Зависимые и независимые события в теории вероятности: Урок 34. условная вероятность. независимость событий — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Содержание

2.3. Зависимые и независимые события

Определение. Два события называют независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произойдет другое событие или нет.

Например, опыт состоит в бросании двух монет. Пусть А и В – события, состоящие в том, что герб появится соответственно на первой и второй монете. В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Следовательно, событие А независимо от события В.

Определение. Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы.

Например, опыт состоит в бросании трех монет. Пусть А, В, С – события, состоящие в том, что герб появится соответственно на первой, второй и третьей монете. В данном случае каждые два из рассматриваемых событий (т.е. А и В, А и С, В и С) – независимы.

Следовательно, события А, В и С – попарно независимые.

Определение. Два события называют зависимыми, если вероятность появления одного из них меняется в зависимости от того, произойдет другое событие или нет.

Например, в урне 3 белых и 2 черных шара. Наудачу берут один шар, не возвращая его в урну. Если появился белый шар (событие А), то вероятность появления белого шара во втором испытании (событие В) Р(В) = . Если же в первом испытании появился черный шар (т.е. событиеА не произошло), то вероятность Р(В) = . Т.е. вероятность событияВ зависит от того, произошло событие А или нет. Следовательно, события А и В – зависимые.

Отметим, что зависимость и независимость событий всегда взаимны, т.е. если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В.

Сформулируем теорему умножения вероятностей независимых событий.

Теорема. Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)·Р(В).

(2.5)

Для того чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Определение. Несколько событий называют независимыми в совокупности, если каждое из них и любая комбинация остальных событий (содержащих либо все остальные события, либо часть из них) есть события независимые.

Например, если события А1,

А2 и А3 независимые в совокупности, то независимыми являются события: А1 и А2, А1 и А3, А2 и А3, А1А2 и А3, А1А3 и А2, А2А3 и А1.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то из этого еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требования их попарной независимости.

Теперь мы можем сформулировать следствие из теоремы умножения вероятностей, обобщающее теорему умножения на несколько событий.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий

.

Р(А1А2…Аn) = Р(А1)·Р(А2) …·Р(Аn).

(2.6)

Пример 2.4. Имеется три урны, содержащих по 10 шаров. В первой урне 5 шаров красного цвета, во второй – 4, в третьей – 6. Из каждой урны наудачу вынимают по одному шару. Найти вероятность того, что все три шара окажутся красного цвета.

Решение. Вероятность того, что из первой урны вынут шар красного цвета (событие А) Р(А) = = 0,5. Вероятность того, что из второй урны вынут шар красного цвета (событие

В) Р(В) = = 0,4. Вероятность того, что из третьей урны вынут шар красного цвета (событиеС) Р(С) = = 0,6.

Так как события А, В и С независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения) равна

Р(АВС) = Р(АР(ВР(С) = 0,5·0,4·0,6 = 0,12.

Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если работают два прибора, по условиям производства не связанные между собой, то поломки этих двух приборов являются независимыми событиями.

Пример 4. Монета брошена два раза. Вероятность появления «орла» в первом испытании (событие ) не зависит от появления или не появления «орла» во втором испытании (событие ). В свою очередь, вероятность появления «орла» во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события и независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, два прибора связаны между собой единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одного из них зависит от того, в каком состоянии находится другой. Вероятность одного события , вычисленная в предположении осуществления другого события , называется условной вероятностью события и обозначается .

Условие независимости события от события записывают в виде , а условие его зависимости — в виде . Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Пример 4. В ящике находятся 5 напильников: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения напильников. Определить условную вероятность появления изношенного напильника при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз напильник в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим извлечение изношенного напильника в первом случае, а – извлечение нового. Тогда . Поскольку извлеченный напильник в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного напильника во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае.

Вероятность этого события будет такая:

Следовательно, вероятность события зависит от того, произошло или нет событие .

Пусть события и независимые, причем вероятности этих событий известны. Найдем вероятность совмещения событий и .

Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 5. Система состоит из трёх последовательно соединённых приборов. Вероятность того, что первый прибор проработает без поломок 1 год равна 0.6, вероятность того, что без поломок проработает второй прибор равна 0.8, а вероятность того, что без поломок проработает третий прибор равна 0.9. Определить, какова вероятность того, что вся система проработает без поломок в течение года.

Решение. Поскольку поломки всех трёх приборов – события независимые, то для вычисления вероятности безотказной работы для всей системы воспользуемся формулой умножения вероятностей.

Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Пример 6. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором — черный (событие ) и при третьем — синий (событие ).

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании . Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность . Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором — черный, . Искомая вероятность .

Теория вероятностей и математическая статистика на примерах. Что это такое, основные формулы, теории

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события Текст научной статьи по специальности «Математика»

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Махсуд Тулқин Ўғли Усмонов

Текст научной работы на тему «Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Зависимые и независимые события»

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события

Махсуд Тулкин угли Усмонов [email protected] .com Ташкентский университет информационных технологий

Аннотация: В данной статье приведены сведения о теореме сложения и умножения вероятностей событий, а также типовые задачи

Ключевые слова: Теоремы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события.

Addition and multiplication theorems for probabilities. Dependent and independent events

Mahsud Tulgin oglu Usmonov [email protected] Tashkent University of Information Technologies

Abstract: This article provides information about the theorem of addition and multiplication of the probabilities of events, as well as typical problems

Keywords: Theorems of addition and multiplication of probabilities. Dependent and independent events.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность появления одного из двух несовместных событий А или 5, равна сумме вероятностей этих событий:

Аналогичный факт справедлив и для бОльшего количества несовместных событий, например, для трёх несовместных событий s и с :

Следует отметить, что для совместных событий равенство Р(А+В) – Р(Л) + Р(В) буДет неверным, не случайно чуть выше я немного сыронизировал на счёт простоты.

А сейчас возьмём в руки уже знакомое и безотказное орудие труда учёбы –

игральный кубик с полной группой событий 5(5, которые состоят

в том, что при его броске выпадут 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков соответственно.

Рассмотрим событие – в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:

– +В6 (ВЬ1падет 5 или 5 очков). По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

6 6 6 3 . вероятность того, что в результате броска игральной кости выпадет не менее пяти очков.

Рассмотрим событие ~ + + + , состоящее в том, что выпадет не более 4 очков и найдем его вероятность. По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

По той же теореме, вероятность того, что выпадет нечётное число очков:

«Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3 вопросов?»

В той задаче мы сначала нашли

сочетаний трёх вопросов), затем вычислили 25 35 25

(количество всех возможных

того, что студент

благоприятствующих исходов и вероятность сдаст экзамен.

Но здесь вместо правила сложений комбинаций в ходу и другая схема рассуждений. Рассмотрим два несовместных события:

л – студент ответит на два вопроса из трёх; 5 – студент ответит на все три вопроса.

Возможно, некоторые читатели ещё не до конца осознали суть несовместности. Вдумаемся ещё раз: студент не может ответить на 2 вопроса из 3 и в то же самое время ответить на все 3 вопроса. Таким образом, события А и 5 – несовместны.

Теперь, пользуясь классическим определением, найдём их вероятности:

Факт успешной сдачи экзамена выражается суммой А+В (ответ на 2 вопроса из 3 или на все вопросы). По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

Решение: всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.

В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го

20 – вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го

По теореме сложения несовместных событий:

р -Р1+Р1 – 0,2 + 0,35 – 0,55 _ верОЯТНОСТЬ того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

Безусловно, задача разрешима и чисто через классическое определение вероятности путём непосредственного подсчёта кол-ва благоприятствующих исходов (4 + 7 = 11), но рассмотренный способ ничем не хуже. И даже чётче.

Зависимые и независимые события

Начнём с независимых событий. События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях). .. .Да чего тут вымучивать общие фразы:

Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий А и 5 равна произведению вероятностей этих событий:

Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:

^ – на 1-й монете выпадет орёл;

^ – на 2-й монете выпадет орёл. так и невозможным ~ 0. Таким образом, событие % является зависимым.

5 – на экзамене студенту достанется простой билет.

Если идти не самым первым, то событие 5 будет зависимым, поскольку

его вероятность будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули

Как определить зависимость/независимость событий?

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Чтобы не валить всё в одну кучу, задачам на зависимые события я выделю следующий урок, а пока мы рассмотрим наиболее распространённую на практике связку теорем:

Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) только один стрелок попадёт в мишень;

б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень. – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Прежде всего, вдумаемся – что значит условие «хотя бы один»? В данном

случае это означает, что попадёт или 1-й стрелок (2-й промахнётся) или 2-й (1-й промахнётся) или оба стрелка сразу – итого 3 несовместных исхода.

Способ первый: учитывая готовую вероятность предыдущего пункта, событие с удобно представить в виде суммы следующих несовместных событий:

попадёт кто-то один (событие 5, состоящее в свою очередь из 2 несовместных исходов) или

попадут оба стрелка – обозначим данное событие буквой £>.

Таким образом: С = Б + П

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Р(П) = ДЛА) = ДА) ■ ДА) = 0,3■ о,б = 0,43 _ вероятность Т0Г0; что !_й стрелок

попадёт и 2-й стрелок попадёт.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

Р(С) = Р(В + 0)=Р(В) + Р(В) = 0,44 + 0,48 =0,92 . вероятность хотя бы одного

попадания по мишени.

Способ второй: рассмотрим противоположное событие: ^ – оба стрелка промахнутся.

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.

Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на умолчанной выше теореме сложения совместных событий.

Способ третий: события А>А совместны, а значит, их сумма А+А выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:

Выполним проверку: события и – (0, 1 и 2 попадания

соответственно) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:

ДС) + ДЯ) + ВД = 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1? чт0 и требовалось проверить.

При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого никого не захочется пристрелить – задачи почти подарочные. А почему бы не упростить ещё и шаблон? Сократим запись:

Решение: по условию: ^ – вероятность

соответствующих стрелков. -а = 0,2 0,4 = 0,08 _ верОЯХНОСХЬ того, что оба стрелка промахнутся.

Тогда: р ~ ~ – вероятность того, что хотя бы один из

стрелков попадёт в мишень. 0твет. а) 0,44, 6)0,92

На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ – он хоть и длиннее, но зато содержательнее – в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно обозначить лишь некоторые события. Задача 8

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75, третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:

а) все станки потребуют настройки;

б) только один станок потребует настройки;

в) хотя бы один станок потребует настройки.

Решение: коль скоро в условии ничего не сказано о едином технологическом процессе, то работу каждого станка следует считать не зависимой от работы других станков. ‘ , наити

вероятности противоположных событий А’А’А и т д 1-[о с тремя объектами так оформлять задачу уже не очень хочется – получится долго и нудно. Поэтому здесь заметно выгоднее использовать «быстрый» стиль:

По условию: Р1 ~ Р2 ~ Рг ~ – вероятности того, что в течение смены соответствующие станки потребуют настойки. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания:

а) По теореме умножения вероятностей независимых событий:

вероятность того, что в течение смены все три станка потребуют настройки.

б) Событие «В течение смены только один станок потребует настройки» состоит в трёх несовместных исходах:

1) 1-й станок потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок не потребует

2) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок потребует и 3-й станок не потребует

3) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок потребует.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

= 0,045 + 0,315 + 0,07 = 0,43

вероятность того, что в течение смены только один станок потребует настройки. – стрелок 3 раза промахнётся.

По условию ■ ■ ‘ , тогда вероятность противоположного события:

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:

ц – ,,/0,027 – 0,3 _ верОЯТНОСТЬ промаха при каждом выстреле.

р ~1 ~ 0,3 ~ – вероятность попадания при каждом выстреле.

В рассмотренной задаче можно поставить дополнительные вопросы о вероятности только одного попадания, только двух попаданий и вероятности трёх попаданий по мишени. Схема решения будет точно такой же, как и в двух предыдущих примерах:

Однако принципиальное содержательное отличие состоит в том, что здесь имеют место повторные независимые испытания, которые выполняются последовательно, независимо друг от друга и с одинаковой вероятностью исходов.

Несмотря на кажущуюся шаблонность примеров, целесообразно ознакомиться с дополнительными задачами на теоремы сложения и умножения вероятностей, которые на самом деле достаточно разнообразны. Кроме того, в предложенном файле прорешаны более трудные задачи с «четырьмя участниками».

На следующем уроке мы разберём задачи с зависимыми событиями, а затем важнейшие следствия рассмотренных теорем – формулу полной вероятности, формулы Байеса и формулу Бернулли, касающуюся независимых испытаний.

1. Киселёв, Андрей Петрович // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. – 3-е изд. – М. : Советская энциклопедия, 1969-1978.

2. Андронов И. К., А. П. Киселев. [Некролог], «Математика в школе», 1941, № 2

3. Маргулис А. Я., Андрей Петрович Киселев, «Математика в школе», 1948, № 4

4. Депман И. Я., История арифметики, М., 1959.

5. Моргулис А. Я., Тростников В. Законодатель школьной математики // Наука и жизнь. 1968. № 1

6. Пыльнев-Рогачёв, Лунёва М. И. Служитель «царицы-наук» // Кольцовский сквер. 2002. № 3

1. Kiselev, Andrey Petrovich // Great Soviet Encyclopedia: [in 30 volumes] / Ch. ed. A.M. Prokhorov. – 3rd ed. – M.: Soviet Encyclopedia, 1969-1978.

2. Andronov I.K., A.P. Kiselev. [Obituary], “Mathematics in School”, 1941, no.

3. Margulis A. Ya., Andrey Petrovich Kiselev, “Mathematics at school”, 1948,

4. Depman I. Ya., History of arithmetic, M., 1959.

5. Morgulis A. Ya., Trostnikov V. Legislator of school mathematics // Science and life. 1968. No. 1

6. Pylnev-Rogachev, Luneva MI Servant of the “queen of sciences” // Koltsovsky square. 2002. No. 3

🎲 Орел или решка? Основы теории вероятностей простыми словами

Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий случайные события, их свойства и действия над ними. В этой статье мы рассмотрим ее определение, основы и применение. Плюс три простых задачи с решениями.

❓ Что такое теория вероятностей?

Теория вероятностей использует случайные величины и распределения вероятностей для математической оценки неопределенных ситуаций. Понятие вероятности используется для присвоения числового описания вероятности наступления события. Вероятность можно определить как число благоприятных исходов, деленное на общее число возможных исходов события.

Определение теории вероятностей

Теория вероятностей – это область математики и статистики, которая занимается определением вероятностей, связанных со случайными событиями. Существует два основных подхода к изучению теории вероятностей: теоретический и экспериментальный. Теоретическая вероятность определяется на основе логических рассуждений без проведения экспериментов. В отличие от нее, экспериментальная вероятность определяется на основе исторических данных путем проведения повторных экспериментов.

Пример теории вероятностей

Предположим, нам необходимо определить вероятность выпадения числа 4 при бросании игральной кости. Число благоприятных исходов равно 1. Возможные исходы игральной кости – . Из этого следует, что всего существует 6 исходов. Таким образом, вероятность выпадения 4 при бросании игральной кости, используя теорию вероятности, можно вычислить как 1 / 6 ≈ 0,167.

Основы теории вероятностей

Мы можем понять эту область математики с помощью нескольких основных терминов, напрямую связанных с теорией вероятностей.

Случайный эксперимент

Случайный эксперимент в теории вероятностей – это испытание, которое повторяется несколько раз для получения четко определенного набора возможных результатов. Подбрасывание монеты является примером случайного эксперимента.

Пространство выборки

Пространство выборки можно определить как множество всех возможных исходов, полученных в результате проведения случайного эксперимента. Например, пространство выборки при подбрасывании симметричной монеты (fair coin), стороны которой – это орел и решка.

Событие

Теория вероятностей определяет событие как набор исходов эксперимента, который образует подмножество пространства выборки.

Примеры событий:

  1. Независимые – те, на которые не влияют другие события, являются независимыми.
  2. Зависимые – те, на которые влияют другие события.
  3. Взаимоисключающие – события, которые не могут произойти в одно и то же время.
  4. Равновероятные – два или более события, которые имеют одинаковые шансы произойти.
  5. Исчерпывающие – это события, которые равны выборочному пространству эксперимента.
Случайная величина

В теории вероятностей случайную переменную можно определить как величину, которая принимает значение при всех возможных исходах эксперимента.

Существует два типа случайных величин:

  1. Дискретная случайная величина – принимает точные значения, такие как 0, 1, 2. Описывается кумулятивной функцией распределения и функцией массы вероятности.
  2. Непрерывная случайная величина – переменная, которая может принимать бесконечное число значений. Для определения характеристик этой переменной используются кумулятивная функция распределения и функция плотности вероятности.
Вероятность

Вероятность мы можем определить как численную вероятность наступления события. Вероятность того, что событие произойдет, всегда лежит между 0 и 1. Это связано с тем, что число желаемых исходов никогда не может превысить общее число исходов события. Теоретическая вероятность и эмпирическая вероятность используются в теории вероятностей для измерения шанса наступления события.

Формула вероятности P(A): количество благоприятных исходов для A делимое на общее количество возможных исходов.

Условная вероятность

Ситуация, когда необходимо определить вероятность наступления события, притом что другое событие уже произошло.

Обозначается как P(A | B).

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», на котором ты:

  • Усвоишь специальную терминологию и сможешь читать статьи по Data Science без постоянных обращений к поисковику.
  • Подготовишься к успешной сдачи вступительных экзаменов в Школу анализа данных Яндекс.
  • Овладеешь математическим аппаратом, который необходим, чтобы стать специалистом в Data Science.
Ожидание

Ожидание случайной величины X можно определить как среднее значение результатов эксперимента, проводимого многократно. Ожидание обозначается как E[X]. Также известно как среднее значение случайной величины.

Дисперсия

Дисперсия – это мера, которая показывает, как распределение случайной величины изменяется относительно среднего значения. Дисперсия определяется как среднее квадратичное отклонение от среднего значения случайной величины. Обозначается как Var[X].

Функция распределения теории вероятностей

Распределение вероятностей или кумулятивная функция распределения – это функция, которая моделирует все возможные значения эксперимента, используя случайную переменную. Распределение Бернулли и биномиальное распределение – это примеры дискретных распределений вероятностей. Например, нормальное распределение представляет собой пример непрерывного распределения.

Массовая функция вероятности

Массовая функция вероятности определяется как вероятность того, что дискретная случайная величина будет в точности равна определенному значению.

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности – это вероятность того, что непрерывная случайная величина принимает множество возможных значений.

Формулы теории вероятностей

В теории вероятностей существует множество формул, которые помогают рассчитать различные вероятности, связанные с событиями.

Наиболее важные формулы:

  1. Теоретическая вероятность: Число благоприятных исходов / Число возможных исходов.
  2. Эмпирическая вероятность: Число случаев, когда событие происходит / Общее число испытаний.
  3. Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B), где A и B – события.
  4. Правило комплементарности: P(A’) = 1 – P(A). P(A’) означает вероятность того, что событие не произойдет.
  5. Независимые события: P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B).
  6. Условная вероятность: P(A | B) = P(A∩B) / P(B). : P(A | B) = P(B | A) ⋅ P(A) / P(B).
  7. Массовая функция вероятности: f(x) = P(X = x).
  8. Функция плотности вероятности: p(x) = p(x) = dF(x) / dx, где F(x) – кумулятивная функция распределения.
  9. Ожидание непрерывной случайной величины: ∫xf(x)dx, где f(x) является МФВ (Массовой функцией вероятности).
  10. Ожидание дискретной случайной величины: ∑xp(x), где p(x) – это ФПВ (Функцией плотности вероятности).
  11. Дисперсия: Var(X) = E[X2] – (E[X])2.

Применение теории вероятностей

Теория вероятностей используется во многих областях и помогает оценить риски, которые связаны с теми или иными решениями. Некоторые из направлений, где применяют теорию вероятностей:

  • В финансовой отрасли теория вероятностей используется для создания математических моделей фондового рынка с целью прогнозирования будущих тенденций. Это помогает инвесторам вкладывать средства в наименее рискованные активы, которые дают наилучший доход.
  • В потребительской индустрии теория вероятностей используется для снижения вероятности неудачи при разработке продукта.
  • Казино использует теорию вероятностей для разработки азартных игр с максимизацией своей прибыли.

🏋️ Практические задания

Задача 1 : При бросании двух игральных костей, какова вероятность того, что выпадет комбинация, сумма которой будет равна 8?

При бросании двух игральных костей существует 36 возможных исходов. Для получения суммы, равной 8, существует 5 благоприятных исходов: [(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)]. Используя формулы теории вероятностей: Вероятность = Число благоприятных исходов / общее число возможных исходов = 5 / 36. Ответ: Вероятность получения суммы 8 при бросании двух игральных костей равна 5 / 36.

Задача 2 : Какова вероятность вытащить карту королеву из колоды?

Колода карт имеет 4 масти. Каждая масть состоит из 13 карт. Таким образом, общее число возможных исходов = (4) * (13) = 52. Может быть, 4 королевы, по одной из каждой масти. Следовательно, количество благоприятных исходов = 4. Карточная вероятность = 4 / 52 = 1 / 13. Ответ: Вероятность получить королеву из колоды карт равна 1 / 13

Задача 3 : Из 10 человек 3 купили карандаши, 5 купили тетради, а 2 купили и карандаши, и тетради. Если покупатель купил тетрадь, какова вероятность того, что он также купил карандаш?

Используя понятие условной вероятности, P(A | B) = P(A∩B) / P(B). Пусть A – событие, когда люди покупают карандаши, а B – событие, когда люди покупают тетради. P(A) = 3 / 10 = 0,3P(B) = 5 / 10 = 0,5P(A∩B) = 2 / 10 = 0,2. Подставим полученные значения в приведенную формулу, P(A | B) = 0,2 / 0,5 = 0,4. Ответ: Вероятность того, что покупатель купил карандаш, при условии, что он купил блокнот, равна 0,4.

В заключение

  • Теория вероятностей – это раздел математики, в котором рассматриваются вероятности случайных событий.
  • Понятие вероятности объясняет возможность наступления того или иного события.
  • Значение вероятности всегда лежит между 0 и 1.
  • В теории вероятностей все возможные исходы случайного эксперимента составляют пространство выборки.
  • Теория вероятностей использует такие важные понятия, как случайные величины и кумулятивные функции распределения для моделирования случайного события. Сюда же относится определение различных вероятностей, связанных с этим.

Если хочешь подтянуть свои знания по математике, загляни на наш курс «Математика для Data Science», который включает в себя:

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Зависимые и независимые события. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Событие А называется независимым от события В, если его вероятность не зависит от появления или не появления cобытия В, в противном случае событие А называют зависимым от события В.

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью, обозначается

Теорема сложения несовместных событий. Вероятность появления суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Следствие. Вероятность появления суммы попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий. Например, для трех совместных событий:

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Следствие. Вероятность появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго, при условии, что первое событие произошло

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятностей одного из них на условные вероятности всех остальных событий, вычисленных в предположении, что все предыдущие события

Теорема о вычислении вероятности появления хотя бы одного события. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий

равна разности между единицей и вероятностью произведения всех противоположных событий

Замечание. Приступая к решению задач на вычисление вероятностей сложных событий, рекомендуется пользоваться следующей схемой:

1) обозначить буквами все события, о которых идет речь в условии задачи;

2) выяснить, совместны или несовместны обозначенные события, зависимы они или независимы;

3) выразить сложное событие, о котором идет речь в вопросе задачи через обозначенные события;

4) выбрать формулу для вычисления нужной вероятности.

Пример 2.1. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранное изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий окажется: а) только одно изделие высшего сорта; б) только два изделия высшего сорта; в) все три изделия высшего сорта.

Пример 2.2.Студент выучил 20 вопросов из 30. Для сдачи зачета необходимо ответить хотя бы на два вопроса из трех заданных. Какова вероятность того, что студент сдаст зачет

совместные и зависимые;

Слагаемые в этом выражении совместны. Запишем это же событие иначе, чтобы слагаемые были несовместны

Тогда будем иметь по теореме сложения несовместных событий и теореме умножения зависимых событий

Пример 2.3. На трех этапах подготовки прибора к работе вероятности появления независимых друг от друга задержек соответственно равны 0,1; 0,06; 0,05. Какова вероятность подготовки изделия к работе без задержек

совместны и независимы;

и по теореме умножения независимых событий

Пример 2. 4. Производится наблюдение за группой состоящей из трех одинаковых объектов. Вероятности обнаружения первого, второго и третьего объектов соответственно равны 0,6 0,8 и 0,7. Найти вероятность того, что обнаружен хотя бы один объект

По формуле вычисления вероятности появления хотя бы одного события

Пример 2.5 Над изготовлением изделия работают трое рабочих. Качество изделия при передаче следующему рабочему не проверяется. Вероятности того, что первый, второй и третий рабочий допустят брак, соответственно равны 0,2; 0,15; 0,1. Найти вероятность изготовления изделия без брака

Независимые и зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.

Прежде чем познакомиться с теоремой, введем сопутствующие понятия: зависимые и независимые события. Рассмотрим примеры:

а) Два спортсмена стреляют по мишени. Событие А- попал первый стрелок, вероятность появления этого события Р(А) , В- попал второй стрелок, вероятность Р(В). Появление или не появление события, например, А не повлияет на вероятность появления события В.

б) Бросают два одинаковых кубика. Событие С- выпало 2 очка на первом кубике, вероятность этого события Р(С). Событие Д- 3 очка на втором кубике, вероятность – Р(Д). Появление события Д не повлияет на вероятность появления события С.

В данных примерах описаны независимые события.

Два события А и В называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Рассмотрим другой пример:

В урне 2 белых и 2 черных шара. Событие А- вынут 1 белый шар, событие В- вынут 1 черный шар.

Вероятность их появления при испытании- из урны наудачу вынут один шар, одинакова и равна 1/2. Рассмотрим событие: первым вынут белый шар, т.е. происходит событие А, его вероятность 1/2, затем возвращается в урну и вторым вынимают черный шар, т.е. происходит событие В. Найдем вероятность события В в такой ситуации : Р(В)=2/4=1/2. Итак, появление события А не изменило появление события В.

Теперь изменим условия: вынутый первым белый шар не будем возвращать в урну, тогда вероятность события В будет равна Р(В)=2/3, сравнивая результаты 1/2 и 2/3 можно сделать вывод, что появление события А изменило вероятность появления события В. Такие события называются зависимыми , а вероятность события В, в данном случае называется условной вероятностью и обозначается РА(В), т.е. вероятность события В при условии, что А произошло.

События А и В называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Условной вероятностью РА(В) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже произошло.

Теперь познакомимся с теоремами, которые позволяют вычислить вероятность совместного появления двух событий. В первой теореме речь идет о зависимых событиях, во второй- о независимых.

Теорема1: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое уже произошло, т.е. Р(АВ)= Р(А)РА(В).

Пусть в результате опыта возможны N исходов, из них М благоприятствуют появлению события А, их этихМ- К исходов благоприятствуют событию В. Одновременному появлению событий А и В благоприятствуют L исходов из К. . По классической формуле имеем: Р(АВ)=L/N. Умножим и разделим на М:

Первая дробь- вероятность наступления события А, вторая- вероятность события В, при условии, что А уже произошло, т.е. условная вероятность события В, что и требовалось доказать.

Теорема2: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Т.к. события независимые, то верно равенство РА(В)=Р(В), тогда получим Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Справедлива обратная теорема:

Если для событий А и В выполняется равенство Р(АВ)=Р(А)Р(В), то эти события независимы.

Пример1. По мишени стреляют три стрелка. Вероятности попадания соответственно равны 0,7; 0,8 и 0,9. Найти вероятность того, что попадут все три.

Пусть событие А- попал 1-й, В- 2-й и С-3-й. Эти события независимые, тогда применяя соответствующую теорему получим, что вероятность совместного появления всех трех событий равна: Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С)= 0,7·0,8·0,9=0,504.

Пример2. В урне находятся 3 белых, 2 черных и 4 синих шара. Какова вероятность того, что первым будет вынут белый шар, вторым- синий, третьим- черный. Шары не возвращаются.

Решение: Пусть события: А- вынут белый шар, В- вынут синий, С- черный. Вероятность, что первым вынут белый равна

Событие В происходит после события А, при этом условия меняются- общее количество шаров уменьшилось и стало равно 8, поэтому события А и В зависимые и речь идет об условной вероятности события В: РА(В)=4/8=1/2. Событие С происходит после событий А и В , поэтому вероятность его тоже условная Р (АВ – внизу)(С)=2/7. Вероятность же их совместного появления :

CFA – Оценка вероятности независимых и зависимых событий

Рассмотрим концепции независимости и зависимости событий, широко применяющиеся при прогнозировании доходности активов и анализе эффективности вложений на основе прошлых результатов, – в рамках изучения количественных методов по программе CFA.

Большой интерес для инвестиционных аналитиков представляют концепции независимости и зависимости событий.

Эти концепции касаются основных инвестиционных вопросов, связанных с тем, какие финансовые показатели полезны для инвестиционного анализа, можно ли прогнозировать доходность активов и можно ли выбирать лучших управляющих инвестициями на основе их прошлых результатов.

Два события являются независимыми, если возникновение одного события не влияет на вероятность возникновения другого события.

Определение независимых событий.

Два события ( A ) и ( B ) являются независимыми (англ. ‘independent events’), только в том случае, если ( P(A|B) = P(A) ) или, что то же самое, если ( P(B|A) = P(B) ).

Если два события не являются независимыми, они зависимы (англ. ‘dependent events’): вероятность возникновения одного связана с возникновением другого.

Если мы пытаемся прогнозировать одно событие, информация о зависимом событии может быть полезной, но информация о независимом событии будет бесполезна.

Когда два события независимы, правило умножения для вероятностей, представленное Формулой 2, упрощается, потому что тогда ( P(A|B) ) в этом уравнении равно ( P(A) ).

Правило умножения для независимых событий.

Когда два события независимы, совместная вероятность событий ( A ) и ( B ) равна произведению отдельных вероятностей событий ( A ) и ( B ).

( large P(AB) = P(A)P(B) ) (Формула 4)

Поэтому, если нас интересуют два независимых события с вероятностями 0.75 и 0.50 соответственно, вероятность того, что оба события произойдут, равна 0.375 = 0.75(0.50).

Правило умножения для независимых событий обобщается до более чем двух событий; например, если события (A), (B) и (C) являются независимыми событиями, то:

Пример (4). Прибыль на акцию BankCorp.

В качестве аналитика банковской отрасли вы создаете модели для прогнозирования прибыли на акцию (EPS) банков отрасли. Сегодня вы изучаете BankCorp.

Исторические данные показывают, что в 55% последних кварталов EPS BankCorp увеличивалась последовательно, а в 45% кварталов EPS снижалась или оставалась неизменной последовательно.

Последовательные сравнения (англ. ‘sequential comparison’) квартальных EPS – это сравнение EPS данного квартала с непосредственным предыдущим кварталом. Последовательное сравнение отличается от сравнения с тем же кварталом год назад (еще один частый тип сравнения).

На этом этапе вашего анализа вы предполагаете, что изменения в последовательных EPS независимы.

Прибыль на акцию за 2 квартал 2014 года была выше прибыли на акцию за 1 квартал 2014 года.

  1. Какова вероятность того, что EPS 3-го квартала будет больше EPS 2-го квартала (положительное изменение в последовательных EPS)?
  2. Какова вероятность того, что EPS уменьшится или останется неизменным в следующие 2 квартала?

Решение для части 1:

Исходя из предположения о независимости событий, вероятность того, что EPS за 3 квартал будет больше, чем EPS за 2 квартал, является безусловной вероятностью положительных изменений, равной 0.55.

Тот факт, что EPS за 2 квартал была больше, чем EPS за 1 квартал, не является полезной информацией, поскольку следующее изменение в EPS не зависит от предыдущих изменений.

Решение для части 2:

Вероятность составляет 0.2025 = 0.45(0.45).

В следующем примере показано, насколько сложно соблюсти набор независимых критериев, даже если каждый критерий сам по себе необязательно является строгим.

Пример (5) отбора акций для инвестиций.

Вы разработали схему отбора акций (англ. ‘stock screen’) – набор критериев для выбора акций.

Ваше инвестиционное поле (набор ценных бумаг, из которых вы делаете свой выбор, англ. ‘investment universe’) – это Russell 1000 Index, индекс 1000 акций американских компаний с большой капитализацией.

Ваши критерии отражают различные аспекты проблемы выбора. Вы считаете, что критерии независимы друг от друга, при близком приближении.

Фракция индекса Russell 1000,
соответствующая критерию

Первый критерий оценки

Второй критерий оценки

Критерий охвата аналитика

Критерий рентабельности компании

Критерий финансовой устойчивости компании

Сколько акций, по вашим ожиданиям, пройдут отбор?

Только 23 акции из 1000 соответствуют набору критериев.

Если вы определяете 5 перечисленных в таблице событий (скажем, события (A), (B), (C), (D) и (E) соответственно), – тогда вероятность того, что акция будет соответствовать всем пяти критериям независимо, равна:

Хотя только один из пяти критериев является хотя бы умеренно строгим (самый строгий пропускает 25% акций), вероятность того, что акция может пройти все 5, составляет всего 0.023031, или около 2%.

Размер перечня возможных инвестиций составляет:

0.023031(1,000) = 23.031, или 23 акции.

Область, представляющая большой интерес для управляющих инвестициями и их клиентов, заключается в том, полезны ли записи о прошлых результатах в выявлении постоянных выигрышных и проигрышных управляющих.

В следующем примере показано, как эта проблема связана с концепцией независимости событий.

Пример (6). Условные вероятности и предсказуемость результатов взаимного фонда.

Цель исследования Vidal-Garcia (2013), представленного в Примере (2), состояла в том, чтобы решить вопрос о постоянных выигрышных и проигрышных инвестиционных фондах.

Если статус фонда как выигрышного или проигрышного в течение одного года не зависит от того, будет ли он выигрышным в следующем году, практическая ценность такого рейтинга эффективности сомнительна.

Используя четыре события, определенные в Примере 2, в качестве базовых блоков, мы можем определить следующие события для решения проблемы предсказуемости работы взаимных фондов:

  • Фонд – выигрышный в 1-м году И фонд – выигрышный во 2-м году.
  • Фонд – выигрышный в 1-м году И фонд – проигрышный во 2-м году.
  • Фонд – проигрышный в 1-м году И фонд – выигрышный во 2-м году.
  • Фонд – проигрышный в 1-м году И фонд – проигрышный во 2-м году.

В части 4 примера 2 вы рассчитали, что:

P(Фонд – проигрышный во 2 году И Фонд – проигрышный в 1 году) = 0.423.

Если рейтинг в одном году не зависит от рейтинга в следующем году, какое значение вероятности события P(Фонд – проигрышный во 2 году И Фонд – проигрышный в 1 году) вы ожидаете?

Интерпретируйте эмпирическую вероятность 0,423.

По правилу умножения для независимых событий,

P(Фонд – проигрышный во 2 году И Фонд – проигрышный в 1 году) = P (Фонд – проигрышный во 2 году) P (Фонд – проигрышный в 1 году).

Поскольку 50% фондов классифицируются как проигрышные в каждом году, безусловная вероятность того, что фонд будет отмечен как проигрышный в любом году, составляет 0.50.

P (Фонд – проигрышный во 2 году) P (Фонд – проигрышный в 1 году) = 0.50(0.50) = 0.25.

Если статус фонда как проигрышного в течение одного года не зависит от того, является ли он проигрышным в предыдущем году, мы заключаем, что

P(Фонд – проигрышный во 2 году И Фонд – проигрышный в 1 году) = 0,25.

Это априорная вероятность, потому что она вытекает из рассуждений о проблеме.

Вы также можете обосновать, что 4 события, описанные выше, определяют категории и что если фонды случайным образом распределить по четырем категориям, существует вероятность, равная 1/4 на то, что фонд окажется проигрышным в 1 году и во 2 году.

Если бы классификации в 1-м и 2-м годах были зависимыми, распределение фондов по категориям не было бы случайным. Эмпирическая вероятность 0.423 выше 0,25.

Является ли эта очевидная предсказуемость результатом случайности?

Тест, проведенный Vidal-Garcia, показал, что вероятность наблюдения представленных данных, если бы рейтинги 1-го и 2-го года были независимыми, составляла менее 1%.

Что такое зависимые и независимые события

Суммой $A+B$ событий $A$ и $B$ называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них, то есть могут появиться либо только событие $A$, либо только событие $B$, либо события $A$ и $B$ одновременно.

Пример 21. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Событие $A=$ , событие $B=$ . Тогда сумма $A+B$ событий $A$ и $B$ — это попадание в мишень хотя бы одного из этих стрелков.

Пример 22. Подбрасывают две монеты. Событие $C=$ , событие $D=$ . Тогда сумма $C+D$ событий $C$ и $D$ — это появление хотя бы одного герба в двух бросаниях.

Пример 23. Из урны, в которой находятся белые и черные шары, вынимают два шара. Событие $E=$ , событие $F=$ . Тогда сумма $E+F$ событий $E$ и $F$ — это появление хотя бы одного черного шара.

Пример 24. Подбрасывают два раза кубик. Событие $G =$ , событие $H=$ . Тогда сумма $G+H$ событий $G$ и $H$ — это появление хотя бы одной единицы в двух бросаниях кубика.

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей: $Pleft(A+Bright)=Pleft(Aright)+Pleft(Bright)$, где $A$ и $B$ — несовместные события.

Замечание. Теорема верна и для $n$ попарно несовместных событий.

Произведением $AB$ событий $A$ и $B$ называется событие, состоящее в их одновременном появлении.

Пример 25. Произведение $AB$ событий $A$ и $B$ из примера 21 — это попадание в мишень обоих стрелков.

Пример 26. Произведение $CD$ событий $C$ и $D$ из примера 22 — это выпадение двух гербов.

Пример 27. Произведение $EF$ событий $E$ и $F$ из примера 23 — это то, что оба вынутых шара будут черного цвета.

Пример 28. Произведение $GN$ событий $G$ и $N$ — это выпадение двух единиц при двух бросаниях кубика.

Два события называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от появления или непоявления другого. Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от появления или непоявления другого.

Пример 29. Из урны, в которой находятся 8 белых и 12 черных шаров, последовательно вынимают два шара и обратно не возвращают. Событие $A=$ , событие $B=$ . Выясним, зависимы ли события $A$ и $B$.

Пусть произошло событие $A$, то есть 1-й вынутый шар черный. Тогда в урне осталось 19 шаров, из них 11 черных. Поэтому вероятность события $B$ равна $Pleft(Bright)=11/19$ (всего 19 вариантов, из них 11 благоприятствуют событию В).

Мы видим, что вероятность появления события $B$ зависит от появления или непоявления события $A$.

Теорема. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: $Pleft(ABright)=Pleft(Aright)Pleft(Bright)$, где $A$ и $B$ — независимые события.

Пример 30. Система, состоящая из двух работающих независимо друг от друга устройств, функционирует исправно только при одновременной работе этих устройств. Вероятности работы 1-го и 2-го устройств равны соответственно $0,8$ и $0,9$. Какова вероятность функционирования системы в целом?

Так как события $A$ и $B$ независимы (устройства работают независимо друг от друга), то $P$ $=Pleft(ABright)=Pleft(Aright)Pleft(Bright)=0,8times 0,9=0,72$.

Пример 31. Найдем вероятность выпадения двух единиц при двух бросаниях кубика.

$A$ и $B$ — независимые события, так как результаты при втором бросании кубика не зависят от того, что выпало при первом бросании. $Pleft(Aright)=Pleft(Bright)=1/6$. Тогда $Pleft(ABright)=Pleft(Aright)Pleft(Bright)=over >cdot over >=over >$.

Пример 32. По мнению экспертов, надежность предприятий $X$ и $Y$ равна соответственно $0,9$ и $0,7$. Предприятия $X$ и $Y$ функционируют независимо. Определим вероятность того, что оба предприятия не обанкротятся.

Так как события $A$ и $B$ независимы (предприятия $Х$ и $Y$ функционируют независимо), то $P$(оба предприятия не обанкротятся) $=Pleft(ABright)=Pleft(Aright)Pleft(Bright)=0,9cdot 0,7=0,63$.

Условной вероятностью $Pleft(B|Aright)$ называется вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ произошло. Тогда для зависимых событий $Pleft(B|Aright)ne Pleft(B|overlineright)$. Для независимых событий $Pleft(B|Aright)=Pleft(B|overlineright)=Pleft(Bright)$.

Пример 33. В примере 29 $Pleft(B|Aright)=$ $P$(2-й вынутый шар черный при условии, что 1-й вынутый шар черный) = $P$(2-й вынутый шар черный 1-й вынутый шар черный) $=11/19$.

Поэтому события $A$ и $B$ зависимы.

Теорема. Для зависимых событий $A$ и $B$ верно следующее: $Pleft(ABright)=Pleft(Aright)Pleft(B|Aright)$.

Пример 34. Вернемся к примерам 29 и 33. Найдем вероятность того, что из урны вынуты два черных шара, то есть найдем вероятность события $AB$. $P$(из урны вынуты два черных шара) $=Pleft(Aright)Pleft(B|Aright)=$ $P$(1-й вынутый шар черный)$times P$(2-й вынутый шар черный при условии, что 1-й вынутый шар черный) $=over >times over >=over >$.

Пример 35. Команде предстоит сыграть полуфинал и, возможно, финал. Вероятность победы в полуфинале сами игроки оценивают в $0,6$, а вероятность победы в финале (при условии победы в полуфинале) — в $0,5$. Какова вероятность, по мнению игроков, того, что команда станет чемпионом?

Событие $A=$ , событие $B=$ . Событие $=$ $=AB$. Тогда $Pleft(ABright)=Pleft(Aright)Pleft(B|Aright)=$ $P$(победа в полуфинале $times $ $P$(победа в финале при условии победы в полуфинале) $=0,6times 0,5=0,3$.

Пример 36. Вероятность получения патента равна $0,7$, а вероятность получения дохода в случае получения патента равна $0,8$. Определим вероятность получения дохода.

Нам известны вероятность $P$(получение патента) $=0,7$ и условная вероятность $P$(получение дохода в случае получения патента) $=0,8$. Тохда $P$(получение дохода) = $P$(получение патента)$times P$(получение дохода в случае получения патента) $0,7cdot 0,8=0,56$.

Теорема. Вероятность суммы двух совместных событий $A$ и $B$ равна сумме их вероятностей без учета вероятности произведения этих событий: $Pleft(A+Bright)=Pleft(Aright)+Pleft(Bright)-Pleft(ABright)$.

Если события $A$ и $B$ несовместны, то $AB$ — невозможное событие. Тогда $Pleft(ABright)=0$.

Пример 37. Найдем вероятность выпадения хотя бы одной единицы при двух бросаниях кубика в примере 31.

Артём Саннников

Пусть есть события A и B, у каждого события есть набор элементарных исходов. Пересечением событий A и B называют то событие, в результате которого произошло и событие A и событие B, то есть случился некоторый элементарный исход, который одновременно принадлежит и событию A и событию B.

События не пересекаются

Если у событий A и B нет пересечения (отсутствует элементарный исход), то такая вероятность равна нулю.

События пересекаются

Если события A и B пересекаются (имеют некоторое общее количество элементарных исходов), то вероятность этого пересечения нельзя рассчитать по какой-то универсальной формуле. Эту вероятность нужно подсчитывать, рассматривая общие элементарные исходы.

Объединение событий

Объединением событий A и B называют те события, в результате которых произошло или событие A, или событие B, то есть хотя бы одно из двух.

События не пересекаются

Если события A и B не пересекаются, то вероятность их объединения окажется равной = вероятность события P(A) + вероятность события P(B).

События пересекаются

Если события A и B пересекаются, то есть у них есть общие элементарные исходы, то вероятность их объединения окажется равной = вероятность события P(A) + вероятность события P(B) — вероятность пересечения событий P(A ∩ B)

Независимые события

События A и B независимы, если наступление одного события не влияет на другое событие.

Практический пример

Будем рассматривать пример с игральным кубиком, для простоты и анализа нашего эксперимента введём следующие обозначения:

  • 1 очко = ω1;
  • 2 очка = ω2;
  • 3 очка = ω3;
  • 4 очка = ω4;
  • 5 очков = ω5;
  • 6 очков = ω6.

Событие A: выпало > 3 очков

Событие B: выпало нечетное число очков

Чтобы приступить к решению задачи выполняем анализ событий.

Анализ события A: этому событию соответствует три элементарных исхода

Анализ события B: этому событию соответствует три элементарных исхода

После анализа событий приступаем к пошаговому решению.

Рассмотрим теперь пересечение события A и B , то есть у нас должно выпасть > 3 очков и при этом число должно быть нечётное. В этом случае у нас есть один элементарный исход: .

Отсюда мы можем посчитать вероятность этого события:

  • n – элементарный исход, который удовлетворяет нашим условиям;
  • N – общее количество исходов.

Далее рассмотрим объединение событий A и B . В данном случае у нас будет следующий набор элементарных условий

Обратите внимание: у нас отсутствует ω2, так как этот исход не фигурирует ни в событии A, ни в событии B.
Поэтому мы можем сказать, что вероятность объединения в этом случае будет:

По факту мы решили задачу , но мы можем её решить намного быстрее, если воспользуемся формулой, которую изучили ранее:

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Примеры решения задач



Образовательные онлайн сервисы: теория и практика

  • Главная
  • Примеры
    • Математический анализ
    • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
    • Линейная алгебра
    • Теория вероятностей и математическая статистика
    • Математическое программирование
      Методы оптимизации
    • Математика в экономике
      Экономическая статистика
  • Видео-уроки
    • Математический анализ
    • Векторная алгебра и Аналитическая геометрия
    • Линейная алгебра
    • Теория вероятностей и математическая статистика
    • Математическое программирование. Методы оптимизации
  • Готовые работы
    • Математический анализ
    • Векторная алгебра и аналитическая геометрия
    • Линейная алгебра
    • Теория вероятностей и математическая статистика
    • Математическое программирование
      Методы оптимизации
    • Математика в экономике
      Экономическая статистика
    • Другое
  • Контакты


Полезные материалы:

  • Учебники
  • Справочники
  • Онлайн калькуляторы
  • Помощь в решении
  • Онлайн занятия в Zoom

Теоремы сложения и умножения вероятностей

Основные понятия
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными.
Полной группой называют совокупность событий, объединение которых есть событие достоверное.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
События называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления других событий.
События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления других.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B),
где А, В — несовместные события.

Теорема сложения вероятностей совместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB), где А и В — совместные события.


Теорема умножения вероятностей независимых событий
,
где А и В независимые события.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Р(АВ)=Р(А)РA(B),
где РA(B) — вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В- зависимые события.

Задача 1.
Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности.
Решение.
Испытание — Производится два выстрела по мишени.
Событие А — оба раза промахнулся.
Событие В — попал один раз.
Событие С — оба раза попал.
.

Контроль: P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Задача 2.
Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер?
Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем:
Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Задача 3.
На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны?
Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ – внутри страны. Событие В – второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность  Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем

Задача 4.
Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранная вещь окажется высшего сорта равна, 0,8; первого сорта – 0,7; второго сорта – 0,5. Найти вероятность того, что из трех наудачу отобранных изделий будут:
а) только два высшего сорта;
б) все разные.
Решение. Пусть событие  — изделие высшего сорта; событие — изделие первого сорта; событие — изделие второго сорта.
По условию задачи ; ;  События — независимы.
а) Событие А – только два изделия высшего сорта будет выглядеть так тогда

б) Событие В – все три изделия различны — выразим так:, тогда .
Задача 5.
Вероятности  попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8;  p2=0,7;  p3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события  (попадание первого орудия),  (попадание второго орудия) и  (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям  (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

Искомая вероятность
Задача 6.
В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).
Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
Искомая вероятность . Задача 7. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей , из которых три в переплете . Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:
А1- первый взятый учебник в переплете;
A2- второй взятый учебник в переплете.
Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий: .
Вероятность наступления события А1  p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1 , т.е. (A2)==0,4.
Тогда искомая вероятность наступления события:
P(A)=0,5*0,4=0,2.



Задать вопрос
Заказать помощь

Отзывы

+7-911-7987704

vk.com/id286009794

Написать в Whatsapp

Написать в Viber

@matem96

Skype: matem96.ru



Теория умножения для зависимых событий. Операции над событиями. Правила сложения и умножения вероятностей

Заголовок выглядит страшновато, но в действительности всё очень просто. На данном уроке мы познакомимся с теоремами сложения и умножения вероятностей событий, а также разберём типовые задачи, которые наряду с задачей на классическое определение вероятности обязательно встретятся или, что вероятнее, уже встретились на вашем пути. Для эффективного изучения материалов этой статьи необходимо знать и понимать базовые термины теории вероятностей и уметь выполнять простейшие арифметические действия. Как видите, требуется совсем немного, и поэтому жирный плюс в активе практически гарантирован. Но с другой стороны, вновь предостерегаю от поверхностного отношения к практическим примерам – тонкостей тоже хватает. В добрый путь:

Теорема сложения вероятностей несовместных событий : вероятность появления одного из двух несовместных событий или (без разницы какого) , равна сумме вероятностей этих событий:

Аналогичный факт справедлив и для бОльшего количества несовместных событий, например, для трёх несовместных событий и :

Теорема-мечта =) Однако, и такая мечта подлежит доказательству, которое можно найти, например, в учебном пособии В.Е. Гмурмана.

Знакомимся с новыми, до сих пор не встречавшимися понятиями:

Зависимые и независимые события

Начнём с независимых событий. События являются независимыми , если вероятность наступления любого из них не зависит от появления/непоявления остальных событий рассматриваемого множества (во всех возможных комбинациях). …Да чего тут вымучивать общие фразы:

Теорема умножения вероятностей независимых событий : вероятность совместного появления независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий:

Вернёмся к простейшему примеру 1-го урока, в котором подбрасываются две монеты и следующим событиям:

– на 1-й монете выпадет орёл;
– на 2-й монете выпадет орёл.

Найдём вероятность события (на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл – вспоминаем, как читается произведение событий !) . Вероятность выпадения орла на одной монете никак не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события и независимы.

Аналогично:
– вероятность того, что на 1-й монете выпадет решка и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й решка;
– вероятность того, что на 1-й монете появится решка и на 2-й орёл.

Заметьте, что события образуют полную группу и сумма их вероятностей равна единице: .

Теорема умножения очевидным образом распространяется и на бОльшее количество независимых событий, так, например, если события независимы, то вероятность их совместного наступления равна: . Потренируемся на конкретных примерах:

Задача 3

В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.

Решение : вероятность извлечения стандартной или нестандартной детали из любого ящика не зависит от того, какие детали будут извлечены из других ящиков, поэтому в задаче речь идёт о независимых событиях. Рассмотрим следующие независимые события:

– из 1-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 2-го ящика извлечена стандартная деталь;
– из 3-го ящика извлечена стандартная деталь.

По классическому определению:
– соответствующие вероятности.

Интересующее нас событие (из 1-го ящика будет извлечена стандартная деталь и из 2-го стандартная и из 3-го стандартная) выражается произведением .

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что из трёх ящиков будет извлечено по одной стандартной детали.

Ответ : 0,504

После бодрящих упражнений с ящиками нас поджидают не менее интересные урны:

Задача 4

В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.

Опираясь на полученную информацию, догадайтесь, как разобраться с пунктом «бэ» 😉 Примерный образец решения оформлен в академичном стиле с подробной росписью всех событий.

Зависимые события . Событие называют зависимым , если его вероятность зависит от одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли. За примерами далеко ходить не надо – достаточно до ближайшего магазина:

– завтра в 19.00 в продаже будет свежий хлеб.

Вероятность этого события зависит от множества других событий: завезут ли завтра свежий хлеб, раскупят ли его до 7 вечера или нет и т.д. В зависимости от различных обстоятельств данное событие может быть как достоверным , так и невозможным . Таким образом, событие является зависимым .

Хлеба… и, как требовали римляне, зрелищ:

– на экзамене студенту достанется простой билет.

Если идти не самым первым, то событие будет зависимым, поскольку его вероятность будет зависеть от того, какие билеты уже вытянули однокурсники.

Как определить зависимость/независимость событий?

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще всего приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Чтобы не валить всё в одну кучу, задачам на зависимые события я выделю следующий урок, а пока мы рассмотрим наиболее распространённую на практике связку теорем:

Задачи на теоремы сложения вероятностей несовместных
и умножения вероятностей независимых событий

Этот тандем, по моей субъективной оценке, работает примерно в 80% задач по рассматриваемой теме. Хит хитов и самая настоящая классика теории вероятностей:

Задача 5

Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,6. Найти вероятность того, что:

а) только один стрелок попадёт в мишень;
б) хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Решение : вероятность попадания/промаха одного стрелка, очевидно, не зависит от результативности другого стрелка.

Рассмотрим события:
– 1-й стрелок попадёт в мишень;
– 2-й стрелок попадёт в мишень.

По условию: .

Найдём вероятности противоположных событий – того, что соответствующие стрелки промахнутся:

а) Рассмотрим событие: – только один стрелок попадёт в мишень. Данное событие состоит в двух несовместных исходах:

1-й стрелок попадёт и 2-й промахнётся
или
1-й промахнётся и 2-й попадёт.

На языке алгебры событий этот факт запишется следующей формулой:

Сначала используем теорему сложения вероятностей несовместных событий, затем – теорему умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что будет только одно попадание.

б) Рассмотрим событие: – хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Прежде всего, ВДУМАЕМСЯ – что значит условие «ХОТЯ БЫ ОДИН»? В данном случае это означает, что попадёт или 1-й стрелок (2-й промахнётся) или 2-й (1-й промахнётся) или оба стрелка сразу – итого 3 несовместных исхода.

Способ первый : учитывая готовую вероятность предыдущего пункта, событие удобно представить в виде суммы следующих несовместных событий:

попадёт кто-то один (событие , состоящее в свою очередь из 2 несовместных исходов) или
попадут оба стрелка – обозначим данное событие буквой .

Таким образом:

По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что 1-й стрелок попадёт и 2-й стрелок попадёт.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность хотя бы одного попадания по мишени.

Способ второй : рассмотрим противоположное событие: – оба стрелка промахнутся.

По теореме умножения вероятностей независимых событий:

В результате:

Особое внимание обратите на второй способ – в общем случае он более рационален.

Кроме того, существует альтернативный, третий путь решения, основанный на умолчанной выше теореме сложения совместных событий.

! Если вы знакомитесь с материалом впервые, то во избежание путаницы, следующий абзац лучше пропустить.

Способ третий : события совместны, а значит, их сумма выражает событие «хотя бы один стрелок попадёт в мишень» (см. алгебру событий ). По теореме сложения вероятностей совместных событий и теореме умножения вероятностей независимых событий:

Выполним проверку: события и (0, 1 и 2 попадания соответственно) образуют полную группу, поэтому сумма их вероятностей должна равняться единице:
, что и требовалось проверить.

Ответ :

При основательном изучении теории вероятностей вам встретятся десятки задач милитаристского содержания, и, что характерно, после этого никого не захочется пристрелить – задачи почти подарочные. А почему бы не упростить ещё и шаблон? Cократим запись:

Решение : по условию: , – вероятность попадания соответствующих стрелков. Тогда вероятности их промаха:

а) По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что только один стрелок попадёт в мишень.

б) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что оба стрелка промахнутся.

Тогда: – вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в мишень.

Ответ :

На практике можно пользоваться любым вариантом оформления. Конечно же, намного чаще идут коротким путём, но не нужно забывать и 1-й способ – он хоть и длиннее, но зато содержательнее – в нём понятнее, что, почему и зачем складывается и умножается. В ряде случаев уместен гибридный стиль, когда прописными буквами удобно обозначить лишь некоторые события.

Похожие задачи для самостоятельного решения:

Задача 6

Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих дат­чика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:

а) оба датчика откажут;
б) оба датчика сработают.
в) Пользуясь теоремой сложения вероятностей событий, образующих полную группу , найти вероятность того, что при пожаре сработает только один датчик. Проверить результат прямым вычислением этой вероятности (с помощью теорем сложения и умножения) .

Здесь независимость работы устройств непосредственно прописана в условии, что, кстати, является важным уточнением. Образец решения оформлен в академичном стиле.

Как быть, если в похожей задаче даны одинаковые вероятности, например, 0,9 и 0,9? Решать нужно точно так же! (что, собственно, уже продемонстрировано в примере с двумя монетами)

Задача 7

Вероятность поражения цели первым стрелком при одном выстреле равна 0,8. Вероятность того, что цель не поражена после выполнения первым и вторым стрелками по одному выстрелу равна 0,08. Какова вероятность поражения цели вторым стрелком при одном выстреле?

А это небольшая головоломка, которая оформлена коротким способом. Условие можно переформулировать более лаконично, но переделывать оригинал не буду – на практике приходится вникать и в более витиеватые измышления.

Знакомьтесь – он самый, который настрогал для вас немереное количество деталей =):

Задача 8

Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок потребует настройки, равна 0,3, второй – 0,75, третий – 0,4. Найти вероятность того, что в течение смены:

а) все станки потребуют настройки;
б) только один станок потребует настройки;
в) хотя бы один станок потребует настройки.

Решение : коль скоро в условии ничего не сказано о едином технологическом процессе, то работу каждого станка следует считать не зависимой от работы других станков.

По аналогии с Задачей №5, здесь можно ввести в рассмотрение события , состоящие в том, что соответствующие станки потребуют настройки в течение смены, записать вероятности , найти вероятности противоположных событий и т.д. Но с тремя объектами так оформлять задачу уже не очень хочется – получится долго и нудно. Поэтому здесь заметно выгоднее использовать «быстрый» стиль:

По условию: – вероятности того, что в течение смены соответствующие станки потребуют настойки. Тогда вероятности того, что они не потребуют внимания:

Один из читателей обнаружил тут прикольную опечатку, даже исправлять не буду =)

а) По теореме умножения вероятностей независимых событий:
– вероятность того, что в течение смены все три станка потребуют настройки.

б) Событие «В течение смены только один станок потребует настройки» состоит в трёх несовместных исходах:

1) 1-й станок потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок не потребует
или :
2) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок потребует и 3-й станок не потребует
или :
3) 1-й станок не потребует внимания и 2-й станок не потребует и 3-й станок потребует .

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей независимых событий:

– вероятность того, что в течение смены только один станок потребует настройки.

Думаю, сейчас вам должно быть понятно, откуда взялось выражение

в) Вычислим вероятность того, что станки не потребуют настройки, и затем – вероятность противоположного события:
– того, что хотя бы один станок потребует настройки.

Ответ :

Пункт «вэ» можно решить и через сумму , где – вероятность того, что в течение смены только два станка потребуют настройки. Это событие в свою очередь включает в себя 3 несовместных исхода, которые расписываются по аналогии с пунктом «бэ». Постарайтесь самостоятельно найти вероятность , чтобы проверить всю задачу с помощью равенства .

Задача 9

Из трех орудий произвели залп по цели. Вероятность попадания при одном выстреле только из первого орудия равна 0,7, из второго – 0,6, из третьего – 0,8. Найти вероятность того, что: 1) хотя бы один снаряд попадет в цель; 2) только два снаряда попадут в цель; 3) цель будет поражена не менее двух раз.

Решение и ответ в конце урока.

И снова о совпадениях: в том случае, если по условию два или даже все значения исходных вероятностей совпадают (например, 0,7; 0,7 и 0,7), то следует придерживаться точно такого же алгоритма решения.

В заключение статьи разберём ещё одну распространённую головоломку:

Задача 10

Стрелок попадает в цель с одной и той же вероятностью при каждом выстреле. Какова эта вероятность, если вероятность хотя бы одного попадания при трех выстрелах равна 0,973.

Решение : обозначим через – вероятность попадания в мишень при каждом выстреле.
и через – вероятность промаха при каждом выстреле.

И таки распишем события:
– при 3 выстрелах стрелок попадёт в мишень хотя бы один раз;
– стрелок 3 раза промахнётся.

По условию , тогда вероятность противоположного события:

С другой стороны, по теореме умножения вероятностей независимых событий:

Таким образом:

– вероятность промаха при каждом выстреле.

В результате:
– вероятность попадания при каждом выстреле.

Ответ : 0,7

Просто и изящно.

В рассмотренной задаче можно поставить дополнительные вопросы о вероятности только одного попадания, только двух попаданий и вероятности трёх попаданий по мишени. Схема решения будет точно такой же, как и в двух предыдущих примерах:

Однако принципиальное содержательное отличие состоит в том, что здесь имеют место повторные независимые испытания , которые выполняются последовательно, независимо друг от друга и с одинаковой вероятностью исходов.

Учреждение образования «Белорусская государственная

сельскохозяйственная академия»

Кафедра высшей математики

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ПОВТОРНЫЕ НЕЗАВИСИМЫЕ ИСПЫТАНИЯ

Лекция для студентов землеустроительного факультета

заочной формы обучения

Горки, 2012

Сложение и умножение вероятностей. Повторные

независимые испытания

    Сложение вероятностей

Суммой двух совместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В . Аналогично суммой нескольких совместных событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Суммой двух несовместных событий А и В называется событие С , состоящее в наступлении или события А , или события В . Аналогично суммой нескольких несовместных событий называется событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.

Справедлива теорема сложения вероятностей несовместных событий: вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий , т.е. . Эту теорему можно распространить на любое конечное число несовместных событий.

Из данной теоремы следует:

сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице;

сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.
.

Пример 1 . В ящике находятся 2 белых, 3 красных и 5 синих шара. Шары перемешивают и наугад извлекают один. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

Решение . Обозначим события:

A ={извлечён цветной шар};

B ={извлечён белый шар};

C ={извлечён красный шар};

D ={извлечён синий шар}.

Тогда A = C + D . Так как события C , D несовместны, то воспользуемся теоремой сложения вероятностей несовместных событий: .

Пример 2 . В урне находятся 4 белых шара и 6 – чёрных. Из урны наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что все они одного цвета?

Решение . Обозначим события:

A ={вынуты шары одного цвета};

B ={вынуты шары белого цвета};

C ={вынуты шары чёрного цвета}.

Так как A = B + C и события В и С несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий
. Вероятность событияВ равна
, где
4,

. Подставим k и n в формулу и получим
Аналогично найдём вероятность событияС :
, где
,
, т.е.
. Тогда
.

Пример 3 . Из колоды в 36 карт наугад вынимают 4 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется не менее трёх тузов.

Решение . Обозначим события:

A ={среди вынутых карт не менее трёх тузов};

B ={среди вынутых карт три туза};

C ={среди вынутых карт четыре туза}.

Так как A = B + C , а события В и С несовместны, то
. Найдём вероятности событийВ и С :


,
. Следовательно, вероятность того, что среди вынутых карт не менее трёх тузов, равна

0.0022.

    Умножение вероятностей

Произведением двух событий А и В называется событие С , состоящее в совместном наступлении этих событий:
. Это определение распространяется на любое конечное число событий.

Два события называются независимыми , если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло другое событие или нет. События ,, … ,называютсянезависимыми в совокупности , если вероятность наступления каждого из них не зависит от того, произошли или не произошли другие события.

Пример 4 . Два стрелка стреляют по цели. Обозначим события:

A ={первый стрелок попал в цель};

B ={второй стрелок попал в цель}.

Очевидно, что вероятность попадания в цель первым стрелком не зависит от того, попал или не попал второй стрелок, и наоборот. Следовательно, события А и В независимы.

Справедлива теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий : .

Эта теорема справедлива и для n независимых в совокупности событий: .

Пример 5 . Два стрелка стреляют по одной цели. Вероятность попадания первого стрелка равна 0.9, а второго – 0.7. Оба стрелка одновременно делают по одному выстрелу. Определить вероятность того, что будут иметь место два попадания в цель.

Решение . Обозначим события:

A

B

C ={оба стрелка попадут в цель}.

Так как
, а событияА и В независимы, то
, т.е..

События А и В называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое событие или нет. Вероятность наступления события А при условии, что событие В уже наступило, называется условной вероятностью и обозначается
или
.

Пример 6 . В урне находятся 4 белых и 7 чёрных шаров. Из урны извлекаются шары. Обозначим события:

A ={извлечён белый шар} ;

B ={извлечён чёрный шар}.

Перед началом извлечения шаров из урны
. Из урны извлекли один шар и он оказался чёрным. Тогда вероятность событияА после наступления события В будет уже другой, равной . Это означает, что вероятность событияА зависит от события В , т.е. эти события будут зависимыми.

Справедлива теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило , т. е. или.

Пример 7 . В урне находятся 4 белых шара и 8 красных. Из неё наугад последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут чёрными.

Решение . Обозначим события:

A ={первым извлечён чёрный шар};

B ={вторым извлечён чёрный шар}.

События А и В зависимы, так как
, а
. Тогда
.

Пример 8 . Три стрелка стреляют по цели независимо друг от друга. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.5, для второго – 0.6 и для третьего – 0.8. Найти вероятность того, что произойдут два попадания в цель, если каждый стрелок сделает по одному выстрелу.

Решение . Обозначим события:

A ={произойдут два попадания в цель};

B ={первый стрелок попадёт в цель};

C ={второй стрелок попадёт в цель};

D ={третий стрелок попадёт в цель};

={первый стрелок не попадёт в цель};

={второй стрелок не попадёт в цель};

={третий стрелок не попадёт в цель}.

По условию примера
,
,
,

,
,
. Так как, то используя теорему сложения вероятностей несовместных событий и теорему умножения вероятностей независимых событий, получим:

Пусть события
образуют полную группу событий некоторого испытания, а событииА может наступить только с одним из этих событий. Если известны вероятности и условные вероятностисобытияА , то вероятность события А вычисляется по формуле:

или
. Эта формула называетсяформулой полной вероятности , а события
гипотезами .

Пример 9 . На сборочный конвейер поступает 700 деталей с первого станка и 300 деталей со второго. Первый станок даёт 0.5% брака, а второй – 0.7%. Найти вероятность того, что взятая деталь будет бракованной.

Решение . Обозначим события:

A ={взятая деталь будет бракованной};

={деталь изготовлена на первом станке};

={деталь изготовлена на втором станке}.

Вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, равна
. Для второго станка
. По условию вероятность получения бракованной детали, изготовленной на первом станке, равна
. Для второго станка эта вероятность равна
. Тогда вероятность того, что взятая деталь будет бракованной, вычисляется по формуле полной вероятности

Если известно, что в результате испытания наступило некоторое событие А , то вероятность того, что это событие наступило с гипотезой
, равна
, где
— полная вероятность событияА . Эта формула называется формулой Байеса и позволяет вычислять вероятности событий
после того, как стало известно, что событиеА уже наступило.

Пример 10 . Однотипные детали к автомобилям производятся на двух заводах и поступают в магазин. Первый завод производит 80% общего количества деталей, а второй – 20%. Продукция первого завода содержит 90% стандартных деталей, а второго – 95%. Покупатель купил одну деталь и она оказалась стандартной. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена на втором заводе.

Решение . Обозначим события:

A ={куплена стандартная деталь};

={деталь изготовлена на первом заводе};

={деталь изготовлена на втором заводе}.

По условию примера
,
,
и
. Вычислим полную вероятность событияА : 0.91. Вероятность того, что деталь изготовлена на втором заводе, вычислим по формуле Байеса:

.

Задания для самостоятельной работы

    Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.8, для второго – 0.7 и для третьего – 0.9. Стрелки произвели по одному выстрелу. Найти вероятность того, что имеет место не менее двух попаданий в цель.

    В ремонтную мастерскую поступило 15 тракторов. Известно, что 6 из них нуждаются в замене двигателя, а остальные – в замене отдельных узлов. Случайным образом отбираются три трактора. Найти вероятность того, что замена двигателя необходима не более, чем двум отобранным тракторам.

    На железобетонном заводе изготавливают панели, 80% из которых – высшего качества. Найти вероятность того, что из трёх наугад выбранных панелей не менее двух будут высшего сорта.

    Три рабочих собирают подшипники. Вероятность того, что подшипник, собранный первым рабочим, высшего качества, равна 0.7, вторым – 0.8 и третьим – 0.6. Для контроля наугад взято по одному подшипнику из собранных каждым рабочим. Найти вероятность того, что не менее двух из них будут высшего качества.

    Вероятность выигрыша по лотерейному билету первого выпуска равна 0.2, второго – 0.3 и третьего – 0.25. Имеются по одному билету каждого выпуска. Найти вероятность того, что выиграет не менее двух билетов.

    Бухгалтер выполняет расчёты, пользуясь тремя справочниками. Вероятность того, что интересующие его данные находятся в первом справочнике, равна 0.6, во втором – 0.7 ив третьем – 0.8. Найти вероятность того, что интересующие бухгалтера данные содержатся не более, чем в двух справочниках.

    Три автомата изготавливают детали. Первый автомат изготавливает деталь высшего качества с вероятностью 0.9, второй – с вероятностью 0.7 и третий – с вероятностью 0.6. Наугад берут по одной детали с каждого автомата. Найти вероятность того, что среди них не менее двух высшего качества.

    На двух станках обрабатываются однотипные детали. Вероятность изготовления нестандартной детали для первого станка равна 0.03, в для второго – 0.02. Обработанные детали складываются в одном месте. Среди них 67% с первого станка, а остальные – со второго. Наугад взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что она изготовлена на первом станке.

    В мастерскую поступили две коробки однотипных конденсаторов. В первой коробке было 20 конденсаторов, из которых 2 неисправных. Во второй коробки 10 конденсаторов, из которых 3 неисправных. Конденсаторы были переложены в один ящик. Найти вероятность того, что наугад взятый из ящика конденсатор окажется исправным.

    На трёх станках изготавливают однотипные детали, которые поступают на общий конвейер. Среди всех деталей 20% с первого автомата, 30% — со второго и 505 – с третьего. Вероятность изготовления стандартной детали на первом станке равна 0.8, на втором – 0.6 и на третьем – 0.7. Взятая деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, эта деталь изготовлена на третьем станке.

    Комплектовщик получает для сборки 40% деталей с завода А , а остальные – с завода В . Вероятность того, что деталь с завода А – высшего качества, равна 0.8, а с завода В – 0.9. Комплектовщик наугад взял одну деталь и она оказалась не высшего качества. Найти вероятность того, что эта деталь с завода В .

    Для участия в студенческих спортивных соревнованиях выделено 10 студентов из первой группы и 8 – из второй. Вероятность того, что студент из первой группы попадёт в сборную академии, равна 0.8, а со второй – 0.7. Наугад выбранный студент попал в сборную. Найти вероятность того, что он из первой группы.

    Формула Бернулли

Испытания называются независимыми , если при каждом из них событие А наступает с одной и той же вероятностью
, не зависящей от того, появилось или не появилось это событие в других испытаниях. Вероятность противоположного событияв этом случае равна
.

Пример 11 . Бросается игральный кубик n раз. Обозначим событие A ={выпадение трёх очков}. Вероятность наступления события А в каждом испытании равна и не зависит от того, произошло или не произошло это событие в других испытаниях. Поэтому эти испытания являются независимыми. Вероятность противоположного события
{не выпадение трёх очков} равна
.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события А равна p , событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), вычисляется по формуле
, где
. Эта формула называетсяформулой Бернулли и удобна она в том случае, если число испытаний n не слишком велико.

Пример 12 . Доля плодов, заражённых болезнью в скрытой форме, составляет 25%. Случайным образом отбирается 6 плодов. Найти вероятность того, что среди выбранных окажется: а) ровно 3 заражённых плода; б) не более двух заражённых плодов.

Решение . По условию примера .

а) По формуле Бернулли вероятность того, что среди шести отобранных плодов заражёнными окажутся ровно три, равна




0.132.

б) Обозначим событие A ={заражённых будет не более двух плодов}. Тогда . По формуле Бернулли:

0.297.

Следовательно,
0.178+0.356+0.297=0.831.

    Теоремы Лапласа и Пуассона

По формуле Бернулли находится вероятность того, что событие А наступит k раз в n независимых испытаниях и в каждом испытании вероятность события А постоянна. При больших значениях n вычисления по формуле Бернулли становятся трудоёмкими. В этом случае для вычисления вероятности события А целесообразнее использовать другую формулу.

Локальная теорема Лапласа . Пусть вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при достаточно большом числе n испытаний, вычисляется по формуле

, где
, а значения функции
приведены в таблице.

Основными свойствами функции
являются:

Функция
определена и непрерывна в интервале
.

Функция
положительна, т.е.
>0.

Функция
чётная, т.е.
.

Так как функция
чётная, то в таблице приведены её значения только для положительных значенийх .

Пример 13 . Всхожесть семян пшеницы составляет 80%. Для опыта отбирается 100 семян. Найти вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90.

Решение . По условию примера n =100, k =90, p =0.8, q =1-0.8=0.2. Тогда
. По таблице найдём значение функции
:
. Вероятность того, что из отобранных семян взойдут ровно 90, равна
0.0044.

При решении практических задач возникает необходимость найти вероятность наступления события А при n независимых испытаниях не менее раз и не болеераз. Такая задача решается с помощьюинтегральной теоремы Лапласа : Пусть вероятность p наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и отлична от нуля и единицы. Тогда вероятность того, что событие наступит не менее раз и не болеераз при достаточно большом числе испытаний, вычисляется по формуле

Где
,
.

Функция
называетсяфункцией Лапласа и не выражается через элементарные функции. Значения этой функции приведены в специальных таблицах.

Основными свойствами функции
являются:


.

Функция
возрастает в интервале
.


при
.

Функция
нечётная, т.е.
.

Пример 14 . Предприятие выпускает продукцию, из которой 13% не высшего качества. Определить вероятность того, что в непроверенной партии из 150 единиц продукции высшего качества будет не менее 125 и не более 135.

Решение . Обозначим . Вычислим
,

Сложение и умножение вероятностей. В этой статье речь пойдёт о решении задач по теории вероятностей. Ранее мы с вами уже разбирали некоторые простейшие задания, для их решения достаточно знать и понимать формулу (советую повторить).

Есть тины задачи немного сложнее, для их решения необходимо знать и понимать: правило сложения вероятностей, правило умножения вероятностей, понятия зависимые и независимые события, противоположные события, совместные и несовместные события. Не пугайтесь определений, все просто)). В этой статье мы с вами именно такие задачи и рассмотрим.

Немного важной и простой теории:

несовместными , если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Классический пример: при бросании игральной кости (кубика) может выпасть только единица, либо только двойка, либо только тройка и т.д. Каждое из этих событий несовместно с другими и совершение одного из них исключает совершение другого (в одном испытании). Тоже самое с монетой — выпадение «орла» исключает возможность выпадение «решки».

Также это относится и к более сложным комбинациям. Например, горят две лампы освещения. Каждая из них может перегореть или не перегореть в течение какого-то времени. Существую варианты:

  1. Перегорает первая и перегорает вторя
  2. Перегорает первая и не перегорает вторая
  3. Не перегорает первая и перегорает вторая
  4. Не перегорает первая и перегорает вторая.

Все эти 4 варианта событий несовместны — они вместе произойти просто не могут и никакое из них с любым другим…

Определение: События называются совместными , если появление одного из них не исключает появление другого.

Пример: из колоды карт будет взята дама и из колоды карт будет взята карта пик. Рассматриваются два события. Данные события не исключают друг друга — можно вытащить даму пик и, таким образом, произойдут оба события.

О сумме вероятностей

Суммой двух событий А и В называется событие А+В, которое состоит в том, что наступит или событие А или событие В или оба одновременно.

Если происходят несовместные события А и В, то вероятность суммы данных событий равна сумме вероятностей событий:


Пример с игральной костью:

Бросаем игральную кость. Какова вероятность выпадения числа меньшего четырёх?

Числа меньшие четырёх это 1,2,3. Мы знаем, что вероятность выпадения единицы равна 1/6, двойки 1/6, тройки 1/6. Это несовместные события. Можем применить правило сложения. Вероятность выпадения числа меньшего четырёх равна:

Действительно, если исходить из понятия классической вероятности: то число всевозможных исходов равно 6 (число всех граней кубика), число благоприятных исходов равно 3 (выпадение единицы, двойки или тройки). Искомая вероятность равна 3 к 6 или 3/6 = 0,5.

*Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учёта их совместного появления: Р(А+В)=Р(А)+Р(В) -Р(АВ)

Об умножении вероятностей

Пусть происходят два несовместных события А и В, их вероятности соответственно равны Р(А) и Р(В). Произведением двух событий А и В называют такое событие А·В, которое состоит в том что эти события произойдут вместе, то есть произойдёт и событие А и событие В. Вероятность такого события равна произведению вероятностей событий А и В. Вычисляется по формуле:

Как вы уже заметили логическая связка «И» означает умножение.

Пример с той же игральной костью: Бросаем игральную кость два раза. Какова вероятность выпадения двух шестёрок?

Вероятность выпадения шестёрки первый раз равна 1/6. Во второй раз так же равна 1/6. Вероятность выпадения шестёрки и в первый раз и во второй раз равна произведению вероятностей:

Говоря простым языком: когда в одном испытании происходит некоторое событие, И далее происходит(ят) другое (другие), то вероятность того что они произойдут вместе равна произведению вероятностей этих событий.

Задачи с игральной костью мы решали, но пользовались только логическими рассуждениями, формулу произведения не использовали. В рассматриваемых же ниже задачах без формул не обойтись, вернее с ними будет получить результат проще и быстрее.

Стоит сказать ещё об одном нюансе. При рассуждениях в решении задач используется понятие ОДНОВРЕМЕННОСТЬ совершения событий. События происходят ОДНОВРЕМЕННО — это не означает, что они происходят в одну секунду (в один момент времени). Это значит, что они происходят в некоторый промежуток времени (при одном испытании).

Например:

Две лампы перегорают в течение года (может быть сказано — одновременно в течение года)

Два автомата ломаются в течении месяца (может быть сказано — одновременно в течение месяца)

Игральная кость бросается три раза (очки выпадают одновременно это означает при одном испытании)

Биатлонист делает пять выстрелов. События (выстрелы) происходят во время одного испытания.

События А и В являются НЕзависимыми, если вероятность любого из них не зависит от появления либо непоявления другого события.

Рассмотрим задачи:

Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая –– 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая –– 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Первая фабрика выпускает 0,35 продукции (стёкол). Вероятность купить бракованное стекло с первой фабрики равна 0,04.

Вторая фабрика выпускает 0,65 стёкол. Вероятность купить бракованное стекло со второй фабрики равна 0,02.

Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,35∙0,04 = 0,0140.

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике И при этом оно окажется бракованным равна 0,65∙0,02 = 0,0130.

Покупка в магазине бракованного стекла подразумевает, что оно (бракованное стекло) куплено ЛИБО с первой фабрики, ЛИБО со второй. Это несовместные события, то есть полученные вероятности складываем:

0,0140 + 0,0130 = 0,027

Ответ: 0,027

Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза, то есть выиграть первый раз И при этом выиграть ещё и второй раз. В случае, когда независимые события должны произойти совместно вероятности этих событий перемножаются, то есть используется правило умножения.

Вероятность произведения указанных событий будет равна 0,62∙0,2 = 0,124.

Ответ: 0,124

На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

То есть необходимо найти вероятность того, что школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Вписанная окружность», ЛИБО по теме «Параллелограмм». В данном случае вероятности суммируются, так как это события несовместные и произойти может любое из этих событий: 0,3 + 0,25 = 0,55.

*Несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно.

Ответ: 0,55

Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний промахнулся. Результат округлите до сотых.

Поскольку биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,9, то он промахивается с вероятностью 1 – 0,9 = 0,1

*Промах и попадание это события, которые при одном выстреле не могут произойти одновременно, сумма вероятностей этих событий равна 1.

Речь идёт о совершении нескольких (независимых) событий. Если происходит событие и при этом происходит другое (последующие) в одно время (испытание), то вероятности этих событий перемножаются.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Таким образом, вероятность события «попал, попал, попал, попал, промахнулся» равна 0,9∙0,9∙0,9∙0,9∙0,1 = 0,06561.

Округляем до сотых, получаем 0,07

Ответ: 0,07

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,07 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата.

Эти события независимые, значит вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,07∙0,07 = 0,0049.

Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0049 = 0,9951.

*Исправны оба и какой-то один полностью – отвечает условию «хотя бы один».

Можно представить вероятности всех (независимых) событий для проверки:

1. «неисправен-неисправен» 0,07∙0,07 = 0,0049

2. «исправен-неисправен» 0,93∙0,07 = 0,0651

3. «неисправен-исправен» 0,07∙0,93 = 0,0651

4. «исправен-исправен» 0,93∙0,93 = 0,8649

Чтобы определить вероятность того, что исправен хотя бы один автомат, необходимо сложить вероятности независимых событий 2,3 и 4: Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта. Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

Например, если из коробки, содержащей только красные и зеленые шары, наугад вынимают один шар, то появление среди вынутых шаров белого – невозможное событие. Появление красного и появление зеленого шаров образуют полную группу событий.

Определение: События называются равновозможными , если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

В приведенном выше примере появление красного и зеленого шаров – равновозможные события, если в коробке находится одинаковое количество красных и зеленых шаров. Если же в коробке красных шаров больше, чем зеленых, то появление зеленого шара – событие менее вероятное, чем появление красного.

В мы рассмотрим ещё задачи, где используется сумма и произведение вероятностей событий, не пропустите!

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Марья Ивановна ругает Васю:
— Петров, ты почему вчера не был в школе?!
— Мне мама вчера штаны постирала.
— Ну и что?
— А я шел мимо дома и увидел, что Ваши висят. Думал, не придете.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Основные понятия
События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. В противном случае они называются совместными.
Полной группой называют совокупность событий, объединение которых есть событие достоверное.
Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.
События называются зависимыми, если вероятность появления одного из них зависит от наступления или ненаступления других событий.
События называются независимыми, если вероятность одного из них не зависит от наступления или ненаступления других.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B),
где А, В — несовместные события.

Теорема сложения вероятностей совместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B)-P(AB), где А и В — совместные события.

Теорема умножения вероятностей независимых событий
,
где А и В независимые события.
Теорема умножения вероятностей зависимых событий
Р(АВ)=Р(А)Р A (B),
где Р A (B) — вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В- зависимые события.

Задача 1.
Стрелок производит два выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле 0,8. Составить полную группу событий и найти их вероятности. Решение.
Испытание — Производится два выстрела по мишени.
Событие А — оба раза промахнулся.
Событие В — попал один раз.
Событие С — оба раза попал.
.

Контроль: P(A) + P(B) + P(C) = 1.
Задача 2.
Согласно прогнозу метеорологов Р(дождь)=0,4; Р(ветер)=0,7; Р(дождь и ветер)=0,2. Какова вероятность того, что будет дождь или ветер? Решение. По теореме сложения вероятностей и в силу совместности предложенных событий имеем:
Р(дождь или ветер или то и другое)=Р(дождь) +Р(ветер) –Р(дождь и ветер)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Задача 3.
На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять – внутри страны, а три – на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными для потребления внутри страны? Решение. Событие А – первый взятый наугад заказ – внутри страны. Событие В – второй тоже предназначен для внутреннего потребления. Нам необходимо найти вероятность Тогда по теореме об умножении вероятностей зависимых событий имеем

Задача 4.
Из партии изделий товаровед наудачу отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что выбранная вещь окажется высшего сорта равна, 0,8; первого сорта – 0,7; второго сорта – 0,5. Найти вероятность того, что из трех наудачу отобранных изделий будут:
а) только два высшего сорта;
б) все разные. Решение. Пусть событие — изделие высшего сорта; событие — изделие первого сорта; событие — изделие второго сорта.
По условию задачи ; ; События — независимы.
а) Событие А – только два изделия высшего сорта будет выглядеть так тогда

б) Событие В – все три изделия различны — выразим так:, тогда .
Задача 5.
Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1= 0,8; p2 =0,7; p3 =0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А ) при одном залпе из всех орудий. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события (попадание первого орудия), (попадание второго орудия) и (попадание третьего орудия) независимы в совокупности.
Вероятности событий, противоположных событиям (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

Искомая вероятность
Задача 6.
В типографии имеется 4 печатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А ). Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) – противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице:
Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна
Искомая вероятность . Задача 7. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.

Решение. Рассмотрим следующие события:
А1- первый взятый учебник в переплете;
A2- второй взятый учебник в переплете.
Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете . События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1. Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий: .
Вероятность наступления события А1 p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности:
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1 , т.е. (A2)==0,4.
Тогда искомая вероятность наступления события:
P(A)=0,5*0,4=0,2.

Необходимость в действиях над вероятностями наступает тогда, когда известны вероятности некоторых событий, а вычислить нужно вероятности других событий, которые связаны с данными событиями.

Сложение вероятностей используется тогда, когда нужно вычислить вероятность объединения или логической суммы случайных событий.

Сумму событий A и B обозначают A + B или A B . Суммой двух событий называется событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий. Это означает, что A + B – событие, которое наступает тогда и только тогда, когда при наблюдении произошло событие A или событие B , или одновременно A и B .

Если события A и B взаимно несовместны и их вероятности даны, то вероятность того, что в результате одного испытания произойдёт одно из этих событий, рассчитывают, используя сложение вероятностей.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность того, что произойдёт одно из двух взаимно несовместных событий, равна сумме вероятностей этих событий:

Например, на охоте произведены два выстрела. Событие А – попадание в утку с первого выстрела, событие В – попадание со второго выстрела, событие (А + В ) – попадание с первого или второго выстрела или с двух выстрелов. Итак, если два события А и В – несовместные события, то А + В – наступление хотя бы одного из этих событий или двух событий.

Пример 1. В ящике 30 мячиков одинаковых размеров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.

Решение. Примем, что событие А – «взят красный мячик», а событие В – «взят синий мячик». Тогда событие — «взят цветной (не белый) мячик». Найдём вероятность события А :

и события В :

События А и В – взаимно несовместные, так как если взят один мячик, то нельзя взять мячики разных цветов. Поэтому используем сложение вероятностей:

Теорема сложения вероятностей для нескольких несовместных событий. Если события составляют полное множество событий, то сумма их вероятностей равна 1:

Сумма вероятностей противоположных событий также равна 1:

Противоположные события образуют полное множество событий, а вероятность полного множества событий равна 1.

Вероятности противоположных событий обычно обозначают малыми буквами p и q . В частности,

из чего следуют следующие формулы вероятности противоположных событий:

Пример 2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,15, во второй зоне – 0,23, в третьей зоне – 0,17. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.

Решение: Найдём вероятность того, что стрелок попадёт в цель:

Найдём вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей» .

Сложение вероятностей взаимно совместных событий

Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.

Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:

Поскольку события А и В совместимы, событие А + В наступает, если наступает одно из трёх возможных событий: или АВ . Согласно теореме сложения несовместных событий, вычисляем так:

Событие А наступит, если наступит одно из двух несовместных событий: или АВ . Однако вероятность наступления одного события из нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей всех этих событий:

Аналогично:

Подставляя выражения (6) и (7) в выражение (5), получаем формулу вероятности для совместных событий:

При использовании формулы (8) следует учитывать, что события А и В могут быть:

  • взаимно независимыми;
  • взаимно зависимыми.

Формула вероятности для взаимно независимых событий:

Формула вероятности для взаимно зависимых событий:

Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB ) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:

Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить , при заезде на второй автомашине . Найти:

  • вероятность того, что победят обе автомашины;
  • вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;

1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:

2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей» .

Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A — выпадение герба на первой монете. Событие B — выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B .

Умножение вероятностей

Умножение вероятностей используют, когда следует вычислить вероятность логического произведения событий.

При этом случайные события должны быть независимыми. Два события называются взаимно независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления второго события.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность одновременного наступления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий и вычисляется по формуле:

Пример 5. Монету бросают три раза подряд. Найти вероятность того, что все три раза выпадет герб.

Решение. Вероятность того, что при первом бросании монеты выпадет герб , во второй раз , в третий раз . Найдём вероятность того, что все три раза выпадет герб:

Решить задачи на умножение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча, после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трёх игр в коробке не останется неигранных мячей?

Пример 7. 32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти вероятность того, что из букв получится слово «конец».

Пример 8. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей.

Пример 9. Та же задача, что в примере 8, но каждая карта после вынимания возвращается в колоду.

Задачи посложнее, в которых нужно применять и сложение и умножение вероятностей, а также вычислять произведение нескольких событий — на странице «Различные задачи на сложение и умножение вероятностей» .

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из взаимно независимых событий , можно вычислить путём вычитания из 1 произведения вероятностей противоположных событий , то есть по формуле:

Пример 10. Грузы доставляют тремя видами транспорта: речным, железнодорожным и автотранспортом. Вероятность того, что груз будет доставлен речным транспортом, составляет 0,82, железнодорожным транспортом 0,87, автотранспортом 0,90. Найти вероятность того, что груз будет доставлен хотя бы одним из трёх видов транспорта.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Зависимые и независимые события
  • Главная ←
  • 3.2.10. Вероятность произведения событий
  • Определение. Событие называетсязависимым от события если вероятность события зависит от того, произошло событиеили нет.

    Определение. Вероятность события вычисленная при условии, что событиепроизошло, называетсяусловной вероятностью события и обозначается

    Теорема. Вероятность произведения событий иравна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

  • Условие независимости события от события можно записать в виде Из этого утверждения следует, что для независимых событий выполняется соотношение:

  • т. е. вероятность произведения независимых событий и, равна произведению их вероятностей.

    Замечание. Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

  • Если события независимые, то имеем:

  • Пример 3.31. В ящике 5 белых и 3 черных шара. Из него наугад последовательно без возвращения вытаскивают два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

    Пусть событие − появление белого шара при первом вынимании,− появление белого шара при втором вынимании. Учитывая, что,(вероятность появления второго белого шара при условии, что первый вынутый шар был белым и его не возвратили в ящик). Так как событияизависимые, то вероятность их произведения найдем по формуле (3.15):

  • Пример 3.32. Вероятность попадания в цель первым стрелком 0,8; вторым – 0,7. Каждый стрелок выстрелил по мишени. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель? Какова вероятность того, что один стрелок попадет в цель?

    Пусть событие – попадание в цель первым стрелком,– вторым. Все возможные варианты можно представить в видетаблицы 3.5 , где «+» обозначает, что событие произошло, а «−» − не произошло.

    Таблица 3.5

  • Пусть событие – попадание хотя бы одним стрелком в цель, Тогда событиеявляется суммой независимых событийиследовательно, применить теорему о вероятности суммы несовместных событий в данной ситуации нельзя.

    Рассмотрим событие противоположное событиюкоторое произойдет тогда, когда ни один стрелок не попадет в цель, т. е. является произведением независимых событийИспользуя формулы (3.13) и (3.15), получим:

  • Пусть событие – попадание одним стрелком в цель. Это событие можно представить следующим образом:

    События и– независимые, событияитакже являются независимыми. События, являющиеся произведениями событийи– несовместными. Используя формулы (3.10) и (3.15) получим:

  • Свойства операций сложения и умножения событий:

  • Пусть событие может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий (гипотез),,…,, образующих полную группу, т. е.

    Вероятность события находится по формулеполной вероятности:

  • Если событие уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулеБайеса :

    (3.17)

    Пример 3.33. Имеются две одинаковых урны с шарами. В первой урне 5 белых и 10 черных шаров, во второй − 3 белых и 7 черных шаров. Выбирают наугад одну урну и вытаскивают из нее один шар.

      Найти вероятность того, что этот шар белый.

      Из наугад выбранной урны вытащили белый шар. Найти вероятность того, что шар вытащили из первой урны.

    Произведением двух событий и называют событие, состоящее в совместном появлении этих событий.

    Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

    Например, появление герба в трех одновременных бросках монеты.

    Условная вероятность

    Условной вероятностью называют вероятность наступления события, вычисленную в предположении, что событие уже наступило:

    Пример. В урне 3 белых и 3 черных шара. Из урны дважды вынимают по одному шару, не возвращая их обратно. Найти вероятность появления белого шара при втором испытании (событие), если при первом испытании был извлечен черный шар (событие ).

    Р е ш е н и е. После первого испытания в урне осталось 5 шаров, из них 3 белых.

    Искомая условная вероятность

    Условная вероятность события при условии, что событие уже наступило, по определению, равна

    Теорема умножения вероятностей

    Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

    Доказательство. По определению условной вероятности,

    Замечание. . Событие равносильно событию. Следовательно,

    и. (***)

    Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятности каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились(в случае появления трех событий:

    Порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым.

    Пример. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно, затем извлекают второй и третий шары. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие), при втором — черный (событие) и при третьем — синий (событие).

    Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

    Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная при предположении, что в первом испытании появился белый шар (условная вероятность)

    Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором — черный (условная вероятность)

    Искомая вероятность

    Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

    Вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A и обозначается .

    Условие независимости события A от события B можно записать в виде
    .

    Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

    Если событие A не зависит от события B, то событие B не зависит от события A. При этом вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей:

    .

    Пример 14. Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором — 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

    Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие A) равна
    . Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событиеB) равна
    . Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событиеC) равна
    .

    Так как события A, B и C независимые в совокупности, то по теореме умножения искомая вероятность равна

    Приведем пример совместного использования теорем сложения и умножения.

    Пример 15. Вероятности появления независимых событий A 1 и A 2 равны соответственно p 1 и p 2 . Найти вероятность появления только одного из этих событий (событие A). Найти вероятность появления хотя бы одного из этих событий (событие B).

    Обозначим вероятности противоположных событий ичерезq 1 =1-p 1 и q 2 =1-p 2 соответственно.

    Событие A произойдет, если произойдет событие A 1 и не произойдет событие A 2 , или если произойдет событие A 2 и не произойдет событие A 1 . Следовательно,

    Событие B произойдет, если произойдет событие A, или произойдут события A 1 и A 2 одновременно. Следовательно,

    Вероятность события B можно определить иначе. Событие , противоположное событиюB состоит в том, что оба события A 1 и A 2 не произойдут. Поэтому по теореме умножения вероятностей для независимых событий получим

    что совпадает с выражением, полученным ранее, так как имеет место тождество

    7. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

    Теорема 1 . Предположим, что события
    образуют полную группу попарно несовместных событий (такие события называются гипотезами). ПустьA — произвольное событие. Тогда вероятность события A может быть вычислена по формуле

    Доказательство. Так как гипотезы образуют полную группу, то , и, следовательно,.

    В силу того, что гипотезы являются попарно несовместными событиями, то события также попарно несовместны. По теореме сложения вероятностей

    Применяя теперь теорему умножения вероятностей, получим

    Формула (1) называется формулой полной вероятности. В сокращенном виде ее можно записать следующим образом

    .

    Формула полезна, если условные вероятности события A вычисляются легче, чем безусловная вероятность.

    Пример 16 . Имеется 3 колоды по 36 карт и 2 колоды по 52 карты. Наудачу выбираем одну колоду и из нее наудачу одну карту. Найти вероятность того, что вынутая карта — туз.

    Пусть A — событие, состоящее в том, что вынутая карта — туз. Введем в рассмотрение две гипотезы:

    — карта вынута из колоды в 36 карт,

    — карта вынута из колоды в 52 карты.

    Для вычисления вероятности события A воспользуемся формулой полной вероятности:

    Теорема 2 . Предположим, что события
    образуют полную группу попарно несовместных событий. ПустьA — произвольное событие. Условная вероятность гипотезы в предположении, что произошло событиеA, может быть вычислена по формуле Байеса:

    Доказательство. Из теоремы умножения вероятностей для зависимых событий следует, что .

    .

    Применяя формулу полной вероятности, получим (2).

    Вероятности гипотез
    называются априорными, а вероятности гипотез
    при условии, что событие A имело место, называются апостериорными. Сами формулы Байеса называются еще формулами вероятностей гипотез.

    Пример 17 . Имеются 2 урны. Первая урна содержит 2 белых и 4 черных шара, а вторая урна содержит 7 белых и 5 черных шаров. Наудачу выбираем урну и из нее наудачу извлекаем один шар. Он оказался черным (событие A произошло). Найти вероятность того, что шар был извлечен из первой урны (гипотеза
    ). Найти вероятность того, что шар был извлечен из второй урны (гипотеза
    ).

    Применим формулы Байеса:

    ,

    .

    Пример 18 . На заводе болты выпускаются тремя машинами, которые выпускают соответственно 25%, 35% и 40% всех болтов. Брак продукции этих машин составляет соответственно 5%, 4%, 2%. Из продукции всех трех машин был выбран один болт. Он оказался дефектным (событие A). Найти вероятность того, что болт был выпущен первой, второй, третьей машиной.

    Пусть
    — событие, состоящее в том, что болт был выпущен первой машиной,
    — второй машиной,
    — третьей машиной. Эти события попарно несовместны и образуют полную группу. Воспользуемся формулами Байеса

    В результате получим

    ,

    ,

    .

    Теорема. (Умножения вероятностей) Вероятность произведения двух событий (совместного появления этих событий) равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

    Также можно записать:

    Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения условной вероятности.

    Если события независимые, то , и теорема умножения вероятностей принимает вид:

    В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились.

    Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события .

    Если в результате испытания может появиться п событий, независимых в совокупности, то вероятность появления хотя бы одного из них равна

    Здесь событие А обозначает наступление хотя бы одного из событий A i , а q i – вероятность противоположных событий .

    Пример 1. Из полной колоды карт (52 шт.) одновременно вынимают четыре карты. Найти вероятность того, что среди этих четырех карт будет хотя бы одна бубновая или одна червонная карта.

    Решение.

    Обозначим появление хотя бы одной бубновой карты – событие А , появление хотя бы одной червонной карты – событие В . Таким образом нам надо определить вероятность события С = А + В .

    Кроме того, события А и В – совместны, т.е. появление одного из них не исключает появления другого.

    Всего в колоде 13 червонных и 13 бубновых карт.

    Найдем вероятность события, противоположного событию С (среди извлеченных карт не будет ни бубновых ни червовых):

    при вытаскивании первой карты вероятность того, что не появится ни червонной ни бубновой карты равна , при вытаскивании второй карты — , третьей — , четвертой — .

    Тогда вероятность того, что среди вынутых карт не будет ни бубновых, ни червонных равна .

    Искомая вероятность

    Пример 2. Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной из костей?

    Решение .

    Вероятность выпадения 6 очков при одном броске кости равна . Вероятность того, что не выпадет 6 очков — . Вероятность того, что при броске трех костей не выпадет ни разу 6 очков равна .

    Тогда вероятность того, что хотя бы один раз выпадет 6 очков равна .

    Пример 3. В барабане револьвера находятся 4 патрона из шести в произвольном порядке. Барабан раскручивают, после чего нажимают на спусковой крючок два раза. Найти вероятности: а) хотя бы одного выстрела, б) двух выстрелов, в) двух осечек.

    Решение .

    Вероятность выстрела при первом нажатии на курок (событие А ) равна , вероятность осечки — Вероятность выстрела при втором нажатии на курок зависит от результата первого нажатия.

    Так если в первом случае произошел выстрел, то в барабане осталось только 3 патрона, причем они распределены по 5 гнездам, т. к. при втором нажатии на курок напротив ствола не может оказаться гнездо, в котором был патрон при первом нажатии на курок.

    Условная вероятность выстрела при второй попытке — если в первый раз был выстрел, — если в первый раз произошла осечка.

    Условная вероятность осечки во второй раз — , если в первый раз произошел выстрел, — если в первый раз была осечка.

    Рассмотрим вероятности того, что во втором случае произойдет выстрел (событие В ) или произойдет осечка (событие ) при условии, что в первом случае произошел выстрел (событие А ) или осечка (событие ).

    Два выстрела подряд

    Первая осечка, второй выстрел

    Первый выстрел, вторая осечка

    Две осечки подряд

    Эти четыре случая образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице)

    Анализируя полученные результаты, видим, что вероятность хотя бы одного выстрела равна сумме

    Пример 4. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.

    Решение .

    Обозначим попадание в цель первым стрелком – событие А, вторым – событие В, промах первого стрелка – событие , промах второго – событие .

    Вероятность того, что первый стрелок попадет в мишень, а второй – нет равна

    Вероятность того, что второй стрелок попадет в цель, а первый – нет равна

    Тогда вероятность попадания в цель только одним стрелком равна

    Тот же результат можно получить другим способом – находим вероятности того, что оба стрелка попали в цель и оба промахнулись. Эти вероятности соответственно равны:

    Тогда вероятность того, что в цель попадет только один стрелок равна:

    Пример 5. Вероятность того, что взятая наугад деталь из некоторой партии деталей, будет бракованной равна 0,2. Найти вероятность того, что из трех взятых деталей 2 окажется не бракованными.

    Решение .

    Обозначим бракованную деталь – событие А, не бракованную – событие .

    Если среди трех деталей оказывается только одна бракованная, то это возможно в одном из трех случаев: бракованная деталь будет первой, второй или третьей.

    Пример 6. Вероятности того, что нужная деталь находится в первом, втором, третьем или четвертом ящике, соответственно равны 0,6, 0,7, 0,8, 0,9. Найти вероятности того, что эта деталь находится: а) не более, чем в трех ящиках; б) не менее, чем в двух ящиках.

    Решение .

    а) Вероятность того, что данная деталь находится во всех четырех ящиках, равна

    Вероятность того, что нужная деталь находиться не более, чем в трех ящиках равна вероятности того, что она не находится во всех четырех ящиках.

    б) Вероятность того, что нужная деталь находится не менее, чем в двух ящиках, складывается из вероятностей того, что деталь находиться только в двух ящиках, только в трех ящиках, только в четырех ящиках. Конечно, эти вероятности можно посчитать, а потом сложить, однако, проще поступить иначе. Та же вероятность равна вероятности того, что деталь не находится только в одном ящике и имеется вообще.

    При оценки вероятности наступления какого-либо случайного события очень важно предварительно хорошо представлять, зависит ли вероятность (вероятность события) наступления интересующего нас события от того, как развиваются остальные события. В случае классической схемы, когда все исходы равновероятны, мы уже можем оценить значения вероятности интересующего нас отдельного события самостоятельно. Мы можем сделать это даже в том случае, если событие является сложной совокупностью нескольких элементарных исходов. А если несколько случайных событий происходит одновременно или последовательно? Как это влияет на вероятность реализации интересующего нас события? Если я несколько раз кидаю игральную кость, и хочу, чтобы выпала «шестерка», а мне все время не везет, значит ли это, что надо увеличивать ставку, потому что, согласно теории вероятностей, мне вот-вот должно повезти? Увы, теория вероятности не утверждает ничего подобного. Ни кости, ни карты, ни монетки не умеют запоминать, что они продемонстрировали нам в прошлый раз. Им совершенно не важно, в первый раз или в десятый раз сегодня я испытываю свою судьбу. Каждый раз, когда я повторяю бросок, я знаю только одно: и на этот раз вероятность выпадения «шестерки» снова равна одной шестой. Конечно, это не значит, что нужная мне цифра не выпадет никогда. Это означает лишь то, что мой проигрыш после первого броска и после любого другого броска — независимые события. События А и В называются независимыми, если реализация одного из них никак не влияет на вероятность другого события. Например, вероятности поражения цели первым из двух орудий не зависят от того, поразило ли цель другое орудие, поэтому события «первое орудие поразило цель» и «второе орудие поразило цель» независимы. Если два события А и В независимы, и вероятность каждого из них известна, то вероятность одновременного наступления и события А, и события В (обозначается АВ) можно посчитать, воспользовавшись следующей теоремой.

    Теорема умножения вероятностей для независимых событий

    P(AB) = P(A)*P(B) вероятность одновременного наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

    Пример 1 . Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: р 1 = 0,7; р 2 = 0,8. Найти вероятность попадания при одном залпе обоими орудиями одновременно.

    как мы уже видели события А (попадание первого орудия) и В (попадание второго орудия) независимы, т.е. Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=р1*р2=0,56. Что произойдет с нашими оценками, если исходные события не являются независимыми? Давайте немного изменим предыдущий пример.

    Пример 2. Два стрелка на соревнованиях стреляют по мишеням, причем, если один из них стреляет метко, то соперник начинает нервничать, и его результаты ухудшаются. Как превратить эту житейскую ситуацию в математическую задачу и наметить пути ее решения? Интуитивно понятно, что надо каким-то образом разделить два варианта развития событий, составить по сути дела два сценария, две разные задачи. В первом случае, если соперник промахнулся, сценарий будет благоприятный для нервного спортсмена и его меткость будет выше. Во втором случае, если соперник прилично реализовал свой шанс, вероятность поразить мишень для второго спортсмена снижается. Для разделения возможных сценариев (их часто называют гипотезами) развития событий мы будем часто использовать схему «дерева вероятностей». Эта схема похожа по смыслу на дерево решений, с которым Вам, наверное, уже приходилось иметь дело. Каждая ветка представляет собой отдельный сценарий развития событий, только теперь она имеет собственное значение так называемой условной вероятности (q 1 , q 2 , q 1 -1, q 2 -1).

    Эта схема очень удобна для анализа последовательных случайных событий. Остается выяснить еще один немаловажный вопрос: откуда берутся исходные значения вероятностей в реальных ситуациях? Ведь не с одними же монетами и игральными костями работает теория вероятностей? Обычно эти оценки берутся из статистики, а когда статистические сведения отсутствуют, мы проводим собственное исследование. И начинать его нам часто приходится не со сбора данных, а с вопроса, какие сведения нам вообще нужны.

    Пример 3. Допустим, нам надо оценить в городе с населением в сто тысяч жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости, например, для бальзама по уходу за окрашенными волосами. Рассмотрим схему «дерева вероятностей». При этом значение вероятности на каждой «ветке» нам надо приблизительно оценить. Итак, наши оценки емкости рынка:

    1) из всех жителей города женщин 50%,

    2) из всех женщин только 30% красят волосы часто,

    3) из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос,

    4) из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар,

    5) из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов.


    По закону перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А ={житель города покупает у нас этот новый бальзам}=0,00045. Умножим это значение вероятности на число жителей города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля. И все-таки польза от наших оценок есть. Во-первых, мы можем сравнивать прогнозы разных бизнес-идей, на схемах у них будут разные «развилки», и, конечно, значения вероятности тоже будут разные. Во-вторых, как мы уже говорили, случайная величина не потому называется случайной, что она совсем ни от чего не зависит. Просто ее точное значение заранее не известно. Мы знаем, что среднее количество покупателей может быть увеличено (например, с помощью рекламы нового товара). Так что имеет смысл сосредоточить усилия на тех «развилках», где распределение вероятностей нас особенно не устраивает, на тех факторах, на которые мы в состоянии повлиять. Рассмотрим еще один количественный пример исследования покупательского поведения.

    Пример 3. За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов. Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне весит всего 100 г?

    Обсуждение.

    Конечно, нельзя. Понятно, что не каждый, кто заходил в павильон, в результате что-то там купил.


    Как показано на схеме, чтобы ответить на вопрос о среднем весе покупки, мы должны найти ответ на вопрос, какова вероятность того, что человек, зашедший в павильон, что-нибудь там купит. Если таких данных в нашем распоряжении не имеется, а нам они нужны, придется их получить самим, понаблюдав некоторое время за посетителями павильона. Допустим, наши наблюдения показали, что только пятая часть посетителей павильона что-то покупает. Как только эти оценки нами получены, задача становится уже простой. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок будет только 1000. Средний вес покупки равен 500 грамм. Интересно отметить, что для построения полной картины происходящего, логика условных «ветвлений» должна быть определена на каждом этапе нашего рассуждения так же четко, как если бы мы работали с «конкретной» ситуацией, а не с вероятностями.

    Задачи для самопроверки.

    1. Пусть есть электрическая цепь, состоящая из n последовательно соединенных элементов, каждый из которых работает независимо от остальных. Известна вероятность p невыхода из строя каждого элемента. Определите вероятность исправной работы всего участка цепи (событие А).


    2. Студент знает 20 из 25 экзаменационных вопросов. Найдите вероятность того, что студент знает предложенные ему экзаменатором три вопроса.

    3. Производство состоит из четырех последовательных этапов, на каждом из которых работает оборудование, для которого вероятности выхода из строя в течение ближайшего месяца равны соответственно р 1 , р 2 , р 3 и р 4 . Найдите вероятность того, что за месяц не случится ни одной остановки производства из-за неисправности оборудования.

  • Зависимые и независимые события — Вероятность

    Теория вероятностей является важной темой для тех, кто изучает математику в старших классах. Например, прогноз погоды некоторых районов говорит о пятидесятипроцентной вероятности того, что сегодня будет дождь. Вероятность – это вероятность того, что какое-то событие произойдет. Термин «событие» на самом деле означает один или несколько исходов. Событие означает результат, который может произойти. Общее количество событий определяется как все результаты, которые могут произойти в отношении эксперимента, заданного в вопросе. Кроме того, интересующие события известны как благоприятные события.

    Например:

    i) Выпадение решки при подбрасывании монеты можно назвать событием.

    ii) Выпадение 4 при броске кубика считается событием.

    iii) Вытягивание короля из колоды карт также является событием.

    (iv) Выпадение 7 при броске пары игральных костей является событием.

    Верные и неверные события:

    Событие, вероятность наступления которого составляет 100 %, называется достоверным событием. Вероятность такого события равна 1. В достоверном случае можно получить желаемый результат во всем выборочном эксперименте.
    С другой стороны, когда вероятность события отсутствует, вероятность такого события, скорее всего, равна нулю. Говорят, что это невозможное событие.

    На основе событий качества они подразделяются на три типа:

    • Независимые события
    • Зависимые события
    • Взаимоисключающие события

    Для лучшего понимания зависимых и независимых событий давайте сначала понимать простые и сложные события

    Простое событие

    Событие, имеющее единственную точку выборочного пространства, называется простым событием по вероятности.

    Вероятность наступления события = Количество благоприятных исходов/Общее количество. исходов

    Например: вероятность выпадения 4 при подбрасывании игральной кости.

    Здесь Sample Space = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    Если E — событие получения 4 при подбрасывании кости. E = {4}

    P(E) = 1/6

    В случае простого события числитель (количество благоприятных исходов) будет равен 1.

    Составное событие

    Если событие имеет более одной точки выборки, оно называется составным событием. Составные события немного сложнее, чем простые события. Эти события связаны с вероятностью одновременного возникновения более чем одного события. Суммарная вероятность всех исходов составного события равна 1.

    Для расчета вероятности используется следующее уравнение:

    Сначала мы находим вероятность каждого события. Затем мы перемножим эти вероятности вместе. В случае составного события числитель (количество благоприятных исходов) будет больше 1.

    Например: вероятность выпадения нечетного числа на кубике, а затем выпадения решки на монете

    Здесь P(нечетное число) = 3/6, где благоприятные исходы {1,3,5}

    P(хвост) = 1/2

    Следовательно, требуемая вероятность = (3/6)×(1/2) = 1/4

    Теперь давайте перейдем к Зависимым и Независимым событиям:

    Зависимые события

    Зависимые события — это те события, на которые влияют результаты событий, которые уже произошли ранее. то есть два или более события, которые зависят друг от друга, называются зависимыми событиями. Если одно событие случайно изменено, то и другое, вероятно, изменится.

    Таким образом, если факт возникновения одного события влияет на вероятность возникновения другого события, то говорят, что эти два события являются зависимыми.

    Например:

    1. Допустим, из колоды карт нужно вытянуть три карты. Тогда вероятность получить короля выше, когда вытянута первая карта, а вероятность получить короля будет меньше, когда вытянута вторая карта. При розыгрыше третьей карты эта вероятность будет зависеть от результатов двух предыдущих карт. Можно сказать, что после вытягивания одной карты в колоде будет меньше доступных карт, поэтому вероятности имеют тенденцию меняться.

    2. Из стандартной колоды из 52 игральных карт случайным образом выбирается карта. Не заменяя ее, выбирается вторая карта. Какова вероятность того, что первой выбранной картой будет король, а второй выбранной картой — дама?

    Вероятности:

    P(король при первом выборе)= 4/52

    P(дама при 2-м выборе при наличии короля при 1-м выборе) = 4/51

    P(король и ферзь) = (4/52 × 4 /51) = 16/2652 = 4 /663

    В нем участвуют два соединения, зависимые события. Вероятность выбора дамы при втором выборе при условии, что король был выбран при первом выборе, называется условной вероятностью 9.0003

    Когда возникновение одного события влияет на возникновение другого последующего события, эти два события являются зависимыми событиями. Понятие зависимых событий порождает понятие условной вероятности.

    Формула условной вероятности

    Если вероятность событий A и B равна соответственно P(A) и P(B), то условная вероятность события B, при котором A уже произошло, равна P(A/B).

    Дано, P(A)>0,P(A/B) = P(A ∩ B)/P(A) или P(B ∩ A)/P(A)

    P(A)<0 означает, что событие A невозможно. В P(A ∩ B) пересечение обозначает составную вероятность.

    Примеры задач

    Вопрос 1. У инструктора есть банк вопросов с 300 простыми заданиями, 200 сложными заданиями, 500 простыми заданиями и 400 сложными заданиями. Если вопрос выбран случайным образом из банка вопросов, какова вероятность того, что это простой вопрос, учитывая, что это MCQ.

    Решение:

    Пусть,

    P(легко)= (300+500)/1400 = 800/1400 = 4/7

    P(MCQ)= (400+500)/1400 = 900/1400 = 9/14

    P(легко ∩ MCQ)= (500)/1400 =5/14

    P(легко/MCQ) = P (easy ∩ MCQ)

                           = (5/14)/(9/14) =5/9

    Вопрос 2. В партии из 20 яблок 3 гнилых. Случайным образом выбираются 3 яблока. Какова вероятность того, что все три сгниют, если не заменить первый и второй?

    Решение:

    Вероятности: P(3 гнилых) = (3/20 × 2/19× 1/18)= 6/6840 = 1/1140    

    Вопрос 3: Джон должен выбрать двух учеников из класса, состоящего из 10 девочек и 15 мальчиков. Какова вероятность того, что оба выбранных ученика мальчики?

    Решение:

    Общее количество учеников = 10 + 15 = 25

    Вероятность выбора первого мальчика, скажем, P(Мальчик 1) = 15/25 14/24

    Сейчас,

    P(Мальчик 1 и Мальчик 2) = P(Мальчик 1) и P(Мальчик 2|Мальчик 1)

                                    = (15/25) × (14/24) = 7/24

    Независимые события

    Независимые события — это события, возникновение которых не зависит ни от каких других событий. Если вероятность появления события А не зависит от появления другого события В, то говорят, что события А и В являются независимыми.

    Примеры:

    • Подбрасывание монеты.

    Здесь Sample Space S =  {H, T}  и H и T являются независимыми событиями.

    • Бросание игральной кости.

     Sample Space S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, все эти события также независимы.

    Оба приведенных выше примера являются простыми событиями. Даже составные события могут быть независимыми событиями. Например:

    • Подбрасывание монеты и бросание игральной кости.

    Пример пространства S = {(1,H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, T), (2, Т), (3, Т), (4, Т) (5, Т) (6, Т)}.

    Эти события независимы, поскольку одновременно может произойти только одно.

    Рассмотрим пример броска игральной кости. Если А — событие «выпавшее число больше 3», а В — событие «выпавшее число кратно 3», то

    P(A)= 3/6 = 1/2 здесь благоприятные исходы {4,5,6}

    P(B) = 2/6 = 1/3 здесь благоприятные исходы {3, 6}

    Кроме того, A и B — это событие «выпадающее число нечетное и кратное 3», так что P(A ∩ B) = 1/6

    P(A│B) = P (A ∩ B)/ P(B)

               = (1/6)/(1/3) = 1/2

    P(A) = P(A│B) = 1/2, что означает, что возникновение события B не повлияло на вероятность возникновения события A.
    Если A и B независимые события, то P(A│B) = P(A)

    Используя правило умножения вероятности, P(A ∩ B) = P(B). P(A│B)

    P(A ∩ B) = P(B). P(A)

    Примечание: A и B — два события, связанные с одним и тем же случайным экспериментом, тогда A и B называются независимыми событиями, если P(A ∩ B) = P(B).P(A )

    Примечание: мы можем рассчитать вероятность двух или более независимых событий, умножив

    Что такое взаимоисключающие события?

    Два события A и B называются взаимоисключающими, если они не могут произойти одновременно. Взаимоисключающие события никогда не имеют общего исхода.

    Вопрос 1: Тест с множественным выбором состоит из двух задач. У задачи 1 есть 5 вариантов, а у задачи 2 – 4 варианта. Каждая задача имеет только один правильный ответ. Какова вероятность того, что вы случайно угадаете правильный ответ на обе задачи.

    Решение: 

    Здесь вероятность правильного ответа на Задачу1 = P(A) и вероятность правильного ответа на Задачу2 =P(A) являются независимыми событиями. Таким образом,

    Вероятность правильного ответа на Задачу1 и Задачу2 = P(A ∩ B) =P(A). P (B)

    = (1/5)*(1/4) = 1/20

    Вопрос 2: Если кубик брошен дважды, найдите вероятность получить два 3 -х годов.

    Решение:

    P(получение 3 при первом броске)=1/6

    P(получение 3 при втором броске)=1/6

    P(две тройки)=(1/6)* (1/6) =1/36

    Вопрос 3: Бросаются две игральные кости, одна белая, другая черная. Найдите вероятность того, что:

    а) на черном кубике выпало 3 очка, а на белом — 5.

    Решение:

    а) Вероятность того, что на черном кубике выпадет 3, а на белом кубике 5 =  (1/6)*(1/6) = 1/36

    нечетное число = (1/6)*(3/6) =1/12


    Зависимые события и независимые события

    Содержание:


    1. Что такое зависимое событие?
    2. Что такое независимое событие?
    3. Как определить, является ли событие зависимым или независимым?

    Посмотрите видео о том, как отличить зависимые события от независимых:

    Зависимые и независимые события

    Посмотрите это видео на YouTube.

    Видео не видно? Кликните сюда.

    Когда два события являются зависимыми событиями, одно событие влияет на вероятность другого события. Зависимое событие — это событие, которое зависит от другого события , которое должно произойти первым. Зависимые события по вероятности ничем не отличаются от зависимых событий в реальной жизни: если вы хотите пойти на концерт, это может зависеть от того, получаете ли вы сверхурочную работу на работе; если вы хотите навестить семью за границей в следующем месяце, это зависит от того, сможете ли вы вовремя получить паспорт. Более формально мы говорим, что когда два события являются зависимыми, появление одного из них влияет на 9 событий.0342 вероятность другого события.

    Простые примеры зависимых событий:

    • Ограбление банка и попадание в тюрьму.
    • Несвоевременная оплата счетов за электроэнергию и отключение электроэнергии.
    • Посадка в самолет первой и поиск хорошего места.
    • Незаконная парковка и получение парковочного талона. Незаконная парковка увеличивает ваши шансы на получение штрафа.
    • Покупка десяти лотерейных билетов и выигрыш в лотерею. Чем больше билетов вы покупаете, тем выше ваши шансы на победу.
    • Вождение автомобиля и попадание в дорожно-транспортное происшествие.

    Независимое событие — это событие, не имеющее связи с шансами другого события произойти (или не произойти). Другими словами, событие не влияет на вероятность возникновения другого события. Независимые события по вероятности ничем не отличаются от независимых событий в реальной жизни. Место работы не влияет на цвет автомобиля, на котором вы ездите. Покупка лотерейного билета никак не влияет на рождение ребенка с голубыми глазами.

    Когда два события независимы, одно событие не влияет на вероятность другого события.

    Простые примеры в зависимых событиях:

    • Владение собакой и выращивание собственного огорода.
    • Досрочное погашение ипотеки и приобретение Chevy Cavalier.
    • Выиграл в лотерею и закончилось молоко.
    • Покупка лотерейного билета и обнаружение монеты на полу (ваши шансы найти монету не зависят от того, купили ли вы лотерейный билет).
    • Возьми такси домой и найди свой любимый фильм по кабельному.
    • Получение штрафа за парковку и игра в кости в казино.

    Пример карты

    Вероятность выпадения именно этого валета равна 1/3. Карты
    часто используются в теории вероятностей как инструмент для объяснения того, как одно кажущееся независимым событие может повлиять на другое. Например, если вы выбираете карту из колоды из 52 карт, вероятность того, что выпадет валет, равна 4 из 52. Математически это можно записать так:
    P(валет) = количество валетов в колоде карт / общее количество карт в колоде = 4/52 = 1/13 ≈ 7,69%.

    Если вы замените валета и выберете снова (при условии, что карты перетасованы), события независимы. Ваша вероятность остается прежней (1/13). Выбор карты снова и снова был бы независимым событием, потому что каждый раз, когда вы выбираете карту («испытание» по вероятности), это отдельное, не связанное событие .

    А что, если карта была удержал из пакета в следующий раз, когда вы выберете? Допустим, вы вытащили тройку червей, но все еще ищете этого валета. секунд раз, когда вы вытаскиваете карту, колода теперь состоит из 51 карты, поэтому:
    P(валет) = количество валетов в колоде карт / общее количество карт в колоде = 4/51 = 1/13 ≈ 7,84%
    Вероятность увеличилась с 7,69% (с заменой валета) до 7,84% (валет не заменен), поэтому такой выбор карт является примером зависимого события .

    Способность определить разницу между зависимым и независимым событием жизненно важна для решения вероятностных вопросов . Почему? Представьте одно событие: выигрыш в лотерею. Это зависит от того, вы купите билет. Так что выигрыш в лото и покупка билета — зависимые события. Ваши шансы выиграть в лотерею, если вы купите билет, могут составлять 1/1 миллиона. Но как насчет чего-то несвязанного, например, поездки на работу и выигрыша в лотерею? Ваши шансы выиграть в лотерею, если вы водите машину (и не покупаете билет), равны нулю. Таким образом, шансы меняются много с разными типами событий.

    Как определить, что является зависимым или независимым событием?

    Выяснение того, являются ли события зависимыми или независимыми, может быть сложной задачей. Не все ситуации так просты, как кажется на первый взгляд. Например, вы можете подумать, что ваш голос за президента увеличивает их шансы на победу, но если вы рассматриваете Коллегию выборщиков, это не всегда так.

    Ваши шансы выиграть 1 миллион долларов в «Монополии» не такие, как вы думаете.
    Вы можете подумать, что у вас есть шанс выиграть главный приз в игре со скрэтч-офф. Но главный приз, возможно, уже был выигран, когда вы покупаете билет. Например, на момент написания этой статьи, если вы купили десять или двести билетов со скидкой «Монополия на 1 миллион долларов» во Флориде, , ваши шансы на выигрыш точно такие же: ноль!. Это потому, что осталось 0 из 15 главных призов! В таких штатах, как Флорида, есть список «Оставшихся призов»… но кто на самом деле его проверяет?


    Зависимый или независимый? Шаги


    Шаг 1: Спросите себя, возможно ли, чтобы события происходили в любом порядке? Если нет (действия должны выполняться в определенном порядке), перейдите к шагу 3а. Если да (этапы можно выполнять в любом порядке), перейдите к Шагу 2. Если вы не уверены, перейдите к Шагу 2.

    Некоторые примеры событий, которые могут быть явно выполнены в в любом порядке :

    • Подбрасывание монету, затем бросая кубик.
    • Покупка автомобиля, затем покупка пальто.
    • Вытягивание карт из колоды.

    Некоторые события, которые должны выполняться в определенном порядке :

    • Парковка и получение парковочного талона (без парковочного талона нельзя получить парковочный талон).
    • Опрос группы людей и выяснение, сколько женщин выступают против прав на оружие (поскольку вы разбиваете опрос на подгруппы, а вы не можете разбить опрос на подгруппы без предварительного проведения опроса!).

    Шаг 2: Спросите себя, влияет ли каким-либо образом одно событие на результат (или шансы) другого события? Если да, перейдите к шагу 3а, если нет, перейдите к шагу 3б.

    Некоторые примеры событий, влияющих на шансы или вероятность следующего события, включают: не заменять его, вы меняете коэффициенты на 1/51 для следующего розыгрыша).

  • Выбрать что-либо и не заменить, а затем выбрать другое (например, выбрать шары для бинго, лотерейные билеты).

Некоторые примеры событий, которые не влияют на шансы или вероятность следующего события:

  • Выбор карты и замена ее, затем выбор другой карты (потому что шансы выбора первой карты равны вероятность выбора второй карты 1/52).
  • Выбирая что угодно, лишь бы вернуть предметы обратно.

Шаг 3a: Готово — событие зависит от .

Шаг 3b: Готово — событие независимо .

Вот как узнать, является событие зависимым или независимым!

Формулы зависимых или независимых событий в вероятности

Существуют более формальные способы количественной оценки зависимых или независимых событий. Вы столкнетесь с этими формулами в базовой вероятности.

Р(А|В) = Р(А).
P(B|A) = P(B)

Вероятность A при условии, что B произошло, такая же, как и вероятность A. Точно так же вероятность B, при условии, что A произошло, такая же как вероятность B. Это не должно быть сюрпризом, так как одно событие не влияет на другое.

Для расчета вероятности независимых событий можно использовать следующее уравнение:
P(A∩B) = P(A) · P(B).

Пример:
Опрос показал, что 72% жителей Джексонвилля считают себя футбольными фанатами. Если вы случайным образом выберете двух человек из популяции, какова вероятность того, что первый из них является футбольным фанатом, а второй — таким же? Что первое есть, а второе нет?

Решение : один человек, являющийся футбольным фанатом, не влияет на то, является ли второй случайно выбранный человек. Следовательно, события независимы, и вероятность можно найти, перемножив вероятности вместе:
Первый и второй — футбольные болельщики: P(A∩B) = P(A) · P(B) = 0,72 * 0,72 = 0,5184.
Первый — футбольный болельщик, второй — нет: P(A ∩ B) = P(A) · P(B) = 0,72 * 1 — 0,72) = 0,202.
Во второй части я умножил на дополнение. Поскольку вероятность быть фанатом равна 0,72, то вероятность не быть фанатом составляет 1–0,72, или 0,28.

События A и B независимы, если верно равенство P(A∩B) = P(A) · P(B). Вы можете использовать уравнение, чтобы проверить, являются ли события независимыми; умножьте вероятности двух событий вместе, чтобы увидеть, равны ли они вероятности того, что они оба произошли вместе.

Ссылки

Гоник, Л. (1993). Мультяшный путеводитель по статистике. HarperPerennial.
Коц, С.; и др., ред. (2006), Энциклопедия статистических наук, Wiley.
Линдстрем, Д. (2010). «Простое наброски статистики Шаума», второе издание (Простые наброски Шаума), 2-е издание. McGraw-Hill Education

УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
Стефани Глен . «Зависимые события и независимые события» От StatisticsHowTo.com : элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/probability-and-statistics/dependent-events-independent/

————————————————— ————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .

Независимые/зависимые события

Горячая математика

Два события независимый если на результат второго события не влияет результат первого события. Если А а также Б являются независимыми событиями, т. вероятность вероятности возникновения обоих событий является произведением вероятностей отдельных событий.

п ( А а также Б ) знак равно п ( А ) ⋅ п ( Б )

Пример 1:

Коробка содержит 4 красные мраморы, 3 зеленый мрамор и 2 голубые мраморы. Один шарик вынимают из коробки, а затем кладут на место. Из коробки достают еще один шарик. Какова вероятность того, что первый шарик синий, а второй зеленый?

Поскольку первый шарик заменяется, размер выборочного пространства ( 9 ) не меняется от первого рисунка ко второму, поэтому события независимы.

п ( синий, затем зеленый ) знак равно п ( синий ) ⋅ п ( зеленый ) знак равно 2 9⋅ 3 9 знак равно 6 81 знак равно 2 27

Два события зависимый если результат первого события влияет на исход второго события так, что вероятность изменяется. В приведенном выше примере, если первый шарик не заменяется, пространство выборки для второго события изменяется, поэтому события являются зависимыми. Вероятность того, что произойдут оба события, является произведением вероятностей отдельных событий:

п ( А а также Б ) знак равно п ( А ) ⋅ п ( Б )

Пример 2:

Коробка содержит 4 красные мраморы, 3 зеленый мрамор и 2 голубые мраморы. Один шарик вынимается из коробки и не заменяется. Из коробки достают еще один шарик. Какова вероятность того, что первый шарик синий, а второй зеленый?

Поскольку первый шарик не заменяется, размер выборки для первого шарика ( 9) меняется на второй шарик ( 8 ), поэтому события зависимы.

п ( синий, затем зеленый ) знак равно п ( синий ) ⋅ п ( зеленый ) знак равно 2 9⋅ 3 8 знак равно 6 72 знак равно 1 12

Вероятность — Независимые события | Brilliant Math & Science Wiki

Содержание
  • Идентификация независимых и зависимых событий
  • Условная вероятность и независимые события
  • Взаимная независимость более чем двух событий
  • Независимые случайные величины
  • Смотрите также

Пример во введении демонстрирует явно независимые события. Однако иногда бывает сложно определить, являются ли события независимыми или нет. Рассмотрим следующий пример:

В мешке 3 зеленых и 5 синих шариков. Из мешка наугад достают два шарика. Пусть GGG будет событием, когда первый вытащенный шарик будет зеленым. Пусть BBB будет событием, когда второй вытащенный шарик будет синим. Являются ли события независимыми?


Случай 1 : GGG происходит

Когда первый вытащенный шарик зеленый, в мешке остается 777 шариков, из них 555 синих. В этом случае P(B)=57P(B)=\dfrac{5}{7}P(B)=75​.

Случай 2 : GGG не происходит

Когда первый вытащенный шарик будет синим, в мешке останется 777 шариков, из них 444 синих. В этом случае P(B)=47P(B)=\dfrac{4}{7}P(B)=74​.

Заболеваемость GGG влияет на вероятность BBB. Следовательно, эти события , а не независимы. Другими словами, они зависят от .

В предыдущем примере вытащенный первым шарик повлиял на то, какие шарики остались в мешке. Всякий раз, когда события происходят последовательно, и частота события влияет на выборочное пространство следующего события, события будут зависимыми.

События не обязательно должны происходить последовательно, чтобы быть зависимыми. Рассмотрим этот пример:

В скачках участвуют 12 лошадей. Найквист и Эксаггератор — две из этих лошадей. Каждая лошадь имеет равные шансы на победу. Пусть AAA будет событием, когда Найквист выигрывает гонку, а BBB — событием, когда Exaggerator выигрывает гонку. Являются ли события независимыми?


Случай 1 : ААА происходит

Если Найквист выиграет гонку, то Преувеличитель не сможет выиграть гонку. В этом случае P(B)=0P(B)=0P(B)=0.

Случай 2 : ААА не происходит

Если Найквист не выиграет скачку, то есть 111111 других лошадей, которые могут выиграть скачку, каждая из которых имеет равные шансы на победу. Преувеличиватель — одна из таких лошадей, поэтому P(B)=111P(B)=\dfrac{1}{11}P(B)=111​.

Частота ААА влияет на вероятность ГЭБ. Следовательно, события зависимы.

Пытаясь определить, являются ли события зависимыми или независимыми, подумайте, как частота одного события влияет на вероятность другого. Если вероятность затронута, то события зависимы. Если влияние на вероятность отсутствует, то события независимы.

Понятие условной вероятности тесно связано с понятием независимых событий. Вы могли заметить, что некоторые из предыдущих примеров можно переформулировать, используя условную вероятность. Например, в примере с мрамором можно утверждать, что P(B∣G)=57P(B\mid G)=\dfrac{5}{7}P(B∣G)=75​ и P(B∣ G′)=47P(B\mid G’)=\dfrac{4}{7}P(B∣G′)=74​.

При понимании условной вероятности определения независимых и зависимых событий можно переформулировать:

Два события AAA и BBB независимы , если:

P(A∣B)=P(A∣B′)P(A\mid B)=P(A\mid B’)P(A∣B)=P(A∣B′) и P(B∣ A)=P(B∣A′)P(B\mid A)=P(B\mid A’)P(B∣A)=P(B∣A′)

Два события AAA и BBB зависят от если :

P(A∣B)≠P(A∣B′)P(A\mid B)\ne P(A\mid B’)P(A∣B)​=P(A∣B′) или P (B∣A)≠P(B∣A′)P(B\mid A)\ne P(B\mid A’)P(B∣A)​=P(B∣A′)

Примечание : A’A’A’ и B’B’B’ являются дополнениями к AAA и BBB соответственно.

Есть некоторые результаты по вероятности, которые могут удивить из-за характера зависимых событий. Иногда события формулируются так, что кажется, будто они не связаны между собой. Однако дальнейший анализ показывает, что некоторая зависимость есть, и это сказывается на вероятности.

У пары двое детей. Какова вероятность того, что оба ребенка мальчики, если один из детей мальчик?

Предположим, что когда ребенок рождается, у него есть равные шансы быть мальчиком или девочкой.


Распространенной ошибкой в ​​этой задаче является предположение, что если один ребенок мальчик, то у другого ребенка просто 12\dfrac{1}{2}21​ шанс стать мальчиком. Однако это решение игнорирует то, как определяется условная вероятность, а также игнорирует зависимость событий, описанных в задаче. Фактическое решение гораздо более удивительно.

Пусть SSS будет выборочным пространством этого эксперимента. Пусть BBB представляет мальчика, а GGG представляет девочку, причем порядок рождения имеет значение. S={BB,BG,GB,GG}S=\{BB,BG,GB,GG\}S={BB,BG,GB,GG}.

Пусть CCC будет событием, что оба ребенка мальчики. С={ВВ}С=\{ВВ\}С={ВВ}.

Пусть DDD будет событием, что один из детей — мальчик. D={BB,BG,GB}D=\{BB,BG,GB\}D={BB,BG,GB}

C∩D={BB}C\cap D=\{BB\}C∩D={BB}.

Образцовое пространство однородно, поэтому P(C∣D)=∣C∩D∣∣D∣=13P(C\mid D)=\dfrac{|C\cap D|}{|D|}=\dfrac {1}{3}P(C∣D)=∣D∣∣C∩D∣​=31​

Таким образом, вероятность того, что оба ребенка мальчики, при условии, что один из детей мальчик, равна 13\boxed{\dfrac{1}{3}}31​​.

Это решение может показаться неинтуитивным, но его можно доказать с помощью реальных доказательств. Если бы вы нашли много семей, в которых было ровно два ребенка, причем хотя бы один ребенок был мальчиком, то примерно в 13\dfrac{1}{3}31​ из этих семей было бы два мальчика.

Одна из причин, по которой этот результат настолько удивителен, заключается в том, что события CCC и DDD являются зависимыми. P(C∣D′)=0P(C\mid D’)=0P(C∣D′)=0, поэтому P(C∣D)≠P(C∣D′)P(C\mid D) \ne P(C\mid D’)P(C∣D)​=P(C∣D′). Информация о том, что один ребенок является мальчиком, сильно влияет на вероятность того, что оба ребенка мальчики.

ВВВ и ССС ССС и ДДД ААА и ССС AAA и BBB

Правильная монета подбрасывается дважды. Какая пара из следующих событий является парой независимых событий?

A=Первый бросок — решкаA=\text{Первый бросок — решка}A=Первый бросок — орел

B=По крайней мере, один из бросков — решкаB=\text{По крайней мере, один из бросков — решка }B=По крайней мере, одна из подбрасываний выпала решкой

C=Второй бросок – решкаC=\text{Второй бросок – решка}C=Второй бросок – решка

D=По крайней мере, один из бросков – решкаD=\text{По крайней мере, один из бросков – решка }D=По крайней мере, один из бросков — это решка

Пусть AAA, BBB и CCC будут событиями, и пусть они будут попарно независимыми . Другими словами, каждая пара событий независима: ААА и ВВВ независимы, ААА и ССС независимы, а ВВВ и ССС независимы. Означает ли это, что AAA, BBB и CCC взаимно независимы? К сожалению, к взаимной независимости более двух событий предъявляются более строгие требования:

Учитывая набор из более чем двух событий, набор событий взаимно независимый , если каждое событие не зависит от каждого пересечения других событий.

Если хотя бы одна независимость не выполняется, то множество событий является взаимозависимым .

Бросаются две правильные 6-гранные кости, одна красная и одна синяя. Пусть ААА будет событием, когда на красном кубике выпадет 3. Пусть ВВВ будет событием, когда на синем кубике выпадет 4. Пусть ССС будет событием, когда сумма бросков равна 7. Являются ли ААА, ВВВ и ССС независимыми друг от друга?


P(A∣B)=16P(A\mid B)=\dfrac{1}{6}P(A∣B)=61​ и P(A∣B′)=16P(A\mid B’ )=\dfrac{1}{6}P(A∣B′)=61​. Таким образом, ААА и ВВВ независимы.

P(A∣C)=16P(A\mid C)=\dfrac{1}{6}P(A∣C)=61​ и P(A∣C′)=16P(A\mid C’) =\dfrac{1}{6}P(A∣C′)=61​. Таким образом, AAA и CCC независимы.

P(B∣C)=16P(B\mid C)=\dfrac{1}{6}P(B∣C)=61​ и P(B∣C′)=16P(B\mid C’) =\dfrac{1}{6}P(B∣C′)=61​. Таким образом, BBB и CCC независимы.

Эти события попарно независимы. Однако для того, чтобы все три события были взаимно независимыми, каждое событие должно быть независимым при каждом пересечении других событий.

P(A∣(B∩C))=1P\left(A\mid (B\cap C)\right)=1P(A∣(B∩C))=1 и P(A∣(B∩C )′)=17P\left(A\mid (B\cap C)’\right)=\dfrac{1}{7}P(A∣(B∩C)′)=71​

Они не равны, поэтому AAA, BBB и CCC взаимозависимы.

В предыдущем примере можно было бы заподозрить что-то подозрительное, учитывая, что событие CCC включает оба броска кубиков. Учитывая это, мы обычно скептически относимся к обнаружению события, независимого от CCC. Оказывается, это совпадение, что эти пары событий удовлетворяют определению независимости.

Это определение взаимной независимости относится к правилу произведения, поскольку правило произведения требует независимых событий. В предыдущем примере, если мы (неправильно) попытаемся получить P(A∩B∩C)P(A\cap B\cap C)P(A∩B∩C) по правилу произведения, мы получим1216\dfrac{ 1}{216}2161​. Однако правильная вероятность пересечения событий равна P(A∩B∩C)=136P(A\cap B\cap C)=\dfrac{1}{36}P(A∩B∩C)=361​ .

Следующая теорема иногда может быть полезна в качестве «проверки работоспособности», чтобы убедиться, что вы правильно применяете принципы независимости:

Набор событий {A1,…,An}\{A_1,\dots,A_n\}{A1​,…,An​} является взаимно независимым тогда и только тогда, когда для каждого подмножества событий вероятность пересечения этих событий равно произведению вероятностей этих событий.

Да Нет Недостаточно информации

Ученый проводит эксперимент с двумя крысами и каждый день отмечает частоту следующих событий.

A=1-я крыса получает дополнительную пищевую гранулу на деньA=\text{1-я крыса получает дополнительную пищевую гранулу на день}A=1-я крыса получает дополнительную пищевую гранулу на день

B=1-я крыса бегает в колесе в этот деньB=\text{Первая крыса бегает в колесе в этот день}B=1-я крыса бегает в колесе в этот день

C=Вторая крыса бегает в колесе в этот деньC= \text{Вторая крыса бегает в колесе в этот день}C=Вторая крыса бегает в колесе в этот день

В ходе эксперимента ученый зафиксировал следующие вероятности:

P(A)=0,5P(B)=0,2P(C)=0,1P(A∩B)=0,1P(A∩C) =0,05P(B∩C)=0,02P(A∩B∩C)=0,01\begin{массив}{lll} Р(А)=0,5 и Р(В)=0,2 и Р(С)=0,1 \\ P(A\cap B)=0,1 & P(A\cap C)=0,05 & P(B\cap C)=0,02 \\ P(A\крышка B\крышка C)=0,01 \\ \end{массив}P(A)=0,5P(A∩B)=0,1P(A∩B∩C)=0,01​P(B)=0,2P(A∩C)=0,05​P(C)= 0,1P(B∩C)=0,02​

Являются ли события взаимно независимыми?

Две случайные величины XXX и YYY называются 9{n} P(X_i = a_i).\ _\squareP(i=1⋂n​(Xi​=ai​))=i=1∏n​P(Xi​=ai​). □​ Примечание. ⋂\bigcap⋂ — это символ пересечения ряда, а ∏\prod∏ — символ произведения ряда.

В качестве применения этого определения можно показать, что E[X⋅Y]=E[X]⋅E[Y]\mathbb{E}[X \cdot Y] = \mathbb{E} [X] \ cdot \mathbb{E} [Y]E[X⋅Y]=E[X]⋅E[Y], если XXX и YYY — независимые случайные величины. Это весьма полезно; линейность ожидания подразумевает E[X+Y]=E[X]+E[Y]\mathbb{E}[X+Y] = \mathbb{E}[X] + \mathbb{E}[Y]E[ X+Y]=E[X]+E[Y] независимо от того, являются ли XXX и YYY независимыми или зависимыми, но обычно E[X⋅Y]≠E[X]⋅E[Y].\mathbb{E}[ X \cdot Y] \neq \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y].E[X⋅Y]​=E[X]⋅E[Y].

Если XXX и YYY — независимые случайные величины, то E[X⋅Y]=E[X]⋅E[Y]\mathbb{E}[X \cdot Y] = \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb {E}[Y]E[X⋅Y]=E[X]⋅E[Y].


Предположим, что XXX принимает значения a1,…,ana_1, \ldots, a_na1​,…,an​, а YYY принимает значения b1,…,bmb_1, \ldots, b_mb1​,…,bm​. По определению ожидания,

E[X⋅Y]=∑i,jP(X=ai и Y=bj)aibj. \mathbb{E}[X \cdot Y] = \sum_{i,j} P(X = a_i \text{ и } Y = b_j) a_i b_j.E[X⋅Y]=i,j∑​P(X=ai​ и Y=bj​)ai​bj​.

Поскольку XXX и YYY независимы, P(X=ai и Y=bj)=P(X=ai)⋅P(Y=bj)P(X = a_i \text{ и } Y = b_j) = P(X = a_i) \cdot P(Y = b_j)P(X=ai​ и Y=bj​)=P(X=ai​)⋅P(Y=bj​) и отсюда следует, что

E[X⋅Y]=∑i,jP(X=ai)⋅P(Y=bj)aibj=(∑iP(X=ai)ai)(∑jP(Y=bj)bj)=E[X ]⋅Е[Й]. □\begin{выровнено} \mathbb{E}[X \cdot Y] &= \sum_{i,j} P(X = a_i) \cdot P(Y = b_j) a_i b_j \\ &= \left(\sum_{i} P(X = a_i) a_i \right) \left(\sum_{j} P(Y = b_j) b_j \right)\\ &= \mathbb{E}[X] \cdot \mathbb{E}[Y].\ _\square \end{align}E[X⋅Y]​=i,j∑​P(X=ai​)⋅P(Y=bj​)ai​bj​=(i∑​P(X=ai​)ai ​)(j∑​P(Y=bj​)bj​)=E[X]⋅E[Y]. □​​

2 4 3 1

Пусть XXX и YYY — случайные величины, описывающие независимые подбрасывания правильной монеты. Пусть ZZZ будет случайной величиной, равной 111, если орлом выпадают и XXX, и YYY, и равной 0 в противном случае.

Сколько из следующих утверждений верны?

  • Набор случайных величин {X,Y}\{X, Y\}{X,Y} независим.
  • Набор случайных величин {X,Z}\{X, Z\}{X,Z} независим.
  • Набор случайных величин {Y,Z}\{Y, Z\}{Y,Z} независим.
  • Набор случайных величин {X,Y,Z}\{X, Y, Z\}{X,Y,Z} независим.

Вероятность — правило произведения

Условная вероятность

Процитировать как: Вероятность — Независимые события. Brilliant.org . Извлекаются из https://brilliant.org/wiki/вероятность-независимые-события/

Вероятность: Независимые события

Жизнь полна случайных событий!

Вам нужно «почувствовать» их, чтобы быть умным и успешным человеком.

Подбрасывание монеты, игра в кости и розыгрыш лотереи — все это примеры случайных событий.

Могут быть:

Зависимые события где то, что происходит зависит от того, что произошло до этого, например, взятие карт из колоды каждый раз делает меньше карт (подробнее см. Условная вероятность), или

Независимые События о которых мы узнаем здесь.

Независимые события

Независимые события не подвержены влиянию предыдущих событий.

Это важная идея!

Монета не «знает», что раньше выпадала орлом.

И каждый бросок монеты — это совершенная изолированная вещь.

Пример: Вы подбрасываете монету, и она трижды выпадает «орел» … какова вероятность того, что

при следующем подбрасывании тоже будет «Голова»?

Вероятность равна ½ (или 0,5), как при ЛЮБОМ подбрасывании монеты.

То, что он сделал в прошлом, не повлияет на текущий бросок!

Некоторые люди думают, что «решка уже настала», но на самом деле действительно следующий бросок монеты совершенно не зависит от предыдущих бросков.

Высказывание «выпадение хвоста» или «еще раз, моя удача должна измениться» называется Заблуждение игрока

Конечно, удачи может измениться , потому что каждый бросок монеты имеет равные шансы.

Вероятность независимых событий

«Вероятность» (или «шанс») — это насколько вероятно что-то должно произойти.

Так как же рассчитать вероятность?

Вероятность события = Количество способов, которыми это может произойти Общее количество исходов

 

Пример: какова вероятность выпадения «орла» при подбрасывании монеты?

Количество возможных вариантов: 1 (Орел)

Общее количество исходов: 2 (Орел и Решка)

Таким образом, вероятность = 1 2 = 0,5

Пример: какова вероятность выпадения «4» или «6» при бросании игральной кости?

Количество возможных вариантов: 2 («4» и «6»)

Всего исходов: 6 («1», «2», «3», «4», «5 » и «6»)

Итак, вероятность = 2 6 знак равно 1 3 = 0,333…

Способы отображения вероятности

Вероятность изменяется от 0 (невозможно) до 1 (достоверно):

Часто отображается как десятичная дробь 2,5 90 852 53 90 853 или 90 852 853 или 90 853

Пример: вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты:

  • В десятичном виде: 0,5
  • В виде дроби: 1/2
  • В процентах: 50%
  • Или иногда так: 1-в-2

Два или более событий

Мы можем рассчитать шансы двух или более независимых событий на , умножив шансов.

Пример: Вероятность выпадения 3 орлов подряд

При каждом подбрасывании монеты вероятность выпадения орла равна 0,5:

Таким образом, вероятность выпадения 3 орлов подряд равна 0,125

Таким образом, при каждом подбрасывании монеты вероятность выпадения орла равна ½, но много орлов подряд маловероятно.

Пример: Почему маловероятно, что выпадет, скажем, 7 орлов подряд, когда

при каждом подбрасывании монеты вероятность выпадения орла равна ½?

Потому что мы задаем два разных вопроса:

Вопрос 1: Какова вероятность 7 орлов подряд?

Ответ: 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 × 1 2 = 0,0072512551225512255122551225512255125255125255125255125255125255125255125255. у нас только что выпало 6 решек подряд, какова вероятность того, что при следующем подбрасывании тоже выпадет решка?

Ответ: ½, так как предыдущие броска не влияют на следующий

Вы можете поиграть с Quincunx, чтобы увидеть, как многие независимые эффекты могут иметь закономерность.

Обозначение

Мы используем «P» для обозначения «вероятности»,

Итак, для независимых событий:

P(A и B) = P(A) × P(B) равна вероятности A, умноженной на вероятность B

Пример: ваш босс (справедливости ради) случайным образом назначает всем дополнительные 2 часа работы по вечерам выходных с 4 до полуночи.

Каковы шансы попасть в субботу между 4 и 6?

День: есть два выходных дня, поэтому P(суббота) = 0,5

Время: вы хотите 2 часа от «4 до 6», из 8 часов от 4 до полуночи):

P(«4 до 6 «) = 2/8 = 0,25

А:

П(суббота и «4 до 6») = P(суббота) × P(«от 4 до 6»)
  = 0,5 × 0,25
  = 0,125

Или шанс 12,5%

(Примечание: мы могли ТАКЖЕ вычислить, что вы хотели 2 часа из возможных 16 часов, что составляет 2/16 = 0,125. Здесь работают оба метода.)

Другой пример

Пример: вероятность задержки рейса равна 0,2 (=20%), какова вероятность того, что рейс не задержится при полете туда и обратно

, так что это все возможные исходы:

0,8 × 0,8 =   0,64 вероятность отсутствие задержек
0,2 × 0,8 =   0,16 вероятность задержки 1-го рейса
0,8 × 0,2 =   0,16 вероятность задержки обратного рейса
0,2 × 0,2 =   0,04 вероятность задержки обоих рейсов

Когда мы складываем все возможности, мы получаем:

0,64 + 0,16 + 0,16 + 0,04 = 1,0

Все они складываются в 1,0, что является хорошим способом проверки наших расчетов.

Результат: 0,64 , или вероятность отсутствия задержек 64%

  • , затем один из них выбирается случайным образом, чтобы получить большой денежный приз:
  • Каковы ваши шансы выиграть главный приз?

    • есть шанс 1/5 попасть в круг победителей
    • и 1/2 шанса выиграть большой приз

    Таким образом, у вас есть шанс 1/5, за которым следует шанс 1/2. .. что в сумме дает шанс 1/10: × 2 = 1 10

    Или мы можем рассчитать с помощью десятичных дробей (1/5 равно 0,2, а 1/2 равно 0,5):

    0,2 ​​x 0,5 = 0,1

    Таким образом, ваш шанс выиграть большие деньги равен 0,1 (что равно то же, что 1/10).

    Совпадение!

    Многие «совпадения» на самом деле вероятны.

    Пример: вы находитесь в комнате с 30 людьми и обнаруживаете, что Зак и Анна празднуют свой день рождения в один и тот же день.

    Вы говорите:

    • «Вау, как странно!», или
    • «Это кажется разумным, когда здесь так много людей»

    На самом деле существует 70% вероятность того, что произойдет… так что вероятно .

    Почему шанс так высок?

    Потому что вы сравниваете всех со всеми (а не одного со многими).

    А для 30 человек это 435 сравнений

     

    (дополнительную информацию см. в разделе Общие дни рождения. )

     

    Пример: Snap!

    Говорили ли вы когда-нибудь что-то ровно в то же время, что и кто-то другой ?

    Ого, как здорово!

    Но вы, вероятно, делились впечатлениями (фильмом, путешествием и т. д.), поэтому ваши мысли были похожи.

    И так много способов что-то сказать…

    … так это как в карточной игре «Щелк!» (также называемые Slaps или Slapjack) …

    … если вы произнесете достаточное количество слов вместе, они в конечном итоге совпадут.

    Так что, может быть, не так уж и удивительно, просто случайность.

    Можете ли вы назвать другие случаи, когда «совпадение» было просто вероятным?

    Заключение

    • Вероятность: (Количество возможных вариантов) / (Общее количество исходов)
    • На зависимые события (например, извлечение шариков из мешка) влияют предыдущие события
    • Независимые события (например, подбрасывание монеты) не подвержены влиянию предыдущих событий
    • Мы можем рассчитать вероятность двух или более независимых событий на умножив
    • Не все совпадения маловероятны (если подумать).

     

     

    Условная вероятность и независимость » Биостатистика » Колледж общественного здравоохранения и медицинских профессий » Университет Флориды

    • Независимые события
    • Правило умножения для независимых событий (шестое правило)
    • Условная вероятность (правило седьмое)
    • Независимые события (Часть 2)
    • Общее правило умножения (правило восемь)
    • Подведем итоги

    CO-6:  Применять основные понятия вероятности, случайных вариаций и широко используемых статистических распределений вероятностей.

    LO 6.4:  Связать вероятность события с вероятностью его возникновения.

    LO 6.5:  Применить подход относительной частоты для оценки вероятности события.

    LO 6.6:  Применить основные правила логики и вероятности, чтобы найти эмпирическую вероятность события.

    Обзор:  Модуль 1 Случай C-C

    • В частности, идея условных процентов будет эквивалентна идее условных вероятностей , обсуждаемой в этом разделе.

    Видео:  Условная вероятность и независимость (28:13)

    В последнем разделе мы установили некоторые из основных правил вероятности, в том числе:

    • Основные свойства вероятности (правило первое и правило второе)
    • Правило дополнения (правило третье)
    • Правило сложения для непересекающихся событий (четвертое правило)
    • Общее правило сложения, для которого события не обязательно должны быть непересекающимися (Пятое правило)

    Чтобы завершить наш набор правил, нам по-прежнему потребуются два правила умножения для нахождения P(A и B) и важные концепции независимых событий и условной вероятности.

    Сначала мы введем понятие независимых событий, а затем введем правило умножения для независимых событий, которое позволяет найти P(A  и  B) в случаях, когда события A и B независимы.

    Далее мы определим условную вероятность и используем ее для формализации нашего определения независимых событий, которое изначально представлено только интуитивно.

    Затем мы разработаем Общее правило умножения, правило, которое подскажет нам, как найти P(A  и Б) в случаях, когда события А и Б не обязательно независимы.

    Мы закончим обсуждением применения вероятности в науках о здоровье.

    Независимые события

    LO 6.7:  Определите, являются ли два события независимыми или зависимыми, и обоснуйте свой вывод.

    Мы начнем со словесного определения независимых событий (позже мы будем использовать обозначение вероятности для более точного определения).

    Независимые события:

    • Два события A и B называются независимыми , если факт возникновения одного события не влияет на вероятность возникновения другого события.
    • Если факт возникновения одного события влияет на вероятность возникновения другого события, то говорят, что два события зависимы.

    Вот несколько примеров:

    ПРИМЕР:

    В женском кармане две четверти и два пятицентовика.

    Она случайным образом извлекает одну из монет и, посмотрев на нее, кладет ее на место, прежде чем выбрать вторую монету.

    Пусть Q1 — событие, состоящее в том, что первая монета — четвертак, а Q2 — событие, что вторая монета — четвертак.

    Являются ли события Q1 и Q2 независимыми?

    • Почему?

    Поскольку первая выбранная монета заменена на , независимо от того, произошло ли Q1 (т. е. была ли первая монета четвертью), не влияет на вероятность того, что вторая монета будет четвертью, P(Q2).

    В любом случае (независимо от того, произошло Q1 или нет), когда она выбирает вторую монету, у нее в кармане:

    и, следовательно, P(Q2) = 2/4 = 1/2 независимо от произошел ли Q1.

    ПРИМЕР:

    В женском кармане две четверти и две пятицентовика.

    Она случайно извлекает одну из монет и не кладя обратно в карман, она берет вторую монету.

    Как и прежде, пусть Q1 будет событием, что первая монета — четвертак, а Q2 будет событием, что вторая монета — четвертак.

    Являются ли события Q1 и Q2 независимыми?

    • Q1 и Q2 не являются независимыми . Они зависят от .  Почему?

    Так как первая выбранная монета не заменена,  выпало ли Q1 (т. е. была ли первая монета четвертью) влияет на  вероятность того, что вторая монета является четвертью, P(Q2).

    Если Q1 выпало (т.е. первая монета была четвертаком), то при выборе второй монеты женщина имеет в кармане:

    • В этом случае P(Q2) = 1/3.

    Однако если Q1 не произошло (т.е. первой монетой была не четверть, а пятак), то при выборе второй монеты женщина имеет в кармане:

    • В этом случае P(Q2) = 2/3.

    В последних двух примерах мы могли бы произвести некоторые вычисления, чтобы проверить, являются ли два события независимыми или нет.

    Иногда мы можем просто руководствоваться здравым смыслом, чтобы понять, являются ли два события независимыми. Вот пример.

    ПРИМЕР:

    Два человека выбираются одновременно и случайным образом из всех жителей США.

    Пусть B1 будет событием, что у одного из людей голубые глаза, а B2 будет событием, что у другого человека голубые глаза.

    В этом случае, поскольку они были выбраны случайным образом, наличие у одного из них голубых глаз не влияет на вероятность того, что у другого голубые глаза, и, следовательно, B1 и B2 независимы .

    С другой стороны …

    ПРИМЕР:

    В семье четверо детей, двое из которых выбираются случайным образом.

    Пусть B1 будет событием, что у одного ребенка голубые глаза, а B2 будет событием, что у другого выбранного ребенка голубые глаза.

    В данном случае B1 и B2 не являются независимыми, так как мы знаем, что цвет глаз передается по наследству.

    Таким образом, независимо от того, является ли один ребенок голубоглазым, вероятность того, что у другого ребенка будут голубые глаза, соответственно увеличится или уменьшится.

    Комментарии:

    • Студенты довольно часто вначале путаются в различии между идеей непересекающихся событий и идеей независимых событий . Цель этого комментария (и следующего за ним задания) — помочь учащимся лучше понять эти очень разные идеи.

    Идея непересекающихся событий заключается в том, могут ли события произойти одновременно (см. примеры на странице Основные правила вероятности).

    Идея независимых событий заключается в том, влияют ли события друг на друга в том смысле, что возникновение одного события влияет на вероятность возникновения другого (см. примеры выше).

    Следующее задание касается различия между этими понятиями.

    Цель этого задания — помочь вам лучше понять концепции непересекающихся и независимых событий, а также различия между ними.

    Обучение в процессе работы: Независимые события

    Обобщим три части деятельности:

    • В примере 1: A и B не пересекаются и независимы
    • В примере 2: A и B не являются дизъюнктными и не независимыми
    • В примере 3: A и B являются непересекающимися и не независимыми .

    Почему мы исключили случай, когда события не пересекаются и независимы?

    Причина в том, что этого дела НЕ СУЩЕСТВУЕТ!

    A и B Независимые A и B не являются независимыми
    A и B непересекающиеся НЕ СУЩЕСТВУЕТ Пример 3
    А и В не пересекаются Пример 1 Пример 2

    Если события не пересекаются , то их должно быть не независимые, т.е. они должны быть зависимыми событиями.

    Почему?

    • Напомним: если A и B не пересекаются, то они не могут произойти вместе.
    • Другими словами, если A и B являются непересекающимися событиями, это означает, что если событие A происходит, то B не происходит, и наоборот.
    • Ну… если это так, то знание о том, что событие А произошло, резко меняет вероятность того, что событие Б произойдет — эта вероятность равна нулю.
    • Это означает, что A и B не являются независимыми.

    Теперь, когда мы поняли идею независимых событий, мы наконец можем перейти к правилам нахождения P(A и B) в особом случае, когда события A и B независимы.

    Позже мы представим более общую версию для использования, когда события не обязательно независимы.

    Правило умножения для независимых событий (шестое правило)

    LO 6.8: Примените правило умножения для независимых событий для расчета P(A и B) для независимых событий.

    Теперь обратимся к правилам вычисления

    • P(A и B) = P(происходит как событие A, так и событие B)

    начиная с правила умножения независимых событий.

    Используя диаграмму Венна, мы можем визуализировать «A и B», которые представлены перекрытием между событиями A и B:

    Шестое правило вероятности (правило умножения независимых событий):

    • Если A и B — два НЕЗАВИСИМЫХ события, то P(A и B) = P(A) * P(B).

    Комментарий:

    • При работе с вероятностными правилами слово «и» всегда будет связано с операцией умножения ; отсюда и название этого правила — «Правило умножения».

    ПРИМЕР:

    Вспомните пример группы крови:

    Два человека выбираются одновременно и случайным образом из всех жителей Соединенных Штатов.

    Какова вероятность того, что у обоих группа крови O?

    • Пусть O1= «человек 1 имеет группу крови O» и
    • O2= «у человека 2 группа крови O»

    Нам нужно найти P(O1 и O2)

    Поскольку они были выбраны одновременно и случайным образом, группа крови одного не влияет на группу крови другого. Следовательно, O1 и O2 независимы, и мы можем применить Правило 6:

    • P(O1 и O2) = P(O1) * P(O2) = 0,44 * 0,44 = 0,1936.

    Я понял?: Шестое правило вероятности

    Комментарии:

    • Теперь у нас есть правило сложения, которое говорит

    P(A или B) = P(A) + P(B) для непересекающихся событий,

    и правило умножения, которое гласит

    P(A и B) = P(A) * P(B) для независимых событий.

    Цель этого комментария — указать величину P(A или B) и P(A и B) по отношению к любой из отдельных вероятностей.

    Поскольку вероятности никогда не бывают отрицательными, вероятность одного события или  другой всегда , по крайней мере, такой же большой, как любая из отдельных вероятностей .

    Поскольку вероятности никогда не превышают 1, вероятность одного события и другого обычно включает умножение чисел, меньших 1, поэтому никогда не может быть больше любой из отдельных вероятностей .

    Вот пример:

    ПРИМЕР:

    Рассмотрим событие A, состоящее в том, что случайно выбранный человек имеет группу крови A.

    Измените его на более общее событие — случайно выбранный человек имеет группу крови А или В — и вероятность возрастет.

    Изменить его на более конкретное (или ограничительное) событие — что не только один случайно выбранный человек имеет группу крови А, но что из двух одновременно случайно выбранных людей у ​​человека 1 будет группа крови А, а у человека 2 будет группа крови В — и вероятность снижается.

    Важно упомянуть об этом, чтобы искоренить распространенное заблуждение.

    • Слово «и» ассоциируется в нашем сознании с «добавлением еще чего-то». Поэтому некоторые студенты неверно считают, что P(A и B) должно быть больше, чем любая из отдельных вероятностей, тогда как на самом деле оно меньше, поскольку это более конкретное (ограничительное) событие.
    • Кроме того, слово «или» ассоциируется в нашем сознании с «выбором между» или «потерей чего-либо», и поэтому некоторые студенты неправильно думают, что P(A или B) должно быть меньше любого из вероятностей, тогда как на самом деле оно больше, так как это более общее событие.

    Практически этот комментарий можно использовать для проверки себя при решении задач.

    Например, если вы решаете задачу, в которой используется «или», и результирующая вероятность меньше любой из отдельных вероятностей, то вы знаете, что где-то допустили ошибку.

    Я понял?: Сравнение P(A и B) с P(A или B)

    Комментарий:

    • Шестое правило вероятностей можно использовать в качестве теста, чтобы увидеть, являются ли два события независимыми или нет.
    • Если вы можете легко найти P(A), P(B) и P(A и B) с помощью логики или получить эти значения, то мы можем проверить независимые события, используя правило умножения для независимых событий:

      ЕСЛИ P(A)*P(B) = P(A и B), ТО A и B — независимые события, в противном случае — зависимые события.

    Как вы видели, последние три введенных нами правила (правило дополнения, правила сложения и правило умножения независимых событий) часто используются при решении задач.

    Прежде чем мы перейдем к нашему следующему правилу, вот два комментария, которые помогут вам использовать эти правила в более широких типах задач и более эффективно.

    Комментарий:

    • Как мы упоминали ранее, правило сложения для непересекающихся событий (правило четыре) можно распространить на более чем два непересекающихся события.
    • Точно так же правило умножения для независимых событий (шестое правило) может быть расширено до более чем двух независимых событий.
    • Итак, если, например, А, В и С являются тремя независимыми событиями, то Р(А, В и С) = Р(А) * Р(В) * Р(С).
    • Эти расширения довольно просты, если вы помните, что «или» требует от нас сложения, а «и» требует от нас умножения.

    ПРИМЕР:

    Три человека выбираются одновременно и случайным образом.

    Какова вероятность того, что у всех троих группа крови В?

    Мы будем использовать обычные обозначения B1, B2 и B3 для событий, когда люди 1, 2 и 3 имеют группу крови B соответственно.

    Нам нужно найти P(B1 и B2 и B3). Давайте решим это вместе:

    Учитесь на практике: Шестое правило расширения вероятности

    Вот еще один пример, который может показаться весьма удивительным.

    ПРИМЕР:

    Правильная монета подбрасывается 10 раз. Какой из следующих двух исходов более вероятен?

    (a) HHHHHHHHHH

    (b) HTTHHTHTTH

    Учитесь на практике: Удивительный результат с использованием правила вероятности шесть?

    На самом деле они равновероятны. 10 бросков независимы, поэтому мы будем использовать правило умножения для независимых событий:

    • P(HHHHHHHHHH) = P(H) * P(H) * … *P(H) = 1/2 * 1/2 *… * 1/2 = (1/2) 10
    • P(HTTHHTHTTH) = P(H) * P(T) * … * P(H) = 1/2 * 1/2 *… * 1/2 = (1/2) 10

    Вот идея:

    Наш случайный эксперимент заключается в подбрасывании монеты 10 раз.

    • Вы можете себе представить, насколько огромен пример пространства.
    • На самом деле у этого эксперимента есть 1024 возможных исхода, и все они равновероятны.

    Таким образом,

    • хотя это правда, что более вероятно получить исход с 5 орлами и 5 решками, чем исход только с орлами
    • и много возможных исходов которые дают 5 орлов и 5 решек

      • , они равновероятны .

      ВАЖНО Комментарии:

      • Только используйте правило умножения для независимых событий , правило шесть, которое говорит P(A и B) = P(A)P(B), если вы уверены, два события независимы.
        • Шестое правило вероятности верно ТОЛЬКО для независимых событий.
      • При нахождении P(A или B) по общему правилу сложения: P(A) + P(B) – P(A и B) ,
        • НЕ используйте правило умножения для независимых событий для вычисления P(A и B), используйте только логику и подсчет.

      Условная вероятность (правило семь)

      LO 6.9:  Применять логические или вероятностные правила для расчета условных вероятностей P(A|B) и интерпретировать их в контексте.

      Теперь введем понятие условной вероятности .

      Идея состоит в том, что на вероятность определенных событий может влиять то, произошли ли другие события.

      Термин « условное » относится к тому факту, что у нас будут дополнительные условия, ограничения или другая информация , когда нас попросят рассчитать этот тип вероятности.

      Давайте проиллюстрируем эту идею на простом примере:

      ПРИМЕР:

      Были опрошены все учащиеся определенной средней школы, а затем классифицированы по полу и по наличию прокола ушей:

      (Обратите внимание, что это двусторонняя таблица подсчетов, которая впервые была представлена, когда мы говорили об отношениях между двумя категориальными переменными.

      Неудивительно, что мы используем его снова в этом примере, так как у нас действительно есть здесь две категориальные переменные:

      • Пол: М или Ж (в нашей нотации «не М»)
      • Проколотый: Да или Нет

      Предположим, что в школе случайным образом выбран ученик.

      • Пусть M и не M обозначают события мужского и женского пола, соответственно,
      • и E и без E  обозначают события, связанные с прокалыванием ушей или без него, соответственно.

      Какова вероятность того, что учащийся проколол одно из ушей?

      Так как студент выбран случайным образом из группы 500 студентов, из которых 324 студента,

      • P(E) = 324/500 = 0,648

      Какова вероятность того, что студент — мужчина?

      Так как студент выбран случайным образом из группы 500 студентов, из которых 180 мужчин,

      • Р(М) = 180/500 = 0,36.

      Какова вероятность того, что учащийся — мужчина и у него проколоты уши?

      Поскольку студент выбран случайным образом из группы из 500 студентов, из которых 36 мужчин, у которых проколоты уши,

      • P(M и E) = 36/500 = 0,072

      Теперь кое-что новое:

      Учитывая , что выбранный студент — мужчина, какова вероятность того, что у него проколото одно или оба уха?

      В этом месте требуются новые обозначения, чтобы выразить вероятность определенного события при условии, что имеет место другое событие.

      Мы будем писать

      • « вероятность проколоть одно из ушей (E), учитывая, что учащийся — мужчина (M) »
      • как P(E | M).

      Несколько слов об этих новых обозначениях:

      • Событие, вероятность которого мы ищем (в данном случае E), пишется первым,
      • вертикальная линия означает слово « с учетом » или « с учетом »,
      • .
      • , а заданное событие (в данном случае M) пишется после «|» знак.

      Мы называем эту вероятность

      • условной вероятностью того, что одно из ушей проколото, учитывая, что учащийся — мужчина :
      • он оценивает вероятность прокалывания ушей при условии, что он является мужчиной.

      Теперь, чтобы найти вероятность, заметим, что выбор только из мальчиков в школе по существу изменяет пространство выборки со всех учащихся школы на всех учеников мужского пола в школе .

      общее количество возможных исходов равно больше не 500 , а изменилось на 180 .

      Из этих 180 мужчин 36 имеют проколотые уши, и, таким образом:

      • P(E | M) = 36/180 = 0,20.

      Хорошей наглядной иллюстрацией этой условной вероятности является двусторонняя таблица:

      , который показывает нам, что условная вероятность в этом примере такая же, как и условные проценты, которые мы рассчитали в разделе 1. На приведенном выше визуальном рисунке ясно, что мы вычисляем процент строки.

      ПРИМЕР:

      Рассмотрим пример с пирсингом, где дана следующая двусторонняя таблица:

      Напомним также, что М представляет собой событие быть мужчиной («не М» представляет собой быть женщиной), а Е представляет случай прокалывания одного или обоих ушей.

      Я понял?: Условная вероятность

      Другой способ визуализации условной вероятности — использование диаграммы Венна: состоит только из самцов) заштрихован светло-зеленым,

    • , и в пределах этого пространства выборки интересующее событие (прокалывание ушей) окрашено в темно-зеленый цвет.

    Двусторонняя таблица иллюстрирует идею с помощью подсчетов, тогда как диаграмма Венна преобразует подсчеты в вероятности, которые представлены в виде областей, а не ячеек.

    Мы можем работать с числами, представленными в двусторонней таблице, чтобы записать

    • P(E | M) = 36/180.

    Или мы можем работать с вероятностями, представленными на диаграмме Венна, записав

    • P(E | M) = (36/500) / (180/500).

    Мы захотим, однако, записать наше формальное выражение для условных вероятностей в терминах других, обычных вероятностей, и поэтому определение условной вероятности вырастет из диаграммы Венна.

    Обратите внимание, что

    • P(E | M) = (36/500) / (180/500) = P(M и E) / P(M).

    Седьмое правило вероятности (правило условной вероятности): 

    • Условная вероятность события B при заданном событии A равна P(B | A) = P(A и B) / P(A)

    Комментарии:

    • Обратите внимание, что при оценке условной вероятности мы всегда делим ее на вероятность данного события. Вероятность того и другого входит в числитель.
    • Приведенная выше формула верна до тех пор, пока P(A) > 0, поскольку мы не можем делить на 0. Другими словами, мы не должны искать вероятность события при условии, что произошло невозможное событие.
    • 14 % вероятность возникновения проблем со сном, известных как бессонница (обозначьте это событие  я ),
    • существует 26% вероятность возникновения головной боли (обозначьте это событие как H ),
    • , и есть 5% вероятность возникновения обоих побочных эффектов ( I и H ).

    (а) Предположим, что у пациента бессонница; какова вероятность того, что больной также будет испытывать головную боль?

    Поскольку мы знаем (или это с учетом ), что пациент страдал бессонницей , мы ищем P(H | I) .

    Согласно определению условной вероятности:

    • P(H | I) = P(H и I) / P(I) = 0,05/0,14 = 0,357.

    (b) Предположим, что лекарство вызывает у пациента головную боль; какова вероятность того, что он также вызывает бессонницу?

    Здесь нам дано, что пациент испытывал головную боль, поэтому мы ищем P(I | H).

    Используя определение

    • P(I | H) = P(I и H) / P(H) = 0,05/0,26 = 0,1923.

    Комментарий:

    • Обратите внимание, что ответы на вопросы (a) и (b) выше различны.
    • В общем случае P(A | B) не равно P(B | A). Мы вернемся и проиллюстрируем этот момент позже.

    Теперь, когда мы ввели условную вероятность, попробуйте интерактивную демонстрацию ниже, в которой используется диаграмма Венна для иллюстрации основных вероятностей, которые мы обсуждали.

    Теперь вы можете исследовать и условные вероятности.

    Интерактивный апплет: Условная вероятность

    Независимые события (Часть 2)

    LO 6. 7:  Определите, являются ли два события независимыми или зависимыми, и обоснуйте свой вывод.

    Как мы видели в разделе Исследовательский анализ данных, всякий раз, когда ситуация включает более одной переменной, обычно представляет интерес определить, связаны ли эти переменные.

    В вероятности мы говорим о независимых событиях , а ранее мы говорили, что два события A и B являются независимыми , если событие A не влияет на вероятность того, что событие B произойдет.

    Теперь, когда мы ввели условную вероятность, мы можем формализовать определение независимости событий и разработать четыре простых способа проверки того, являются ли два события независимыми или нет.

    Мы представим эти « проверки независимости » на примерах, а затем подведем итоги.

    ПРИМЕР:

    Снова рассмотрим двустороннюю таблицу для всех 500 учеников определенной средней школы, классифицированных по полу и по тому, прокололи ли они одно или оба уха.

    Ожидаете ли вы, что эти две переменные будут связаны?

    • То есть вы ожидаете, что наличие проколотых ушей будет зависеть от того, мужчина это или женщина?
    • Или, другими словами, повлияет ли знание пола ученика на вероятность того, что у него проколоты уши?

    Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем сравнить общую вероятность проколоть уши с условной вероятностью проколоть уши, учитывая, что учащийся является мужчиной.

    Наша интуиция подсказывает нам, что последнее должно быть ниже:

    • Студенты мужского пола, как правило, не прокалывают уши, в то время как студентки прокалывают уши.

    Действительно, для учащихся в целом вероятность проколоть уши (событие E) равна

    • P(E) = 324/500 = 0,648.

    Но вероятность проколоть уши при условии, что учащийся — мужчина, составляет всего

    • P(E | M) = 36/180 = 0,20.

    Как мы и предполагали, P(E | M) ниже, чем P(E).

    Вероятность того, что учащийся проколол уши, изменяется (в данном случае уменьшается), когда мы знаем, что учащийся — мужчина, и поэтому события E и M зависимы .

    Помните, если бы E и M были независимыми, то знание или незнание того, что студент мужчина, не имело бы значения… но оно имело значение.

    В предыдущем примере показано, что один из методов определения того, являются ли два события независимыми, заключается в сравнении P(B | A) и P(B) .

    • Если два равны (т. е. знание или незнание того, произошло ли А, не влияет на вероятность наступления В), то эти два события независимы .
    • В противном случае, если вероятность изменяется на в зависимости от того, знаем ли мы, что А произошло или нет, то два события равны не является независимым .

    Точно так же, используя те же рассуждения, мы можем сравнить P(A | B) и P(A).

    ПРИМЕР:

    Вспомните действия с побочными эффектами (из нижней части страницы Основные правила вероятности.).

    На этикетке «Информация для пациента» определенного антидепрессанта указано, что на основании некоторых клинических испытаний

    • существует 14% вероятность возникновения проблем со сном, известных как бессонница (обозначьте это событие  я ),
    • существует 26% вероятность возникновения головной боли (обозначьте это событие как H ),
    • , и есть 5% вероятность возникновения обоих побочных эффектов ( I и H ).

    Два побочных эффекта не зависят друг от друга?

    Чтобы проверить, независимы ли два побочных эффекта, сравним P(H | I) и P(H).

    В предыдущей части этого раздела мы обнаружили, что

    • P(H | I) = P(H и I) / P(I) = 0,05/0,14 = 0,357,
    • , а P(H) = 0,26.

    Информация о том, что у пациента бессонница, увеличивает вероятность того, что он/она также будет испытывать головную боль с 0,26 до 0,357.

    Таким образом, можно сделать вывод, что два побочных эффекта не являются независимыми, они зависимы .

    В качестве альтернативы мы могли бы сравнить P(I | H) с P(I).

    • P(I) = 0,14 ,
    • , а ранее мы обнаружили, что P(I | H) = P(I и H) / P(H) = 0,05/0,26 = 0,1923,

    Опять же, поскольку эти два не равны , мы можем заключить, что два побочных эффекта I и H являются зависимыми .

    Комментарий:

    • Вспомните пример с проколотыми ушами. Мы проверили независимость событий M (быть мужчиной) и E (иметь проколотые уши), сравнив P(E) с P(E | M).

    Альтернативным методом проверки зависимости может быть сравнение P(E | M) с P(E | не M) [то же, что и P(E | F)].

    В нашем случае P(E | M) = 36/180 = 0,2, в то время как P(E | не M) = 288/320 = 0,9, и поскольку они очень разные, мы можем сказать, что события E и М не являются независимыми.

    В общем случае другой метод проверки независимости событий A и B состоит в сравнении P(B | A) и P(B | не A) .

    Другими словами, два события независимы, если вероятность одного события не меняется независимо от того, знаем ли мы, что другое событие произошло, или знаем, что другое событие не произошло.

    Можно показать, что P(B | A) и P(B | не A)  будут различаться всякий раз, когда различаются P(B) и P(B | A), так что это еще один совершенно законный способ установить зависимость или независимость.

    Прежде чем установить общее правило независимости, давайте рассмотрим пример, иллюстрирующий другой метод, который мы можем использовать для проверки независимости двух событий:

    ПРИМЕР:

    Группа из 100 студентов колледжа была опрошена на предмет их определились ли они с майором.

    Навскидку, у нас не обязательно будет веская причина ожидать, что выбор специальности будет зависеть от пола студента.

    Мы можем проверить независимость, сравнив общую вероятность быть решенным с вероятностью быть решенным при условии, что студентка:

    • P(D) = 45/100 = 0,45 и P(D | F) = 27/60 = 0,45.

    Тот факт, что они равны, говорит нам о том, что, как и следовало ожидать, выбор специальности не зависит от пола.

    Теперь давайте подойдем к вопросу о независимости по-другому: во-первых, мы можем отметить, что общая вероятность быть решенным составляет 45/100 = 0,45.

    И общая вероятность быть женщиной 60/100 = 0,60.

    Если решение не зависит от пола, то 45% из 60% учащихся женского пола должны иметь специальность;

    Другими словами, вероятность быть женщиной и быть решенной должна равняться вероятности быть женщиной, умноженной на вероятность быть решенной.

    Если события F и D независимы, мы должны иметь P(F и D) = P(F) * P(D).

    Фактически, P(F и D) = 27/100 = 0,27 = P(F) * P(D) = 0,45 * 0,60 .

    Это подтверждает нашу альтернативную проверку независимости.

    В общем, другой метод проверки независимости событий A и B состоит в том, чтобы

    • сравнить P(A и B) с P(A) * P(B).
    • Если два числа равны , то А и В равны независимый , иначе два не независимый .

    Давайте суммируем все возможные методы проверки независимости событий, которые мы видели, в одном правиле:

    Тесты для независимых событий:  Два события A и B являются независимыми, если выполняется одно из следующих условий:

    • Р(В | А) = Р(В)
    • Р(А | В) = Р(А)
    • Р(В | А) = Р(В | не А)
    • Р(А и В) = Р(А) * Р(В)

    Комментарий:

    • Эти различные равенства оказываются эквивалентными, так что если выполняется одно равенство, то все равны, а если одно равенство не выполняется, все не равны. (Это происходит по той же причине, что зная одно из значений P(A и B), P(A и не B), P(не A и B) или P(не A и не B), вместе с P(A) и P(B), позволяет определить оставшиеся ячейки двусторонней таблицы вероятностей.)
    • Следовательно, чтобы проверить, независимы ли события A и B, достаточно проверить, выполняется ли только одно из четырех равенств — какое для вас проще.

    Цель следующего задания — попрактиковаться в проверке независимости двух событий с помощью четырех различных возможных методов, которые мы предоставили, и убедиться, что все они приведут нас к одному и тому же выводу, независимо от того, какой из четырех методов мы используем.

    Учись на практике:  Тесты для независимых событий

    Общее правило умножения (восьмое правило)

    LO 6.10:  Используйте общее правило умножения для вычисления P(A и B) для любых событий A и B.

    Теперь, когда у нас есть понимание условных вероятностей и можем выразить их с помощью кратких обозначений и иметь более формальное понимание того, что означает независимость двух событий, мы можем, наконец, установить Общее правило умножения , формальное правило для нахождения P(A и B) , который применяется к любым двум событиям, независимо от того, являются ли они независимыми или зависимыми.

    Начнем с примера, который сравнивает P(A и B) для независимых и зависимых случаев.

    ПРИМЕР:

    Предположим, вы выбираете две карты наугад из четырех карт, состоящих из одной каждой масти: трефа, бубна, черва и пика , где первая карта заменяется до того, как будет выбрана вторая карта.

    Какова вероятность того, что вы выберете трефу, а затем бубну?

    Поскольку выборка выполняется с заменой, выбор ромба при втором выборе не зависит от того, была ли выбрана клюшка при первом выборе.

    Правило 6, правило умножения независимых событий, говорит нам, что:

    • P(C1 и D2) = P(C1) * P(D2) = 1/4 * 1/4 = 1/16.

    Здесь мы обозначаем событие «выбор клюшки при первом выборе» как C1, а событие «выбор ромба при втором выборе» как D2.

    На приведенном ниже дисплее показано, что в 1/4 случаев мы выбираем клюшку первой, и в 1/4 случаев на втором выборе выпадает ромб: 1/4 * 1/4 = 1/16 из выборов сначала будет трефа, а затем ромб.

    ПРИМЕР:

    Предположим, вы выбираете две карты наугад из четырех карт, состоящих из одной каждой масти: трефа, бубна, черва и пика , не заменяя первую карту до того, как будет выбрана вторая карта.

    Какова вероятность того, что вы выберете трефу, а затем бубну?

    Вероятность в этом случае равна , а не 1/4 * 1/4 = 1/16.

    • Поскольку выборка выполняется без замены, то выбор алмаза при втором выборе или зависит от того, что было выбрано при первом выборе.
    • Например, если при первом выборе был выбран бриллиант, вероятность выпадения другого бриллианта равна нулю!
    • Как и в примере выше, в 1/4 случаев мы сначала выбираем клуб.
    • Но так как трефа была удалена, 1/3 этих выборов с трефой на первом месте будут иметь ромб на втором.

    Вероятность выпадения трефы и бубны равна 1/4*1/3=1/12.

    • Это вероятность выпадения трефы первой, умноженная на вероятность выпадения бубна второй, при условии, что трефа была выбрана первой.

    Используя обозначения условных вероятностей, мы можем написать

    • P(C1 и D2) = P(C1) * P(D2 | C1) = 1/4 * 1/3 = 1/12.

    Для независимых событий A и B у нас было правило P(A и B) = P(A) * P(B).

    Из-за независимости, чтобы найти вероятность A и B, мы могли бы умножить вероятность A на простую вероятность B, потому что появление A не повлияет на вероятность появления B.

    Теперь для событий А и В, которые могут быть зависимыми, чтобы найти вероятность А и В, умножаем вероятность А на условную вероятность В , принимая во внимание, что А произошло.

    Таким образом, наше общее правило умножения формулируется следующим образом:

    Общее правило умножения – восьмое правило вероятности:

    • Для любых двух событий A и B, P(A и B) = P(A) * P(B | A)

    Комментарии:

    1. Обратите внимание, что, хотя целью этого правила было найти P(A и B), когда A и B не являются независимыми, это правило является общим в том смысле, что если A и B равны независимые , тогда P(B | A) = P(B) истинно, и мы возвращаемся к правилу 6 — правилу умножения независимых событий: P(A и B) = P(A) * P(B) .

    2. Общее правило умножения — это всего лишь замаскированное определение условной вероятности. Вспомним определение условной вероятности: P(B | A) = P(A и B) / P(A) Давайте изолируем P(A и B), умножив обе части уравнения на P(A), и мы получить: P(A и B) = P(A) * P(B | A) . Вот и все… это Общее правило умножения.

    3. Общее правило умножения полезно, когда два события, A и B, происходят поэтапно, сначала A, а затем B (как выбор двух карт в предыдущем примере). Думая об этом таким образом, общее правило умножения становится очень интуитивным. Чтобы произошли и A, и B, сначала необходимо, чтобы произошло A (что происходит с вероятностью P(A)),  и , то вам нужно, чтобы произошло событие B, зная, что событие A уже произошло (что происходит с вероятностью P(B | A)).

    Я понял?: Общее правило умножения

    Давайте рассмотрим другой, более реалистичный пример:

    ПРИМЕР:

    В определенном регионе каждый тысячный человек (0,001) инфицирован вирусом ВИЧ что вызывает СПИД.

    • Тесты на наличие вируса достаточно точны, но не идеальны.
    • Если у кого-то действительно есть ВИЧ, вероятность положительного результата теста составляет 0,95.

    Пусть H  обозначает случай наличия ВИЧ, а T  событие положительного результата тестирования.

    (a) Выразите информацию, приведенную в задаче, через события H и T.

    • «один из каждой тысячи (0,001) всех людей инфицирован ВИЧ» →  P(H ) = 0,001
    • «Если у кого-то действительно есть ВИЧ, вероятность положительного результата теста составляет 0,9».5 дюймов → P(T | H) = 0,95

    (b) Используйте Общее правило умножения, чтобы найти вероятность того, что кто-то, случайно выбранный из населения, инфицирован ВИЧ и имеет положительный результат теста.

    • P(H и T) = P(H) * P(T | H) = 0,001*0,95 = 0,00095.

    (c) Если у кого-то есть ВИЧ, какова вероятность отрицательного результата теста? Здесь нам нужно найти P (не T | H).

    • Правило дополнения работает с условными вероятностями до тех пор, пока мы условие для того же события , следовательно:
    • Р(не Т | Н) = 1 – Р(Т | Н) = 1 – 0,95 = 0,05.

    Целью следующего упражнения является попрактиковаться в выражении информации в терминах условных вероятностей и в использовании общего правила умножения.

    Учись на практике: Условная вероятность и общее правило умножения

    Подведем итоги

    Этот раздел познакомил вас с фундаментальными понятиями  независимых событий и условная вероятность  — вероятность события при условии, что произошло другое событие.

    Мы видели, что иногда знание того, что произошло другое событие, не влияет на вероятность (когда два события независимы ), а иногда влияет (когда два события не являются независимыми).

    Далее мы обсудили идею независимости и различные способы проверки независимости двух событий.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.