Задачи на размещение сочетание и перестановку с решением: Задачи по комбинаторике. Примеры решений. Основные формулы комбинаторики. Комбинаторика: формула перестановки, размещения

Комбинаторные задачи 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Пример об автомобильных номерах

 

Для начала рассмотрим простой пример. Пусть в некотором регионе решили ввести формат номера автомобиля в виде числа. Вопрос: какое количество автомобилей мы сможем снабдить различными номерами? Внимательный учащийся сразу заметит неполноту формулировки задачи, не правда ли? И действительно, во-первых, не указано, какое количество знаков должно находиться в номере автомобиля, во-вторых, какие значения могут принимать отдельные цифры такого номера. Ну и конечно, как принято при решении подобных задач, начнем мы решение с рассмотрения самых простых случаев.

 

Пусть приняты только трехзначные номера, причем формируются они только цифрами 1, 2 и 3. Также вводится несколько нестандартное требование: пусть одна и та же цифра в номере будет встречаться не более одного раза. Это нужно для упрощения решения. В этом случае ответить на вопрос задачи совсем просто. Нужно перечислить все возможные комбинации из трех цифр. Вот они: , , , , , .

Всего 6 штук. Согласитесь, маловато для автомобильных номеров. Давайте теперь будем нумеровать машины четырехзначными числами. Причем каждая цифра числа будет меняться в диапазоне от одного до четырех. Также сохраним требование к однократному присутствию каждой цифры в номере. Здесь перебирать номера вручную уже заметно тяжелее, если не верите, убедитесь самостоятельно. А пока воспользуемся следующим приемом:

первая цифра номера – 4 значения;

вторая – 3 значения;

третья – 2 значения.

У последней цифры остается только одна возможность. Тогда общее количество вариантов равно произведению . Этот перебор можно проиллюстрировать при помощи так называемого дерева возможных вариантов (Рис. 1.). Номера машин можно получить, если прочитать каждую ветку данной схемы сверху вниз.

Рис. 1. Дерево вариантов автомобильных номеров

24 – это уже значительно лучше, чем 6, однако все равно нам этого мало. В предыдущем примере мы воспользовались так называемым правилом умножения.

 

Правило умножения

 

 

Если, независимо друг от друга, элемент  можно выбрать  способами, элемент  –  способами и так далее, то комбинацию  можно выбрать  способами.

 

 

Пример об автомобильных номерах. (Продолжение)

 

 

В случае, когда мы выбираем цифры из четверки цифр, каждая последующая цифра имеет количество способов выбора на единицу меньше предыдущей цифры. Тогда умножение этих количеств способов приводит нас к понятию факториала.

 

 

Факториал

 

 

Факториал (обозначается ) – произведение подряд идущих первых  натуральных чисел.

 

Заметьте: при этом полагается, что факториал нуля равен единице:  и факториал единицы также равен единице .

Приведем несколько первых значений для n-факториала:

Следует обратить внимание на еще одно важное свойство факториала: значение факториала очень быстро возрастает с увеличением . Так, значение  уже больше чем , а  превышает  триллиона.

 

Свойство факториала

 

 

Для дальнейшего будет полезно знать еще одно важное свойство факториала:

 

Доказательство:

По определению, факториал равен:

.

Сгруппировав все сомножители, кроме последнего, получим:

При этом в скобках, снова, по определению факториала, имеем  

На рассмотренных примерах мы смогли убедиться, что число способов, которыми можно составить, например, четырехзначный номер из четырех цифр, равно . Очевидно, что здесь есть общая закономерность, когда количество распределяемых элементов, то есть цифр, совпадает с количествами элементов, по которым надо распределить, то есть количеством разрядов в числе. В этом случае мы имеем дело с примером так называемой «перестановки».

 

Перестановки

 

 

Перестановка из  элементов – каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

 

На основании предыдущих рассуждений можно сформулировать такое утверждение:  различных элементов можно расставить по одному на  различных мест ровно  способами.

 – число перестановок.

Вновь вернемся к нашему примеру. Будем обсуждать случай, когда число знаков в автомобильном номере, то есть количество распределяемых элементов, меньше количества элементов, по которым нужно распределить, то есть количества цифр, из которых состоит номер. Здесь мы имеем дело уже не с перестановками, а с так называемыми «размещениями».

 

Размещения

 

 

Размещение из  элементов по , где  меньше, либо равно , – любое множество, состоящее из  элементов, взятых в определенном порядке из данных  элементов. Таким образом, два размещения из  элементов по  считаются различными, если они различаются самими элементами или порядком из расположения.

 

 – число размещений.

Опираясь на правило умножения, можно найти выражение для .

Пусть у нас есть 5 цифр, из которых нужно составить трехзначное число. Применим уже известный нам способ подсчета количества возможных вариантов:

первая цифра может принимать 5 возможных значений;

вторая – 4 значения;

третья – 3.

Общее число вариантов .

Вам предлагается самостоятельно разобрать ситуацию, когда необходимо сформировать, например, двузначный номер, а я приведу лишь здесь ответ:

Если рассмотреть подобные примеры при различных  и , то можно убедиться, что все они описываются одной формулой:

В такой форме выражение очень тяжело запомнить, поэтому немного его преобразуем, ведь в нашем распоряжении есть факториал.

Умножим и разделим правую часть этого равенства на факториал числа :

Заменив  произведением :

И, расположив сомножители в порядке возрастания, получим:

В числителе дроби записано произведение всех натуральных чисел . Это произведение по определению равно . Следовательно, число размещений  равно:

Мы получили формулу для вычисления числа размещений из  элементов по , при . 

Формула для числа размещений остается справедливой и в случае, когда . В этом случае мы имеем формулу для числа размещений из  элементов по : .

Но давайте обратим внимание: когда мы говорим «число размещений из  элементов по », то такие размещения отличаются друг от друга лишь порядком элементов, ведь состав элементов у них один и тот же. И там по  элементов. А мы помним, что те перечисления, которые отличаются друг от друга лишь порядком элементов, называются перестановками. То же самое получим при помощи формулы: итак, при  мы получаем:

Мы пришли к уже известной формуле числа перестановок. 

 

Пример об автомобильных номерах. (Продолжение2)

 

 

Будем снова считать, что каждая цифра номера лежит в диапазоне . Для простоты снова рассмотрим трехзначные номера без повторения цифр. Представим себе такую ситуацию: нам необходимо разделить автомобили на группы по профессиональной принадлежности владельца. Например, врачам будем выдавать лишь номера, состоящие из цифр 1, 2 и 3. Учителям – только номера, состоящие из цифр 1, 2 и 4, и т. д. Вопрос: сколько различных профессий мы сможем идентифицировать таким способом?

 

В чем отличие такой задачи от той, где мы подсчитывали число размещений? А разница в том, что здесь для нас не имеет значения порядок следования цифр. Т. е., к примеру, если мы видим автомобиль с номером , или автомобиль с номером , или автомобиль с номером , то мы однозначно утверждаем, что за рулем этой машины сидит врач. Если мы видим автомобиль с номерами ,  или  то мы говорим: «Это едет учитель».

Теперь, как же ответить на вопрос задачи? 

Для этого нам просто необходимо перебрать все варианты группировок из 4 цифр по 3 (Рис. 2).

Рис. 2. Автомобильные номера

После чего, объединить в группы номера, отличающиеся только порядком цифр (Рис. 3).

Рис. 3. Автомобильные номера, объединенные в группы

Нужно подсчитать количество групп, которое вы видите на Рис. 3. Это количество мы будем называть «сочетанием».

 

Задача на размещение элементов

 

 

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от нуля?

 

Общее число семизначных комбинаций определяется по формуле перестановок. Всего цифр – , из них выбираем по . Получаем .

Вычислим количество комбинаций, в которых на первом месте 0. Остается  цифр, и из них можем варьировать . Количество комбинаций с нулем получается равным .

Количество номеров, в которых первая цифра не равна нулю, равно:

 

Сочетание

 

 

Сочетанием из  элементов по  называется любое множество, составленное из  элементов, выбранных из данных  элементов.

 

В отличие от размещений, в сочетаниях для нас совершенно не важен порядок следования элементов. Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, то есть составом.

 – число сочетаний

В рассмотренном примере число вариантов равно  (число различных профессий, которые мы сможем идентифицировать при помощи автомобильных номеров).

Выражение для числа сочетаний.

Докажем, что

Допустим, имеется множество, содержащее  элементов, из его элементов составлены все возможные сочетания по  элементов. Число таких сочетаний равно . В каждом таком сочетании можно выполнить ровно  перестановок. В результате получим все размещения, которые можно составить из  элементов по . Их число равно .

Получаем . 

Пользуясь формулой для числа размещений, где , находим, что число сочетаний из  по  равно:

Вычислим количество сочетаний из 4 по 3, полученное в предыдущей задаче:

Это совпадает с ранее посчитанным количеством групп. 

Мы получили формулу, которая позволяет нам подсчитывать число сочетаний из  элементов по , при любом .

 

Задача на сочетание элементов

 

 

В классе учатся 12 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории школы необходимо выделить трех мальчиков и двух девочек. Сколькими способами можно это сделать?

 

Выбрать трех мальчиков из 12 можно числом способов .

Двух девочек из десяти можно выбрать числом способов .

Поскольку при выборе каждого мальчика выбор девочек совершенно независим, то есть эти события независимы, значит, общее количество вариантов равно произведению по правилу умножения:

 

 

Заключение

 

 

В заключение резюмируем основные моменты урока.

 

Как вы могли заметить, большинство из рассмотренных примеров имеют вполне ощутимое отношение к реальной жизни. Ведь в жизни нам часто приходится сталкиваться с ситуациями, когда необходимо подсчитать число каких-либо вариантов. Мы обычно начинаем просто перечислять эти варианты, многое упуская из виду. Комбинаторика как раз позволяет нам избавиться от такого прямого пересчета вариантов, заранее вычислив их количество. 

Самое трудное в такой ситуации – это понять, с каким из видов перечислений вы имеете дело: с перестановкой, размещением или сочетанием. При этом, конечно, не следует думать, что любые варианты сводятся к этим трем видам перечислений. Примеры других типов перечислений будут рассмотрены на дальнейших уроках. Кроме того, комбинаторные расчеты имеют важнейшее значение для теории вероятности, и об этом мы тоже будем говорить на других уроках.

 

Список литературы

1. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей 7–9 класс. Изд-во: Учитель, 2010.
2. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей. Учебное пособие для учащихся 7–9 классов общеобразовательных учреждений. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Под ред. С.А. Теляковского. – М.: 2003.
3. События. Вероятности. Статистика. Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7–9 классов. Мордкович А.Г., Семенов П.В. – М.: Мнемозина, 2002.
4. Ткачев М.В., Федоров М.Е. Алгебра 7–9. Элементы статистики и вероятности. – М.: Просвещение, 2003.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Nsportal.ru (Источник).
2. Yaklass.ru (Источник).
3. Mathematics-tests.com (Источник).

 

Домашнее задание

1. В знаменитой басне Крылова «Квартет» проказница Мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения. Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?
2. В группе ТД–21 обучается 24 студента. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?
3. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?
4. Сколькими способами можно наугад зачеркнуть 6 чисел из 49?

 

Комбинаторика основные понятия и формулы, задачи с решением для начинающих, основы комбинаторики для чайников, свойства сочетания с повторениями

Математика

12.11.21

11 мин.

Комбинаторика — раздел математики. Основные понятия и формулы комбинаторики как науки применяются во всех сферах жизни.

Оглавление:

• Что такое комбинаторика в математике
• Основные понятия
• Правило произведения
• Правило суммы
• Сочетания с повторениями и без повторений
• Размещения с повторениями и без повторений
• Перестановки с повторениями и без повторений
• Комбинаторные задачи с решениями
• Заключение

Неудивительно, что она включена в программу 11 класса, а также во вступительные испытания во многих ВУЗах РФ. Ее основы лежат в прикладном искусстве многих сфер деятельности человека.

Ее история насчитывает более 6 веков. Первые комбинаторные задачи появились в трудах философов и математиков Средневековья.

Представители того научного мира пытались найти методы решения таких задач, их базовые правила и понятия, утвердить уникальные формулы и уравнения для тех, кто ещё не встречался с ними. Такая информация в наше время называется информацией «для чайников».

Попытаемся разобраться в аспектах этой области науки: каковы элементы, свойства, правила, методы и основное ее применение в нашей жизни? Конечно, всю область в одной статье невозможно охватить. Поэтому ниже будет представлено всё самое основное.

Что такое комбинаторика в математике

Суть этого термина дают книги прошлых лет: это

раздел математики, занимающийся операциями со множеством элементов.

В интернете есть учебники по информатике и математике для детей, школьников, сборники материалов и задач для начинающих, где в доступном виде объяснена «занимательная» комбинаторика. Нужно твердо выяснить, как решать подобные задачи.

В младших классах задачи на эту тему решают на дополнительных кружках, а в школах с углубленным изучением математики — на основных уроках. К тому же, задачи по комбинаторике включены в олимпиады всех уровней.

Основные понятия

Их несколько:

1. Элемент – любой объект или явление, входящий в искомое множество.
2. Сочетание – подмножества, находящиеся в произвольном порядке в исходном множестве.
3. Перестановка
   – элементы во множестве находятся в строго определенном порядке.
4. Размещение – упорядоченные подмножества в исходном множестве.

Правило произведения

Является одним из основных правил при решении таких задач и звучит так:

При выборе элемента А из n способов и выборе элемента В из m способов верно утверждение, что выбрать пару А и В одновременно можно n*m способами.

Рассмотрим на конкретных примерах.

Задача №1.

В коробке лежит 2 мяча и 6 скакалок. Сколько существует способов достать 1 мяч и 1 скакалку?

Ответ прост: 2 * 6 = 12.

Задача №2.

Есть 1 кубик, 2 шарика, 3 цветка и 4 конфеты. Сколькими способами можно вытянуть кубик, шарик, цветок и конфету?

Решение аналогично: 1 * 2 * 3 * 4 = 24.

Причем левую часть можно записать гораздо проще: 4!

! в данном случае является не знаком препинания, а факториалом. С помощью него можно вычислить более сложные варианты и решать трудные задачи (существуют разные формулы, но об этом позже).

Задача №3.

Сколько двузначных чисел можно составить из 2 цифр?

Ответ: 2! = 2.

Задача №4.

Сколько десятизначных чисел можно составить из 10 цифр?

10! = 3628800.

Правило суммы

Тоже является базовым правилом комбинаторики.

Если А можно выбрать n раз, а В — m раз, то А или В можно выбрать (n +

m) раз.

Задача №5.

В коробке лежат 5 красных, 3 желтых, 7 зеленых, 9 черных карандашей. Сколько есть способов вытащить 1 любой карандаш?

Ответ: 5 + 3 + 7 + 9 = 24.

Сочетания с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают комбинации в произвольном порядке из множества n по m элементов.

Число сочетаний равно количеству таких комбинаций.

Задача №6.

В коробке находится 4 разных фрукта. Сколькими способами можно достать одновременно 2 разных фрукта?

Решение простое:

Где 4! – комбинация из 4 элементов.

С повторениями чуть сложней, комбинации считаются по такой формуле:

Задача №7.

Возьмем тот же самый случай, но при условии, что один фрукт возвращается в коробку.

В этом случае:

Размещения с повторениями и без повторений

Под этим определением понимают набор m элементов из множества n элементов.

Задача №8.

Из 3 цифр надо выбрать 2, чтобы получались разные двузначные числа. Сколько вариантов?

Ответ прост:

А как же быть с повторениями? Здесь каждый элемент может размещаться несколько раз! В таком случае общая формула будет выглядеть следующим образом:

Задача №9.

Из 12 букв латинского алфавита и 10 цифр натурального ряда надо найти все варианты составления автомобильного кода региона.

Решение:

Перестановки с повторениями и без повторений

Под этим термином понимают все возможные комбинации из n элементного множества.

Задача №10.

Сколько возможных пятизначных чисел можно составить из 5цифр? А шестизначных из 6 цифр? Семизначных из 7 цифр?

Решения, согласно вышеприведенной формуле, следующие:

5! = 120;

6! = 720;

7! = 5040.

А как же быть с повторениями? Если в таком множестве есть одинаковые по своей значимости элементы, то перестановок будет меньше!

Задача №11.

В коробке есть 3 одинаковых карандаша и одна ручка. Сколько перестановок можно сделать?

Ответ прост: 4! / (3! * 1!) = 4.

Комбинаторные задачи с решениями

Примеры всех возможных типов задач с решениями были даны выше. Здесь попробуем разобраться с более сложными случаями, встречающимися в нашей жизни.

Типы задач	Что требуется найти	Методы решения
Магический квадрат	Фигура, в которой сумма чисел в рядах и столбцах должна быть одинакова (его разновидность – латинский квадрат).	Рекуррентные соотношения. Решается подобная же задача, но с гораздо меньшим множеством элементов по известным правилам и формулам.
Задача размещения	Стандартная производственная задача (например, в лоскутной технике) — найти возможные способы разложения количества продуктов в ячейки в определенном порядке.	Включения и исключения. Как правило, применяется при доказательстве различных выражений.
Задачи про торговцев	Суть — найти все возможные пути прохождения людей из пункта А в пункт В.	Траектории. Для этого вида задач характерно геометрическое построение возможных способов решения.

Заключение

Стоит изучать эту науку, поскольку в век быстрой модернизации технологий потребуются специалисты, способные предоставить различные решения тех или иных практических задач.

Решение задач с использованием формул комбинаторики

 Способ 1      Каждый из 15 -и  человек пожал руки 14-и . Однако произведение 15 * 14 =210 дает удвоенное число рукопожатий (так как в этом расчете учтено, что первый пожал руку второму, а затем второй первому, на самом же деле было одно рукопожатие). Итак, число рукопожатий равно: (15 * 14) : 2 =105. 

Способ 2     Первый ученик пожал руки 14-и, второй – 13-и (плюс рукопожатие с первым, которое уже учтено), третий – 12-и и т.д.  14-й ограничился одним рукопожатием, а на долю 15-го  выпала пассивная роль – принимать приветствия. Таким образом, общее число рукопожатий выражается суммой:  N = 14 + 13 + 12 + … + 3 + 2 + 1 или    N = 1 + 2 + 3 + … + 12 + 13 + 14.     мы с вами столкнулись с комбинаторной задачей.      

тема урока:   Решение задач с использованием формул комбинаторики  (перестановки, размещения, сочетания). 

цель урока:   решать задачи, применяя формулы комбинаторики для вычисления числа перестановок, размещений, сочетания  

ЭПИГРАФ УРОКА:  «Путь в тысячу ли начинается с первого шага. Нужно найти силы сделать   первый шаг, и дорога появиться сама собой».                                                                                 Лао Цзы   

Деление на группы  Дифференциация по классификации (группы учеников с похожими интересами)    Класс делится на 5 групп:    На столе  № 1 будут разноуровневые задания с перестановками      на  столе  №2   разноуровневые задания с размещениями   на столе  № 3 –  разноуровневые задания с сочетаниями  Учащиеся по желанию выбирают стол, за которым будут работать.      Учитель назначает спикера в каждой группе и группу  Каждая группа выбирает: редактора (который будет оформлять графический органайзер), помощника спикера (который выполняет основную вычислительную работу),  также тайм-менеджера (который следит за временем).     На столах лежат   маршрутные листы и конверты с заданиями.    

 Устная работа:   Презентация   Слайд  5-10  

1.  Найти значение выражения:    4!  

2 Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5:   120 + 

3. Сколькими способами могут разместиться 6 человек в салоне автобуса на 6  свободных местах:  720 + 

4. Сколькими способами могут разместиться 3 человека в четырехместном купе на свободных местах:  24 +    

5. Найти значение выражения:    4!- 2!

«где отсутствует точное знание, там действуют догадки, а из десяти догадок девять – ошибки».   М. Горький 

РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ комбинаторных задач (слайды11-13)

  Разберем «на пальцах», как решать задачи (выбирая нужную формулу) по этой схеме. В опорном конспекте вы найдете 6 простых задач по комбинаторике, в каждой описан выбор формулы и решение. Действуйте аналогично, и добьетесь успеха.  Надо заметить, что выбор подходящей формулы – это только первая ступень в умении решать задач по комбинаторике, большинство задач сложнее и требует применения дополнительных правил . 

Правило суммы: если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать m способами, то выбрать либо А, либо В можно (п + m) способами.  

Правило произведения (умножения): если элемент А можно выбрать п способами, а элемент В можно выбрать m способами, то два элемента (пару) А и В можно выбрать п · m способами. 

Типы соединений:  Перестановками из п разных элементов называют соединения,   где число объектов остается неизменными, меняется только их порядок( расположение этих элементов в определенном порядке),  а   их число равно:  Pn=n!     

Размещения:  Если из n различных объектов будем выбирать по  m объектов и переставлять всеми возможными способами между собой, то есть меняется и состав выбранных объектов, и их порядок (в определенном порядке). Получившиеся комбинации называются размещениями из n объектов по m(m не больше  п), а их число равно (читается «А из п по m») т.е.  равно произведению к последовательных натуральных чисел, наибольшим из которых является п.  

Сочетания Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.  

«Правильному применению методов можно научиться, только применяя их на различных примерах».           И. Г. Цейтен      

   Практическое задание с элементами исследования   Работа в группах  Дифференциация по уровню сложности задания и по темпу.   Для самостоятельной работы   группам предлагается выполнить задания разного уровня.

1 группе необходимо   решить 3 задачи на размещение. 

2 группе – 3 задачи на перестановку. 

3 группе – 3 задачи на сочетания.  Подготовьте графический органайзер ( постер) по предложенным заданиям.   По истечению 10  минут спикер от каждой группы защищает  задание  у доски.

Дескриптор	балл
Распознает тип комбинации	1
Знает и вычисляет по формуле	1
Решает задачи, требующие  распознавания и дополнительных преобразований.	1
записывает ответ	1

Метод: «Две звезды — одно желание».   Учащиеся изучают графические органайзеры других групп и оценивают их. Отмечают два положительных момента и одно пожелание. 

Обратная связь: взаимооценивание, учитель.  Учитель поддерживает, выделяет ответы и интересные вопросы некоторых учащихся.     Вывод: Ученики делают вывод о возможностях применять формул при решении практических задач. Ясно, что сочетаний всегда меньше чем размещений (так как при размещениях порядок важен, а для сочетаний — нет), причем именно в m!  раз, то есть получилась такая изящная формула, объединяющая три   формулы комбинаторики (три концепции: размещений, сочетаний и перестановок)  

 Самостоятельная работа   Учащимся предлагается выполнить работу индивидуально, которая предполагает анализ предложенных заданий и   определение типа и формулы(тестирование по BILIM LAND)   Обратная связь:   Где были допущены ошибки? Что было трудным?   Учитель проводит коррекцию.     

 

Перестановки, размещения и сочетания. Формулы

Все N элементов, и ни один не повторяется, то это задача о количестве перестановок. Решение можно найти простым . На первом месте в ряду может стоять любой из N элементов, следовательно, получается N вариантов. На втором месте — любой, кроме того, который уже был использован для первого места. Следовательно, для каждого из N уже найденных вариантов есть (N — 1) вариантов второго места, и общее количество комбинаций становится N*(N — 1).
Это же можно повторить для остальных элементов ряда. Для самого последнего места остается только один вариант — последний оставшийся элемент. Для предпоследнего — два варианта, и так далее.
Следовательно, для ряда из N неповторяющихся элементов возможных перестановок равно произведению всех целых от 1 до N. Это произведение называется факториалом числа N и обозначается N! (читается «эн факториал»).

В предыдущем случае количество возможных элементов и количество мест ряда совпадали, и их число было равно N. Но возможна ситуация, когда в ряду меньше мест, чем имеется возможных элементов. Иными словами, количество элементов в выборке равно некоторому числу M, причем M Во-первых, может потребоваться сосчитать общее количество возможных способов, которыми можно выстроить в ряд M элементов из N. Такие способы называются размещениями.
Во-вторых, исследователя может интересовать число способов, которыми можно выбрать M элементов из N. При этом порядок расположения элементов уже не важен, но любые два варианта должны различаться между собой хотя бы одним элементом. Такие способы называются сочетаниями.

Чтобы найти количество размещений по M элементов из N, можно прибегнуть к такому же способу рассуждений, как и в случае с перестановками. На первом месте здесь по-прежнему может стоять N элементов, на втором (N — 1), и так далее. Но для последнего места количество возможных вариантов равняется не единице, а (N — M + 1), поскольку, когда размещение будет закончено, останется еще (N — M) неиспользованных элементов.
Таким образом, число размещений по M элементов из N равняется произведению всех целых чисел от (N — M + 1) до N, или, что то же самое, частному N!/(N — M)!.

Очевидно, что количество сочетаний по M элементов из N будет меньше количества размещений. Для каждого возможного сочетания есть M! возможных размещений, зависящих от порядка элементов этого сочетания. Следовательно, чтобы найти это количество, нужно разделить число размещений по M элементов из N на N!. Иными словами, количество сочетаний по M элементов из N равно N!/(M!*(N — M)!).

При решении многих практических задач приходится использовать комбинации элементов, выбирать из данной совокупности те, которые имеют определенные свойства, и размещать их в определенном порядке. Такие задачи называются комбинаторными . Раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями, называется комбинаторикой. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina» , что в переводе на русский язык означает – «сочетать», «соединять».

Выбранные группы элементов называют соединениями. Если все элементы соединения разные, то получаем соединения без повторений, которые и рассмотрим ниже.

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения .

Задача 1.

В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?

Решение .

Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).

Ответ: 24.

Для успешного решения комбинаторных задач надо еще и правильно выбрать формулу, по которой искать количество нужных соединений. В этом поможет следующая схема.

Рассмотрим решение нескольких задач на разные виды соединений без повторений.

Задача 2.

Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.

Решение.

Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A 7 3 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.

Ответ: 210.

Задача 3.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?

Решение.

На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:

A 10 7 – A 9 6 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.

Ответ: 544 320.

Задача 4.

Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?

Решение.

Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р 8 . Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р 5 способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р 8 · Р 5 = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.

Ответ: 8! · 5!

Задача 5 .

В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?

Решение.

Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:

С 16 4 · С 12 3 = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.

Ответ: 400 400.

Таким образом, успешное решение комбинаторной задачи зависит от правильного анализа ее условия, определения типа соединений, которые будут составляться, и выбора подходящей формулы для вычисления их количества.

Остались вопросы? Не знаете, как решать комбинаторные задачи?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Чтобы в материале было легче ориентироваться, добавлю содержание данной темы:

Введение. Множества и выборки.

В этой теме рассмотрим основные понятия комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения. Выясним их суть и формулы, по которым можно найти их количество.

Для работы нам понадобятся кое-какие вспомогательные сведения. Начнём с такого фундаментального математического понятия как множество. Подробно понятие множества было раскрыто в теме «Понятие множества. Способы задания множеств» .

Очень краткий рассказ про множества : показать\скрыть

Если вкратце: множеством именуют некую совокупность объектов. Записывают множества в фигурных скобках. Порядок записи элементов роли не играет; повторения элементов не допускаются. Например, множество цифр числа 11115555999 будет таким: $\{1,5,9 \}$. Множество согласных букв в слове «тигрёнок» таково: $\{т, г, р, н, к\}$. Запись $5\in A$ означает, что элемент 5 принадлежит множеству $A=\{1,5,9 \}$. Количество элементов в конечном множестве называют мощностью этого множества и обозначают $|A|$. Например, для множества $A=\{1,5,9 \}$, содержащего 3 элемента, имеем: $|A|=3$.

Рассмотрим некое непустое конечное множество $U$, мощность которого равна $n$, $|U|=n$ (т.е. в множестве $U$ имеется $n$ элементов). Введём такое понятие, как выборка (некоторые авторы именуют её кортежем). Под выборкой объема $k$ из $n$ элементов (сокращённо $(n,k)$-выборкой) будем понимать набор элементов $(a_1, a_2,\ldots, a_k)$, где $a_i\in U$. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком элементов, являются различными. Если порядок следования элементов выборки не является существенным, то выборку именуют неупорядоченной.

Заметьте, что в определении выборки ничего не сказано про повторения элементов. В отличие от элементов множеств, элементы выборки могут повторяться.

Для примера рассмотрим множество $U=\{a,b,c,d,e\}$. Множество $U$ содержит 5 элементов, т.е. $|U|=5$. Выборка без повторений может быть такой: $(a,b,c)$. Данная выборка содержит 3 элемента, т.е. объём этой выборки равен 3. Иными словами, это $(5,3)$-выборка.

Выборка с повторениями может быть такой: $(a,a,a,a,a,c,c,d)$. Она содержит 8 элементов, т.е. объём её равен 8. Иными словами, это $(5,8)$-выборка.

Рассмотрим ещё две $(5,3)$-выборки: $(a,b,b)$ и $(b,a,b)$. Если мы полагаем наши выборки неупорядоченными, то выборка $(a,b,b)$ равна выборке $(b,a,b)$, т.е. $(a,b,b)=(b,a,b)$. Если мы полагаем наши выборки упорядоченными, то $(a,b,b)\neq(b,a,b)$.

Рассмотрим ещё один пример, немного менее абстрактный:) Предположим, в корзине лежат шесть конфет, причём все они различны. Если первой конфете поставить в соответствие цифру 1, второй конфете — цифру 2 и так далее, то с конфетами в корзине можно сопоставить такое множество: $U=\{1,2,3,4,5,6\}$. Представьте, что мы наугад запускаем руку в корзинку с целью вытащить три конфеты. Вытащенные конфеты — это и есть выборка. Так как мы вытаскиваем 3 конфеты из 6, то получаем (6,3)-выборку. Порядок расположения конфет в ладони совершенно несущественен, поэтому эта выборка является неупорядоченной. Ну, и так как все конфеты различны, то выборка без повторений. Итак, в данной ситуации говорим о неупорядоченной (6,3)-выборке без повторений.

Теперь подойдём с иной стороны. Представим себе, что мы находимся на фабрике по производству конфет, и на этой фабрике производятся конфеты четырёх сортов. Множество $U$ в этой ситуации таково: $U=\{1,2,3,4 \}$ (каждая цифра отвечает за свой сорт конфет). Теперь вообразим, что все конфеты ссыпаются в единый жёлоб, около которого мы и стоим. И, подставив ладони, из этого потока отбираем 20 конфет. Конфеты в горсти – это и есть выборка. Играет ли роль порядок расположения конфет в горсти? Естественно, нет, поэтому выборка неупорядоченная. Всего 4 сорта конфет, а мы отбираем двадцать штук из общего потока — повторения сортов неизбежны. При этом выборки могут быть самыми различными: у нас даже могут оказаться все конфеты одного сорта. Следовательно, в этой ситуации мы имеем дело с неупорядоченной (4,20)-выборкой с повторениями.

Рассмотрим ещё пару примеров. Пусть на кубиках написаны различные 7 букв: к, о, н, ф, е, т, а. Эти буквы образуют множество $U=\{к,о,н,ф,е,т,а\}$. Допустим, из данных кубиков мы хотим составить «слова» из 5 букв. Буквы этих слов (к примеру, «конфе», «тенко» и так далее) образуют (7,5)-выборки: $(к,о,н,ф,е)$, $(т,е,н,к,о)$ и т.д. Очевидно, что порядок следования букв в такой выборке важен. Например, слова «нокфт» и «кфтон» различны (хотя состоят из одних и тех же букв), ибо в них не совпадает порядок букв. Повторений букв в таких «словах» нет, ибо в наличии только семь кубиков. Итак, набор букв каждого слова представляет собой упорядоченную (7,5)-выборку без повторений.

Еще один пример: мы составляем всевозможные восьмизначные числа из четырёх цифр 1, 5, 7, 8. Например, 11111111, 15518877, 88881111 и так далее. Множество $U$ таково: $U=\{1,5,7,8\}$. Цифры каждого составленного числа образуют (4,8)-выборку. {k}=\frac{n!}{(n-k)!} \end{equation}

Что обозначает знак «!»? : показать\скрыть

Запись «n!» (читается «эн факториал») обозначает произведение всех чисел от 1 до n, т.е.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

По определению полагается, что $0!=1!=1$. Для примера найдём 5!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Пример №1

Алфавит состоит из множества символов $E=\{+,*,0,1,f\}$. Определим количество таких трёхсимвольных слов в этом алфавите, которые не содержат повторяющихся букв.

Под трёхсимвольными словами будем понимать выражения вида «+*0» или «0f1». В множестве $E$ пять элементов, поэтому буквы трехсимвольных слов образуют (5,3)-выборки. Первый вопрос: эти выборки упорядочены или нет? Слова, которые отличаются лишь порядком букв, полагаются различными, поэтому порядок элементов в выборке важен. Значит, выборка является упорядоченной. Второй вопрос: допускаются повторения или нет? Ответ на этот вопрос даёт условие: слова не должны содержать повторяющихся букв. {n}=\frac{n!}{(n-n)!}=\frac{n!}{0!}=\frac{n!}{1}=n! $$

Пример №3

В морозилке лежат пять порций мороженого от различных фирм. Сколькими способами можно выбрать порядок их съедения?

Пусть первому мороженому соответствует цифра 1, второму — цифра 2 и так далее. Мы получим множество $U=\{1,2,3,4,5\}$, которое будет представлять содержимое морозилки. Порядок съедения может быть таким: $(2,1,3,5,4)$ или таким: $(5,4,3,1,2)$. Каждый подобный набор есть (5,5)-выборка. Она будет упорядоченной и без повторений. Иными словами, каждая такая выборка есть перестановка из 5 элементов исходного множества. Согласно формуле (3) общее количество этих перестановок таково:

$$ P_5=5!=120. $$

Следовательно, существует 120 порядков выбора очередности съедения.

Ответ : 120.

Перестановки с повторениями

Перестановка с повторениями – упорядоченная $(n,k)$-выборка с повторениями, в которой элемент $a_1$ повторяется $k_1$ раз, $a_2$ повторяется $k_2$ раза так далее, до последнего элемента $a_r$, который повторяется $k_r$ раз. При этом $k_1+k_2+\ldots+k_r=k$.

Общее количество перестановок с повторениями определяется формулой:

\begin{equation}P_{k}(k_1,k_2,\ldots,k_r)=\frac{k!}{k_1!\cdot k_2!\cdot \ldots \cdot k_r!} \end{equation}

Пример №4

Слова составляются на основе алфавита $U=\{a,b,d\}$. Сколько различных слов из семи символов может быть составлено, если в этих словах буква «a» должна повторяться 2 раза; буква «b» — 1 раз, а буква «d» — 4 раза?

Вот примеры искомых слов: «aabdddd», «daddabd» и так далее. Буквы каждого слова образуют (3,7)-выборку с повторениями: $(a,a,b,d,d,d,d)$, $(d,a,d,d,a,b,d)$ и т.д. Каждая такая выборка состоит из двух элементов «a», одного элемента «b» и четырёх элементов «d». Иными словами, $k_1=2$, $k_2=1$, $k_3=4$. Общее количество повторений всех символов, естественно, равно объёму выборки, т.е. $k=k_1+k_2+k_3=7$. Подставляя эти данные в формулу (4), будем иметь:

$$ P_7(2,1,4)=\frac{7!}{2!\cdot 1!\cdot 4!}=105. $$

Следовательно, общее количество искомых слов равно 105. {k}=\frac{n!}{(n-k)!\cdot k!} \end{equation}

Пример №5

В корзине размещены карточки, на которых написаны целые числа от 1 до 10. Из корзины вынимают 4 карточки и суммируют числа, написанные на них. Сколько различных наборов карточек можно вытащить из корзины?

Итак, в данной задаче исходное множество таково: $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$. Из этого множества мы выбираем четыре элемента (т.е., четыре карточки из корзины). Номера вытащенных элементов образуют (10,4)-выборку. Повторения в этой выборке не допускаются, так как номера всех карточек различны. Вопрос вот в чём: порядок выбора карточек играет роль или нет? Т.е., к примеру, равны ли выборки $(1,2,7,10)$ и $(10,2,1,7)$ или не равны? Тут нужно обратиться к условию задачи. Карточки вынимаются для того, чтобы потом найти сумму элементов. А это значит, что порядок карточек не важен, так как от перемены мест слагаемых сумма не изменится. Например, выборке $(1,2,7,10)$ и выборке $(10,2,1,7)$ будет соответствовать одно и то же число $1+2+7+10=10+2+1+7=20$. {k}=\frac{(n+k-1)!}{(n-1)!\cdot k!} \end{equation}

Пример №6

Представьте себе, что мы находимся на конфетном заводе, — прямо возле конвейера, по которому движутся конфеты четырёх сортов. Мы запускаем руки в этот поток и вытаскиваем двадцать штук. Сколько всего различных «конфетных комбинаций» может оказаться в горсти?

Если принять, что первому сорту соответствует число 1, второму сорту — число 2 и так далее, то исходное множество в нашей задаче таково: $U=\{1,2,3,4\}$. Из этого множества мы выбираем 20 элементов (т.е., те самые 20 конфет с конвейера). Пригоршня конфет образует (4,20)-выборку. Естественно, повторения сортов будут. Вопрос в том, играет роль порядок расположения элементов в выборке или нет? Из условия задачи следует, что порядок расположения элементов роли не играет. Нам нет разницы, будут ли в горсти располагаться сначала 15 леденцов, а потом 4 шоколадных конфеты, или сначала 4 шоколадных конфеты, а уж потом 15 леденцов. Итак, мы имеем дело с неупорядоченной (4,20) выборкой с повторениями. {20}=\frac{(4+20-1)!}{(4-1)!\cdot 20!}=\frac{23!}{3!\cdot 20!}=1771. $$

Следовательно, общее количество искомых комбинаций равно 1771.

Конспект урока по теме «Элементы комбинаторики»

Цели:

О бучающие:

Формирование основных понятий комбинаторики: размещения из mэлементов по n, сочетания из m элементов по n, перестановки из nэлементов;

Формирование умений и навыков вычисления значений комбинаторных выражений по формулам, решения простейших комбинаторных задач;

Развивающие:

Развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

Воспитательные:

Воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений, воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; прививать чувство патриотизма.

Обучающийся должен:

знать:

Определения трех важнейших понятий комбинаторики:

Размещения из n элементов по m;

Сочетания из n элементов по m;

Перестановки из n элементов, а также, формулы вычисления их количества.

уметь:

Отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;

Применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Ребята, каждая группа в течении года дежурит по техникуму.

Являются ли бригады дежурных в группах постоянными? Скажите, а сколько всего существует способов назначить из n студентов группы mдежурных. В математике есть раздел, который занимается решением подобных задач. Этот раздел называется комбинаторикой.

2. Сообщение темы, целей урока.

Тема сегодняшнего урока «Основные понятия комбинаторики». Давайте вместе попробуем сформулировать цели урока

Ознакомиться с основными понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки)

Научиться решать простейшие комбинаторные задачи

3. Актуализация опорных знаний.

Прежде чем перейти к изучению нового материала, повторим то, что имеет к нему непосредственное отношение. Это уже известное вам понятие «факториал». Итак, кто помнит, что называют «n-факториалом»? Запишите формулу.

Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? А кто сможет показать вычисления на доске? А чему равен 1! ? 0! ? Какие значения в данном случае может принимать n?

4. Изложение нового материала.

4.1. Введение общих понятий

Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам.

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями .

Различают три вида соединений: размещения , перестановки и сочетания .

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными , а раздел математики, занимающийся их решением, — комбинаторикой . Рассмотрим три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.

4.2. Создание проблемной ситуации.

Тексты двух задач на слайде:

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Студентам предлагается два проблемных задания: 1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами и 2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему. После этого предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных вариантов.

Р ешение задачи 1. AB, BA, BC, CB, AC, CA (всего шесть способов).

Решение задачи 2. AB, BC, AC (всего три способа).

Преподаватель обращает внимание студентов на то, что эти задачи оказались похожими только внешне, из-за того, что в обеих присутствуют два числа: m=3 – общее количество элементов и n=2 – количество выбранных элементов. Но в первой задаче составляются упорядоченные соединения, тогда как во второй задаче порядок следования элементов в соединении не имеет значения.

А если вместо чисел 3 и 2 будут например числа 8 и 3. Подойдет ли этот метод для решения этих задач? Поэтому существуют комбинаторные выражения (формулы) для этих соединений

5.3. Лекция «Основные комбинаторные понятия и формулы».

1) Размещения.

Определение. Размещениями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из m элементов по n обозначают (от французского «arrangement» — «размещение») и вычисляют по формуле:

Пример 1. Решим задачу 1 с помощью этой формулы:

2) Перестановки.

Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n.

Число перестановок из n элементов обозначается и вычисляется по формуле:

Задача. Сколькими способами можно расположить в столбик три детали конструктора, различающиеся по цвету?

Ответ:6.

3) Сочетания.

Определение.

Сочетаниями из m элементов по n элементов (n ≤ m) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают (от французского «combination» — «сочетание») и вычисляют по формуле:

Пример 2. Решим задачу 2 с помощью этой формулы:

А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:

Снова, как и ожидалось, результат в первой задаче оказался больше, чем во второй.

Мы рассмотрели теоретические основы комбинаторики. Теперь перейдем к этапу закрепления новых знаний при решении задач.

6. Закрепление материала

6.1. Игра «Математическое лото»

Студентам раздаются наборы раздаточных материалов «Математического лото» (по одному на парту). Каждый комплект состоит из 16 математических заданий по основам комбинаторики, картонного листа в виде матрицы размерности 4 на 4 с написанными в ячейках числами-ответами и цветной фотографии, разрезанной на 16 равных прямоугольника. Все части фотографии пронумерованы в соответствии с порядком заданий и перемешаны. Задача студентов – решить 16 заданий, соответствующие частям разрезанной фотографии, и в соответствии с полученными числовыми ответами отыскать их место на картонной матрице, сложив в итоге фото. Задание выполняется как соревнование между малыми группами По 3-4 человека. Определяются три пары, которые не только сложат картинку раньше всех, но и представят в письменном виде все подробные решения.

Перед началом игры преподаватель мотивирует студентов на активное участие в ней, сообщая, что это упражнение позволит наилучшим образом сформировать навыки комбинаторных вычислений, что значительно упростит выполнение домашнего задания. Кроме того, выполняя это упражнение, можно совместить полезное с приятным, так как результат вызовет эстетические чувства.

Задания.

Вычислите.

, , , , , , , , , , , ,
,
,
,
.

Решения:

В завершении игры объявляются и поощряются победители.

6.2. Решение комбинаторных задач.

При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.

Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:

а) судья хоккейного матча и его помощник;

б) три ноты в аккорде;

в) «Шесть человек останутся убирать класс!»

г) две серии для просмотра из многосерийного фильма.

Ответ: а)да; б)нет; в)нет; г)да.

Задача 1. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Ответ: 366.

Задача 2. Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 870.

Задача 3. Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся?

Ответ: 84.

Задача 4. В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Ответ:21

6.3 Самостоятельная работа

Проверь себя

1 .Определите вид соединений:

а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются __________ перестановки

б) Соединения из m элементов по n , отличающихся друг от друга только составом элементов, называются _______________ сочетания

в) Соединения из m элементов по n , отличающихся друг от друга составом элементом и порядком их расположения, называются _________ размещения

2 . Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта

А.сочетания Ответ:

Подведение итогов самостоятельной работы

7. Подведение итогов урока

Обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях урока. Поощряются активные студенты, выставляются обоснованные преподавателем оценки.

8. Домашнее задание

Подготовка сообщений по темам: «Истории комбинаторики», «Комбинаторика и ее применение в реальной жизни».

Реферат на тему:

Выполнил ученик 10 класса «В»

средней школы №53

Глухов Михаил Александрович

г. Набережные Челны

2002 г.
Содержание

Из истории комбинаторики_________________________________________	3
Правило суммы___________________________________________________	4
	—
Правило произведения_____________________________________________	4
Примеры задач____________________________________________________	—
Пересекающиеся множества________________________________________	5
Примеры задач____________________________________________________	—
Круги Эйлера_____________________________________________________	—
Размещения без повторений________________________________________	6
Примеры задач____________________________________________________	—
Перестановки без повторений_______________________________________	7
Примеры задач____________________________________________________	—
Сочетания без повторений__________________________________________	8
Примеры задач____________________________________________________	—
Размещения и сочетания без повторений______________________________	9
Примеры задач____________________________________________________	—
Перестановки с повторениями_______________________________________	9
Примеры задач____________________________________________________	—
Задачи для самостоятельного решения________________________________	10
Список используемой литературы___________________________________	11

Из истории комбинаторики

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетания». В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге «Теория и практика арифметики» (1656 г.) французский автор А. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу.
Б. Паскаль в «Трактате об арифметическом треугольнике» и в «Трактате о числовых порядках» (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин «комбинаторика» стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы «Рассуждение о комбинаторном искусстве», в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги «Ars conjectandi» (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы

Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y.

То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.

Примеры задач

Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы?

Решение: X=17, Y=13

По правилу суммы X U Y=17+13=30 тем.

Имеется 5 билетов денежно-вещевой лотереи, 6 билетов спортлото и 10 билетов автомотолотереи. Сколькими способами можно выбрать один билет из спортлото или автомотолотереи?

Решение: Так как денежно-вещевая лотерея в выборе не участвует, то всего 6+10=16 вариантов.

Правило произведения

Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Примеры задач

Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?

Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.

Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Решение: В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя — как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX , где Y и Z -любые цифры, а X — не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и справа налево равно 9*10*10=900 вариантов.

Пересекающиеся множества

Но бывает, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются формулой

, где X и Y — множества, а — область пересечения. Примеры задач

20 человекзнаютанглийскийи 10 — немецкий, изних 5 знаютианглийский, инемецкий. СколькоЧеловеквсего?

Ответ: 10+20-5=25 человек.

Также часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера. Например:

Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским — 28, французским — 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским — 10, немецким и французским — 5, всеми тремя языками — 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Решение: Выразим условие этой задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом — тех, кто знает французский, и третьим кругом — тех, кто знают немецкий.

Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3. Английским и французским языком владеют 10 человек, а 3 из них владеют еще и немецким. Следовательно, только английским и французским владеют 10-3=7 человек.

Аналогично получаем, что только английским и немецким владеют 8-3=5 человек, а немецким и французским 5-3=2 туриста. Вносим эти данные в соответствующие части.

Определим теперь, сколько человек владеют только одним из перечисленных языков. Немецкий знают 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, следовательно, только немецкий знают 20 человек. Аналогично получаем, что одним английским владеют 13 человек, а одним французским — 30 человек.

По условию задачи всего 100 туристов. 20+13+30+5+7+2+3=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним из данных языков.

Размещения без повторений.

Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными.

Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов.

Количество всех размещений из n элементов по m обозначают

n! — n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа nЗадача

Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец?

Решение : два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому:

Возможно 360 вариантов.

Перестановки без повторений

В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m называется перестановкой множества x.

Количество всех перестановок из n элементов обозначают P n.

Действительно при n=m:

Примеры задач

Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4,5, если цифры в числе не повторяются?

1) Найдем количество всех перестановок из этих цифр: P 6 =6!=720

2) 0 не может стоять впереди числа, поэтому от этого числа необходимо отнять количество перестановок, при котором 0 стоит впереди. А это P 5 =5!=120.

P 6 -P 5 =720-120=600

Проказница Мартышка

Да косолапый Мишка

Затеяли играть квартет

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, — погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Тесты по теме «Комбинаторика» онлайн

1. Онлайн тесты
2. Комбинаторика

• Решение комбинаторных задач

  12. 12.2019 1106 0

  Для завершения курса Вам нужно пройти итоговый тест. В тесте Вам предлагается решить комбинаторные задачи разными способами. И провеить своё решение.В тесте всего десять задач. Для зачета Вам нужно решить не менее пяти задач. Желаем успеха!

• Комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания

  02.02.2022 1967 0

  Образовательный тест по теме «Комбинаторика» позволяет проверить знание таких понятий как: факториал, перестановка, сочетания, размещения. Проверяется как умение вычислять различные примеры с факториалами, так и применять нужные формулы для решения задач; определять тип задач. Тест многовариантный, в каждом из 10 заданий происходит выборка одного примера из нескольких в каждом номере.

• Комбинаторика: Перестановки

  12.04.2020 1336 0

  В тесте проверяются знания, умения и навыки по теме «Перестановки»

• Комбинаторика: Размещения

  12.04.2020 1263 0

  Тест для учащихся 9 класса по теме «Комбинаторика: Размещения». 

• Формулы комбинаторики. Решение примеров.

  27.04.2020 681 0

  Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Формулы комбинаторики». Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи!!! 

• Решение комбинаторных задач

  03.01.2021 69 0

  Тест предназначен для поверки умения решать комбинаторные задачи

• Тест по КОМБИНАТОРИКЕ ( 1 курс СПО)

  22.05.2020 247 0

  Тест состоит из 10 вопросов. Задачи, входящие в тест, позволяют оценить освоение теоретических основ комбинаторики- типов комбинаций: перестановки,размещения,сочетания ( с повторениями)

• Комбинаторика.

  Комбинаторные задачи

  29.10.2019 1152 0

  Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Комбинаторные задачи». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 10-15 минут.

• Решение комбинаторных задач

  07.02.2022 49 0

  Практикум решения задач из раздела математики «Комбинаторика». В работе 8 задач на применение основных понятий комбинаторики. 

• Теория вероятностей

  01. 06.2020 207 0

  Итоговый тест по дисциплине Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия по разделу Комбинаторика

• Правила комбинаторики

  29.10.2019 451 0

  Перед Вами тренировочный тест, проверяющий усвоение небольшой, логически завершенной части темы «Правила комбинаторики». Содержание и уровень сложности включенных в него заданий отвечают обязательным требованиям к математической подготовке студентов, обучающихся по специальностям технического профиля. Планируется, что на выполнение этого теста Вы потратите не более 5-10 минут.

• Понятие факториала.

  Комбинаторика. 7 класс

  24.04.2020 102 0

  Данный тест предназначен для закрепления материала по теме «Комбинаторика». Очень внимательно читайте задание и инструкцию к работе. Желаю удачи!!! 

• Формула Стирлинга

  01.06.2020 11 0

  Тест предназнаячечн для проведения факультативного занятия по теме «Приближенные вычисления фаткориала. Формула Стирлинга». Дисциплина преподается в 10-11 классе в течение любой  четверти.

• География в литературе 10 класс

  06.10.2021 86 0

  Метапредметный тест, позволяющий проверить свои знания по двум учебным предметам одновременно.

• Комбинаторные задачи в 5 классе -1 вариант

  27.01.2022 129 0

  Вам предлагается пройти тест по теме «Комбинаторные задачи», решение которых заключается в переборе всех возможных вариантов.Задачи теста составлены так, что количество вариантов перебора невелико. Для наглядной иллюстрации перебора, используйте построение дерева возможных вариантов  либо схемы и таблицы.

• Контрольная работа. Вариант 1. Тема «Теория вероятности, статистика и комбинаторика»

  05.06.2022 78 0

  Образовательный тест на проверку теории вероятности, статистики и комбинаторики

• Теория вероятностей и статистика

  13. 06.2022 14 0

  Тест: Промежуточный контроль по разделу «Теория вероятностей и статистики».  Цель тестирования: обнаружение у обучающегося основных теоретических знаний, навыков и практических умений.

Мастер-класс по теме «Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения»

Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения.

“Число, положение и комбинация – три
взаимно пересекающиеся, но различные
сферы мысли, к которым можно
отнести все математические идеи”.
Джозеф Сильвестр (1844 г.)

Цели занятия.

Образовательные:

• познакомить студентов с новым разделом математики: «Комбинаторика», с его историей, основными понятиями и задачами, использованием в практических целях и в жизни человека;
• способствовать созданию учебного проекта как показатель качественного изучения темы занятия.

Развивающие:

• развивать аналитические способности, логическое мышление,
• индивидуальные способности каждого студента, создавая комфортную психологическую обстановку для каждого студента при обучении и создании проекта.

Воспитывающая:

• формировать активность личности студента, умение работать в группе, отвечать за свои поступки.

Оборудование: компьютеры, проектор, экран, презентация, электронные и на бумажных носителях тесты, задачи “Судоку”, кубики Рубика, папки для ВСР (внеаудиторная самостоятельная работа), рабочие тетради, чистые ватманы, калькуляторы, цветная бумага, клей, ножницы, фломастеры.

Ход занятия

I. Организационный момент

Перекличка

Сообщение целей и задач занятия: В связи с тем, что по дисциплине “Математика” на 2 курсе специальности “Технология деревообработки” на тему “Основные понятия комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания” отводится 2 часа, а рассмотреть нужно много материала, решать задачи, создать проект, вам было выдано задание на внеаудиторную самостоятельную работу следующее: в литературе по истории математики, в энциклопедиях, в учебниках и в интернете найти материал о разделе математики, имеющем звучное название “комбинаторика”. Слайды № 1–2. Презентация

В календарно-тематическом плане по дисциплине “Математика” на 2 курсе специальности “Технология деревообработки” на тему “Основные понятия комбинаторика: перестановки, размещения, сочетания” отводится 2 часа. Изучить теоретический материал, решить задачи разных видов за такой временной промежуток невозможно. Для достижения глубокого изучения материала было выдано задание на внеаудиторную самостоятельную работу: в литературе по истории математики, в энциклопедиях, в учебниках и в интернете найти материал о разделе математики, имеющем звучное название “комбинаторика”. Слайды № 1–2.

Вопросов для внеаудиторной самостоятельной работы выделено было три:

1. Определения комбинаторики.
2. Ученые – математики — первооткрыватели этого раздела.
3. Применение комбинаторики в современной жизни.

Запись даты, темы урока.

II. Работа над темой занятия

Вступление:

Из глубокой древности до современного человечества дошли сведения о том, что уже тогда люди занимались выбором объектов и расположения их в том или ином порядке и увлекались составлением различных комбинаций. Так, например, в Древнем Китае увлекались составлением квадратов, в которых заданные числа располагали так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же (современная игра – задача “Судоку”). Такие задачи вы могли встречать в журналах и газетах. В частности, наша Мариинская газета “Вперед” довольно часто предлагает читателям такие задачи. В Древней Греции подобные задачи возникали в связи c такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты и т.д.

Комбинаторика ставится самостоятельным разделом математики, по сути – самостоятельной наукой лишь во второй половине XVII века, — в период, когда возникла теория вероятностей.

Таким образом, — комбинаторика – это самостоятельный раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторика – самостоятельная ветвь математической науки. Cлайд № 3

Термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять” — слайд № 4.

Как трактует это слово Большой Энциклопедический Словарь?

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания. Этот раздел иначе называют “комбинаторный анализ”.

Сегодня мы будем рассматривать перестановки, размещения, сочетания, как соединения, как комбинаторные конфигурации.

Разделы комбинаторики: перечислительная, структурная, вероятностная, топологическая – слайд № 5.

Давайте вспомним известное вам из детства сказание о том, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до развилки трех дорог, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый КОМБИНАТОРИКОЙ, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую – слайд № 6.

Итак, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

Перестановки-соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их

Количество всех перестановок из n элементов обозначают

Число n при этом называется порядком перестановки – слайд № 7–10.

Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! (Читается “эн - факториал”). Используя знак факториала, можно, например, записать:

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.

Необходимо знать, что 0!=1

Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается Рп и оно равно п!, т.е. Рп = п!, где п! = 1 * 2 * 3 * … п.

Решение: Р7 = 7!, где 7! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг.

Ответ: 5040 способов.

Задача № 2 (о квартете)

В знаменитой басне Крылова “Квартет” “Проказница мартышка, Осел, Козел да косолапый Мишка” исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.

Зададим вопрос: Сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов?

Решение: на слайде

Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.

Cлайды № 11–13.

В комбинаторике размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы < 2,1,3 > и < 3,2,1 > являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Примеры решения задач:

Задача № 1. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет:

Ответ:151200 способов

Задача № 2. В группе ТД – 21 обучается 24 студентов. Сколькими способами можно составить график дежурства по техникуму, если группа дежурных состоит из трех студентов?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т. е. равно А₂₄³. По формуле находим

Ответ: 12144 способа

Сочетания-соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их .

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений. Cлайды № 14–16.

В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно

Ответ: 120 вариантов.

Задача № 2. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение: По формуле находим:

комиссий

Ответ: 120 комиссий.

Библиографическая справка – слайд № 17.

Общее у всех этих задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. “Особая примета” комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: “Сколькими способами…?”. Cлайд № 18.

3. Решение задач: тексты задач с решениями в приложении 1 – начало на слайде № 19.

4. Исторические сведения о комбинаторике на слайдах № 20–21 (частично даны сведения при изучении темы, остальные данные для проекта студенты возьмут из материалов для ВСР).

5. Связи комбинаторики на слайдах № 22–31 (частично даны сведения при изучении темы, остальные данные для проекта студенты возьмут из материалов для ВСР).

6. Выдвижение гипотезы. Гипотеза – это научное предположение, выдвигаемое для объяснения каких-нибудь явлений, вообще – предположение, требующее подтверждения.

Выдвигается гипотеза: Комбинаторика интересна и имеет широкий спектр практической направленности — слайд № 32.

7. Метод проектов: три группы студентов и группа преподавателей выполняют проект по теме: “Комбинаторика”, используя знания, полученные на занятии, а также материалы, подготовленные по заданию на ВСР: различные определения комбинаторики, ученые – математики - первооткрыватели этого раздела, применение комбинаторики в современной жизни.

8. Защита проектов: при защите проекта сделать вывод: подтверждает ли проект выдвинутую гипотезу или опровергает.

9. Тестирование: Часть студентов тестируется на компьютерах, остальные – на бумажных носителях по теме занятия. По мере выполнения тестов студенты решают задачу “Судока” или собирают кубик Рубика.

10. При выходе из кабинета каждый студент выбирает прямоугольник по цвету, соответствующему надписями “всё понятно и усвоено”, “трудно и не всё понятно”, “не понятно и не усвоено”, и опускает в соответствующий конверт.

Информационные ресурсы

1. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский. Элементы высшей математики для школьников. Москва. “Наука”, 1987 год.

2. Грэхем Р., Кнут Д.А., Паташник О. Конкретная математика.. Москва “Мир”, 1998 г.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для техникумов, Москва. “Высшая Школа, 1983.

4. Перельман Я.И. “Занимательная алгебра. Занимательная геометрия, Москва, АСТ “Астрель”, 2002 год.

5. Савин А. П. “Энциклопедический словарь юного математика”, Москва “Педагогика”, 1985.

6. Сканави М.И. “Сборник задач по математике для поступающих в вузы”, Москва, “Высшая школа”, 1998 г.

7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – 4-е изд. - М.: Наука, 1969.

8. Элементы теории вероятностей. Математика. Приложение к газете «Первое сентября»,  № 41, 42.

9. http//portfolio.1sept.ru

10. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей, Москва, “ Просвещение”, 1990.

11. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. — 6-е изд. — М.: Наука, 1964.

12. Андреева Е. В. “Комбинаторные задачи”, Москва, “Чистые пруды”, 2005 г.

Приложение 1

Комбинации и перестановки

Решение многих статистических экспериментов требует умения подсчитывать количество точек в выборочном пространстве. Подсчет очков может быть трудным, утомительным или оба.

К счастью, есть способы упростить задачу подсчета. Этот урок фокусируется на трех правилах подсчета, которые могут сэкономить как время, так и усилие — комбинации, перестановки и множественные события.

Комбинации

Иногда нам нужно сосчитать все возможные способы, которыми один набор объекты могут быть выбраны — независимо от порядка, в котором они выбрано.

• Количество комбинаций из n объектов, взятых r одновременно, равно обозначается _n C _r .

Правило 1. Количество комбинаций n объектов, взятых r за раз, равно

_n C _r = n(n — 1)(n — 2) … (n — r + 1)/r! = п! / г!(п — г)!

Пример 1
Сколькими способами можно выбрать 2 буквы из набора букв: X, Y, и З? (Намекать: В этой задаче порядок НЕ важен; т. е. XY считается одним и тем же выбор как YX.)

Решение: Один из способов решить эту проблему — перечислить все возможные выбор 2 букв из набора X, Y и Z. Это: XY, XZ и YZ. Таким образом, возможны 3 комбинации.

Другой подход заключается в использовании правила 1. Правило 1 говорит нам, что число комбинаций n! / г!(п — г)!. У нас есть 3 различных объекта, поэтому n = 3. И мы хотите расположить их группами по 2, так что r = 2. Таким образом, количество комбинаций составляет:

₃ С ₂ = 3! / 2!(3 — 2)! = 3! /2!1! = (3)(2)(1)/(2)(1)(1) = 3

Реклама

Пример 2
Пятикарточный стад — игра в покер, в которой игроку раздается 5 карт из обычная колода из 52 игральных карт. Сколько разных покерных комбинаций может быть раздали? (Намекать: В этой задаче НЕ важен порядок раздачи карт; Например, если вы получили туз, король, дама, валет, десятка пик, то же самое, что и сдача десятка, валет, дама, король, туз пик.)

Решение: Для этой задачи было бы нецелесообразно перечислять все возможные покерные комбинации. Однако количество возможных покерных комбинаций можно легко определить. рассчитано по правилу 1.

Правило 1 говорит нам, что количество комбинаций равно n! / г!(п — г)!. У нас есть 52 карт в колоде, так что n = 52. И мы хотим расположить их группами по 5, так что r = 5. Таким образом, количество комбинаций равно:

₅₂ С ₅ = 52! / 5!(52 — 5)! или 52! / 5!47! = 2 598 960

Следовательно, существует 2 598 960 различных покерных комбинаций.

Калькулятор комбинаций и перестановок

Используйте Калькулятор комбинаций и перестановок Stat Trek для (чего еще?) вычислять комбинации и перестановки. Калькулятор бесплатный и простой в использовании. Вы можете найти Калькулятор комбинаций и перестановок в Stat Trek. Главное меню на вкладке Инструменты статистики. Или вы можете нажать кнопку ниже.

Комбинации и перестановки

Перестановки

Часто нам нужно подсчитать все возможные способы, которыми один набор объектов можно устроить. Например, рассмотрим буквы X, Y и Z. Эти буквы можно расположить различными способами (XYZ, XZY, YXZ и т. д.). Каждый из этих аранжировки — это перестановка.

• Количество перестановок n объектов, взятых r одновременно, равно обозначается _n P _r .

Правило 2. Количество перестановок n объектов, взятых r за раз, равно

_n P _r = n(n — 1)(n — 2) … (n — r + 1) = n! / (н — р)!

Пример 1
Сколькими способами можно расположить буквы X, Y и Z? (Намекать: В этой задаче важен порядок; т. е. XYZ считается отличается от YZX.)

Решение: Один из способов решить эту проблему — перечислить все возможные перестановки X, Y и Z. Это: XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY и ZYX. Таким образом, есть 6 возможных перестановок.

Другой подход заключается в использовании правила 2. Правило 2 говорит нам, что количество перестановки n! / (н — р)!. У нас есть 3 различных объекта, поэтому n = 3. И мы хотим расположить их в группах по 3, так что r = 3. Таким образом, количество перестановок:

₃ P ₃ = 3! / (3 — 3)! = 3! / 0! = (3)(2)(1)/1 = 6

Пример 2
В скачках тройка — это тип ставки. Чтобы выиграть тройную ставку, вам нужно чтобы указать лошадей, занявших первые три места в точном порядке в которые они заканчивают. Если в скачках участвует восемь лошадей, сколькими способами можно они финишируют в первых трех местах?

Решение: Правило 2 говорит нам, что количество перестановок равно n! / (н — р)!. У нас есть 8 лошади в гонке. так что n = 8. И мы хотим расположить их группами по 3, так что r = 3. Таким образом, количество перестановок равно 8! / (8 — 3)! или 8! / 5!. Это равно (8)(7)(6) = 336 различных тройственных исходов. С 336 возможными перестановки, trifecta трудно выиграть пари.

₈ Р ₃ = 8! / (8 — 3)! или 8! / 5! = (8)(7)(6) = 336

Вывод: С 336 возможными перестановками выиграть тройную ставку сложно.

Как связаны комбинации и перестановки?

Комбинации и перестановки связаны по следующим формулам:

_n P _r = _n C _r * r! а также _n C _r = _n P _r / r!

Множественные события

Третье правило подсчета касается кратных событий. Событие , кратное происходит, когда два или более независимых событий группируются вместе. Третье правило подсчета помогает нам определить, сколькими способами множитель событий может происходить.

Правило 3. Предположим, у нас есть k независимых События. Событие 1 может быть выполнено n ₁ способами; Событие 2, в п ₂ способы; и так далее до события k (которое может быть выполнено n _k способами). Количество способов, которыми эти события могут быть выполнены вместе, равно n ₁ n ₂ . . . н _к способов.

Пример 1
Сколько точек выборки находится в пространстве выборки, когда монета подбрасывается 4 раза?

Решение: Каждое подбрасывание монеты может иметь один из двух исходов — орел или решка. Следовательно, четыре броска монеты могут приземлиться (2)(2)(2)(2) = 16 способами.

Счетчик событий

Используйте счетчик событий Stat Trek для быстрого подсчета кратных событий. Счетчик событий бесплатный и простой в использовании. Его можно найти в Stat Trek Главное меню на вкладке Инструменты статистики. Или вы можете нажать кнопку ниже.

Счетчик событий

Пример 2
У делового человека 4 рубашки и 7 галстуков. Сколько разных рубашек/галстуков наряды он может создавать?

Решение: Для каждого наряда он может выбрать одну из четырех рубашек и одну из семь галстуков. Следовательно, деловой человек может создать (4)(7) = 28 различных рубашки/галстуки.

Последний урок Следующий урок

Комбинации и перестановки

Определение 5.2.1.

Перестановка — это упорядоченное расположение объектов.

Пример 5.2.2.

Если я хочу расставить пять книг на полке, сколько существует возможных вариантов расположения книг?

Видео / Ответ

Пример 5.2.3.

Сколько функций \(f: \{1,2,3\} \to \{1, 2, 3\}\) являются биекциями?

Видео / Ответ

Пример 5.

2.4.

Если я хочу расставить только три из пяти книг на моей полке, сколько существует способов сделать это?

Видео / Ответ

Теорема 5.2.5.

Если \(n\) — натуральное число и \(r\) — целое число такое, что \(1 \le r \le n\text{,}\), то существуют \(P(n,r) = n\cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot (n-(r-1))\) \(r\)-перестановки множества \(n\) элементов.

Следствие 5.2.6.

Если \(n\) и \(r\) являются целыми числами с \(0\le r \le n\text{,}\), то:

\begin{уравнение*} P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!} \end{уравнение*}

Пример 5.2.7.

Сколько существует шестибуквенных номерных знаков, в которых нет повторяющихся букв?

Видео / Ответ

Пример 5.2.8.

Сколько функций \(f: \{1,2,3,4\} \to \{1,2,3,4,5,6\}\) инъективны? [Напомним, что функция инъективна \(\для всех a, \для всех b (f(a) = f(b)) \to (a = b)\)]

Видео / Ответ

Определение 5.

2.9.

Комбинация представляет собой неупорядоченный выбор объектов.

Пример 5.2.10.

Если я хочу выбрать только три книги из пяти книг на книжной полке, сколькими способами я могу это сделать?

Видео / Ответ

Пример 5.2.12.

Сколькими способами можно выбрать пятерых друзей из десяти и пригласить их на ужин?

Видео / Ответ

Пример 5.2.13.

Двое из десяти твоих друзей, Тим и Тэмми, только что расстались. Они терпеть не могут находиться вместе в одной комнате. Сколькими способами можно выбрать пятерых из десяти друзей и пригласить их на ужин, гарантируя, что Тим и Тэмми не будут приглашены оба?

Видео / Ответ

Пример 5.2.14.

Сколько существует подмножеств из трех элементов в наборе из пяти элементов?

Видео / Ответ

Пример 5.

2.15.

Из стандартной колоды из 52 карт, сколько пятикарточных комбинаций возможно?

Видео / Ответ

Пример 5.2.16.

Сколько пятикарточных карт одной масти?

Видео / Ответ

Пример 5.2.17.

Сколько пятикарточных комбинаций имеют хотя бы одну черву?

Видео / Ответ

Упражнения 5.2.1 Упражнения

1.

Пиццерия предлагает 10 начинок.

1. Сколько пицц с тремя начинками они могли включить в свое меню? Предположим, что двойная начинка не допускается. 9{10} = 1024\) пиццы. Скажите «да» или «нет» каждой начинке.

2. \(P(10,5) = 30240\) способов. Назначьте каждому из 5 мест в левой колонке уникальную начинку для пиццы.

2.

Кодовый замок состоит из циферблата с 40 цифрами. Чтобы открыть замок, вы поворачиваете циферблат вправо, пока не дойдете до первой цифры, затем влево, пока не дойдете до второй цифры, затем снова вправо до третьей цифры. Числа должны быть разными. Сколько различных комбинаций возможно? 93\)).

3.

Анаграмма слова — это просто перестановка его букв. Сколько существует различных анаграмм слова «не защищено авторским правом»? (Это самое длинное общеупотребительное английское слово без повторяющихся букв.)

4.

Сколько существует анаграмм слова «оценки», начинающихся на букву «а»?

Решение

После первой буквы (а) мы должны переставить оставшиеся 7 букв. Есть только две буквы (s и e), так что на самом деле это всего лишь вопрос о битовой строке (представьте, что s — это 1, а e — 0). Таким образом, есть \({7 \выберите 2} = 21\) анаграмм, начинающихся с «а».

5.

Сколько существует анаграмм слова «анаграмма»?

6.

На деловом выезде ваша компания из 20 бизнесменов и деловых женщин играет в гольф.

1. Вам нужно разбиться на четверки (группы по 4 человека): первая четверка, вторая четверка и так далее. Сколько способов вы можете сделать это?

2. После всей вашей тяжелой работы вы понимаете, что на самом деле вы хотите, чтобы каждая четверка включала одного из пяти членов Совета. Сколько способов вы можете сделать это?

Решение

1. \({20 \выбрать 4}{16 \выбрать 4}{12 \выбрать 4}{8 \выбрать 4}{4 \выбрать 4}\) способов. Выберите 4 из 20 человек для первой четверки, затем 4 из оставшихся 16 для второй четверки и так далее (используйте принцип умножения для объединения).
2. \(5!{15 \выбрать 3}{12 \выбрать 3}{9 \выбрать 3}{6 \выбрать 3}{3 \выбрать 3}\) способов. Сначала определите время игры 5 членов правления, затем выберите 3 из 15 не членов правления для игры в гольф с первым членом правления, затем 3 из оставшихся 12 для игры в гольф со вторым и так далее. 9{10}\) функций. Существует 17 вариантов изображения каждого элемента в домене.
3. \(P(17, 10)\) инъективных функций. Существует 17 вариантов изображения первого элемента домена, затем только 16 вариантов для второго и так далее.

7.6 — Принципы подсчета

7.6 — Принципы подсчета

У каждой области математики есть своя фундаментальная теорема(ы). Если вы проверите основные в словаре вы увидите, что оно относится к основе или основе или является элементарным. Фундаментальные теоремы являются важной основой для остального материала.

Вот некоторые фундаментальные теоремы или принципы, встречающиеся в вашем тексте.

Основная теорема арифметики (стр. 8)

Каждое целое число больше единицы либо простое, либо может быть выражено как уникальное произведение простых чисел.

Основная теорема алгебры (стр. 264)

Каждый многочлен от одной переменной степени n>0 имеет хотя бы один действительный или комплексный нуль.

Основная теорема линейного программирования (стр. 411)

Если есть решение задачи линейного программирования, то оно будет встречаться на углу точки или на отрезке между двумя угловыми точками.

Основной принцип счета

Если есть m способов сделать одно и n способов сделать другое, то существует m*n способов делая оба.

Фундаментальный принцип подсчета — это руководящее правило для нахождения количества способов выполнить две задачи.

Примеры использования принципа счета:

Допустим, вы хотите подбросить монетку и бросить кубик. Есть 2 способа, которыми вы можете бросить монету и 6 способов, которыми вы можете бросить кубик. Тогда 2×6=12 способы, которыми вы можете подбросить монету и бросить кубик.

Если вы хотите взять одну ноту на фортепиано и сыграть одну струну на банджо, то есть 88 * 5 = 440 способов сделать то и другое.

Если вы хотите взять 2 карты из стандартной колоды в 52 карты без замены их, то есть 52 способа нарисовать первый и 51 способ нарисовать второй, Таким образом, есть 52 * 51 = 2652 способа вытянуть две карты.

Пространства для образцов

Список всех возможных исходов называется выборочным пространством и обозначается заглавной буквой. буквы.

Пример пространства для экспериментов по подбрасыванию монеты и броску игральной кости: S = { h2, h3, h4, h5, H5, H6, Ф1, Ф2, Ф3, Ф4, Ф5, Ф6}. Конечно же, есть двенадцать возможных способов. фундаментальный принцип счета позволяет нам выяснить, что есть двенадцать способов, не имея перечислить их все.

Перестановки

Перестановка – это расположение объектов без повторение и порядок важны. Другое определение перестановка — это количество таких расстановок, которые возможный.

Поскольку перестановка — это количество способов расположения объектов, она всегда будет целым количество. Знаменатель в формуле всегда будет делиться на числитель без остатка.

Значение n — это общее количество объектов для выбора. r — это количество объектов, которые вы на самом деле использую.

Два ключевых момента, на которые следует обратить внимание в отношении перестановок, — это то, что не допускается повторение объектов. и этот порядок важен.

Примеры перестановок:

Пример 1: Список всех перестановок букв ABCD

ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ​​ ADCB

BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA

CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA

DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA

Теперь, если вам на самом деле не нужен список всех перестановок, вы можете использовать формулу для количество перестановок. Есть 4 объекта, и вы берете 4 за раз. ₄ P ₄ = 4! / (4-4)! знак равно 4! / 0! = 24 / 1 = 24.

Это также дает нам другое определение перестановок. Перестановка, когда ты включить все n объектов есть n!. То есть P(n,n) = n!

Пример 2: Перечислите все три перестановки букв в слове РУКА

ХАН ХНА ХАД ХДА ХНД ХДН

AHN ANH AHD ADH И ADN

NHD NDH NAH NHA NAD NDA

DHA DAH DAN ДНК DHN DNH

Теперь, если вам на самом деле не нужен список всех перестановок, вы можете использовать формулу числа перестановок. Есть 4 объекта, и вы беру по 3 за раз. ₄ P ₃ = 4! / (4-3)! = 4! / 1! = 24 / 1 = 24.

Поиск перестановок вручную

Вручную вы можете подставить значения n и r в выражение, содержащее факториалы, а затем упростите отношение факториалов, как обсуждалось в разделе 7.1.

Однако между числителем и знаменателем всегда будет n-r общих членов. как только факториалы расширены. Эти термины будут разделены, оставив вам первые r терминов. разложения в числителе. Это дает нам быстрый способ найти перестановку вручную.

_n P _r = первые r множителей n!

Поиск перестановок с помощью калькулятора

В калькуляторе есть функция перестановки. На ТИ-82 и ТИ-83 находится под Меню «Математика», подменю «Вероятность», а затем выбор 2. Он отображается как _n P _r . Введите значение для n сначала функция, и, наконец, значение r.

Комбинации

Комбинации были кратко представлены в разделе 7. 5, но здесь мы остановимся на них подробнее.

Комбинация – это расположение предметов, без повторений и порядок не важен. Другим определением комбинации является количество возможных таких схем.

n и r в формуле означают общее количество объектов для выбора и количество объекты в аранжировке соответственно.

Ключевым моментом в комбинации является то, что не допускается повторение объектов, а порядок не важно.

Перечислите все комбинации букв ABCD группами по 3.

Всего четыре комбинации (ABC, ABD, ACD и BCD). Перечислены под каждым из этих комбинаций шесть перестановок эквивалентны как комбинации.

Азбука	АБД	АКД	БКД
ABC ACB BAC BCA CAB CBA	ABD ADB BAD BDA DAB DBA	АЦД АЦП CAD CDA DAC DCA	BCD BDC CBD CDB DBC DCB

В предыдущем разделе мы узнали, что комбинации симметричны. Это легко увидеть из формула с факториалами. Например, С(12,7) = С(12,5). Бери ту, что проще найти. Легче найти C(100,2) или C(100,98)? На калькуляторе это мало что дает разница, вручную это делает.

Поиск комбинаций вручную

Вручную вы можете подставить значения n и r в выражение, содержащее факториалы, а затем упростите отношение факториалов, как обсуждалось в разделе 7.1.

Чтобы упростить соотношение, нужно разделить большее количество терминов. Например, если вы нужно найти C(12,5), вы также можете найти C(12,7). В любом случае, у вас будет 12! в числитель и оба 7! и 5! в знаменателе. Вы бы скорее разделили 7! чем 5!, потому что это оставляет вам меньше работы. Итак, выберите любое значение r меньше, а затем работайте с этой комбинацией.

_n C _r = (первые r множителей n!) / (последние r множителей n!)

Получается последние r множителей n! на самом деле просто р!.

Поиск комбинаций с помощью калькулятора

В калькуляторе есть функция перестановки. На ТИ-82 и ТИ-83 находится под Меню «Математика», подменю «Вероятность», а затем выбор 3. Он отображается как _n C _r . Введите значение для сначала n, затем функция и, наконец, значение r.

Примеры комбинаций

Мы встречали комбинации с Треугольником Паскаля, но они встречаются и в других местах.

В старой лотерее Иллинойса было 54 шара из из этих 54 шаров выбрано шесть. Ни один из шести не может быть повторен, и порядок из шестерка не важна. Это делает это комбинация: C(54,6) = 25 827 165.

Мне сказали, что 17 января 1998 года в Иллинойсской лотерее будет 48 шаров, шесть из которых выбраны. Теперь количество возможностей будет C(48,6) = 12 271 512.

Сколько существует 5-карточных покерных комбинаций с 3 трефами и 2 бубнами? Ну, нет повторение карт в раздаче, причем порядок не имеет значения, так что у нас снова комбинация. Так как треф 13 и нам нужны 3 из них, есть C(13,3) = 286 способов получить 3 трефы. Так как ромбов 13 и нам нужны 2 из них, есть C(13,2) = 78 способов получить 2 бриллианта. бриллианты. Поскольку мы хотим, чтобы они произошли одновременно, мы используем фундаментальный счет принцип и перемножьте 286 и 78 вместе, чтобы получить 22 308 возможных рук.

Разница между перестановками и комбинациями

Отличительный признак между Перестановками и Комбинациями не независимо от того, есть повторение или нет. Ни один из них не допускает повторения. Различия между ними заключается в том, важен ли порядок. Если у вас есть проблема где вы можете повторять предметы, то вы должны использовать основной счет В принципе, вы не можете использовать перестановки или комбинации.

Отличительные перестановки

Рассмотрим все перестановки букв в слово БОБ.

Раз три буквы, то должно быть 3! = 6 разные перестановки. Эти перестановки BOB, BBO, OBB, OBB, BBO и BOB. В настоящее время, в то время как есть шесть перестановок, некоторые из них неотличимы друг от друга. Если вы посмотрите на перестановки, которые различимы, вы есть только три BOB, OBB и BBO.

Чтобы найти количество различимых перестановок, возьмите факториал общего количества букв разделить на частоту каждой буквы факториала.

где n ₁ + n ₂ + … + n _k = N

По сути, маленькие n — это частоты каждого отдельного (различимого) письмо. Big N — это общее количество букв.

Пример различимых перестановок

Найдите количество различимых перестановок букв в слове МИССИСИППИ

Вот частоты букв. M=1, I=4, S=4, P=2, всего 11 букв. Не забудьте заключить знаменатель в круглые скобки, чтобы завершить делением на каждый из факториалов.

11! / ( 1! * 4! * 4! * 2! ) = 11! / (1 * 24 * 24 * 2) = 34 650.

Возможно, вы захотите сделать некоторое упрощение, рука первая. Когда вы упростите это отношение факториалов, вы получите вот это 34 650 различимых перестановок в слове MISSISSIPPI. я не хочу к перечислить их, но это лучше, чем перечислять все 39 916 800 перестановок 11 букв в МИССИСИППИ.

Глава 5

Цели

К концу этого урока вы сможете…

1. решать задачи на счет с помощью правила умножения
2. решить задачи на подсчет, используя перестановки
3. решать задачи на счет с помощью комбинаций
4. решать задачи на подсчет, связанные с перестановками с неразличимыми элементами
5. вычислить вероятности с участием перестановок и комбинаций

Для быстрого ознакомления с этим разделом посмотрите этот краткий видеообзор:

Помните классический метод расчета вероятностей из раздела 5.1?

P(E) =	количество способов появления E	=	С(В)
	общее количество возможных исходов		Н(С)

Что ж, иногда подсчет «количества возможных событий E» или «общего количества возможных исходов» может быть довольно сложным. В этом разделе мы изучим несколько методов подсчета, которые помогут нам рассчитать некоторые из более сложных вероятностей.

Правило счета умножения

Предположим, вы готовитесь к свадьбе и вам нужно выбрать смокинги для жениха. На складе мужских смокингов есть функция Build-A-Tux, которая позволяет вам просматривать определенные комбинации и создавать свой смокинг онлайн. Предположим, у вас есть компоненты, сузившиеся до двух жакетов, двух комбинаций жилета и галстука и трех цветов рубашки. Сколько всего комбинаций может быть?

Хороший способ помочь понять ситуацию такого типа — это то, что называется Древовидная диаграмма . Мы начинаем с выбора жакета, а затем каждый жакет «разветвляется» на две комбинации жилета и галстука, а затем каждая из них «разветвляется» на три комбинации рубашки. Это может выглядеть примерно так:

Всего у нас есть 12 возможных комбинаций курток, жилетов и рубашек. (Конечно, некоторые из них могут не соответствовать вашему вкусу, но это уже другой вопрос. ..)

Нет ли более простого способа сделать это? Почему да, есть! Подумайте об этом так, для каждый выбор куртки , есть два варианта жилета и галстука. Это дает нам 4 комбинации пиджака и жилета/галстука. Затем для каждого из этих есть три варианта выбора рубашки, что дает нам в общей сложности 12.

В общем, мы умножаем на количество способов сделать каждый выбор, так что…

общее количество нарядов = (количество пиджаков)•(количество жилетов/галстуков)•(количество рубашек)

Это приводит нас к правилу подсчета умножения:

Правилу подсчета умножения

Если задача состоит из последовательности вариантов выбора, в которой имеется p способов сделать первый выбор, q способов сделать второй и т. д., то задача может быть выполнена за

p•q •r• …

разными способами.

Давайте попробуем несколько примеров.

Пример 1

Сколько 7-значных номерных знаков возможно, если первые три символа должны быть буквами, последние четыре должны быть цифрами от 0 до 9, а повторяющиеся символы разрешены?

[ раскрыть ответ ]

Общее количество номерных знаков будет:

(# вариантов для 1-го символа)• (# вариантов для 2-го символа) • и т. д..

= 26•26•26•10• 10•10•10 = 175 760 000

Пример 2

Источник: Sears

На многих гаражных воротах снаружи двери есть пульт дистанционного управления. Предположим, вор подходит к определенному гаражу и замечает, что четыре конкретных числа используются хорошо. Если предположить, что код использует все четыре числа ровно один раз, сколько 4-значных кодов должен попробовать вор?

[ раскрыть ответ ]

Не очень много!

общее количество кодов = (# вариантов для 1-й цифры)•(# для 2-й цифры) • и т. д.

= 4•3•2•1 = 24

Обратите внимание, что количество вариантов уменьшилось на единицу для каждой цифры, поскольку четыре числа использовались только один раз. Вы часто будете видеть, что это описывается либо как число, выбранное «без замены», либо как «повторение не разрешено».

 

Пример 2 из предыдущего раздела является примером особой техники подсчета, называемой перестановка . Вместо того, чтобы давать вам формулы и примеры, я хотел бы еще раз сослаться на некоторые материалы с одного из моих любимых веб-сайтов BetterExplained. Вот что пишет о перестановках автор Калид Азад:

Перестановки: волосатые подробности

Начнем с перестановок, или всех возможных способов что-то сделать. Мы используем модный термин «перестановка», поэтому позаботимся о каждой детали, включая порядок элементов. Допустим, у нас есть 8 человек:

1. Алиса
2. Боб
3. Чарли
4. Дэвид
5. Ева
6. Фрэнк
7. Джордж
8. Горацио

Сколькими способами мы можем получить золотую, серебряную и бронзовую медаль для «Лучшего друга в мире»?

Мы собираемся использовать перестановки, так как порядок, в котором мы раздаем эти медали, имеет значение. Вот как это происходит:

• Золотая медаль: 8 вариантов: A B C D E F G H (Умно, как я сопоставил имена с буквами, а?). Допустим, А выигрывает золото.
• Серебряная медаль: 7 вариантов: B C D E F G H. Допустим, B выиграет серебро.
• Бронзовая медаль: 6 вариантов: C D E F G H. Допустим… C выигрывает бронзу.

Мы выбрали определенных людей, чтобы выиграть, но детали не имеют значения: у нас было сначала 8 вариантов, затем 7, затем 6. Всего вариантов было 8 * 7 * 6 = 336.

Давайте посмотрим на детали. Пришлось заказывать 3 человека из 8. Для этого мы начинали со всех вариантов (8) потом забирали их по одному (7, потом 6) пока не кончились медали.

Мы знаем, что факториал:

К сожалению, это слишком много! Нам нужно только 8 * 7 * 6. Как мы можем «остановить» факториал на 5?

Вот где перестановки становятся крутыми: обратите внимание, как мы хотим избавиться от 5*4*3*2*1. Какое другое название для этого? 5 факториал!

Итак, если мы сделаем 8!/5! получаем:

А почему мы использовали цифру 5? Потому что она осталась после того, как мы взяли 3 медали из 8. Таким образом, лучше написать это так:

, где 8!/(8-3)! — это просто причудливый способ сказать: «Используйте первые 3 числа из 8!». Если у нас всего n элементов и мы хотим выбрать k в определенном порядке, мы получим:

просто означает «Используйте первые k чисел из n!»

А это причудливая формула перестановки: У вас есть n элементов и вы хотите найти количество способов k позиций можно заказать:

Источник: BetterExplained, Калид Азад
Артикул: Легкие перестановки и комбинации
Используется с разрешения.

Кстати, в вашем тексте используется обозначение _n P _k , а не P(n,k) Калида. Я видел, как используются оба, хотя последний, как правило, более распространен на уроках математики более высокого уровня. Мы будем придерживаться версии учебника, просто чтобы быть последовательными.

Перестановки

n различных объектов, взятых r одновременно

Количество комбинаций r объектов, выбранных из n объектов в котором

1. n объектов различны,
2. повторы не допускаются,
3. порядок имеет значение,

определяется по формуле .

Хорошо, попробуем пару.

Пример 3

Предположим, организация избирает своих должностных лиц из попечительского совета. Если есть 30 попечителей, сколькими способами правление может избрать президента, вице-президента, секретаря и казначея?

[ раскрыть ответ ]

В этом примере у нас есть 30 «предметов» (доверенных лиц), из которых мы выбираем 4. Используя обозначения из вашего текста, мы хотим вычислить ₃₀ P ₄ , или

30 P 4 =	30!	=	30!	= 30•29•28•27 = 657 720
	(30-4)!		26!

Пример 4

Предположим, вам дали список из 100 десертов и вас попросили оценить ваши первые 3. Сколько существует возможных списков «лучших 3»?

[ раскрыть ответ ]

100 P 3 =	100!	=	100!	= 100•99•98 = 970 200
	(100-3)!		97!

На предыдущей странице мы говорили о количестве способов выбрать k предметов из n , если порядок имел значение — например, вручение медалей, избрание офицеров или маринование любимых десертов. Что, если порядок не имеет значения, как выбор членов комитета?

Опять же, я позволю Калиду Азаду объяснить.

Комбинации, Хо!

Комбинации легки. Порядок не имеет значения. Вы можете смешать это, и это будет выглядеть так же. Допустим, я скряга и не могу позволить себе отдельные золотые, серебряные и бронзовые медали. На самом деле, я могу позволить себе только пустые жестяные банки.

Сколькими способами я могу раздать 3 консервные банки 8 людям?

Ну, в данном случае порядок, в котором мы выбираем людей, не имеет значения. Если я даю банку Алисе, Бобу, а затем Чарли, это то же самое, что дать Чарли, Алисе, а затем Бобу. В любом случае, они будут одинаково разочарованы.

Это поднимает и интересный момент — у нас здесь есть некоторые излишества. Элис Боб Чарли = Чарли Боб Элис. На минутку давайте просто выясним, сколькими способами мы можем переставить 3 человек.

Итак, у нас есть 3 варианта для первого человека, 2 для второго и только 1 для последнего. Итак, у нас есть 3*2*1 способа переставить 3 человека.

Минуточку… это немного похоже на перестановку! Ты обманул меня!

Действительно. Если у вас есть N человек, и вы хотите знать, сколько аранжировок существует для 90 169 всех 90 170 из них, это просто N факториал или N!

Итак, если у нас есть 3 жестяных банки для раздачи, их будет 3! или 6 вариантов для каждого выбора, который мы выбираем. Если мы хотим выяснить, сколько у нас комбинаций, мы просто создаем все перестановки и делим на все избыточности . В нашем случае мы получаем 336 перестановок (сверху), делим на 6 избыточностей для каждой перестановки и получаем 336/6 = 56,9.0003

Общая формула:

, что означает «Найдите все способы выбрать k людей из n и разделите на k! варианты». Записав это, мы получим нашу формулу комбинации , или количество способов объединить k элементов из набора n:

Источник: BetterExplained, Калид Азад
Артикул: Легкие перестановки и комбинации
Используется с разрешения.

В качестве примечания: в вашем тексте используется обозначение _n C _k , а не C(n,k) Калида. Как и в случае с перестановками, мы будем придерживаться версии из учебника, просто чтобы быть последовательными.

Combinations of

n Distinct Objects Taken r at a Time

The number of arrangements of n objects using r ≤ n of them, in which

1. the n objects are distinct ,
2. повторы не допускаются,
3. порядок не имеет значения,

определяется по формуле .

Хорошо, давайте попробуем этот новый.

Пример 5

Рассмотрим снова попечительский совет из 30 человек. Сколькими способами правление может избрать четырех членов финансового комитета?

[ раскрыть ответ ]

В этом примере у нас есть 30 «элементов» (доверенных лиц), из которых мы выбираем 4. В отличие от примера 3, в этом примере порядок не имеет значения, поэтому мы рассматриваем комбинация, а не перестановка.

30 C 4 =	30!	=	30!	=	30•29•28•27	= 27 405
	(30-4)!•4!		26!4!		4•3•2•1

Вы можете заметить, что это число немного меньше, чем в примере 3. Причина в том, что сейчас нас не волнует порядок, поэтому выбор попечителей A, B, C и D для комитета ничем не отличается от избрание попечителей B, C, A и D. Это отличается от примера 3, где мы избирали их на определенные должности.

Пример 6

Источник: stock.xchng

Предположим, вы организатор волейбольного турнира. На турнир зарегистрировалось 10 команд, и кажется хорошей идеей, чтобы каждая команда сыграла с каждой командой по круговой системе, прежде чем выйти в плей-офф. Сколько игр возможно, если каждая команда сыграет с каждой другой командой один раз?

[ раскрыть ответ ]

На первый взгляд может показаться, что это не комбинация, но давайте посмотрим поближе. У нас есть 10 «предметов» (команд), из которых мы выбираем 2. Порядок нам не важен, так как команда А играет с командой Б так же, как команда Б играет с командой А. Это именно комбинация!

10 C 2 =	10!	=	10!	=	10•9	= 45
	(10-2)!•2!		8!2!		2•1

Ух ты, сколько игр! Вот почему большинство турниров имеют структуру «пула» и разбивают турнир на два «пула» по 5 игроков. 0003

Подробнее о круговой системе турниров можно узнать в Википедии.

Второй тип встречается реже. Что, если мы хотим узнать, сколько способов упорядочить n объектов, но не все они различны? Вот пример для иллюстрации:

Пример 7

Сколькими способами можно переставить буквы в слове СТАТИСТИКА?

Ответ немного сложен. Думайте о переставленных словах как о местах для букв. Что-то вроде этого:

В СТАТИСТИКЕ у нас есть следующие буквы:

3 S
3 T
2 я
1 А
1 C

На самом деле мы не можем сказать, что есть 4 варианта выбора первой буквы и исходить оттуда, так как количество вариантов выбора второй буквы зависит от того, какая буква была выбрана для первой.

Вместо этого мы выбираем точки для каждой из букв. Сначала выберите 3 из 10 мест для буквы S. Мы можем сделать это в ₁₀ C ₃ способов. Затем выберите 3 места для 3 Т. Мы можем сделать это ₇ C ₃ способами. Точно так же мы можем выбрать места для букв I, A и C способами ₄ C ₂ , ₂ C ₁ и ₁ C ₁ соответственно. Итого, значит переставляем буквы так:

₁₀ C ₃ • ₇ C ₃ • ₄ C _{2 10 6} • ₂

16 1

C ₁ способов

Это может быть только я, это действительно грязный. Как ни странно, выписывание комбинаций показывает хороший способ их упростить:

10!	•	7!	•	4!	•	2!	•	1!	=	10!
7!•3!		4!•3!		2!•2!		1!•1!		1!•0!		3!•3!•2!•1!•1!

Перестановки с неразличимыми элементами

Количество перестановок n объектов, где имеется n1 объектов 1-го типа, n2 объектов 2-го типа и т. д., равно

Один быстрый пример:

Пример 8

Сколькими способами можно переставить слово ПЕРЕСТРОЙКА?

[ раскрыть ответ ]

Кстати говоря, это то же самое, что и в предыдущем примере. В этом случае у нас есть 3 R, 2 A, 2 E, 1 N и 1 G. Таким образом, общее количество перестановок:

9!	= 15 120
3!•2!•2!•1!•1!

 

Перестановки и комбинации Образовательные ресурсы K12 Обучение, отношения, коэффициенты, проценты и пропорции, статистика и вероятность, планы уроков по математике, задания, эксперименты, помощь на дому

Аудио:

В: Что вы называете испорченной прической?

A: Постоянная мутация!

Перестановки и комбинации позволяют нам предсказать вероятность различных событий и исходов в отношении порядка или в отношении того, какой исход наступит первым, вторым и т. д.

Перестановки и комбинации позволяют нам определить, как большое наше выборочное пространство или набор возможных результатов. Чтобы узнать больше о пространстве для образцов, ознакомьтесь с Связанный урок об экспериментальной вероятности в начале этой серии Вероятность: обзор .

Перестановки

Перестановка — это группировка исходов, где порядок исходов имеет значение.

• Например, Карен красит свою спальню. У нее есть оранжевая, зеленая и фиолетовая краска. Она планирует использовать один цвет в качестве базового покрытия, а другой — трафарет. Сколькими способами она может это сделать?

Если мы перечислим все группы шагов, которые Карен должна предпринять для достижения этого эффекта, мы начнем сначала с основного цвета, а затем с цвета трафарета, например: оранжево-зеленый, оранжево-фиолетовый, зелено-оранжевый, зелено- фиолетовый, пурпурно-оранжевый и пурпурно-зеленый, которые будут нашим образцом пространства. Мы видим, что у Карен есть шесть разных способов покрасить свою комнату.

Давайте посмотрим на другой пример:

• Сара нанизывает на браслет три разных вида бусин. Если Сара использует три разных типа бусинок, сколько различных комбинаций она может использовать, нанизывая бусины?

Поскольку важен порядок, мы считаем это перестановкой. Если мы присвоим каждому типу бусины номер, например 1, 2, 3, то мы сможем перечислить все группы: 123, 132, 213, 231, 312, 321, и мы увидим, что есть шесть различных способов, или заказы, в которых она может нанизывать бусы.

Мы можем использовать простую формулу для определения количества перестановок, но прежде чем мы начнем использовать формулы для перестановок или комбинаций, мы должны знать, что такое факториалы , потому что обе формулы используют факториалы.

Факториалы

Когда мы находим комбинации и перестановки, мы должны учитывать факториалы, которые обозначаются восклицательным знаком (!).

Факториал числа — это произведение этого числа, умноженное (или умноженное на) всех чисел, меньших его до единицы. Например 5! (произносится как 5 факториал ) — это просто математическое сокращение для 5*4*3*2*1 или 120.0355 общее количество вещей, из которых мы собираем, и r это число, которое мы выбрали :

nPr	=	n !	=	всего !
		н-р !		Всего — выбрано !

 

Небольшой трюк для использования формулы: если мы хотим решить два факториала дробью, вместо того, чтобы умножать их и делить, мы можем перечислить их в форме умножения следующим образом:

5!	=	5*4*3*2*1	=	5*4*3*2*1	=	5*4*3	=	60
2!		2 * 1		2 * 1

 

Тогда, если число находится и вверху, и внизу дроби, мы можем вычеркнуть его и просто перемножить оставшиеся числа.

Давайте сделаем пример вместе:

• Команда выбирает президента, вице-президента и секретаря из списка из 8 человек. Сколькими способами можно выбрать трех офицеров?

Сначала подумай, что я делаю. Поскольку быть президентом и вице-президентом — не одно и то же, порядок имеет значение. Таким образом, этот пример будет перестановкой. Выбрано три человека, или r = 3, и всего восемь, n = 8.

Сначала формула:

8 Р 3	=	8!	=	8!
		(8 — 3)!		5!

 

Тогда решим:

8 * 7 * 6 * 5 * 4 *3 *2 * 1	=	8*7*6	=	336
5 * 4 * 3 * 2 *1

 

Рассмотрим другой пример. Попробуйте решить, прежде чем смотреть на мой пример, и обсудите свой ответ с учителем или родителем:

• Ли приносит на вечеринку 7 плейлистов с номерами 1-7. Сколькими способами он может выбрать первые 4 плейлиста для воспроизведения?

Подумайте: всего 7 вариантов, 4 выбираются

Сначала задайте формулу:

7 P 4	=	7!	=	7!
		(7 — 4)!		3!

 

Затем решить:

7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1	=	7*6*5*4	=	840
3 * 2 * 1

 

Теперь, когда мы знаем, как найти число исходов в порядке с помощью перестановок, давайте научимся решать число исходов без заказа с использованием комбинаций.

Комбинации

Комбинация – это группировка исходов, где порядок исходов не имеет значения.

• Например, у нас есть уличный торговец, который продает кешью, арахис и миндаль. Сколько существует различных способов смешивания орехов?

Ну, он мог бы есть кешью и миндаль, кешью и арахис, арахис и миндаль, миндаль и арахис, арахис и кешью, миндаль и кешью.

Так как порядок не имеет значения (они по-прежнему являются одними и теми же видами орехов, смешанных вместе), мы можем исключить все варианты, которые повторяются в другом порядке, и у нас останутся только варианты кешью и миндаль, кешью и арахис , а также арахис и миндаль.

Это означает, что существует три способа комбинирования двух видов орехов.

Попробуйте следующий пример. Последует ответ:

• Натан хочет заказать бутерброд с двумя из следующих ингредиентов: грибы (m), баклажаны (e), помидоры (t) и авокадо (a). Сколько разных бутербродов может выбрать Нейтан?

6 (m&e, m&t, m&a, e&t, e&a, t&a)

Вот формула для комбинаций, где n — общее количество вещей, из которых мы выбираем, а r — число, которое мы выбрали:

нКр	=	n !	=	всего !
		р ! (н-р) !		номер мы выбираем ! номер у нас нет !

 

Я предпочитаю думать о формуле с точки зрения того, что мы делаем и не выбираем, чем помнить, что означают все переменные.

Давайте сделаем пример:

• Команда сформирует комитет из 3 человек из списка из 8 человек. Сколькими способами команда может выбрать 3 человека? Позиция значения не имеет, так что это комбинационная ситуация.

Подумайте о задаче так: Есть 8 человек, мы выбираем 3.

8 С 3	=	8!	=	8*7*6*5*4*3*2*1	=	8*7*6	=	336	=	56
		3!5!		3*2*1*5*4*3*2*1		3 * 2 * 1		6

 

Посмотрите на другой пример:

• Сколько различных видов пунша можно приготовить из 2 следующих продуктов: клюквы, яблока, апельсина, банана и виноградного сока.

Подумайте: есть 5 вариантов, выбираем 2.

5 C 2	=	5!	=	5*4*3*2*1	=	5 *4	=	20	=	10
		2!3!		2 * 1 * 3 * 2 * 1		2 * 1		2

Теперь, когда мы поняли, как решать комбинации по вероятности, давайте попробуем немного попрактиковаться.

Разница между перестановкой и комбинацией объясняется на примерах

Перестановки и комбинации — это тема, полная загадок. Самый большой из них — понимание разницы между перестановкой и комбинацией. Должен ли я решить этот вопрос, используя перестановку или комбинацию? В этой статье мы дадим вам надежный метод, чтобы отличить их друг от друга. В последней статье цикла «Перестановки и комбинации» мы говорили о том, «когда складывать и умножать»?

Если вы не читали статью, вот ссылка: GMAT Permutation and Combination | Когда складывать и умножать

Следующая статья в этой серии — «Перестановка и комбинация» | Избегайте этих 3 ошибок | GMAT Quant

Имея базовое представление о ключевых словах И-ИЛИ, давайте углубимся в расширенную концепцию разницы между перестановкой и комбинацией.

В этой статье мы обсудим

• Общий случай разницы между вопросами перестановки и комбинации
• Подход с использованием ключевых слов для определения комбинированных вопросов
• Подход с использованием ключевых слов для определения перестановочных вопросов
• Визуализируйте разницу между перестановочными и комбинированными вопросами без ключевых слов
• Наглядные вопросы для лучшего понимания
• Еда на вынос

Чтобы получить какие-либо стратегические советы по поступлению на GMAT или MBA, напишите нам по адресу acethegmat@e-gmat. com. Воспользуйтесь бесплатной пробной версией и получите неограниченный доступ к концептуальным файлам, онлайн-сессиям и практическим вопросам.

Общий случай

В большинстве вопросов о перестановке и комбинации мы приходим к точке, когда нам нужно выбрать или расположить несколько вещей, и многие студенты становятся жертвами той же ошибки, применяя выбор вместо расположения наоборот.

Чтобы прояснить эту путаницу, давайте обсудим два простых случая:

1. Из 3 игроков, A, B и C, сколько парных команд может быть сформировано?
2. Сколько двузначных слов можно составить из 3 букв А, В и С?

Оба примера кажутся вам одинаковыми?

Ну примеры не те.

Этот простой пример ясно показывает, что понимание перестановки и комбинации может помочь решить, когда имеет значение расположение и когда важен выбор.

Подход с использованием ключевых слов для определения комбинированных вопросов

Давайте поймем концепцию комбинирования, решив примеры 1–9. 0003

В – Сколько парных команд можно сформировать из 3 игроков А, В и С?

 Решение:

Из 3 игроков A, B и C команды из 2 игроков могут быть:

1. Команда AB
2. Команда AC
3. Команда БК

Таким образом, у нас может быть только 3 парные команды из 3 игроков.

Теперь вместо того, чтобы решать это вручную, давайте применим подход к решению этого вопроса с помощью ключевых слов.

Важные ключевые слова для определения комбинированного вопроса
Некоторые из важных ключевых слов:

• Выберите
• Выберите
• Выбор
• Комбинация

Всякий раз, когда вы читаете вопрос, ищите приведенные выше ключевые слова, так как это полезные индикаторы, которые ясно говорят нам, что вопрос является комбинированным.

Давайте посмотрим на применение приведенных выше ключевых слов в двух задачах GMAT на перестановку и комбинацию.

Q 1 – В обществе из 10 членов мы должны выбрать комитет из 4 членов. Как владелец общества, Джон уже является членом комитета. Сколькими способами можно сформировать комитет.

Решение

Обратите внимание на подчеркнутое ключевое слово «выбрать» в вопросе.

Таким образом, это комбинированный вопрос. А для выбора мы применяем формулу nC _r , чтобы получить ответ.

• Теперь в вопросе нас просят выбрать комитет из 4 членов из 10 членов и Джон уже входит в состав комитета
  • Таким образом, мы должны выбрать 3 участника из 9

 

• Применяя формулу nC _r , мы можем выбрать 3 члена из 9 членов в 9c ₃ способами, которые
  

Теперь давайте решим немного сложный вопрос.

2 кв. – Аналитик порекомендует комбинацию из 3 промышленных запасов, 2 транспортных запасов, и 2 коммунальных запасов. Если аналитик может выбрать из 5 промышленных, 4 транспортных и 3 коммунальных акций, сколько различных комбинаций из 7 акций можно?

Решение

Обратите внимание на подчеркнутые ключевые слова «Выбрать» и «Комбинации»

Теперь мы можем легко определить, что это вопрос выбора, верно?

Аналитик должен сформировать другую комбинацию из 7 различных акций. Вы можете себе представить, как он может это сделать?

Подход

• Ему нужно выбрать 3 производственных запаса из 5 производственных запасов И,
• Ему нужно выбрать 2 транспортных запаса из 4 транспортных запасов И,
• Ему нужно выбрать 2 акции коммунальных служб из 3 акций коммунальных служб.
  • Обратите внимание на ключевое слово «И», которое указывает, что все три вышеуказанных события должны произойти одновременно.
  • Таким образом,

Применяя формулу NC _r , можно записать:

• 3 промышленных запаса из 5 промышленных запасов можно выбрать в 5C ₃ = 10 способов
• 2 транспортных запаса из 4 транспортных запасов могут быть выбраны в 4C ₂ = 6 способов
• 2 запаса коммунальных услуг из 3 запасов коммунальных услуг могут быть выбраны в 3C ₂ = 3 способа

Таким образом, всего способов выбрать 7 акций = 10 × 6 × 3 = 180 способов.

Выводы

1. Следите за важными ключевыми словами, такими как выбор, выбор, комбинация в основе вопроса.
2. Количество способов выбрать r вещей из n вещей = nCr.

Теперь посмотрим, как работает перестановка.

Подход с использованием ключевых слов для определения вопросов перестановки

Давайте поймем концепцию перестановки, решая пример 2-

Сколько двухбуквенных слов можно составить из трех букв A, B и C?

Solution

Слова из 2 букв, которые можно составить из 3 букв A, B и C:

• AB
• ВА
• АС
• КА
• до н.э.
• КБ

Таким образом, мы можем составить 6 разных слов.

Можете ли вы заметить, что в сочетании выбор A и B дает только 1 команду, т.е. AB?

Однако выбор A и B дает 2 разных слова, то есть AB и BA. Это происходит потому, что порядок расположения слов имеет значение. Но при создании команд состав команды не меняется, говорим ли мы AB или BA.

Такое расположение известно как перестановка.

Вы заметили использование ключевого слова «расположение» в перестановке?

• Если нет, обратите внимание: расположение слов в вопросе подразумевает перестановку

Теперь вместо того, чтобы решать это вручную, давайте применим подход к решению этого вопроса с помощью ключевых слов.

Давайте посмотрим на некоторые часто используемые ключевые слова, которые подразумевают перестановочный вопрос.

Важные ключевые слова для определения комбинированного вопроса

Некоторые из важных ключевых слов:

• Договоренности
• Упорядоченные пути
• Уникальный

Следите за приведенными выше ключевыми словами в вопросе.

Всякий раз, когда вы получаете вопрос с тремя указанными выше ключевыми словами, это будет подразумевать перестановочный вопрос. Давайте решим 1 вопрос, чтобы понять применение ключевых слов.

В. Каждый сигнал, который может подать определенный корабль, состоит из 3 разных флагов, подвешенных вертикально в определенном порядке. сколько уникальных сигнала можно сделать, используя 4 разных флага?

 Solution

Посетите наш бесплатный семинар по количественному анализу, чтобы получить точную оценку своих текущих способностей к GMAT и пути к достижению целевых результатов GMAT Quant. Вы можете сэкономить до 30+ часов времени на подготовку и повысить свой общий балл GMAT на 40+ баллов , следуя плану действий, предоставленному в конце семинара.

 

Выводы

1. Ищите важные сочетания ключевых слов, упорядоченные пути и уникальные, чтобы определить вопрос перестановки.
2. Количество способов составить r вещей из n вещей = nPr.
3. Вопрос о расположении также можно решить, выбрав сначала «r» вещей среди «n» вещей, а затем расположив все «r» вещей.

Визуализируйте разницу между перестановочными и комбинированными вопросами без ключевых слов

Иногда вы можете получить вопрос, который неявно использует применение перестановки и комбинации. Итак, как мы определяем, является ли вопрос вопросом комбинации или вопросом перестановки?

Давайте разберемся с этим на нескольких примерах:

Q1 – В определенной лиге 8 команд, и каждая команда играет с другими командами ровно один раз. Каково общее количество игр, сыгранных в лиге?  

Решение

Этот вопрос не включает важные ключевые слова, тогда как мы должны решить этот вопрос?

• Когда мы не можем найти ни одного ключевого слова, чтобы определить, является ли вопрос типом комбинации или типом перестановки, нам нужно визуализировать информацию, предоставленную нам в основе вопроса.

Давайте визуализируем информацию, указанную в вопросе, и посмотрим, сможем ли мы определить ее тип.

Нам дано:

• В лиге 8 команд

Мы знаем, что в каждой игре участвуют две команды.

• Матч между командой A и командой B аналогичен матчу между командой B и командой A
• Таким образом, чтобы каждый матч состоялся, мы должны выбрать только 2 команды, и в этом случае расстановка не будет иметь значения

Вы заметили, что мы пришли к ключевому слову SELECT , тщательно анализируя предоставленную информацию и делая осмысленные выводы.

Теперь осталось найти количество способов выбрать 2 команды из 8 команд.  

• Следовательно, общее количество сыгранных игр = 8C ₂ = 28 матчей

Давайте теперь немного увеличим сложность и решим следующий вопрос.

Q2 – На заседании правления компании присутствуют 10 членов. Каким образом 2 участника могут получить мандат на должность CEO и COO компании?

Решение

У нас нет ключевого слова в вопросе, чтобы напрямую определить тип вопроса и подать заявку nC _r и nP _r формула.

Таким образом, следующим шагом для решения такого типа вопросов является визуализация сценария, представленного в вопросе.

• Вопрос о получении мандата на должность CEO и COO компании
  • Предположим, что A и B являются двумя лидерами в голосовании и, следовательно, могут получить мандат на должность генерального директора или главного операционного директора.

• Теперь может быть 2 случая, когда A и B могут получить мандат
  • A-> CEO и B-> COO
  • B-> CEO и A-> COO

Вы видите, что у нас есть 2 разных варианта выбора только 2 участников?

Таким образом, расположение после выбора 2 членов предполагает перестановку.

Таким образом, мы можем найти ответ двумя способами:

Способ 1:

Применяя формулу nP _r

• Количество способов, которыми 2 человека из 10 членов могут получить мандат на должность CEO и COO компании = 10P ₂ = 90

Метод 2:

Сначала выбрав 2 элемента из 10 элементов, а затем расположив 2 элемента:

• Таким образом, общее количество способов = общее количество способов комбинирования 2 элементов × размещение 2 элементов
• Всего способов = 10C ₂ × r! = 45 × 2 = 90

Еда на вынос

1. Всегда следите за ключевыми словами, которые используются в вопросе. Ключевые слова могут помочь вам легко получить ответ.
2. Такие ключевые слова, как выбор, выбор, выбор и комбинация, указывают на то, что это комбинированный вопрос.
3. Ключевые слова как расположение, порядок, уникальность указывает на то, что это вопрос перестановки.

   No related posts.