1. Предел последовательности
Частный институт управления и предпринимательства
Ю. В. Минченков
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Сборник задач
по математическому анализу
Учебно-методическое пособие
Минск 2008
УДК 51
ББК 22.1я73
М 62
Рекомендовано к изданию редакционно-издательским советом Частного института управления и предпринимательства
А в т о р
заведующий кафедрой высшей математики и статистики Частного института управления и предпринимательства кандидат физико-математических наук, доцент Ю. В. Минченков
Р е ц е н з е н т ы:
доцент кафедры
высшей математики и математической
физики
Белорусского государственного
университета
кандидат физико-математических
наук, доцент А.
доцент кафедры высшей математики и информатики Государственного института управления и социальных технологий БГУ кандидат физико-математических наук, доцент Н. Н. Рачковский
Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры высшей математики и статистики, протокол № 2 от 19 сентября 2008 г.
Минченков, Ю. В.
М 62 Высшая математика. Сборник задач по математическому анализу: учеб.-метод. пособие / Ю. В. Минченков.– Минск: Частн. ин-т упр. и предпр., 2008.– 83 с.
ISBN 978-985-6877-23-3.
Приведены формулы, определения и другие краткие пояснения теории, необходимые для решения задач. Сборник содержит типовые задачи по математическому анализу с решениями и пояснениями.
Предназначен для самостоятельной работы студентов Частного института управления и предпринимательства.
УДК 51
ББК 22.
1я73
© Минченков Ю. В., 2008
ISBN 978-985-6877-23-3 © Частный институт управления и предпринимательства, 2008
Бесконечной числовой последовательностью (или просто последовательностью) называется функция
(1)
определенная на множестве натуральных чисел. Каждое значение называют элементом (или членом) последовательности, а число п – номером элемента последовательности. Заметим, что последовательность всегда содержит бесконечное число членов.
Число а называется пределом числовой последовательности при , если для любого положительного сколько угодно малого числа существует номер , такой, что для всех выполняется неравенство
. (2)
Обозначается .
Математически данное определение можно записать в виде:
.
Числовая
последовательность, имеющая конечный
предел, называется сходящейся.
Последовательность, не имеющая предела,
называется
рас-ходящейся. Если
,
то говорят, что последовательность
сходится к бесконечности.
Пример 1. Доказать, что число является пределом последовательности . Найти, сколько элементов данной последовательности не попало в -окрестность числа , если .
Решение. Из неравенства (2) следует
Таким образом, (целая часть числа, так как – это номер элемента). Следовательно, при , т. е. число является пределом данной числовой последовательности.
Пусть Следовательно, ровно 1999 элементов находится за пределами интервала .
,
.
Числовая последовательность называется бесконечно большой последовательностью (б.б.п.), если .
Числовая
последовательность называется бесконечно
малой последовательностью (б.
м.п.), если
.
Основные способы вычисления пределов
При вычислении пределов следует помнить, что .
Пример 2. = (делим числитель и знаменатель на наивысшую степень п, в данном случае на ) =
.
Пример 3.
.
Пример 4.
Пример 5
.
Пример 6
.
Анализируя примеры 2–6, можно сделать вывод, что когда мы имеем неопределенность , предел равен:
отношению коэффициентов при старших степенях n, если степени n числителя и знаменателя равны;
0, если наивысшая степень n числителя меньше наивысшей степени n знаменателя;
, если наивысшая степень n числителя больше наивысшей степени n знаменателя.
Пример 7
(делим числитель и знаменатель на п)
.
Вторым замечательным пределом будем называть предел:
, (3)
где – иррациональное число.
Заметим, что данный предел представляет собой неопределенность вида Он широко используется при вычислении других пределов. Рассмотрим примеры.
Пример 8. , так как . Заметим, что если предел имеет вид, подобный виду (3), то он равен е (произведение второго слагаемого на степень равно 1).
Пример 9
Пример 10
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Предел последовательности
1. Доказать, что число а является пределом последовательности . Найти, сколько элементов данной последовательности не попало в -окрест-ность числа а:
а) ;
б)
в)
г)
д)
2.
Найти пределы:
а) б) в)
г) ; д) е)
ж) з); и)
к) ; л) ;
м) .
3. Найти пределы:
а) б)
в) г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) .
4. Найти пределы, используя второй замечательный предел:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) ;
и); к).
вычисление последовательности пределов
Вы искали вычисление последовательности пределов? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное
решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и вычисление предела последовательности, не
исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению
в вуз.
И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение.
Например, «вычисление последовательности пределов».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как вычисление последовательности пределов,вычисление предела последовательности,вычисление предела последовательности примеры,вычисление пределов последовательностей,вычисление пределов последовательности,вычисление пределов числовых последовательностей,вычислить предел последовательности,вычислить пределы последовательностей,вычислить пределы числовых последовательностей,как вычислить предел последовательности,как вычислять пределы последовательностей,как найти предел последовательности,как найти предел последовательности примеры,как находить пределы последовательности,как считать пределы последовательностей,найти предел последовательности,найти пределы последовательностей,нахождение предела последовательности,определение предела числовой последовательности,последовательности и пределы,последовательности пределы,предел арифметической прогрессии,предел последовательности,предел последовательности вычислить,предел последовательности для чайников,предел последовательности и предел функции,предел последовательности как вычислить,предел последовательности примеры,предел последовательности примеры решения,предел последовательности примеры решения для чайников,предел последовательности что такое,предел последовательности это,предел функции предел последовательности,предел числа,предел числовой последовательности,предел числовой последовательности для чайников,предел числовой последовательности это,пределы и последовательности,пределы последовательностей,пределы последовательности,пределы последовательности для чайников,пределы последовательности примеры решения,пределы числовой последовательности,пределы числовых последовательностей,свойства последовательности пределов,свойства пределов последовательностей,свойства пределов последовательности,числовая последовательность и ее предел,числовая последовательность предел числовой последовательности,что называется пределом числовой последовательности.
Где можно решить любую задачу по математике, а так же вычисление последовательности пределов Онлайн?
Решить задачу вычисление последовательности пределов вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Math Tutor — Последовательности — Решенные задачи
Math Tutor — Последовательности — Решенные задачи — ОграниченияПроблема: Оценить следующий предел (если он существует)
Решение: Что произойдет, если мы вложим в это выражение бесконечность? Мы знаем это sin( n ) не имеет предела, поэтому с помощью предельная алгебра мы получаем
Если бы у нас было только обычное правило Лопиталя и мы надеялись им воспользоваться, мы бы
доказать, что числитель стремится к бесконечности.
Это действительно так (см.
ниже), но, к счастью, у нас есть
общая версия тоже применима
к «чему-то больше бесконечности», поэтому нам не нужно проводить дополнительный анализ и применять
это сразу (после перехода на функции):
Как мы получили этот «0» в последней строке? У нас есть правило «ноль раз ограниченный дает ноль» (см. рамку сравнение и колебание), которые точно соответствует условиям 1/2 x и грех( х ). Частичные результаты затем объединяются с использованием алгебра ДНЭ.
Правило Лопиталя дало последовательность, не имеющую предела. Что значит это значит? Поскольку правило Лопиталя применяется только в том случае, если оно дает предел, оно следует, что его использование не было успешным и не дает никакой информации о оригинальная последовательность. Так что данная последовательность может иметь предел или нет, мы не знать.
Что мы можем сделать? Есть два возможных подхода. Можно сказать, хорошо, если мы
не может вычислить ответ, возможно, мы сможем угадать его, используя
интуитивная оценка.
Что случается
когда n становится большим? Синус колеблется между -1 и 1, поэтому термин n sin( n ) колеблется между значениями
— n и n . Этот
означает, что его можно игнорировать по сравнению с n 2 , и мы можем
спорить
Очень мило, но как доказать, что последовательность действительно сходится к 1? Одна возможность подсказывает ограниченность синуса: Теорема сжатия. (см. рамку «сравнение и колебание»). В на самом деле, даже если бы мы не гадали, мы должны начать думать об этом поле, так как он часто применяется к пределам с осциллирующими членами, которые вызывают неприятности.
Сначала мы должны найти какие-то границы, затем мы смотрим на пределы этих границы. Если они совпадают, мы доказали предел.
Мы использовали тот факт, что 1/ n →1/∞ = 0. Наша догадка подтверждается.
Мы также можем попробовать это:
Дробь sin( n )/ n сходится к нулю, что можно доказать с помощью теоремы о сжатии аналогично предыдущему, но теперь мы можем даже использовать ее версия абсолютного значения, которая проще:
|sin( n )/ n | = |sin( n )|/ n ≤ 1/ n → 0.
Теперь мы попробуем некоторые модификации этой задачи, чтобы увидеть, как колеблется выражения ведут себя.
Проблема: Найдите следующий предел (если он существует):
Решение: Что произойдет, если n уйдут в бесконечность? Как и выше, часть синуса в числитель пренебрежимо мал по сравнению с n 2 , то есть получаем
Самый простой способ доказать это, вероятно, сравнением. Почему? Поскольку мы догадались что последовательность стремится к бесконечности, нам особо не нужна оценка сверху, достаточно найти подходящую нижнюю оценку, чтобы «подтолкнуть последовательность вверх». Так как сравнивать легче, чем сжимать, предпочтительнее (если работает, то является).
Это сработало, наша догадка подтвердилась.
Проблема: Найдите следующий предел (если он существует):
Решение: Как мы утверждали выше, часть синуса (т.
е. n sin( n )) колеблется
между — н и н , но теперь это нельзя игнорировать по сравнению с
остальные n в числителе. Иногда часть синуса почти n , тогда числитель примерно 2 n и дробь равна 2, и
иногда часть синуса почти — n , тогда вершина около 0 и
дробь также равна 0. Таким образом, мы предполагаем, что дробь колеблется между 0
и 2. Это можно увидеть лучше, если мы отменим:
Теперь ясно, что алгебра ДНЭ говорит «1 + N = N «, следовательно, данный предел не существует.
Проблема: Найдите следующий предел (если он существует):
Решение: Что здесь происходит? Как и в предыдущем примере, числитель
колеблется между 0 и 2 n ; однако, поскольку мы делим это на n 2 , можно предположить, что последовательность сходится к нулю. Как
мы это доказываем? Вероятно, лучшим вариантом было бы сравнение еще раз.
Чтобы сохранить некоторые
работы, мы можем попробовать абсолютную версию теоремы сжатия, которая имеет
шанс сработать, потому что предполагаемый предел равен нулю.
Да, это сработало.
Мы видели здесь очень простые задачи, но они представляют собой основные случаи, которые можно решить. имеют. Основной посыл заключается в том, что при столкновении с какой-либо ситуацией DNE многое зависит на нашем опыте и интуиции.
Следующая проблема
Назад к Решенным проблемам — Ограничения
исчисление — Проблемы с фальшивыми доказательствами предела последовательностей
Я с трудом могу представить более простой пример того, что мое понимание темы более чем ржавое.
Я разделю вопрос на две части, чтобы облегчить чтение:
1) Предыстория;
2) Проблема.
В первой части я покажу, как я обычно подхожу к доказательству того, что последовательность сходится к определенному пределу, на примере, надеюсь, чтобы понять, правильно или неправильно я делаю.
Во второй части я покажу свое «доказательство» неверного утверждения, надеясь точно увидеть, что там не так.
1) ПРЕДПОСЫЛКИ
Предположим определение предела последовательности (просто чтобы договориться об обозначениях — с $M$, написанным как $M(\epsilon)$, чтобы подчеркнуть, что он может зависеть от $\ эпсилон$)
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \mathcal{l} \Longleftrightarrow \forall \epsilon >0, \exists M(\epsilon) \in \mathbb{N}: \forall m \in \ mathbb{N}( m > M(\epsilon) \longrightarrow | a_m — \mathcal{l}|< \epsilon).$$
Я узнал, что должен действовать в два этапа, предполагая LHS предыдущего определение для установления RHS:
i) «набросок» (также известный как угадывание-значения-$M$), который не фигурирует в доказательстве,
ii) и фактическое доказательство.
Пример
Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$.
Набросок:
Чтобы найти $M$, первое, что мы должны заметить, это то, что
$$ \left| \frac{1}{n}-0 \right| < \epsilon \Longrightarrow \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon \Longrightarrow \frac{1}{n} < \epsilon \Longrightarrow \frac{1}{\epsilon} < n.
$$
Отсюда при доказательстве установим, что $M= \frac{ 1}{\эпсилон} $.
Доказательство :
Пусть $\epsilon >0$ — произвольное вещественное число.
Пусть $M= \frac{1}{\epsilon} $, откуда мы получаем, что $\epsilon = \frac{1}{M}$.
Пусть $m$ — произвольное натуральное число, и предположим, что $m > M$. Таким образом, $\frac{1}{m} < \frac{1}{M}$. Следовательно,
$$ \left| \frac{1}{m} — 0 \right| = \ влево | \frac{1}{м} \right| = \frac{1}{m} < \frac{1}{M} = \epsilon.$$
$\square$
2) ЗАДАЧА
Точнее говоря, у меня есть ощущение, что между черновой работой и доказательством я могу доказать все, что захочу, в частности, ложные утверждения.
Пример
Докажите, что $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 1$.
Набросок:
Чтобы найти $M$, первое, что мы должны заметить, это то, что
$$ \left| \frac{1}{n}-1 \right| = \ влево | \frac{1-n}{n} \right| = \frac{1-n}{n} < \epsilon \Longrightarrow n > \frac{1}{1 + \epsilon}.
$$
Отсюда при доказательстве установим, что $M= \frac{ 1}{\эпсилон + 1} $.
Доказательство :
Пусть $\epsilon >0$ — произвольное вещественное число.
Пусть $M= \frac{1}{\epsilon + 1} $, откуда мы получаем, что $\epsilon = \frac{1-M}{M}$.
Пусть $m$ — произвольное натуральное число, и предположим, что $m > M$, то есть $m > \frac{1}{\epsilon + 1}$ и $\frac{1}{m} < \frac {1}{М}$.
Отсюда из $m > \frac{1}{\epsilon + 1}$ получаем, что $\frac{1 — m}{m} < \epsilon$, что после некоторых алгебраических преобразований дает нам
$$ \ слева| \frac{1}{m} — 1 \right| < \эпсилон.$$ $\квадрат$
Некоторые мысли
Есть (а может и есть) очевидная ошибка, которую я просто не вижу. Перефразируя мою проблему, я чувствую, что после этого я получаю значение $M$ из набросков, независимо от того, исходит ли это из разумного предела или нет, в основном это сделано. Я предполагаю, что $m > M$, и, поскольку это подразумевает, что $m$ должно быть больше определенного выражения с $\epsilon$, я всегда возвращаюсь к исходной формуле, тщетно (и ошибочно) » доказывая» результат.