Задачи графическим методом: Двойственная задача линейного программирования онлайн

Содержание

Примеры решения задач — Линейное программирование — Исследование операций — ЭММ

Условие задачи

Цех изготавливает изделия А и Б. Расход сырья, его запас и прибыль от реализации каждого изделия указаны в таблице.

Вид сырья	Расход на изделие		Запас
Вид сырья	А	Б	Запас
	48	12	600
	24	21	840
	15	27	1350
Прибыль	12	18

Найти план производства изделий, обеспечивающий предприятию максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу графическим методом.

Решение задачи

Экономико-математическая модель задачи

Через и обозначим количество выпускаемой продукции вида А и Б соответственно.

Тогда ограничения на ресурсы:

Кроме того, по смыслу задачи

Целевая функция, выражающая получаемую прибыль от реализации изделий:

Получаем следующую экономико-математическую модель:

Построение чертежа

Для построения области допустимых решений строим в системе координат соответствующие данным ограничениям-неравенствам граничные прямые:

Найдем точки, через которые проходят прямые:

Решением каждого неравенства системы ограничений ЗЛП является полуплоскость, содержащая граничную прямую и расположенная по одну сторону от нее.

Для определения полуплоскости возьмём любую точку, например точку не принадлежащую прямой (1), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 1-го неравенства соответствует левая полуплоскость

Возьмём любую точку, например точку не принадлежащую прямой (2), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 2-го неравенства соответствует левая полуплоскость

Для определения полуплоскости возьмём любую точку, например точку не принадлежащую прямой (3), подставим координаты (0;0) в соответствующее неравенство. Т.к. неравенство верно:

Области решений соответствующего 3-го неравенства соответствует нижняя полуплоскость

Областью допустимых решений является фигура .

Строим вектор , координаты которого пропорциональны коэффициентам целевой функции.

Перпендикулярно к построенному вектору проводим линию уровня .

Строим вектор , координаты которого пропорциональны коэффициентам целевой функции.

Перпендикулярно к построенному вектору проводим линию уровня .

Нахождение оптимального плана

Перемещаем линию уровня в направлении вектора так, чтобы она касалась области допустимых решений в крайней точке. Решением на максимум является точка D, координаты которой находим как точку пересечения прямой (2) и оси .

Таким образом, необходимо выпускать 40 ед. изделия Б. Изделие а выпускать невыгодно. При этом прибыль будет максимальной и составит 720 д.е.

1.4. Графический метод решения задач линейного программирования сnпеременными

Графическим методом решаются ЗЛП, если в ее канонической форме записи число переменных и число линейно независимых уравненийсвязаны соотношением.

Алгоритм графического метода решения ЗЛП со многими переменными (

n>2)

Записать каноническую форму ЗЛП.
Выбрать две свободные переменные.
Выразить все остальные переменные через свободные, т.е. решить систему ограничений заданной задачи.
Выразить целевую функцию через свободные переменные.
Полученную двухмерную задачу решить графическим методом.
Найдя координаты оптимального решения двухмерной задачи, определяем остальные координаты оптимального решения исходной задачи.
Значение целевой функции на оптимальном плане двухмерной задачи совпадает со значением целевой функции на оптимальном плане исходной задачи.

Пример 1.11

Решим графически ЗЛП, математическая модель которой составлена в примере 1.

;

Решение

Перейдем к эквивалентной задаче с двумя переменными.

Математическую модель задачи представим в канонической форме записи:

;

Пусть переменные ибудут свободными, а все остальные переменные базисными. Выразим все базисные переменные через свободные.

Выразим целевую функцию через свободные переменные.

Учитывая условия неотрицательности базовых переменных, получим эквивалентную задачу с двумя переменными:

или

Полученную двухмерную задачу решим графическим методом.

Построим ОДР задачи (Рис. 1.7). Для этого в системе координат на плоскости изобразим граничные прямые:

Затем определим, какую полуплоскость определяет соответствующее неравенство, подставив координаты какой-нибудь точки, не лежащей на данной прямой, например (0;0). Ограничения означают, что ОДР лежит вI четверти системы координат . Соответствующие полуплоскости на рисунке показаны стрелками. Пересечение указанных полуплоскостей и определяет ОДР данной задачи – это многоугольникABCDE.

Рис. 1.7

Строим вектор-градиент целевой функции=(3;6).

Оптимальное решение достигается в точке E(3;0).

Перейдем к решению исходной задачи. Т.е. найдем значения базисных переменных:

Итак, решение исходной задачи: ,.

Экономический смысл полученного решения задачи:

для того, чтобы затраты были минимальными и составили 52 усл. ден. ед. необходимо, чтобы оборудование А₁ выпускало 3 часа продукцию P₁, оборудование А₂ выпускало 4 часа продукцию P₁ и 6 часов продукцию P₂.

Преобразовать ЗЛП к эквивалентной двумерной ЗЛП можно и не записывая исходную задачу в канонической форме. Достаточно из ограничений-равенств системы выразить базисные переменные через выбранные две свободные и подставить это выражение всюду, где они встречаются в ограничениях-неравенствах и в целевой функции. Учитывая условия неотрицательности базисных переменных двумерная модель будет иметь то же количество ограничений, что и исходная. Таким образом, графическим методом можно решить лишь ту ЗЛП с

n переменными, система ограничений которой имеет не менее n–2 линейно-независимых ограничений-равенств.

Пример 1.12

Решим графически ЗЛП:

;

Решение

Перейдем к эквивалентной задаче с двумя переменными.

Пусть переменные ибудут свободными, а все остальные переменные базисными. Выразим все базисные переменные через свободные. Сделаем это последовательно. Сначала выразим, например, из второго ограничения-равенства базисную переменнуюи подставим это выражение всюду, где она встречается в модели:

;

Раскрыв скобки, приведя подобные и учитывая условие неотрицательности переменной , получим следующую модель от трех переменных, эквивалентную исходной:

;

Затем выразим, например, из первого ограничения-равенства базисную переменную и подставим это выражение всюду, где она встречается в модели:

;

Раскрыв скобки, приведя подобные и учитывая условие неотрицательности переменной , получим следующую модель от двух переменных, эквивалентную исходной:

или

Полученную двухмерную задачу решим графическим методом.

Построим ОДР задачи (Рис. 1.8). Для этого в системе координат на плоскости изобразим граничные прямые:

Вектор-градиент целевой функции=(7,8;12,2). Так как нас интересует направление вектора-градиента, а не его длина, то можно изобразить вектор=(3,9;6,1)=0,5, который в два раза меньше вектора градиента.

Рис. 1.8

Оптимальное решение достигается в точке В, которая лежит на пересечении прямой и оси. Для определения ее координат необходимо решить систему уравнений:

Откуда . Таким образом,. Подставив значениеив целевую функциюZ, получаем:

Перейдем к решению исходной задачи. Т.е. найдем значения базисных переменных:

Итак, решение исходной задачи: ,.

Задачи

Решить ЗЛП графическим методом (1.4.1 – 1.4.8)

1.4.1

;

1.4.3

;

1.4.5

;

1.4.7

;

1.4.2

;

1.4.4

;

1. 4.6

;

1.4.8

;

1.4.9 – 1.4.11

Решить задачи 1.1.4, 1.1.9, 1.1.11 (соответственно) графическим методом.

Визуализация графиков задач — документация Dask

Переключить навигацию

Содержимое

визуализация (*args[ имя файла, перемещение, …])

Визуализировать несколько даск-графов одновременно.

Перед выполнением вычислений вы можете визуализировать базовый граф задачи. Глядя на взаимосвязь задач вы можете узнать больше о потенциальных узких местах где параллелизм может быть невозможен, или области, где многие задачи зависят друг от друга, что может вызвать много общения.

Визуализация низкоуровневого графа

Метод .visualize и функция dask.visualize работают аналогично метод .compute и функция dask.compute , за исключением того, что вместо вычисления результата, они создают изображение графа задач. Эти изображения записываются в файлы, и если вы находитесь в блокноте Jupyter контексте они также будут отображаться как выходные данные ячейки.

По умолчанию график задач отображается сверху вниз. В случае, если вы предпочитаете визуализировать слева направо, передайте rankdir="LR" в качестве аргумента ключевого слова для .visualize .

 импортировать dask.array как да
x = da.ones ((15, 15), куски = (5, 5))
у = х + х.Т
# y.compute()
# визуализировать низкоуровневый граф Dask
y.visualize (имя файла = 'transpose.svg')

Часто бывает полезно проверить граф задачи до и после оптимизации графа применяются. Вы можете сделать это, установив ключевое слово optim_graph . Таким образом, приведенный выше пример становится таким:

 import dask.array as da
x = da.ones ((15, 15), куски = (5, 5))
у = х + х.Т
# визуализировать низкоуровневый график Dask после оптимизации
y.visualize (имя файла = "transpose_opt.svg", optimise_graph = True)

Функция визуализации поддерживает два разных механизма визуализации графов: graphviz (по умолчанию) и цитоскейп . Для замены используемого двигателя пройдите имя движка для движок аргумент для визуализировать :

 импортировать dask.array as da
x = da.ones ((15, 15), куски = (5, 5))
у = х + х.Т
# визуализировать низкоуровневый Dask-граф с помощью Cytoscape
y.visualize(engine="cytoscape")

Вы также можете установить механизм визуализации по умолчанию, установив визуализация.двигатель параметр конфигурации:

 импортировать dask.array как да
x = da.ones ((15, 15), куски = (5, 5))
у = х + х.Т
с dask. config.set({"visualization.engine": "cytoscape"}):
    у.визуализировать ()

Обратите внимание, что оба механизма визуализации требуют установки дополнительных зависимостей. Движок graphviz питается от GraphViz системная библиотека. У этой библиотеки есть несколько соображений:

Вы должны установить системную библиотеку graphviz (с такими инструментами, как apt-get, yum или brew) и библиотека Python graphviz. Если вы используете Conda, вам необходимо установить python-graphviz , который будет включать системную библиотеку graphviz в качестве зависимости.
Graphviz занимает некоторое время на графах размером более 100 узлов. Для больших вычислений вам, возможно, придется немного упростить свои вычисления. чтобы метод визуализации работал хорошо.

Движок Cytoscape использует JavaScript Cytoscape библиотека для рендеринга и управляется на стороне Python ipycytoscape библиотека. Поскольку он не зависит от каких-либо системных библиотек, этот движок может быть проще. установить, чем graphviz в некоторых настройках развертывания.

Визуализация высокоуровневого графа

Низкоуровневый граф задач Dask может быть ошеломляющим, особенно для больших вычислений. Более краткая альтернатива — вместо этого посмотреть на высокоуровневый график Dask. Граф высокого уровня можно визуализировать с помощью .dask.visualize() .

 импортировать dask.array как да
x = da.ones ((15, 15), куски = (5, 5))
у = х + х.Т
# визуализировать высокоуровневый граф Dask
y.dask.visualize (имя файла = 'transpose-hlg.svg')

При наведении указателя мыши на каждую метку высокоуровневого графика появится всплывающая подсказка с более подробной информацией об этом слое. Обратите внимание, что если вы сохраните график на диск, используя аргумент ключевого слова имя файла = в визуализируйте , тогда всплывающие подсказки будут сохранены только в формате изображения SVG.

HTML-представление высокоуровневого графа

Высокоуровневые графы Dask также имеют собственное HTML-представление, что полезно, если вам нравится работать с блокнотами Jupyter.

 импортировать dask.array как да
x = da.ones ((15, 15), куски = (5, 5))
у = х + х.Т
y.dask # показывает HTML-представление в блокноте Jupyter.

Вы можете щелкнуть имя любого слоя, чтобы развернуть или свернуть более подробные сведения. информация о каждом слое.

Задачи машинного обучения на графиках. Можем ли мы разделить его на… | Кацпер Кубара

Можем ли мы разделить его на контролируемое/неконтролируемое обучение? Это не так просто…

Сеть дружбы с животными с отсутствующими дружескими связями. Иконки от Icon8

Статьи по теме

Извлечение признаков для графов
На пути к объяснимым графовым нейронным сетям
10 лучших обучающих ресурсов для графовых нейронных сетей

Граф — это интересный тип данных. Мы могли бы подумать, что можем делать прогнозы и обучать модель так же, как и с «обычными» данными. Удивительно, но задачи машинного обучения определяются на графах по-разному, и мы можем разделить их на 4 типа: классификация узлов, предсказание ссылок, обучение по всему графу и обнаружение сообщества. В этой статье мы подробно рассмотрим, как они определяются, и поймем, почему они так сильно отличаются от стандартных задач машинного обучения.

Давайте представим, что у нас есть сеть дружеских отношений между животными. Животное может быть собакой , кошкой или уткой , и мы можем описать его дополнительными характеристиками, такими как вес, рост, и цвет. Связь между двумя конкретными животными означает, что они нравятся друг другу. Наша цель, учитывая эту сеть дружбы и особенности, будет состоять в том, чтобы предсказать недостающие типы животных. Эта задача прогнозирования известна как классификация узлов.

Сеть дружбы с животными с отсутствующими метками узлов.

Иконки от Icon8

Формализуем обозначения. Математически мы можем определить эту сеть дружбы с животными как G = (V, Ε), , где V — узел (животное), а E — ребро (дружеское соединение). Кроме того, каждый узел имеет соответствующий вектор признаков x i (вес, высота и цвет) , где i означает, что вектор принадлежит узлу V i . Цель задачи классификации узлов — предсказать метку 9.0165 y i с учетом узла V i и его соседей .

Итак, как мы можем использовать модели машинного обучения для предсказания этих типов животных? Большинство моделей машинного обучения основаны на том факте, что точки данных независимы друг от друга (предположение i.i.d ). Здесь это предположение не работает, потому что метки узлов (тип животных) могут зависеть от других соседних узлов [1]. Например, более вероятно, что узел, расположенный ближе к кластеру кошек, также является котом. Подобные узлы обычно расположены ближе друг к другу, что известно как гомофилия .

Поскольку независимость данных в этом случае больше не работает, мы не можем классифицировать эту задачу классификации как контролируемое обучение. Исследователи часто называют его полуконтролируемым обучением , потому что мы можем использовать информацию от соседних узлов для прогнозирования определенного узла [1].

Целью предсказания канала является определение наличия соединения между двумя узлами. В нашем предыдущем примере с графом дружбы животных это просто прогноз того, являются ли соседние животные друзьями.

Сеть дружбы с животными с отсутствующими дружескими связями. Icons by Icon8

Подобно классификации узлов, мы также можем использовать информацию о соседстве для прогнозирования связи между двумя узлами. Популярная группа подходов для прогнозирования ссылок называется эвристическими методами [2]. Они вычисляют определенные оценки из самого графика и преобразуют их в вероятность связи между двумя узлами. Эвристические методы можно разделить по максимальному количеству окрестностей hops , которые должны произойти [2]. Например, Common Neighbours — это эвристика первого порядка , поскольку для вычисления оценки требуется только непосредственное соседство узла (а не соседи соседей). На изображении ниже мы видим 1-ю окрестность узлов V 1 и V 3 . Узлы

V 1 и V 3 имеют двух общих соседей: V 6 и V 2. Иконки от Icon8

Лягушка V 1 и V 3 имеют 2 общих друга (соседних узла): V 6 и V 2. С помощью этой простой оценки алгоритм общих соседей решает, существует ли связь между двумя узлами или нет.

Конечно, есть и более сложные подходы, например, Resource Allocation (эвристика 2-го порядка), который использует информацию от прыжков 2-го порядка [2]. В случае узла V 5, RA будет использовать для своего алгоритма V 4 and V 6 from the 1st neighbourhood and V 1 and V 3 from the 2nd neighbourhood. Другие подходы могут использовать эвристики еще более высокого порядка для создания функций графа для прогнозирования ссылок.

Подобно классификации узлов, предсказание связи также известно как частично контролируемое обучение , поскольку мы используем информацию о соседстве для предсказания связи между двумя узлами.

Давайте изменим пример. Учтите, что теперь у нас есть молекулярные данные, и наша задача состоит в том, чтобы предсказать, является ли данная молекула токсичной. На приведенном ниже рисунке показано, как эта задача классификации может быть разработана с использованием графовых нейронных сетей.

Обзор задачи классификации графических данных. Каждая молекула может быть представлена в виде отдельного графика и считается точкой данных i.i.d. Фотографии молекул взяты из [3]. Выделенные красные части показывают части молекул, которые вызывают токсическую реакцию. Это не относится к этой статье, поэтому, пожалуйста, игнорируйте выделенные красным цветом части. Если вам интересно узнать о них больше, посмотрите [3]

Каждую молекулу можно рассматривать как отдельный граф, где атом является узлом, а связь между атомами — ребром. Это пример задачи классификации по всему графу. Разница здесь в том, что нам дается множественных экземпляров разных графов, и на них мы обучаем нашу модель [1]. Мы изучаем весь граф вместо того, чтобы предсказывать конкретные компоненты в пределах одного графа, такие как узел или ребро.

Что привлекает в задаче обучения на нескольких экземплярах графиков, так это то, что точки данных считаются i.i.d . Это означает, что эта задача обучения на графах очень похожа, если не такая же, на задачи классификации, регрессии и кластеризации, которые используются в стандартных задачах машинного обучения. Для нас это отличная новость, потому что мы можем повторно использовать методы стандартных алгоритмов машинного обучения, таких как RandomForest, SVM или XGBoost.

Короче говоря, обнаружение сообщества для графов можно рассматривать как задачу кластеризации узлов в пределах одного графа . Давайте посмотрим на пример ниже, который показывает сеть ученых, которые вместе написали хотя бы одну статью.

Изображение иллюстрирует сеть ученых, которые вместе написали хотя бы одну статью. Мы видим, что формируются кластеры ученых, работающих в разных областях. Изображение взято из [5].

Здесь задачей обнаружения сообщества будет выявление этих групп ученых, работающих в разных областях. Хотя это кажется интуитивно понятным, кластеры сообществ определены довольно расплывчато и различаются по размеру и форме среди разных наборов данных [4]. Сообщества также могут пересекаться, что еще больше затрудняет их различие.

Интуитивно мы можем предположить, что узлы внутри сообществ будут иметь больше соединений с соседними ребрами. Также будут узлы с меньшим количеством ребер, соединяющие разные сообщества. Это теоретические основы, на которых основано большинство алгоритмов обнаружения сообществ. Существует множество различных типов алгоритмов обнаружения сообществ, но наиболее популярными являются методы, основанные на спектральной кластеризации , статистическом выводе , оптимизации , динамика и [6].

Мы видели, что существует 4 основных типа задач машинного обучения на графах: классификация узлов, предсказание ссылок, обучение по всему графу и обнаружение сообщества. Большинство этих задач сильно отличаются от обычного обучения с учителем/без учителя. Это связано с тем, что графики взаимосвязаны друг с другом, и предположение о независимости данных не выполняется. Исследователи называют это частично контролируемым обучением .

Я учусь на магистра искусств в области искусственного интеллекта в Амстердамском университете. В свободное время вы можете увидеть, как я играю с данными или отлаживаю свою модель глубокого обучения (клянусь, это сработало!).