Задает ли указанное правило функцию y f x если f x корень из x: Вопросы»Задает ли указанное правило функцию y=F(x), если|Поступи в ВУЗ

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

Одна из наших главных целей в математике — смоделировать реальный мир с помощью математических функций. При этом важно помнить об ограничениях тех моделей, которые мы создаем.

В этой таблице показано соотношение между окружностью и высотой дерева по мере его роста.

Несмотря на тесную связь между ними, было бы нелепо говорить о дереве с окружностью -3 фута или высотой 3000 футов. Когда мы определяем ограничения на входы и выходы функции, мы определяем домен и диапазон функции.

Домен и диапазон

Домен: Набор возможных входных значений для функции.
Диапазон: Набор возможных выходных значений функции

Пример 9

Используя приведенную выше древовидную таблицу, определите подходящий домен и диапазон.

Мы могли бы объединить предоставленные данные с нашим собственным опытом и соображениями, чтобы аппроксимировать область определения и область значений функции \(h = f(c)\). Для домена возможные значения входной окружности c не имеют смысла иметь отрицательные значения, поэтому \(c > 0\). Мы могли бы сделать обоснованное предположение о максимальном разумном значении или посмотреть, что максимальная измеренная окружность составляет около 119ноги. С этой информацией мы бы сказали, что разумный домен — ноги.

Точно так же для диапазона нет смысла иметь отрицательную высоту, а максимальная высота дерева может составлять 379 футов, поэтому разумный диапазон — футы.

Более компактной альтернативой записи неравенств является запись интервалов , в которой интервалы значений обозначаются начальным и конечным значениями. Круглые скобки используются для строго меньше, чем и квадратные скобки используются на меньше или равно. Поскольку бесконечность не является числом, мы не можем включить ее в интервал, поэтому всегда используем изогнутые скобки. с \(\infty\) и \(-\infty\). Таблица ниже поможет вам увидеть, как неравенства соответствуют записи интервала:

Пример 10

Опишите интервалы значений, показанные на линейном графике ниже, используя построитель наборов и обозначения интервалов:

Для описания значений x, лежащих в показанных выше интервалах, мы бы сказали, что x — действительное число, большее или равное 1 и меньшее или равное 3, или действительное число, большее 5. As неравенство это \(1\leq x\leq 3\) или \(x \gt 5 \) . В интервальной записи это \([1,3]\cup(5,\infty)\) .

Пример 11

Найдите область определения каждой функции:
a) \(f(x)=2\sqrt{x+4}\)
b) \(g(x)=\dfrac{3}{6- 3x}\)

а) Поскольку мы не можем извлечь квадратный корень из отрицательного числа, нам нужно, чтобы внутренняя часть квадратного корня была неотрицательной. \(x+4\geq 0\), когда \(x\geq -4\), поэтому областью определения \(f(x)\) является \([-4,\infty)\).

б) Мы не можем делить на ноль, поэтому нам нужно, чтобы знаменатель был ненулевым. \(6-3x=0\), когда \(x = 2\), поэтому мы должны исключить 2 из домена. Область определения \(g(x)\) равна \((-\infty,2)\cup(2,\infty)\).

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, поддерживающего видео HTML5

1.3 — Функции

Определения

Связь

Правило, связывающее значение в домене со значением в диапазоне.

Функция

Функция — это отношение (правило), которое присваивает каждому элементу домена ровно один элемент в диапазоне.

Домен

Набор всех значений, которые могут быть введены в функцию. То есть совокупность всех значения, которые может принимать независимая переменная. Графически домен представляет собой множество всех x-координаты.

Диапазон

Набор всех значений, которые выводятся, когда функция оценивается на всех входах значения из домена. То есть набор всех значений, которые зависимая переменная может предполагать. Графически диапазон представляет собой набор всех координат y.

Независимая переменная

Обычно независимой переменной является x. Однако независимой переменной является переменная, которая может принимать различные значения независимо от другой переменной. Большая часть того, что мы собираемся делать в этом классе, будет включать только один независимый переменной, но помните, что возможно иметь более одной независимой переменной.

Зависимая переменная

Обычно зависимой переменной является y. Однако зависимой переменной является переменная который определяется на основе значения независимой переменной (переменных). Если функция записывается как y=3x+2, тогда y зависит от x, но x не зависит от y (в форме написано в). Итак, х не зависит от у, но у зависит от х.

Подразумеваемый домен

Набор всех действительных чисел, для которых определено выражение.

Чем функция отличается от отношения?

Ниже приведены некоторые рекомендации по определению того, является ли отношение функцией или нет.

1. Каждый элемент домена (x) должен соответствовать элементу в диапазоне (у).
2. Каждый элемент в домене (x) может быть сопоставлен только с одним элементом в диапазон (y).
3. Различные элементы в домене могут перейти к одному и тому же элементу в диапазон. Y-координата может повторяться, а координата x — нет.
4. Некоторые значения в этом диапазоне можно вообще не использовать

Обозначение функций

Обозначение функций используется для обозначения функций для удобства поиска. Представьте, если каждая функция в мире должна была начинаться с y=. Довольно скоро вы бы запутаться в том, что y = вы говорили о. Так работают антецеденты в английском языке. Если вы просто скажи «это» красное, ты на самом деле понятия не имею, о каком «этом» вы говорите. Вам нужен какой-то другой способ называть вещи. Введите обозначение функции.

Определение функции

• f(x) = 3x + 2
• г(х,у) = х ² + 3у

В этом примере f является функцией x. То есть x является независимой переменной, а значение f зависит от того, что такое х. Кроме того, g является функцией как x, так и y.

Обозначение f(x) не означает f, умноженное на x. Это означает «значение f, оцененное в x» или «значение f at x» или просто «f of x»

Оценка функции

f(3) = 3(3) + 2 = 9+ 2 = 11

f(3) не означает f, умноженное на 3. Это означает «значение f, оцененное, когда x 3″.

f(t) = 3(t) + 2 = 3t + 2

Все, что в скобках слева от функция (в данном случае t) заменяется значением независимой переменная с правой стороны.

f(x+h) = 3(x+h) + 2 = 3x + 3h + 2

Каждое вхождение независимой переменной заменяется количеством в скобках. А Распространенная ошибка — взять величину и применить к ней линейные или аффинные преобразования.

ф(х+ч)

• f(x+h) не равно f(x) + h = 3x+2 + h
• f(x+h) не равно f(x) + f(h) = 3x+2 + 3h+2 = 3x + 3h + 4
• f(x+h) равно 3(x+h) + 2 = 3x + 3h + 2

f(3x)

• f(3x) не равно 3 * f(x) = 3( 3x+2) = 9x + 6
• Это равно 3(3x) + 2 = 9x + 2

Вы также указываете, какую функцию вы хотите использовать при использовании обозначения функций. Рассмотрим

г(2,1) = 2 ² + 3(1) = 4 + 3 = 7

Поскольку порядок независимых переменных в исходном определении был x, а затем y, функция g оценивается, когда x=2 и y=1.

г(1,2) — это совсем другое. В этом случае x=1 и y=2.

г(1,2) = 1 ² + 3(2) = 1 + 6 = 7

Итак, он не совсем другой, но находится по-другому.

Кусочные определения

Иногда функции немного сложнее, чем простые функции, которые мы описали до сих пор. Если разные правила используются для разных значений независимой переменной, то мы можем использовать кусочное определение.

Рассмотрим показанную функцию и следующие оценки.

f(2,1) = 2(2,1) = 4,2

Поскольку 2.1 находится в интервале [1,3), мы используем вторую часть определения, е (х) = 2х.

f(-2) = 3 — (-2) ² =3 — 4 = -1

Так как -2 находится в интервале (-∞,-1), мы используем первую часть определение, f(x) = 3-x ²

f(3) = 5 — (3) = 5 — 3 = 2

Так как 3 не входит во вторую часть, но входит в третью произведение на антракте [3,+∞) мы используем третью часть определения, f(x) = 5 — x.

f(0) не определено

Так как 0 не попадает ни в один из доменов, то функция там не определена.

Когда все домены объединены, доменом функции f является множество всех действительных чисел, кроме [-1,1). Вы также можете написать это как (-∞,-1)U[1,+∞). Символ U означает объединение двух множеств.

Кусочные функции и калькулятор

Вы можете использовать кусочные функции в графическом калькуляторе. Калькуляторы TI82 и TI83 иметь ключ [Test], полученный нажатием [2 ^и ] [Математика]. Под этим ключом вы найдете различные операторы проверки (равно, не равно, больше, больше или равно, меньше и меньше или равно).

Когда калькулятор оценивает проверочное выражение (x<1), он возвращает значение 1, если оператор истинно, и значение 0, если утверждение ложно. Это очень хорошо работает с умножением, потому что умножение на 1 не изменит выражение, а умножение на 0 сделает выражение 0,92). Если x не меньше отрицательной единицы, то калькулятор вернет 0. Это не правильное значение для возврата (оно должно быть неопределенным), но оно будет отображаться на графике ось x и не будет отображаться, потому что ось уже есть. Итак, у него есть подобие на графике правильно.

Полная кусочная функция может быть определена для калькулятора как:

y = (1-x ² )*(x<-1) + 5x*(1≤x и x<3) + (5-3x)*(x≥3)

Ключевое слово «и» можно найти в меню [Тест] Логика. Точно так же символы ≤ и ≥ также можно найти в меню [Тест]. Если вы попытаетесь вставьте 1≤x<3, как мы правильно, калькулятор интерпретирует это как 1≤3 и всегда возвращает true.

Обязательно используйте какой-либо десятичный режим или точечный режим, когда вы просматриваете кусочно функция. В противном случае вы можете получить странные результаты.

Поиск домена

Ранее мы определили подразумеваемый домен . Это набор всех действительных чисел, где выражение определенный.

1. Начните со всех действительных чисел
2. Исключить любые значения независимой переменной, вызывающие деление на ноль
3. Исключить любые значения независимой переменной, которые приводят к извлечению квадратного корня из отрицательное число. Квадратный корень можно заменить любым четным (4 ^th , 6 ^th и т.д.) корнем.

Вы делаете , а не , вам нужно указать ограничения, вытекающие из подразумеваемого домена. Другими словами, если в знаменателе есть (x-2), вам не нужно указывать, что x не может быть 2.

Иногда необходимо исключить другие значения.

1. Ограничения задачи — используются в приложениях. вот несколько примеров
   • Если х — длина стороны треугольника, тогда х не может быть отрицательным
   • Если x — это положение на 12-футовых качелях, в котором точка опоры должна позиционируется, то значение x должно находиться в диапазоне от 0 до 12.
   • Если x количество людей в комнате, то x не может быть отрицательным.
2. Заявленные ограничения — иногда проблема просто выходит и говорит, что вы не можете использовать конкретное значение или что вы можете использовать только определенные значения. Они не в подразумеваемой области, поэтому их нужно указать.

Если вы когда-нибудь упростите функцию и значение, которое было в подразумеваемой области больше не находится в подразумеваемой области, тогда оно должно стать установленным ограничением. Например, разделите (x ² -4) на (x-2). Подразумеваемый домен x не может быть равен 2, потому что это приведет к делению на ноль. Однако, если вы разложите числитель как (x-2)(x+2), то (x-2) в числителе делится с (x-2) в знаменатель, и у вас осталось только (x + 2). Тот факт, что х не может быть 2 больше не подразумевается простым x+2 в числителе, поэтому теперь вы должны указать что х не может быть 2.

Если у вас есть функция, состоящая из нескольких частей, значения в домене должны иметь возможность использоваться во всех частях функции.