случаС я Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ вычислил ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ этого уравнСния, ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ я Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ скорости x , Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это довольно просто.

  • python
  • python-3.x
  • matplotlib
  • символы
  • sympy

0

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ numpy.linspace() для создания Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ оси x ( x_vals Π² ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π½ΠΈΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΠ΄Π΅) ΠΈ lambdify() .

 ΠΈΠ· символов ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π° sympy
ΠΈΠ· numpy ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ linspace
ΠΈΠ· sympy ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ lambdify
ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ matplotlib.pyplot ΠΊΠ°ΠΊ MPL
Ρ‚ = символы ('Ρ‚')
Ρ… = 0,05*t + 0,2/((t - 5)**2 + 2)
lam_x = lambdify(t, x, modules=['numpy'])
x_vals = Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ пространство (0, 10, 100)
y_vals = лям_x(x_vals)
mpl.plot(x_vals, y_vals)
mpl.ylabel("Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ")
mpl.show()
 

(ΡƒΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ asmeurer ΠΈ MaxNoe)

Π’ качСствС Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρ‹ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ sympy plot() :

 ΠΈΠ· символов ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π° sympy
ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π° sympy
Ρ‚ = символы ('Ρ‚')
Ρ… = 0,05*t + 0,2/((t - 5)**2 + 2)
Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ (x, (t, 0, 10), ylabel = 'Π‘ΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ')
 

5

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ построСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² SymPy:

 ΠΈΠ· символов ΠΈΠΌΠΏΠΎΡ€Ρ‚Π° sympy
ΠΈΠ· sympy.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *