Y x x2 4: Исследовать функцию и построить ее график : y= x/x²-4

Сдвиги графиков функций

☰

Изменение значения k влияет на вид графика (степень крутизны в случае параболы), расположение ветвей в координатных четвертях и др. Однако точкой, через которую можно провести ось симметрии графиков, является точка O с координатами (0; 0).

Если же рассматривать функций, подобные перечисленным выше, у которых к переменной x или ко всей исходной функции прибавляется (или вычитается) какое-либо число, то графики этих функций остаются такими же как у исходных, однако смещаются относительно точки (0; 0).

Если обозначить исходные функции как y = f(x), то прибавление к x числа дает функции вида y = f(x+l), а прибавление ко всей исходной функции значения дает вид y = f(x) + m.

Например, если исходная функция y = 2x², то примером первого типа будет функция y = 2(x+5)², а второго — y = 2x² + 5.

Для функций вида y = f(x+l) график смещается влево на l единиц, если l прибавляется. Если же l вычитается, то график смещается вправо. Действительно, представим параболу функции y = x

2 и сравним ее с функцией y = (x+1)². Когда x = 1, то для первой функции y = 1, а для второй — y = 4. Когда x = 0, для первой y = 0, для второй y = 1. Когда x = –1, для первой y = 1, для второй y = 0.

То есть график второй функции касается оси x в точке (–1; 0). Это значит, что график смещен влево по сравнению с исходным на 1.

Для функций вида y = f(x) + m график соответствующей функции y = f(x) смещается на m единиц, но уже по вертикальной оси (ось y). Здесь если m прибавляется, то график сдвигается вверх. Если m вычитается, то график сдвигается вниз.

Рассмотрим ту же параболу y = x² и функцию y = x² + 1. Когда x = 0, первая принимает значение 0, а у второй y = 1. Получить у второй функции значение y, которое равно 0, вообще невозможно. Это значит, что парабола имеет точку симметрии с координатами (0; 1), т. е. сдвинута от исходной вверх на 1.

«Смешанные» функции вида y = f(x + l) + m сдвигаются вдоль оси x и y. Вдоль оси x они сдвигаются на l, а вдоль y — на значение m.

Урок 13. многочлены от нескольких переменных — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №13. Многочлены от нескольких переменных.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) определение многочлена от нескольких переменных;

2) понятие симметрических многочленов;

3) формулы сокращенного умножения для старших степеней;

4) бином Ньютона;

5) метод неопределенных коэффициентов.

Глоссарий по теме

Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называютсимметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен.

Треугольник Паскаля —бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Многочлены от нескольких переменных можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень, разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры 7—9-го классов. Этот урок позволит нам несколько расширить знания о многочленах.

Пример 1. Разложить на множители многочлен: 2x²-5xy+2y².

Воспользуемся методом группировки

2x²-5xy+2y²⁼ 2x²-4xy-xy+2y²= 2x(x-2y) –y(x-2y)=

(x-2y)(2x+2y).

Пример 2. Выведем формулу сокращенного умножения для «квадрата суммы» (x+y+z+u)².

(x+y+z+u)²=((x+y)+(z+u))²= (x+y)²+2(x+y)(z+u)+(z+u)²= x²+y²+z²+u²+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Итак, мы получили (x+y+z+u)²= x²+y²+z²+u²+2(xy+xz+xu+yz+yu+zu).

Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные и симметрические многочлены.

 
Многочлен Р(х;у) называют однородным многочленом n-й степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна n. Если Р(х;у) — однородный многочлен, то уравнение Р(х;у) = 0 называют однородным уравнением.

Приведем примеры.

1) р(х; у)=2х+3у – однородный многочлен первой степени; соответственно 2х+3у=0 – однородное уравнение первой степени.

2) р(х; у)=3х²+5ху-7у²  — однородный многочлен второй степени; соответственно 3х²+5ху-7у² =0 — однородное уравнение второй степени.

3) p(x; y)= x³+4xy²-5y³ — однородный многочлен третьей степени; x³+4xy²-5y³ =0 соответственно  — однородное уравнение третьей степени.

4) p(x; y)= a_nxⁿ+a_n-1x^n-1y+a_n-2x^n-2y²₊…+a₁xy^n-1+a₀yⁿ — общий вид однородного многочлена n-й степени.

Рассмотрим еще один метод разложения многочленов на множители-

метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения

1. Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
2. Любой многочлен третьей степени имеет хотя бы один действительный корень, а потому разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителя.
3. Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.

Пример 3.  Разложить на множители многочлен

3 x ³ – x ² – 3 x + 1.

Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 

2 + bx + c такие, что справедливо равенство 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 = ( x – p )( ax ²+ bx + c ) = ax ³ + ( b – ap ) x ² + ( c – bp ) x – pc . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов:

Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x ³ – x ² – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x ² + 2 x – 1).

Стоит отметить, что существует достаточно изящный способ решения однородных уравнений. Поясним его суть на примере.

Пример 4. Решим уравнение x³+4xy²-5y³ =0

Заметим, что если в заданном уравнении взять х=0, то получится у=0; это означает, что пара (0; 0) является решением однородного уравнения. Пусть теперь х. Разделим почленно обе части заданного однородного уравнения на х

3, получим:

Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид 1+4z²-5z³=0.

Далее последовательно находим:

5z³-4z²-1=0

(5z³-5z²)+(z²-1)=0

5z²(z-1)+(z-1)(z+1)=0

(z-1)(5z²+z+1)=0

Из уравнения z-1=0 находим z=1, уравнение 5z³-4z²-1=0 действительных корней не имеет.

Если z=1, то , т.е. у=х. Это значит, что любая пара вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения. Между прочим, и отмеченная нами ранее пара (0; 0) также входит в указанный перечень решений.

Ответ: (t; t), где t- любое действительное число.

Теперь поговорим о симметрических многочленах. Многочлен Р(х;у) называют симметрическим

, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х. Например, симметрическим является двучлен x²y+xy². В самом деле, при одновременной замене х на у и у на х получится двучлен y²x+yx², но это то же самое, что x²y+xy² . Другие примеры симметрических многочленов: xy, x+y, x²+y², x³+y³, x⁴+y⁴ и т.д. Первые два из записанных многочленов считаются основными в том смысле, что любые другие симметрические многочлены можно представить в виде некоторой комбинации многочленов х + у и ху.

Теорема. Любой симметрический многочлен Р(х;у) можно представить в виде многочлена от ху и х+у.

Например,

x²+y²=(x+y)²-2xy

x³+y³=(x+y)³-3xy(x+y)

x⁴+y⁴= 2xy(x²+y²)-(x⁴+y⁴)+3(xy)

2 и т.д.

Уравнение Р(x;y) = а, где , называют симметрическим, если Р(х;y) — симметрический многочлен. Мы с вами рассматривали его на предыдущем уроке.

А теперь перейдем к такому понятию как бином Ньютона.

Слово бином означает «Два числа». В математике биномом называют «формулу для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных». Бином Ньютона — название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Давайте вслед за Ньютоном попробуем ее вывести, чтобы затем применять.

Вы наверняка помните (или, по крайней мере, должны помнить), формулы сокращенного умножения для квадрата и куба суммы двух слагаемых (такая сумма называется «бином», по-русски – двучлен.

(a+b)²=a²+2ab+b²

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

Если вы забыли эти формулы, можно их получить напрямую, раскрыв скобки в очевидных равенствах

(a+b)²=(a+b)(a+b)

(a+b)³=(a+b)(a+b)(a+b)

Может быть, вам приходил в голову вопрос: можно ли (без компьютера) получить формулы типа для биномов четвертой степени, пятой, десятой – какой угодно?

Давайте попробуем дойти напрямую хотя бы до пятой степени, а там, может быть, окажется «рояль в кустах» (для порядка будем размещать слагаемые в правой части по убыванию степени а, она убывает от максимума до нуля):

(a+b)⁴=(a+b)³(a+b)=(a³+3a²b+3ab²+b³)(a+b)=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

(a+b)⁵=(a+b)⁴(a+b)=(a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴)(a+b)=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵

Теперь отдельно выпишем численные коэффициенты в правых частях формул при возведении бинома в заданную степень:

n=2 1,2,1

n=3 1,3,3,1

n=4 1,4,6,4,1

n=5 1,5,10,5,1

Легко проверить, что выписанные на численные коэффициенты – это строчки треугольника Паскаля, начиная с третьей. Этот «усеченный треугольник», в котором не хватает первых двух строк, легко сделать полным (получить строчки при n=0 и n=1):

n=0, (a+b)⁰=1

n=1, (a+b)¹=a+b

Окончательно получим:

n=0 1

n=1 1,1

n=2 1,2,1

n=3 1,3,3,1

n=4 1,4,6,4,1

n=5 1,5,10,5,1

Общая формула бинома Ньютона:

.

Правая часть формулы называется разложением степени бинома.

 — называется биномиальными коэффициентами, а все слагаемые — членами бинома.

Треугольник Паскаля — бесконечная таблица биномиальных коэффициентов, имеющая треугольную форму. В этом треугольнике на вершине и по бокам стоят единицы. Каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел. Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси. Назван в честь Блеза Паскаля. 

На самом деле, о треугольнике Паскаля было известно задолго до Паскаля — его знал живший в XI-XII вв. среднеазиатский математик и поэт Омар Хайям (к сожалению, его сочинение об этом до нас не дошло). Первое, дошедшее до нас описание формулы бинома Ньютона содержится в появившейся в 1265 г. книге среднеазиатского математика ат-Туси, где дана таблица чисел   (биномиальных коэффициентов) до n=12 включительно.

Европейские ученые познакомились с формулой бинома Ньютона, по-видимому, через восточных математиков. Детальное изучение свойств биномиальных коэффициентов провел французский математик и философ Б. Паскаль в 1654 г.

В заключении рассмотрим пример, в котором использование бинома Ньютона позволяет доказать делимость выражения на заданное число.

Пример 5.

Доказать, что значение выражения 5ⁿ+28n-1, где n – натуральное число, делится на 16 без остатка.

Решение: представим первое слагаемое выражение как 5ⁿ= (4+1)ⁿ и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

Полученное произведение доказывает делимость исходного выражения на 16. 

Бином Ньютона применяется при доказательстве Теоремы Ферма, в теории бесконечных рядов и выводе формулы Ньютона-Лейбница

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля

№1.

Из данных многочленов выделите симметрические:

1. 2х²-5ху+2у²-6
2. 6x⁴-16xy²-6y³+19
3. -3ху+6х²-5у²+8
4. 16x⁴y²+16x²y⁴-x⁴-y⁴

Решение: к данному заданию применим определение симметрических многочленов (Многочлен Р(х;у) называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при одновременной замене х на у и у на х). Получим, что нам подходят 1 и 4 пункты.

Верный ответ:

1. 2х²-5ху+2у²-6
2. 6x⁴-16xy²-6y³+19
3. -3ху+6х²-5у²+8
4. 16x⁴y²+16x²y⁴-x⁴-y⁴

№2.

(а+b)⁵= __a⁵ +___a⁴b+___a³b²+___a²b³+___ab⁴+__b⁵

Решение: для решения данного задания воспользуемся треугольником Паскаля

1    
1    1    
1    2    1    
1    3    3    1    
1    4    6    4    1    
1    5    10    10    5    1

Нас интересует последняя строчка.

Применив ее, получим ответ:

(а+b)⁵= 1a⁵ +5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+1b⁵

Применение табличного процессора Excel для графического решения уравнений n-й степени

Цели урока:

1. Формирование умений и навыков, носящих в современных условиях общенаучный и обще интеллектуальный характер.
2. Развитие у школьников теоретического, творческого мышления, а также формирование операционного мышления, направленного на выбор оптимальных решений.
3. Научить учащихся применять современное программное обеспечение в решении нестандартных задач.
4. Повторение пройденного материала.

Задачи урока:

1. Воспитательная – развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры.
2. Учебная – изучить и закрепить основные навыки работы с электронными таблицами.
3. Развивающая – развитие логического мышления, расширение кругозора.

Оборудование: персональные компьютеры (ПК), раздаточный материал, доска, маркеры, проектор.

План урока

1. Организационный момент.
2. Фронтальный опрос для проверки уровня подготовки учащихся к усвоению нового материала.

   1) Какие дополнительные возможности есть у программы Excel?
   2) Как вы понимаете термин деловая графика?
   3) Какими возможностями для создания деловой графики обладает Excel?
   4) При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Excel?
   5) Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле?
   6) Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее?

3. Объяснение нового материала. Проводится одновременно с работой учеников на ПК синхронно с учителем.
4. Самостоятельная работа учащихся на компьютерах.
5. Сравнение результатов, полученных графическим способом (Excel) и аналитическим (Qbasic).
6. Выполнение индивидуальных заданий.
7. Подведение итогов.
8. Выставление оценок.
9. Домашнее задание.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Фронтальный опрос.

1) Для чего нужна программа Excel?

Ответ: для создания таблиц, вычисляемых таблиц, диаграмм и графиков (деловой графики).

2) Какими возможностями для создания деловой графики обладает Excel?

Ответ: с помощью библиотеки диаграмм можно составлять диаграммы и графики разных видов (гистограммы, круговые диаграммы, столбчатые, графики и др.), их можно снабжать заголовками и пояснениями, можно задавать цвет и вид штриховки в диаграммах, редактировать их, печатать их на бумаге, изменяя размеры и расположение на листе, вставлять диаграммы в нужное место листа.

3) При помощи какой команды меню можно построить диаграммы и графики в Excel?

Ответ: с помощью вызова Мастера диаграмм (по команде Вставка-Диаграмма или с помощью кнопки Мастер диаграмм).

4) Как задать автоматическое вычисление в таблице значений ячеек по определенной формуле?

Ответ: активизировать нужную ячейку, затем ввести знак «=» и формулу, которая может содержать адреса ячеек, знаки арифметических операций и функции. Контролировать и редактировать ввод формулы можно с помощью строки ввода формулы, которая расположена в верхней части окна программы.

5) Каким образом можно занести формулу в несколько ячеек, т.е. скопировать ее.

Ответ: ввести формулу в ячейку, установить курсор на нижнем правом маркере ячейки (при этом курсор должен принять вид маленького черного крестика) и протянуть его до последней ячейки в нужном диапазоне.

3. Объяснение нового материала (проводится одновременно с работой учеников на компьютерах синхронно с учителем).

Тема урока «Применение табличного процессора Excel для графического решения уравнений n-ой степени».

Из курса математики нам известно, что корнями уравнения являются значения точек пересечения графика функции (то есть нашего уравнения) с осью абсцисс. Если же мы решаем систему уравнений, то ее решениями будут координаты точек пересечения графиков функций. Этот метод нахождения корней называется графическим. На прошлом занятии мы узнали, что с помощью программы Excel можно строить практически любые графики. Воспользуемся этими знаниями для нахождения корней системы уравнений графическим методом.

Для примера рассмотрим решение следующей системы уравнений:

Y — X² = 0
Y – 2X = 9

Преобразуем данную систему в приведенную:

Y = X²
Y = 2X + 9

Для оценки решений воспользуемся диаграммой, на которой отобразим графики обеих функций. Сначала построим таблицу 1 (рисунок 1).

Таблица 1

Рисунок 1

• Первая строка – строка заголовков. Далее для построения таблицы используем формулы.
• При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х=-10, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу А2+1 и скопировать ее до ячейки А23.
• При заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2, которая затем копируется до ячейки В23.
• При заполнении столбца С в ячейку С2 заносится формула 2*А2+9, и также копируется до С23.
• Выделяем таблицу вместе со строкой заголовка и помощью мастера диаграмм выберем тип диаграмм Точечная и построим черновую диаграмму первоначальной оценки решений.
• Вводим заголовок «Диаграмма оценки решения» и обозначения осей x, y (поле ввода текста).
• Добавляем основные линии сетки по оси X и по оси Y (выставляем флажки).
• Размещаем легенду справа от графиков (выставляем флажок «добавить легенду» и включаем переключатель «размещение справа»).
• Размещаем графики на имеющемся листе.
• Подписываем лист 1 «Диаграмма оценки решения» (рисунок 2).

Диаграмма оценки решения

Рисунок 2

На диаграмме видно, что оба графика имеют точки пересечения – эти координаты точек и есть решения системы. Так как шаг изменения аргумента был достаточно велик, то мы получили приближенные значения решений. Уточним их, построив два графика в интервалах от –3 до 0, где находится первое решение, и от 3 до 5 – где находится второе. Составим новые таблицы.

Для первого решения (таблица 2, рисунок 3).

Таблица 2

Рисунок 3

• При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х=-3, для автоматического заполнения всего столбца нужно в ячейку А3 занести формулу А2+0,1(в этом случае мы уменьшаем шаг изменения аргумента для более точного построения) и скопировать ее до ячейки А23.
• При заполнении столбца В в ячейку В2 заносится формула А2*А2, которая затем копируется до ячейки В23.
• При заполнении столбца С в ячейку С2 заносится формула 2*А2+9, и также копируется до С23.
• Выделяем таблицу вместе со строкой заголовка и помощью мастера диаграмм
• выберем тип диаграмм Точечная и построим диаграмму для первого решения.
• Вводим заголовок «Первое решение» и обозначения осей x, y (поле ввода текста).
• Добавляем основные линии сетки по оси X и по оси Y (выставляем флажки).
• Размещаем легенду справа от графиков (выставляем флажок «добавить легенду» и включаем переключатель «размещение справа»).
• Размещаем графики на имеющемся листе.
• Подписываем лист 2 «Первое решение» (рисунок 4).

Первое решение

Рисунок 4

4. Самостоятельная работа.

Для второго решения ребята самостоятельно строят таблицу (таблица 3, рисунок 5), выбрав правильно промежуток. Затем по таблице строят диаграмму для второго решения (рисунок 6). Учитель проходит и проверяет правильность выполнения работы. И если нужна помощь, то в индивидуальном порядке оказывает ее.

Таблица 3

Рисунок 5

Второе решение

Рисунок 6

Решением нашей системы будут координаты точек пересечения графиков: X1=-2,1; Y1=4,8; X2=4,2; Y2=17,4.

Как вы уже поняли, графическое решение системы дает приблизительные результаты.

5. Сравнение результатов, полученных графическим способом (Excel) и аналитическим (Qbasic).

Учитель предлагает решить данную систему уравнений аналитическим способом, используя ранее полученную на уроках информатики программу решения квадратного уравнения.2-4*a*c
IF d<0 THEN PRINT «Решений нет»: GOTO 90
IF d=0 THEN x=-b/(2*a): PRINT «x=»; x: GOTO 90
X1=(-b-SQR(d))/(2*a)
X2=(-b+SQR(d))/(2*a)PRINT “x1=”; x1, “x2=”; x2
90 END

Подставив коэффициенты в программу, получаем точное значение абсцисс:

x1=-2,162278
x2= 4,162278

Сравниваем решения системы, полученные графическим способом и аналитическим. Делаем выводы.

6. Выполнение индивидуальных заданий.

1. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²
Y=4X+12

2. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+5
Y=6X+12

3. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+4
Y=X+12

4. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+5
Y=4X+4

5. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+5
Y=3X+12

6. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=2X²+4X+12

7. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²
Y=8X+12

8. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=X+12

9. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+3
Y=5X+1

10. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X²+2
Y=X+12

11. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=4X²+12

12. C помощью табличного процессора Excel решить графически систему:

Y=X³+5
Y=X²+4X+12

7. Подведение итогов.

Распечатка отчетов.

8. Выставление оценок.

9. Домашнее задание.

Проанализировать и проверить свои индивидуальные задания и оформить отчеты на листочках.

Ограничить область определения значения, обратного полиномиальной функции

Пример 7: Нахождение области определения радикальной функции, составленной с помощью рациональной функции

Найдите область определения функции [латекс] f \ left (x \ right) = \ sqrt {\ frac {\ left (x + 2 \ right) \ left (x — 3 \ right)} {\ left (x — 1 \ right)}} [/ латекс].

Решение

Поскольку квадратный корень определяется только тогда, когда величина под радикалом неотрицательна, нам нужно определить, где [латекс] \ frac {\ left (x + 2 \ right) \ left (x — 3 \ right)} { \ left (x — 1 \ right)} \ ge 0 [/ латекс].Выходные данные рациональной функции могут менять знаки (с положительных на отрицательные или наоборот) на x -перехваченных точках и на вертикальных асимптотах. Для этого уравнения график может менять знаки при x = –2, 1 и 3.

Чтобы определить интервалы, на которых рациональное выражение является положительным, мы могли бы проверить некоторые значения в выражении или нарисовать график. Хотя оба подхода работают одинаково хорошо, для этого примера мы будем использовать график.

Рисунок 9

Эта функция имеет два перехвата x , оба из которых демонстрируют линейное поведение рядом с перехватами x .Имеется одна вертикальная асимптота, соответствующая линейному множителю; это поведение аналогично базовой функции обратного инструментария, и здесь нет горизонтальной асимптоты, потому что степень числителя больше степени знаменателя. В точке (0, 6) находится перехват y .

Из интервала y и интервала x при x = –2, мы можем нарисовать левую часть графика. По поведению на асимптоте мы можем нарисовать правую часть графика.

Теперь по графику мы можем сказать, на каких интервалах выходы будут неотрицательными, так что мы можем быть уверены, что исходная функция f ( x ) будет определена. f ( x ) имеет домен [latex] -2 \ le x <1 \ text {или} x \ ge 3 [/ latex], или в обозначении интервала, [latex] \ left [-2,1 \ right) \ чашка \ left [3, \ infty \ right) [/ латекс].

Нахождение точек пересечения по уравнению

X Intercept : график уравнения пересекает ось x

Y Intercept : график уравнения пересекает ось Y

Чтобы найти перехватчики:

Если вы хотите, чтобы x перехватывал (x, 0):

Установите y = 0, затем решите относительно x

Если вы хотите, чтобы y перехватывал (0, y):

Установите x = 0, затем решите относительно y

Пример: найти точки пересечения y = x

² — 4

x пересечение: установить y = 0

0 = х ² — 4

x ² = 4

x = 2 или −2

Точки: (2,0) и (−2,0)

Перехват y: установить x = 0

y = 0 ² — 4

г = −4

Точка (0, -4)

А вот график x ² — 4, чтобы подтвердить то, что мы нашли:

Пример: найти точки пересечения x

² — 5x + y ² + 3y = 0

x пересечение: установить y = 0

x ² — 5x + 0 ^{+ 0 = 0}

х (х − 5) = 0

x = 0 и 5

Точки: (0,0) и (5,0)

Перехват y: установить x = 0

0 ^{— 0 + y 2 + 3y = 0}

г (у + 3) = 0

y = 0 или −3

Точки: (0,0) и (0, −3)

Итак, всего 3 балла:

(0,0), (5,0) и (0, −3)

А вот и график… это круг!

колледж-алгебра — ближайшая точка

Общественный колледж Меса Концепции алгебры колледжа — MAT 150 онлайн Задача: Найдите точку на графике кривой y = x 2 + 1, ближайшую к фиксированной точке (4,1). Предпосылки: Эта проблема относится к классу задач, обычно называемых проблемами минимизации, минимальными / максимальными проблемами или проблемами экстремумов. Курсы математического анализа традиционно решают этот тип проблем, задав любой из следующих вопросов: Каковы размеры правильного круглого цилиндра с объемом 1000 см 3 , который минимизирует площадь поверхности? Водопровод должен быть проложен из точки P в точку S и должен проходить через регионы, где затраты на строительство различаются (представлена ​​диаграмма).Найдите путь, по которому должен пройти инженер, чтобы затраты на прокладку трубы были минимальными. Тренажерный зал состоит из прямоугольной области с полукругом на каждом конце. Если по периметру комнаты должна быть беговая дорожка длиной 200 метров, найдите размеры комнаты, которые сделают площадь прямоугольной области как можно большей. В каждой задаче мы пытаемся найти наименьшее или наибольшее значение. Хотя исчисление можно использовать для нахождения точных решений этих проблем, мы будем использовать алгебру и наши графические калькуляторы для аппроксимации решения.Часть нашего решения, относящаяся к алгебре, на самом деле такая же, как если бы мы использовали исчисление. Переформулировка задачи: Найдите точку (x, y) на графике кривой y = x 2 + 1, ближайшую к фиксированной точке (4,1). Сначала давайте нарисуем график, чтобы получить более четкое представление о том, что происходит. Мы пытаемся найти точку A (x, y) на графике параболы y = x 2 + 1, которая ближе всего к точке B (4,1). Переформулировка задачи: Найдите точку A (x, y) на графике параболы, y = x 2 + 1, что минимизирует расстояние d между кривой и точка B (4,1). Проблема разбивается на три части: 1. Поскольку мы хотим минимизировать d, нам нужна функция, описывающая расстояние между (x, y) и (4,1). 2.Найдите значение x, которое минимизирует d. 3. Найдите точку (x, y) на графике параболы y = x 2 + 1, которая минимизирует d. Часть 1: Постройте функцию, описывающую расстояние между (x, y) и (4,1). По «distance forumla» расстояние d между (x, y) и (4,1) равно Для любой точки (x, y) на параболе y = x 2 + 1, Подставляя y в формулу для d, получаем Упрощение, Часть 2: Используя графический калькулятор, мы зарисовываем график d и ищем точку, в которой встречается минимальное значение d. Используя функцию трассировки, мы можем увидеть, что минимальное значение d происходит (приблизительно) в точке (x, d ) = (1,12817, 3,4123 ) То есть d — это минимум , когда x составляет приблизительно 1,12817 Кратчайшее расстояние между B и параболой составляет примерно 3.14123 Часть 3: Помните, что мы предполагаем, что найдет точку (x, y) на графике параболы, y = x 2 + 1, что минимизирует d . Пока мы знаем x и знаем d, но мы еще не нашли y. Используя уравнение для параболы, y = x 2 + 1 и значение x, которое минимизировало d, (x = 1,12817), получаем y = 2,27277 (приблизительно). Итак, чтобы ответить на исходный вопрос, ближайшая точка параболы y = x 2 + 1 к точке (4,1) приблизительно равна (1.12817, 2.27277). © 1999 Джо Стейг

Решение линейно-квадратичных систем

Вы, наверное, решили системы линейных уравнений. Но как насчет системы двух уравнений, в которой одно уравнение является линейным, а другое — квадратичным?

Мы можем использовать версию метода подстановки для решения систем этого типа.

Помните, что уравнение прямой имеет вид y = mx + b, а стандартная форма уравнения параболы с вертикальной осью симметрии — y = ax2 + bx + c, a ≠ 0.

Чтобы избежать путаницы с переменными, запишем линейное уравнение в виде y = mx + d, где m наклон и d является точкой пересечения оси Y линии.

Подставляем выражение для y из линейного уравнения в квадратное уравнение. То есть подставляем mx + d для тебя в y = ax2 + bx + c .

мх + д = ах2 + Ьх + с

Теперь перепишите новое квадратное уравнение в стандартной форме.

Вычесть mx + d с обеих сторон.

(mx + d) — (mx + d) = (ax2 + bx + c) — (mx + d) 0 = ax2 + (b − m) x + (c − d)

.

Теперь у нас есть квадратное уравнение с одной переменной, решение которого можно найти с помощью формулы корней квадратного уравнения.

Решения уравнения ax2 + (b − m) x + (c − d) = 0 даст x-координаты точек пересечения графиков прямой и параболы.Соответствующие координаты y могут быть найдены с помощью линейного уравнения.

Другой способ решения системы — построить график двух функций на одной и той же координатной плоскости и определить точки пересечения.

Пример 1:

Найдите точки пересечения прямой y = 2x + 1 и парабола y = x2−2.

Замена 2x + 1 для y в y = x2−2.

2x + 1 = x2−2

Напишите квадратное уравнение в стандартной форме.

2x + 1−2x − 1 = x2−2−2x − 10 = x2−2x − 3

Используйте формулу корней квадратного уравнения, чтобы найти корни квадратного уравнения.

Здесь a = 1, b = −2, c = −3.

x = — (- 2) ± (−2) 2-4 (1) (- 3) 2 (1) = 2 ± 4 + 122 = 2 ± 42 = 3, −1

Подставьте значения x в линейное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y.

x = 3⇒y = 2 (3) +1 = 7x = −1⇒y = 2 (−1) +1 = −1
Следовательно, точки пересечения равны (3,7) и (−1, −1).

Постройте параболу и прямую линию на координатной плоскости.

Аналогичный метод можно использовать для поиска точек пересечения прямой и окружности.

Пример 2:

Найдите точки пересечения прямой y = −3x и окружность x2 + y2 = 3.

Заменитель −3x для тебя в x2 + y2 = 3 .

x2 + (- 3x) 2 = 3

Упростить.

x2 + 9×2 = 310×2 = 3×2 = 310
Извлечение квадратного корня, x = ± 310.

Подставьте значения x в линейное уравнение, чтобы найти соответствующие значения y.
x = 310⇒y = −3 (310) = −3310x = −310⇒y = −3 (−310) = 3310

Следовательно, точки пересечения (310, −3310) и (-310, 3310).

Постройте окружность и прямую линию на координатной плоскости.

… или линия и эллипс.

Пример 3:

Решите систему уравнений y = −5 и x29 + y24 = 1.

Заменитель −5 для тебя в −5.

x29 + (- 5) 24 = 1

Упростить.

x29 + (- 5) 24 = 14×236 + 9 (25) 36 = 14×2 + 225 = 364×2 = −189×2 = −1894

Здесь у нас есть отрицательное число как квадрат числа. Итак, два уравнения не имеют реальных решений.

Постройте эллипс и прямую линию на координатной плоскости.

Мы видим, что два не пересекаются.

переводов графа — темы в предварительном исчислении

17

Перевод графика

Переводы параболы

Вершина параболы

Уравнение окружности

Вертикальное растяжение и сжатие

ПЕРЕВОД ГРАФИКИ — это его жесткое движение по вертикали или горизонтали.

Слева — график функции абсолютного значения. Справа его перевод в «новое происхождение» в (3, 4).

Уравнение функции абсолютного значения:

y = | x |.

Уравнение его перевода в (3, 4):

y — 4 = | x — 3 |.

Например, когда x = 3, тогда y -4 = 0, то есть y = 4.

Таким образом, точка (3, 4) — это та точка на транслированном графе, которая изначально находилась в (0, 0).

В целом

	Если график
	y	=	f ( x )
переводится на a единицы по горизонтали и b единицы
вертикально, затем уравнение переведенного
график
	y — b	=	f ( x — a ).

Когда f ( x ) переводится в на единицы по горизонтали, тогда аргумент f ( x ) становится x — a . В приведенном выше примере аргумент | x | становится x — 3.

Мы докажем это ниже.

Пример 1. Напишите уравнение этого графика:

Ответ . y — 3 = | x + 5 |.

График абсолютного значения был переведен на 3 единицы вверх, но на 5 единиц до осталось . a = −5. Следовательно, x — , а становится

.

x — (−5) = x + 5.

Задача 1. Напишите уравнение этого графика:

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).

y + 3 = — | x + 4 |.

Мало того, что график абсолютного значения был переведен, он сначала был отражен относительно оси x .

Тема 15.

Перевод — это жесткое движение графика. График , отраженный , представляет собой жесткое движение y = — | x |.Таким образом, отражение происходит до преобразования в x = −4. Другими словами, если вы записали неотраженный перевод в (−3, −4) как

y = | x + 4 | — 3,

, а затем записал отражение о оси x как

y = — | x + 4 | + 3,

, что было бы неправильно. Вы могли видеть это, потому что, когда x = −4, y не равно −3.

Задача 2. Нарисуйте график

.

y = | x — 3 |.

Задача 3. Нарисуйте график

.

y = — | x + 2 |.

Задача 4. Нарисуйте график

.

y = — | x — 3 | + 2.

Это эквивалентно y — 2 = — | x — 3 |.

График отображается относительно оси x и переводится в (3, 2).

Задача 5. Нарисуйте график y =.

Задача 6. Нарисуйте график y = -.

Это функция квадратного корня, переведенная на 3 единицы влево.

Задача 7. Нарисуйте график y = 1 — x ² .

Это эквивалентно y — 1 = — x ² , что является отраженной параболой, переведенной на 1 единицу вверх.

Пример 2. Вершина параболы. Напишите уравнение параболы (со старшим коэффициентом 1), вершина которой находится в точке ( a , b ).

Ответ . y — b = ( x — a ) ² . Это перевод y = x ² в ( a , b ).

Задача 8. Напишите уравнение параболы, вершина которой находится в точке

.

а) (1, 2)	y — 2 = ( x — 1) 2
б) (-1, 2)	y — 2 = ( x + 1) 2
в) (1, −2)	y + 2 = ( x — 1) 2

Пример 3.Каковы координаты вершины этой параболы?

y	=	x 2 + 6 x + 9
Решение . Чтобы ответить, мы должны сделать уравнение таким:
y — b	=	( x — a ) 2

Тогда вершина будет в точке ( a , b ).

Теперь, x ² + 6 x + 9 — это полный квадрат ( x + 3):

y = x ² + 6 x + 9 = ( x + 3) ² .

Следовательно, a = −3 и b = 0. Вершина находится в точке (−3, 0.)

Пример 4. Каковы координаты вершины этой параболы?

y = x ² + 5

Решение .Опять же, мы должны сделать уравнение таким:

y — b = ( x — a ) ² .

Если просто переставить 5 —

y -5 = x ²

— мы видим, что a = 0, а b = 5. Вершина находится в точке (0, 5).

Пример 5. Завершение квадрата. Каковы координаты вершины этой параболы?

y	=	x 2 + 6 x −2
Решение .Сделать такую ​​форму —
y — b	=	( x — a ) 2

— постоянный член транспонируем, а квадрат справа заполним.

y + 2	=	x 2 + 6 x
Завершите квадрат, добавив 9 к обеим сторонам:
y + 2 + 9	=	x 2 + 6 x + 9
y + 11	=	( x + 3) 2

Вершина находится в точке (−3, −11).

Задача 9. Каковы координаты вершины этой параболы?

y = x ² -10 x + 25

Правая часть представляет собой идеальный квадрат ( x — 5).

y = ( x -5) ²

Таким образом, вершина находится в точке (5, 0).

Проблема 10.Каковы координаты вершины этой параболы?

y = x ² — 1

Из уравнения следует

y + 1 = x ² .

Вершина находится в точке (0 −1).

Задача 11. Каковы координаты вершины этой параболы?

y = x ² -8 x + 1

Переставьте постоянный член и заполните квадрат справа:

y — 1	=	x 2 -8 x
y — 1 + 16	=	x 2 — 8 x + 16
y + 15	=	( x -4) 2

Вершина находится в точке (4, −15).

Уравнение окружности

Что характеризует каждую точку ( x , y ) на окружности круга?

Каждая точка ( x , y ) находится на одинаковом расстоянии r от центра. Следовательно, согласно формуле расстояния Пифагора для расстояния точки от начала координат:

x ² + y ² = r ² .

Это уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат (0, 0).

Конкретно это —

x ² + y ² = 25

— уравнение окружности радиуса 5 с центром в начале координат.

Каждая пара значений ( x , y ), которая решает это уравнение, то есть делает его истинным утверждением, будет координатами точки на окружности.

Вопрос. Каково уравнение окружности с центром в точке ( a , b ) и радиусом r ?

Ответ . ( x — a ) ² + ( y — b ) ² = r ² .

Круг был переведен с (0, 0) на ( a , b ).

Проблема 12.Напишите уравнение окружности радиуса 3 с центром в следующей точке.

а) (1, 2)	( x — 1) 2 + ( y — 2) 2 = 9
б) (-1, -2)	( x + 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9
в) (1, −2)	( x — 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9

Пример 6.Покажите, что это уравнение круга. Назовите радиус и координаты центра.

x ² -4 x + y ² -2 y = 11

Решение . Чтобы показать, что что-то является уравнением круга, мы должны показать, что оно может иметь такую ​​форму:

( x — a ) ² + ( y — b ) ² = r ² .

Таким образом, мы завершим квадрат как x , так и y .

Чтобы завершить квадрат размером x , мы прибавим 4 к обеим сторонам.

Чтобы завершить квадрат y , мы прибавим 1 к обеим сторонам.

( x 2 -4 x + 4) + ( y 2 -2 y + 1)	=	11 + 4 + 1
( x -2) 2 + ( y -1) 2	=	16.

Это уравнение окружности радиуса 4, центр которой находится в точке (2, 1).

Тогда мы можем сказать, что когда квадратичный в x плюс квадратичный в y равен числу —

x ² -4 x + y ² -2 y = 11

— тогда это уравнение круга.

Коэффициенты при x ² и y ² равны 1.И число должно быть больше, чем минус суммы квадратов половин коэффициентов x и y .

Задача 13. Покажите, что это уравнение круга. Назовите радиус и координаты центра.

x ² + 6 x + y ² + 10 y — 2 = 0

Переставьте постоянный член и заполните квадрат как x , так и y .Добавьте одинаковые квадратные числа с обеих сторон:

( x 2 + 6 x + 9 ) + ( y 2 + 10 y + 25 )	=	2 + 9 + 25
( x + 3) 2 + ( y + 5) 2	=	36

Это уравнение круга радиуса 6 с центром в (−3, −5).

Вот доказательство основной теоремы.

Теорема. Если график y = f ( x ) переведен на a единиц по горизонтали и b единиц по вертикали, то уравнение переведенного графика будет

y — b = f ( x — a ).

Ибо в переводе каждая точка на графике перемещается одинаково.Пусть ( x ₁ , y ₁ ), тогда будут координатами любой точки на графике y = f ( x ), так что

y ₁ = f ( x ₁ ).

А переведем график на единиц по горизонтали и на единиц по вертикали, так что x ₁ перейдет в точку

x ₁ + a ,

и y ₁ переходит в точку

y ₁ + b .

Если a — положительное число, то эта точка будет справа от x ₁ , а если a отрицательное число, то она будет слева. Точно так же, если b — положительное число, тогда y ₁ + b будет больше y ₁ , а если b отрицательно, оно будет ниже.

Теперь, каким будет уравнение переведенного графика, когда значение x в уравнении равно x ₁ + a , значение y будет y ₁ + б ?

Мы говорим, что следующее уравнение:

y — b = f ( x — a ).

Для, когда x = x ₁ + a :

y — b = f ( x ₁ + a — a ) = f ( x ₁ ) = y ₁ 1 ₁

y = y ₁ + b .

И ( x ₁ , y ₁ ) — любая точка на графике y = f ( x ).Следовательно, уравнение переведенного графика —

.

y — b = f ( x — a ).

Что мы и хотели доказать.

Вертикальное растяжение и сжатие

Если мы умножим функцию f ( x ) на число c — получим c f ( x ) — каков будет эффект на графике?

Если мы умножим f ( x ) на число больше 1 — как на графике в центре — то каждое значение y будет растянуто; на этом графике в 2 раза.

Но если мы умножим f ( x ) на число меньше 1 — как на графике справа — то каждое значение y уменьшится; в этом графике в ½ раза.

Следующая тема: Рациональные функции

Содержание | Дом

---

Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
Даже 1 доллар поможет.

---

Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

Вопросы или комментарии?

Электронная почта: themathpage @ яндекс.com

Перемещение графика

Перемещение графика

Переместите график, напишите уравнение

А. Переместить график на 2 единицы вверх

Переместите исходный график y = x до 2 шт. Результирующий график y = x + 2.

Переместите исходный график y = Abs (x) до 2 шт. Результирующий график y = Abs (x) +2.

Переместите исходный график y = x 2 до 2 шт. Результирующий график y = х 2 +2

Переместите исходный график y = sin (x) до 2 шт. Результирующий график y = 2 + sin (x).

Переместите исходный график y = x 3 до 2 шт.Результирующий график y = х 3 +2.

Переместить исходный график круга х 2 + у 2 = 4 на 2 единицы измерения. Полученный график представляет собой круг x 2 + (у-2) 2 = 4.

Переместить исходный график эллипса x 2 /9 + y 2 /4 = от 1 до 2 единиц.Результирующий график — это эллипс x 2 /9 + (y-2) 2 /4 = 1

Переместите исходный график гиперболы x 2 /9 — y 2 /4 = от 1 до 2 единиц. Результирующий график — это гипербола х 2 /9 — (у-2) 2 /4 = 1

Переместите исходный график экспоненты функция y = 2 x до 2 единиц.Результирующий график представляет собой экспоненциальную функцию у = 2 х + 2.

Сдвинуть график вправо 2 единиц:

Переместить оригинал график г = x вправо на 2 единицы.Результирующий график: y = x- 2 .

Переместить оригинал график г = lxl вправо 2 шт. Результирующий график: y = lx-2l.

Переместить оригинал график г = x 2 вправо 2 шт.Результирующий график у = (х — 2) 2 .

Переместить оригинал график г = sin (x) вправо на 2 единицы. Результирующий график г = грех (х-2).

Переместить оригинал график г = x 3 вправо 2 шт.Результирующий график: y = (x ‘2) 3 900 18.

Переместить оригинал график круга x 2 + y 2 = 9 до правые 2 шт. Полученный график представляет собой окружность (x — 2) 2 + y 2 = 9 .

Переместить оригинал график эллипса x 2 /9 + y 2 /4 = 1 справа 2 шт. Результирующий график — эллипс (x-2) 2 /9 + y 2 /4 = 1

Переместить оригинал график гиперболы x 2 / 9 — y 2 /4 = 1 справа 2 шт.Результирующий граф — это гипербола (х — 2) 2 /9 — y 2 / 4 = 1

Переместить оригинал график экспоненциальной функции y = 2 x вправо 3 шт.Полученный график представляет собой экспоненциальную функцию . г = 2 (x- 3 ) .

Назад к Паттерны математики
Для загрузки Материалы Дона
Mathman home

Инверсия функции — объяснение и примеры

Что такое обратная функция?

В математике обратная функция — это функция, отменяющая действие другой функции.

Например, , сложение и умножение являются инверсией соответственно вычитания и деления.

Обратную функцию можно рассматривать как отражение исходной функции по линии y = x. Проще говоря, обратная функция получается заменой (x, y) исходной функции на (y, x).

Мы используем символ f ^{— 1} для обозначения обратной функции. Например, если f (x) и g (x) противоположны друг другу, то мы можем символически представить это утверждение как:

g (x) = f ^{— 1} (x) или f (x) = g ⁻¹ (x)

Следует отметить, что обратная функция — это не то же самое, что обратная функция, т.е.е., f ^{— 1} (x) ≠ 1 / f (x). В этой статье мы обсудим, как найти обратную функцию.

Поскольку не все функции имеют инверсию, важно проверить, есть ли у функции инверсия, прежде чем приступать к определению инверсии.

Мы проверяем, есть ли у функции инверсия, чтобы не тратить время на поиск чего-то, чего не существует.

Индивидуальные функции

Итак, как мы можем доказать, что данная функция имеет обратную? Функции, у которых есть обратные, называются взаимно однозначными функциями.

Функция называется взаимно однозначной, если для каждого числа y в диапазоне f существует ровно одно число x в области определения f такое, что f (x) = y.

Другими словами, домен и диапазон однозначной функции имеют следующие отношения:

• Область f ⁻¹ = Диапазон f.

• Диапазон f ^-1 = Область f.

Например, чтобы проверить, является ли функция f (x) = 3x + 5 взаимно однозначной заданной, f (a) = 3a + 5 и f (b) = 3b + 5.

⟹ 3a + 5 = 3b + 5

⟹ 3a = 3b

⟹ а = б.

Следовательно, f (x) является взаимно однозначной функцией, потому что a = b.

Рассмотрим другой случай, когда функция f задается формулой f = {(7, 3), (8, –5), (–2, 11), (–6, 4)}. Эта функция взаимно однозначна, потому что ни одно из ее значений y не встречается более одного раза.

А как насчет этой другой функции h = {(–3, 8), (–11, –9), (5, 4), (6, –9)}? Функция h не является взаимно однозначной, потому что значение y, равное –9, встречается более одного раза.

Вы также можете графически проверить взаимно однозначную функцию, проведя вертикальную и горизонтальную линии через график функции. Функция взаимно однозначна, если и горизонтальная, и вертикальная линии проходят через график один раз.

Как найти обратную функцию?

Найти инверсию функции — несложный процесс, хотя нам действительно нужно быть осторожными с парой шагов. В этой статье мы будем предполагать, что все функции, с которыми мы будем иметь дело, относятся друг к другу.

Порядок нахождения обратной функции f (x):

• Заменить обозначение функции f (x) на y.
• Поменять местами x на y и наоборот.
• Начиная с шага 2, решите уравнение относительно y. Будьте осторожны с этим шагом.
• Наконец, измените y на f ⁻¹ (x). Это обратная функция.
• Вы можете проверить свой ответ, проверив, верны ли следующие два утверждения:

⟹ (f ∘ f ⁻¹ ) (x) = x

⟹ (f ⁻¹ ∘ f) (x) = x

Давайте поработаем пару примеров.

Пример 1

Дана функция f (x) = 3x — 2, найти обратную ей.

Решение

f (x) = 3x — 2

Заменить f (x) на y.

⟹ у = 3х — 2

Поменять местами x на y

⟹ x = 3y — 2

Решить для y

х + 2 = 3 года

Разделим на 3, чтобы получить;

1/3 (х + 2) = у

х / 3 + 2/3 = у

Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).

f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3

Проверить (f ∘ f ⁻¹ ) (x) = x

(f ∘ f ⁻¹ ) (x) = f [f ⁻¹ (x)]

= е (х / 3 + 2/3)

⟹ 3 (х / 3 + 2/3) — 2

⟹ х + 2–2

= х

Следовательно, f ⁻¹ (x) = x / 3 + 2/3 — правильный ответ.

Пример 2

Дано f (x) = 2x + 3, найти f ⁻¹ (x).

Решение

f (x) = y = 2x + 3

2x + 3 = y

Поменять местами x и y

⟹2y + 3 = х

Теперь решите для

у.

⟹2y = х — 3

⟹ у = х / 2 — 3/2

Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x)

⟹ f ⁻¹ (x) = (x– 3) / 2

Пример 3

Задайте функцию f (x) = log ₁₀ (x), найдите f ⁻¹ (x).

Решение

f (x) = log₁₀ (x)

Заменено f (x) на y

⟹ y = журнал ₁₀ (x) ⟹ 10 ^y = x

Теперь поменяйте местами x на y, чтобы получить;

⟹ y = 10 ^x

Наконец, заменим y на f ⁻¹ (x).

f ^-1 (x) = 10 ^x

Следовательно, обратное значение f (x) = log ₁₀ (x) равно f ^-1 (x) = 10 ^x

Пример 4

Найдите обратную функцию к следующей функции g (x) = (x + 4) / (2x -5)

Решение

г (x) = (x + 4) / (2x -5) ⟹ y = (x + 4) / (2x -5)

Обмен y с x и наоборот

y = (x + 4) / (2x -5) ⟹ x = (y + 4) / (2y -5)

⟹ х (2у-5) = у + 4

⟹ 2xy — 5x = y + 4

⟹ 2xy — y = 4 + 5x

⟹ (2x — 1) y = 4 + 5x

Разделите обе части уравнения на (2x — 1).

⟹ у = (4 + 5x) / (2x — 1)

Заменить y на g ^-1 (x)

= г ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)

Проба:

(г г ^-1 ) (x) = г [г ^-1 (x)]

= г [(4 + 5x) / (2x — 1)]

= [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5]

Умножьте числитель и знаменатель на (2x — 1).

⟹ (2x — 1) [(4 + 5x) / (2x — 1) + 4] / [2 (4 + 5x) / (2x — 1) — 5] (2x — 1).

⟹ [4 + 5x + 4 (2x — 1)] / [2 (4 + 5x) — 5 (2x — 1)]

⟹ [4 + 5x + 8x − 4] / [8 + 10x — 10x + 5]

⟹13x / 13 = x
Следовательно, g ^{— 1} (x) = (4 + 5x) / (2x — 1)

Пример 5

Определите значение, обратное следующей функции f (x) = 2x — 5

Решение

Заменить f (x) на y.

f (x) = 2x — 5⟹ y = 2x — 5

Переключите x и y, чтобы получить;

⟹ х = 2у — 5

Изолировать переменную y.

2у = х + 5

⟹ у = х / 2 + 5/2

Измените y обратно на f ^–1 (x).

⟹ f ^–1 (x) = (x + 5) / 2

Пример 6

Найти обратную функцию к функции h (x) = (x — 2) ³ .

Решение

Измените h (x) на y, чтобы получить;

h (x) = (x — 2) ³ ⟹ y = (x — 2) ³

Поменять местами x и y

⟹ х = (у — 2) ³

Изолятор ул.

y ³ = x + 2 ³

Найдите кубический корень из обеих частей уравнения.

³ √y ³ = ³ √x ³ + ³ √2 ³

y = ³ √ (2 ³ ) + 2

Заменить y на h ^-1 (x)

ч ^{— 1} (x) = ³ √ (2 ³ ) + 2

Пример 7

Найти обратную величину h (x) = (4x + 3) / (2x + 5)

Решение

Заменить h (x) на y.

h (x) = (4x + 3) / (2x + 5) ⟹ y = (4x + 3) / (2x + 5)

Поменять местами x и y.

⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5).

Решите относительно y в приведенном выше уравнении следующим образом:

⟹ х = (4у + 3) / (2у + 5)

Умножаем обе стороны на (2y + 5)

⟹ х (2у + 5) = 4у + 3

Распределить x

⟹ 2xy + 5x = 4y + 3

Изолятор ул.

⟹ 2xy — 4y = 3 — 5x

⟹ y (2x — 4) = 3-5x

Разделим на 2x — 4, чтобы получить;

⟹ у = (3 — 5x) / (2x — 4)

Наконец, замените y на h ^{— 1} (x).

⟹ ч ^{— 1} (x) = (3 — 5x) / (2x — 4)

Практические вопросы

Найдите обратное значение для следующих функций:

1. г (x) = (2x — 5) / 3.
2. h (x) = –3x + 11.
3. г (x) = — (x + 2) ² — 1.
4. г (х) = (5/6) х — 3/4
5. f (x) = 3 x — 2.
6. ч (х) = х ² + 1.
7. г (x) = 2 (x — 3) ² -5
8. f (x) = x ² / (x ² + 1)
9. ч (х) = √x — 3.

   No related posts.