Теория вероятностей
Теория вероятностей
ОглавлениеГлава 1. ВведениеПРЕДИСЛОВИЕ 1. ![]() Теория вероятностей: 1.2. Краткие исторические сведения Глава 2. Основные понятия теории вероятностей 2.1. Событие. Вероятность события 2.2. Непосредственный подсчет вероятностей 2.3. Частота, или статистическая вероятность, события 2.4. Случайная величина 2.5. Практически невозможные и практически достоверные события. Принцип практической универсальности Глава 3. Основные теоремы теории вероятностей 3.1. Назначение основных теорем. Сумма и произведение событий 3.2. Теорема сложения вероятностей 3.3. Теорема умножения вероятностей 3.4. Формула полной вероятности 3.5. Теорема гипотез (формула Бейеса) Глава 4. Повторение опытов 4.1. Частная теорема о повторении опытов 4.2. Общая теорема о повторении опытов Глава 5. Случайные величины и их законы распределения 5.1. Ряд распределения. Многоугольник распределения 5.2. Функция распределения 5.3. Вероятность попадания случайной величины на заданный участок 5. ![]() 5.5. Числовые характеристики случайных величин. Их роль и назначение 5.6. Характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) 5.7. Моменты. Дисперсия. Среднее квадратичное отклонение 5.8. Закон равномерной плотности 5.9. Закон Пуассона Глава 6. Нормальный закон распределения 6.1. Нормальный закон распределения и его параметры 6.2. Моменты нормального распределения 6.3. Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Нормальная функция распределения 6.4. Вероятное (срединное) отклонение Глава 7. Определение законов распределения случайных величин на основе опытных данных 7.1. Основные задачи математической статистики 7.2. Простая статистическая совокупность. Статистическая функция распределения 7.4 Числовые характеристики статистического распределения 7.5. Выравнивание статистических рядов 7.6. Критерии согласия Глава 8. ![]() 8.1. Понятие о системе случайных величин 8.2. Функция распределения системы двух случайных величин 8.3. Плотность распределения системы двух случайных величин 8.4. Законы распределения отдельных величин, входящих в систему. Условные законы распределения 8.5 Зависимые и независимые случайные величины 8.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции 8.7. Система произвольного числа случайных величин 8.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин Глава 9. Нормальный закон распределении дли системы случайных величин 9.1. Нормальный закон на плоскости 9.2 Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду 9.3. Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания 9.4. Вероятность попадания в эллипс рассеивания 9.5. Вероятность попадания в область произвольной формы 9.6. Нормальный закон в пространстве трех измерений. ![]() Глава 10. Числовые характеристики функций случайных величин 10.1. Математическое ожидание функции. Дисперсия функции 10.2. Теоремы о числовых характеристиках 10.3. Применения теорем о числовых характеристиках Глава 11. Линеаризация функций 11.1. Метод линеаризации функций случайных аргументов 11.2. Линеаризация функции одного случайного аргумента 11.3. Линеаризация функции нескольких случайных аргументов Глава 12. Законы распределения функций случайных аргументов 12.1. Закон распределения монотонной функции одного случайного аргумента 12.2. Закон распределения линейной функции от аргумента, подчиненного нормальному закону 12.3. Закон распределения немонотонной функции одного случайного аргумента 12.4. Закон распределения функции двух случайных величин 12.5. Закон распределения суммы двух случайных величин. ![]() 12.6. Композиция нормальных законов 12.7. Линейные функции от нормально распределенных аргументов 12.8. Композиция нормальных законов на плоскости Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей 13.1. Закон больших чисел и центральная предельная теорема 13.2. Неравенство Чебышева 13.3. Закон больших чисел (теорема Чебышева) 13.4. Обобщенная теорема Чебышева. Теорема Маркова 13.5. Следствия закона больших чисел: теоремы Бернулли и Пуассона 13.6. Массовые случайные явления и центральная предельная теорема 13.7. Характеристические функции 13.8. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагаемых 13.9. Формулы, выражающие центральную предельную теорему и встречающиеся при ее практическом применении Глава 14. Обработка опытов 14.1. Особенности обработки ограниченного числа опытов. Оценки дли неизвестных параметров закона распределения 14.2. Оценки для математического ожидания и дисперсии 14. ![]() 14.4. Точные методы построения доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону 14.5. Оценка вероятности по частоте 14.7. Обработка стрельб 14.8. Сглаживание экспериментальных зависимостей по методу наименьших квадратов Глава 15. Основные понятия теории случайных функций 15.1. Понятие о случайной функции 15.2. Понятие о случайной функции как расширение понятия о системе случайных величин. Закон распределения случайной функции 15.3. Характеристики случайных функций 15.4. Определение характеристик случайной функции из опыта 15.5. Методы определения характеристик преобразованных случайных функций по характеристикам исходных случайных функций 15.6. Линейные и нелинейные операторы. Оператор динамической системы 15.7. Линейные преобразования случайных функций 15.7.1. Интеграл от случайной функции 15. ![]() 15.8. Сложение случайных функций 15.9. Комплексные случайные функции Глава 16. Канонические разложения случайных функций 16.1. Идея метода канонических разложений. Представление случайной функции в виде суммы элементарных случайных функций 16.2. Каноническое разложение случайной функции 16.3. Линейные преобразования случайных функций, заданных каноническими разложениями Глава 17. Стационарные случайные функции 17.1. Понятие о стационарном случайном процессе 17.2. Спектральное разложение стационарной случайной функции на конечном участке времени. Спектр дисперсий 17.3. Спектральное разложение стационарной случайной функции на бесконечном участке времени. Спектральная плотность стационарной случайной функции 17.4. Спектральное разложение случайной функции в комплексной форме 17.5. Преобразование стационарной случайной функции стационарной линейной системой 17.6. Применения теории стационарных случайных процессов к решению задач, связанных с анализом и синтезом динамических систем ![]() 17.8. Определение характеристик эргодической стационарной случайной функции по одной реализации Глава 18. Основные понятия теории информации 18.1. Предмет и задачи теории информации 18.2. Энтропия как мера степени неопределенности состояния физической системы 18.3. Энтропия сложной системы. Теорема сложения энтропий 18.4. Условная энтропия. Объединение зависимых систем 18.5. Энтропия и информация 18.6. Частная информация о системе, содержащаяся в сообщении о событии. Частная информация о событии, содержащаяся в сообщении о другом событии 18.7. Энтропия и информация для систем с непрерывным множеством состояний 18.8. Задачи кодирования сообщений. Код Шеннона-Фэно 18.9. Передача информации с искажениями. Пропускная способность канала с помехами Глава 19. Элементы теории массового обслуживания 19.1. Предмет теории массового обслуживания 19.2. Случайный процесс со счетным множеством состояний 19. ![]() 19.4 Нестационарный пуассоновский поток 19.5. Поток с ограниченным последействием (поток Пальма) 19.6. Время обслуживания 19.7. Марковский случайный процесс 19.8. Система массового обслуживания с отказами. Уравнения Эрланга 19.9. Установившийся режим обслуживания. Формулы Эрланга 19.10. Система массового обслуживания с ожиданием 19.11. Система смешанного типа с ограничением по длине очереди Приложения Таблица 1 Значения нормальной функции распределения Таблица 2. Значения экспоненциальной функции Таблица 3. Значения нормальной функции Таблица 4. Значения “хи-квадрат” в зависимости от r и p Таблица 5. Значения удовлетворяющие равенству Таблица 7. Таблица значений функции Таблица 8. Значения распределение Пуассона |
Конспект по математике «Основные понятия и задачи математической статистики»
Основные понятия и задачи математической статистики
Д/з
§ 25. 1, № 25.4, 25.5
Основные задачи математической статистики
Математическая статистика — это раздел теории вероятностей, в котором рассматриваются практические методы исследования случайных величин и событий. В математической статистике изучают теорию и методы обработки информации о массовых явлениях. Под статистическим данными понимают сведения о числе объектов какой-либо или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками. Пример уч. стр 410. В основе такого изучения лежат опытные наблюдения. Чем более обширны результаты этих наблюдений, тем с большей достоверностью можно делать выводы из них. Задачи математической статистики можно разбить на три группы:
1) Задачи определения законов распределения
случайных величин. Если число наблюдений достаточно велико, то результаты
наблюдений могут быть как угодно близки к истинному закону распределения. На практике, даже при очень большом числе наблюдений, имеются отклонения частот
наблюдаемых событий от реальных значений вероятностей. Поэтому результаты
наблюдений содержат как закономерную, так и случайную составляющую. Поэтому
задача состоит в выделении закономерной части и отсеивании случайной части
результатов. Для достаточно надежного решения этой задачи требуется достаточно
большой объем наблюдений (порядка одной или нескольких сотен).
2) Проверка различных статистических гипотез, оценка правдоподобия полученных по результатам наблюдений выводов. Для решения этой задачи требуется объем наблюдений порядка 50-100.
3) Получение статистических оценок числовых характеристик случайных величин. Для решения этой задачи требуется небольшой объем наблюдений порядка 20.
Выборочные методы
Основным методом изучения случайных величин в математической статистике является выборочный метод.
При выборочном исследовании из всей
совокупности отбирают некоторым образом определенное число объектов и только их
подвергают исследованию.
Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.
Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.
Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N, выборочной – n.
Пример:
Если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.
При составлении выборки можно поступить двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Т.о. выборки делятся на повторные и бесповторные.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при
которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.
Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной (представительной).
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.
Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.
Пример:
В американском журнале
«Литературное обозрение» с помощью статистических методов было
проведено исследование прогнозов относительно исхода предстоящих выборов
президента США в 1936 году. Претендентами на этот пост были Ф.Д. Рузвельт и А.
М. Ландон. В качестве источника для генеральной совокупности исследуемых
американцев были взяты справочники телефонных абонентов. Из них случайным
образом были выбраны 4 миллиона адресов., по которым редакция журнала разослала
открытки с просьбой высказать свое отношение к кандидатам на пост президента.
Обработав результаты опроса, журнал опубликовал социологический прогноз о том,
что на предстоящих выборах с большим перевесом победит Ландон. И … ошибся:
победу одержал Рузвельт.
Этот пример можно рассматривать, как пример нерепрезентативной выборки. Дело в
том, что в США в первой половине двадцатого века телефоны имела лишь зажиточная
часть населения, которые поддерживали взгляды Ландона.
На практике применяются различные способы отбора, которые можно разделить на 2 вида:
1. Отбор не требует расчленения генеральной совокупности на части (а) простой случайный бесповторный; б) простой случайный повторный).
2. Отбор, при котором генеральная
совокупность разбивается на части. (а) типичный отбор; б) механический
отбор; в) серийный отбор).
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности (случайно).
Типичным называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типичной» части. Например, если деталь изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Таким отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных «типичных» частях генеральной совокупности.
Механическим называют отбор, при
котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько
объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.
Например, если нужно отобрать 20 % изготовленных станком деталей, то отбирают
каждую 5-ую деталь; если требуется отобрать 5 % деталей — каждую 20-ую и т. д.
Иногда такой отбор может не обеспечивать репрезентативность выборки (если отбирают
каждый 20-ый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производится
замена резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными
резцами).
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергают сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.
На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.
Пусть из генеральной
совокупности извлечена выборка, причем значение x1–наблюдалось раз,
x2-n2 раз,… xk — nk раз. n = n1+n2+…+nk – объем выборки. Наблюдаемые значения называются вариантами,
а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке- вариационным
рядом. Числа наблюдений называются частотами
(абсолютными частотами), а их отношения к объему
выборки — относительными частотами или статистическими
вероятностями.
Если количество вариант велико или выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляется не по отдельным точечным значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Такой вариационный ряд называется интервальным. Длины интервалов при этом должны быть равны.
Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (суммы частот, попавших в этот интервал значений)
Точечный вариационный ряд частот может быть представлен таблицей:
xi | x1 | x2 | … | xk |
ni | n1 | n2 | … | nk |
Пример:
Число букв в некотором
тексте Х оказалось равным 1000. Первой встретилась буква «я», второй
— буква «и», третьей- буква «а», четвертой- «ю». Затем шли
буквы «о», «е», «у», «э», «ы».
Выпишем места, которые они занимают в алфавите, соответственно имеем: 33, 10, 1, 32, 16, 6, 21, 31, 29.
После упорядочения этих чисел по возрастанию получаем вариационный ряд: 1, 6, 10, 16, 21, 29, 31, 32, 33.
Частоты появления букв в тексте: «а» — 75, «е» -87, «и»- 75, «о»- 110, «у»- 25, «ы»- 8, «э»- 3, «ю»- 7, «я»- 22.
Составим точечный вариационный ряд частот:
Пример:
Задано распределение частот выборки объема n = 20.
Составьте точечный вариационный ряд относительных частот.
xi | 2 | 6 | 12 |
ni | 3 | 10 | 7 |
Решение:
Найдем относительные частоты:
xi | 2 | 6 | 12 |
(Частота ni /20) wi | 0,15 | 0,5 | 0,35 |
При построении интервального распределения
существуют правила выбора числа интервалов или величины каждого
интервала. Критерием здесь служит оптимальное соотношение: при увеличении числа
интервалов улучшается репрезентативность, но увеличивается объем данных и время
на их обработку. Разность xmax — xmin между
наибольшим и наименьшим значениями вариант называют размахом выборки.
Для подсчета числа интервалов k обычно применяют эмпирическую формулу Стреджесса (подразумевая округление до ближайшего удобного целого): k = 1 + 3.322 lg n.
Соответственно, величину каждого интервала h можно вычислить по формуле :
Пример:
Для выборки
3; 8; -1; 3; 0; 5; 3; -1; 3; 5
Определить объем и размах.
Объем выборки n=10
Размах 8 — (-1) = 9
Составить статистический ряд в виде последовательности пар.
Сумма частот равна n=10
Графические изображения выборки. Полигон и гистограмма
Для наглядности строят различные графики статистического распределения: полином и гистограммы
Полигон частот- это
ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x1 ;n1 ),
( x2 ;n2 ),…, ( xk ;
nk ), где – варианты, – соответствующие
им частоты.
Полигон относительных частот- это ломаная, отрезки которой соединяют точки ( x1 ;w1 ), (x2 ;w2 ),…, ( xk ;wk ), где xi–варианты, wi – соответствующие им относительные частоты.
Пример:
Постройте полином относительных частот по данному распределению выборки:
Решение:
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала ni – сумму частот вариант, попавших в i-ый интервал. (Например, при измерении роста человека или веса, мы имеем дело с непрерывным признаком).
Гистограмма частот — это
ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат
частичные интервалы длиною h, а
высоты равны отношению wi/h (плотность
частот).
Площадь i-го частичного прямоугольника равна- сумме частот вариант i- го интервала, т.е. площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.
Пример:
Даны результаты изменения напряжения (в вольтах) в электросети. Составьте вариационный ряд, постройте полигон и гистограмму частот, если значения напряжения следующие: 227, 215, 230, 232, 223, 220, 228, 222, 221, 226, 226, 215, 218, 220, 216, 220, 225, 212, 217, 220.
Решение:
Составим вариационный ряд. Имеем n = 20, xmin=212 , xmax=232 .
Применим формулу Стреджесса для подсчета числа интервалов.
h = = 5
Интервальный вариационный ряд частот имеет вид:
xi | Плотность частот ni/5 | |
[212-216) | 3 | 0,75 |
216-220 | 3 | 0,75 |
220-224 | 7 | 1,75 |
224-228 | 4 | 1 |
228-232 | 3 | 0,75 |
Построим гистограмму частот:
ni/5
xi
Построим полигон частот, найдя предварительно середины интервалов:
Числовые характеристики вариационного ряда
Среднее выборки или выборочное
среднее представляет собой среднее арифметическое всех
значений выборки.
Если выборка задана х1, х2, …,хn, то выборочное среднее определяется по формуле:
Если выборка задана статистическим рядом в виде таблиц , то формулу можно записать в следующем виде:
Выборочной дисперсией называют средне арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего.
Дисперсия выборки или выборочная дисперсия оценивается по формуле:
,
где — среднее значение выборки.
Если выборка задана статистическим рядом в виде таблиц , то формулу можно записать в следующем виде:
Статистика Математические задачи | Практика статистики
Дом
Математическая практика
- Статистика
Режим
- Режим я
- Режим II
- Режим с десятичными знаками
- Режим с целыми числами
Предварительный
- Диапазон найти недостающее число
- Найти пропущенное число на основе среднего значения
- Найти пропущенное число на основе медианы
- Режим с целыми числами
Диапазон
- Концепция диапазона
- Диапазон
- Диапазон целых чисел
- Диапазон, включающий десятичные числа
- Диапазон, включающий отрицательные и десятичные числа
- Диапазон найти недостающее число
Среднее
- Средняя концепция
- Вычислить среднее или среднее
- Среднее значение десятичных чисел
- Среднее значение с отрицательными числами
- Среднее с участием больших чисел
- Найти пропущенное число на основе среднего значения

Медиана
- Медианная концепция я
- Медианная концепция ii
- медиана
- Медиана с десятичными числами
- Медиана с отрицательными числами
- Найти пропущенное число на основе медианы
Узнать статистику Практика математических навыков
Близнецы Кэролайн и Джеймс составили таблицу своих школьных оценок, которые они получали в течение всего семестра по определенным предметам:
Подсчитайте итоговую школьную оценку близнецов по всем предметам, если диапазон школьных оценок от 1 до 5.
Следующая таблица содержит измеренный рост 63 учащихся с соответствующими подсчетами:
Определите среднее арифметическое, медиану, моду, дисперсию и стандартное отклонение роста учащегося.
При взвешивании двадцати килограммовых мешков с сахаром записали измеренные значения в кг:
При измерении роста учащихся в классе в таблицу внесены измеренные значения (в см). Рассчитайте медиану, моду и среднее арифметическое роста учащихся и добавьте в таблицу относительную частоту учащихся.
Мы измерили рост (значение X) и вес (значение Y) десяти студентов; значения показаны в таблице ниже.
Мы измерили площадь 30 квартир и измерили следующие значения в м 2 :
Для электропроводки требуются кабели повышенной прочности. Мы рассмотрели значения для двух типов кабелей:
Авиакомпания оценивает среднее количество пассажиров. В течение 20 дней среднее количество пассажиров составило 112 человек при выборочной дисперсии 25. Найдите двусторонний 95% доверительный интервал для среднего количества пассажиров μ .
Измерив сопротивление кабеля восьми случайно выбранных образцов, мы получили следующие значения: 0,139, 0,144, 0,139, 0,140, 0,136, 0,143, 0,141, 0,136. Предположим, что измеренные значения можно рассматривать как реализацию случайной выборки из нормального распределения с неизвестным средним значением и неизвестной дисперсией. Найдите 95% доверительный интервал для среднего значения.
Пусть систематическая погрешность измерительного прибора равна нулю. В тех же условиях было выполнено десять независимых измерений одной и той же величины μ , где μ = 1000 м. Измеренные данные приведены ниже:
Найдите 90% доверительный интервал для стандартного отклонения σ . |