Экспонента, е в степени х
Приведены график и основные свойства экспоненты (е в степени х): область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд, действия с комплексными числами.
Определение
- Экспонента
- – это показательная функция y(x) = e x, производная которой равна самой функции.
Экспоненту обозначают так , или .
Число e
Основанием степени экспоненты является число e. Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045…
Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
.
Также число e можно представить в виде ряда:
.
График экспоненты
График экспоненты, y = ex.
На графике представлена экспонента, е в степени х.
y(x) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.
Формулы
Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е.
;
;
;
.
Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.
См. также раздел «Показательная функция» >>>
Частные значения
Пусть y(x) = e x. Тогда
.
Свойства экспоненты
Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1.
Область определения, множество значений
Экспонента y(x) = e x определена для всех x.
Ее область определения:
– ∞ < x + ∞.
Ее множество значений:
0 < y < + ∞.
Экстремумы, возрастание, убывание
Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.
| y = е х | |
| Область определения | – ∞ < x < + ∞ |
| Область значений | 0 < y < + ∞ |
| Монотонность | монотонно возрастает |
| Нули, y = 0 | нет |
| Точки пересечения с осью ординат, x = 0 | y = 1 |
| + ∞ | |
| 0 |
Обратная функция
Обратной для экспоненты является натуральный логарифм.
;
.
Производная экспоненты
Производная е в степени х равна е в степени х:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >
Интеграл
См. также раздел «Таблица неопределенных интегралов» >>>
Комплексные числа
Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
,
где есть мнимая единица:
.
Выражения через гиперболические функции
; ;
.
Выражения через тригонометрические функции
; ;
;
.
Разложение в степенной ряд
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
исчисление — Аппроксимация решений ОДУ $y’=\exp(y/x)$
спросил
Изменено 8 лет, 2 месяца назад
Просмотрено 1к раз
$\begingroup$
В настоящее время я пытаюсь решить упражнение 1-38 от Мэтьюза и Уокера.
В этом упражнении меня просят рассмотреть дифференциальное уравнение: 9{y/x}} \приблизительно 1$) близко к $x=x_0$ .
$\endgroup$
16
$\begingroup$
Аналитическое решение ОДУ может быть выражено в параметрической форме:
$ $ \ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x} = \ exp (y / x) $ $
Пусть $t=\exp(y/x)$ или $y=x\ln(t)$
$$\ln(t)+\frac{x}{t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=t$$
$ $ \ frac {1} {x} \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} = \ frac {1} {t \ left (t-ln (t) \ right)} $ $
$$\ln(x)=\int{\frac{dt}{t\left(t-ln(t)\right)}}$$
Для этого интеграла нет замкнутой формы. 9{\ int {\ frac {dt} {t \ left (t-ln (t) \ right)}}} \ end {cases} $ $
Произвольная константа, входящая в неопределенный интеграл, должна быть одинаковой для обоих (это эквивалентно произвольному коэффициенту, умножающему экспоненту определенного интеграла вместо экспоненты неопределенного интеграла).
На рисунке ниже показаны две приблизительные формулы по сравнению с аналитическим результатом (красная кривая)
Зеленая кривая построена с помощью очень простой формулы, полученной из моего параметрического решения. Это первое приближение аналитического решения.
Синяя кривая строится по формуле, аналогичной формуле Винтера (но с другим параметром $x_0$, т.е.: $1+\ln(\frac{x_0}{x}) = \ln (\frac{e x_0} {x})$ вместо $\ln (\frac{x_0}{x})$ , так что это бесполезное сравнение с результатами Винтера).
$\endgroup$
8
$\begingroup$
Это ответ на вопрос, заданный Ником. Мой первый ответ был не о аппроксимациях, как просили, а об аналитическом решении ОДУ. 9t {\ frac {d \ theta} {\ theta \ left (\ theta-ln (\ theta) \ right)}}} \ end {cases} $ $ $x_0$ определяется как значение $x$ так, что $y(x_0)=0$
ОДУ имеет однородный вид.
Таким образом, все кривые, соответствующие решениям ОДУ, имеют одинаковую форму, но гомотетичные в зависимости от параметра $x_0$
Последняя формула точна лишь в небольшом диапазоне при $x$, близких к $0$. Более расширенный диапазон потребует большего количества терминов для расширения серии. Это включает в себя трудные вычисления асимптотического расширения специальных функций. 9{t_g} {\ frac {d \ theta} {\ theta \ left (\ theta-ln (\ theta) \ right)}}} $
$\endgroup$
исчисление — Интуитивное различие между производными от $\exp(x)$ и $\log(x)$
спросил
Изменено 6 лет, 1 месяц назад
Просмотрено 412 раз
$\begingroup$
Хорошо известно, что экспоненциальная функция $\exp(x)$ имеет производную $$\frac{d}{dx} \exp(x) = \exp(x).
9{-1} = \ln(x)$ в точке $(b,a)$ равно $1/b = 1/x$ для «нового» x обратной функции.
Вы ожидаете, что уравнения в письменной форме будут симметричными, но это не так из-за сложности записи и наших определений функций. Но графики содержательно симметричны.
$\endgroup$
$\begingroup$
Эвристически $exp(x)$ имеет производную, совпадающую с образом функции, поэтому вполне естественно следует, что обратная функция будет иметь производную, обратную прообразу. 9y$, и вы получите тот же результат.
$\endgroup$
$\begingroup$
Пусть $x$ и $y$ связаны соотношением
$$ y = \exp(x) \qquad \qquad x = \ln(y) $$
Тогда эта производная становится равной
$$ \mathrm {d}y = y \, \mathrm{d} x $$
или, если вам не нравятся дифференциалы,
$$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = y $$
В любом случае ясно, что это не что-то похожее на симметрию в $x$ и $y$.