Знаки неравенств — урок. Алгебра, 8 класс.
Неравенства, произведение или частное которых сравнено с нулем — это, например, (x+3)(x−2)>0;x+3x−5≤0.
Один из методов решения таких неравенств — замена системой неравенств.
Чтобы заменить неравенство системами неравенств, нужно знать свойства знаков:
++=+−−=++−=−−+=−++=+−−=++−=−−+=−
Чтобы произведение было положительным, оба множителя должны иметь одинаковые знаки — или положительные, или отрицательные.
Чтобы произведение было отрицательным, множители должны иметь противоположные знаки.
f(x)⋅g(x)>0только в том случае, еслиf(x)>0g(x)>0илиf(x)<0g(x)<0f(x)⋅g(x)<0только в том случае, еслиf(x)>0g(x)<0илиf(x)<0g(x)>0f(x)⋅g(x)≥0только в том случае, еслиf(x)≥0g(x)≥0илиf(x)≤0g(x)≤0f(x)⋅g(x)≤0только в том случае, еслиf(x)≥0g(x)≤0илиf(x)≤0g(x)≥0
Чтобы частное было положительным, делимое и делитель должны иметь
Чтобы частное было отрицательным, делимое и делитель должны иметь противоположные знаки.
f(x)g(x)>0только в том случае, еслиf(x)>0g(x)>0илиf(x)<0g(x)<0f(x)g(x)<0только в том случае, еслиf(x)>0g(x)<0илиf(x)<0g(x)>0f(x)g(x)≥0только в том случае, еслиf(x)≥0g(x)>0илиf(x)≤0g(x)<0f(x)g(x)≤0только в том случае, еслиf(x)≥0g(x)<0илиf(x)≤0g(x)>0
Обрати внимание!
Обрати внимание — в дробном неравенстве знаменатель не может быть равен \(0\), поэтому используются только знаки строгого неравенства (\(<\) или \(>\)).
Пример:
x+2x−3≥0x+2≥0x−3>0, т. к.x+3≠0 илиx+2≤0x−3<0x≥−2x>31 илиx≤−2x<32
Множества решений системы неравенства отображаются на оси координат:
| (1) |  |
| (2) |  |
Ответ: x∈(−∞;−2]∪(3;+∞).
Знак неравенства Википедия
Символы со сходным начертанием: 二 · ニ · ═ · ꞊| Знак равенства | |
|---|---|
| = | |
Изображение
| |
| equals sign | |
| Юни | U+003D |
| HTML- | |
| UTF-16 | 0x3D |
| %3D | |
Знак ра́венства (=) в математике, в логике и других точных науках — символ, который пишется между двумя идентичными по своему значению выражениями.
История появления[ | ]
Знак равенства в современной форме создал валлийский математик Роберт Рекорд (Robert Recorde, ок. 1510—1558) в своём труде The Whetstone of Witte («Оселок остроумия», 1557)[1]. Он обосновал применение двух параллельных штрихов так (орфография оригинала — ранненовоанглийский):
 | And to auoide the tediouſe repetition of theſe woordes : is equalle to : I will ſette as I doe often in woorke vſe, a paire of paralleles, or Gemowe lines of one lengthe, thus: =, bicauſe noe .2. thynges, can be moare equalle. | И чтобы избежать утомительного повторения этих слов : является равным : я буду рисовать, как часто делаю в рабочем обиходе, пару параллелей, или линий-близнецов одной длины, таким образом: =, ибо никакие две вещи не могут быть более равными. |  | |
| — The Whetstone of Witte[2] | ||||
До этого в античной и средневековой математике равенство обозначалось словесно (например est egale). Как можно видеть на изображении страницы из книги Рекорда, введённый им знак равенства был значительно длиннее современного. В своих более ранних трудах в качестве символа равенства Рекорд использовал букву Z
Неравенство — Википедия с видео // WIKI 2
Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков
Область допустимых решений («feasible region») в задачах линейного программирования
- Строгие неравенства
Неравенства a > b {\displaystyle a>b} и b < a {\displaystyle b<a} равносильны. Говорят, что знаки > {\displaystyle >} и < {\displaystyle <} противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что < {\displaystyle <} заменено на > {\displaystyle >} или наоборот.
- Нестрогие неравенства
Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ либо ≦ и ≧. Про знаки ⩽ и ⩾ также говорят, что они противоположны.
- Другие типы неравенств
Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.
В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.
Энциклопедичный YouTube
1/5
Просмотров:22 000
4 532
603
2 029
672
✪ Математика: подготовка к ОГЭ и ЕГЭ. Рациональные неравенства
✪ Математика. Знаки равенства и неравенства. 46 выпуск.
✪ Математика | Неравенства. Часть 1
✪ Математика ЕГЭ для начинающих Показательные неравенства #1
✪ Математика 4 класс. Решение неравенства. Множество решений
Содержание
Связанные определения
Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).
Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:
- a < b < c {\displaystyle a<b<c} — это краткая запись пары неравенств: a < b {\displaystyle a<b} и b < c . {\displaystyle b<c.}
Числовые неравенства
Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных ( x , y , … ) . {\displaystyle (x,y,\dots ).} Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство 18 x < 414 {\displaystyle 18x<414} — алгебраическое первой степени, неравенство 2 x 3 − 7 x + 6 > 0 {\displaystyle 2x^{3}-7x+6>0} — алгебраическое третьей степени, неравенство 2 x > x + 4 {\displaystyle 2^{x}>x+4} — трансцендентное[2].
Свойства
Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений[1]:
- К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
- От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из a + b < c {\displaystyle a+b<c} следует, что a < c − b . {\displaystyle a<c-b.}
- Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
- Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, a < b {\displaystyle a<b} и c < d , {\displaystyle c<d,} то a + c < b + d . {\displaystyle a+c<b+d.} Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
- Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
- Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).
- Другие свойства
- (Транзитивность) Если a < b {\displaystyle a<b} и b < c , {\displaystyle b<c,} то a < c {\displaystyle a<c} и аналогично для прочих знаков.
- Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.
Решение неравенств
Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:
- x 2 < 4 {\displaystyle x^{2}<4} выполняется при − 2 < x < 2. {\displaystyle -2<x<2.}
- x 2 > 4 {\displaystyle x^{2}>4} выполняется, если либо x > 2 , {\displaystyle x>2,} либо x < − 2. {\displaystyle x<-2.}
- x 2 < − 4 {\displaystyle x^{2}<-4} не выполняется никогда (решений нет).
- x 2 > − 4 {\displaystyle x^{2}>-4} выполняется при всех x {\displaystyle x} (тождество).
Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство x > 3 {\displaystyle x>3} возвести в квадрат: x 2 > 9 , {\displaystyle x^{2}>9,} то появится ошибочное решение x < − 3 , {\displaystyle x<-3,} не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.
Неравенства первой степени
Неравенство первой степени имеет общий формат: a x > b {\displaystyle ax>b} или a x < b , {\displaystyle ax<b,} где a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} (работа со знаками ⩾ {\displaystyle \geqslant } и ⩽ {\displaystyle \leqslant } аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на a {\displaystyle a} и, если a < 0 , {\displaystyle a<0,} измените знак неравенства на противоположный[3]. Пример:
- 5 x − 11 > 8 x + 1. {\displaystyle 5x-11>8x+1.} Приведём подобные члены: − 3 x > 12 , {\displaystyle -3x>12,} или x < − 4. {\displaystyle x<-4.}
Системы неравенств первой степени
Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.
Пример 1. Из системы { 4 x − 3 > 5 x − 5 2 x + 4 < 8 x {\displaystyle {\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}} получаем два решения: для первого неравенства x < 2 , {\displaystyle x<2,} для второго: x > 2 3 . {\displaystyle x>{2 \over 3}.} Соединяя их, получаем ответ: 2 3 < x < 2. {\displaystyle {2 \over 3}<x<2.}
Пример 2. { 2 x − 3 > 3 x − 5 2 x + 4 > 8 x {\displaystyle {\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}} Решения: x < 2 {\displaystyle x<2} и x < 2 3 . {\displaystyle x<{2 \over 3}.} Второе решение поглощает первое, так что ответ: x < 2 3 . {\displaystyle x<{2 \over 3}.}
Пример 3. { 2 x − 3 < 3 x − 5 2 x + 4 > 8 x {\displaystyle {\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}} Решения: x > 2 {\displaystyle x>2} и x < 2 3 , {\displaystyle x<{2 \over 3},} они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.
Неравенства второй степени
Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):
- x 2 + p x + q > 0 {\displaystyle x^{2}+px+q>0} или x 2 + p x + q < 0. {\displaystyle x^{2}+px+q<0.}
Если квадратное уравнение x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} имеет вещественные корни x 1 , x 2 , {\displaystyle x_{1},x_{2},} то неравенство можно привести к виду соответственно:
- ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) > 0 {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})>0} или ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) < 0. {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})<0.}
В первом случае x − x 1 {\displaystyle x-x_{1}} и x − x 2 {\displaystyle x-x_{2}} должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило[4].
Квадратный трёхчлен x 2 + p x + q {\displaystyle x^{2}+px+q} с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала. |
Если оказалось, что у уравнения x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех x . {\displaystyle x.} Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры[5]).
Пример 1. − 2 x 2 + 14 x − 20 > 0. {\displaystyle -2x^{2}+14x-20>0.} Разделив на − 2 , {\displaystyle -2,} приведём неравенство к виду: x 2 − 7 x + 10 < 0. {\displaystyle x^{2}-7x+10<0.} Решив квадратное уравнение x 2 − 7 x + 10 = 0 , {\displaystyle x^{2}-7x+10=0,} получаем корни x 1 = 2 ; x 2 = 5 , {\displaystyle x_{1}=2;x_{2}=5,} поэтому исходное неравенство равносильно такому: ( x − 2 ) ( x − 5 ) < 0. {\displaystyle (x-2)(x-5)<0.} Согласно приведенному выше правилу, 2 < x < 5 , {\displaystyle 2<x<5,} что и является ответом.
Пример 2. − 2 x 2 + 14 x − 20 < 0. {\displaystyle -2x^{2}+14x-20<0.} Аналогично получаем, что x − 2 {\displaystyle x-2} и x − 5 {\displaystyle x-5} имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, либо x < 2 , {\displaystyle x<2,} либо x > 5. {\displaystyle x>5.}
Пример 3. x 2 + 6 x + 15 > 0. {\displaystyle x^{2}+6x+15>0.} Уравнение x 2 + 6 x + 15 = 0 {\displaystyle x^{2}+6x+15=0} не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех x . {\displaystyle x.} При x = 0 {\displaystyle x=0} левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех x {\displaystyle x} ).
Пример 4. x 2 + 6 x + 15 < 0. {\displaystyle x^{2}+6x+15<0.} Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.
Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах[6].
Прочие неравенства
Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.
Некоторые известные неравенства
Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы[7].
- ( 1 + x ) n ⩾ 1 + n x , {\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx,} где x ⩾ − 1 , n {\displaystyle x\geqslant -1,n} — положительное число, большее 1.
- | a + b | ⩽ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}
- См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.
Знаки неравенства в языках программирования
Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.
| Символ | Языки |
|---|---|
| != | C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language |
| <> | Basic, Pascal |
| ~= | Lua |
| /= | Haskell, Fortran, Ada |
| # | Modula-2, Oberon |
Коды знаков неравенств
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.
- ↑ Элементарная математика, 1976, с. 217—222.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.
- ↑ Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.
Литература
 | |
|---|---|
| |
Эта страница в последний раз была отредактирована 11 августа 2020 в 16:22.Неравенство — Википедия
Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков[1].
- Строгие неравенства
Неравенства a > b {\displaystyle a>b} и b < a {\displaystyle b<a} равносильны. Говорят, что знаки > {\displaystyle >} и < {\displaystyle <} противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что < {\displaystyle <} заменено на > {\displaystyle >} или наоборот.
- Нестрогие неравенства
Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ {\displaystyle \leqslant } и ⩾ {\displaystyle \geqslant } отличается от принятой за рубежом, где обычно используются знаки ≤ {\displaystyle \leq } и ≥ {\displaystyle \geq } .Про знаки ⩽ {\displaystyle \leqslant } и ⩾ {\displaystyle \geqslant } также говорят, что они противоположны.
- Другие типы неравенств
Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.
В элементарной математике изучают числовые неравенства. В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.
Связанные определения
Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).
Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:
- a < b < c {\displaystyle a<b<c} — это краткая запись пары неравенств: a < b {\displaystyle a<b} и b < c . {\displaystyle b<c.}
Числовые неравенства
Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных ( x , y , … ) . {\displaystyle (x,y,\dots ).} Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство 18 x < 414 {\displaystyle 18x<414} — алгебраическое первой степени, неравенство 2 x 3 − 7 x + 6 > 0 {\displaystyle 2x^{3}-7x+6>0} — алгебраическое третьей степени, неравенство 2 x > x + 4 {\displaystyle 2^{x}>x+4} — трансцендентное[2].
Свойства
Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений[1]:
- К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
- От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из a + b < c {\displaystyle a+b<c} следует, что a < c − b . {\displaystyle a<c-b.}
- Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
- Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, a < b {\displaystyle a<b} и c < d , {\displaystyle c<d,} то a + c < b + d . {\displaystyle a+c<b+d.} Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
- Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
- Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).
- Другие свойства
- (Транзитивность) Если a < b {\displaystyle a<b} и b < c , {\displaystyle b<c,} то a < c {\displaystyle a<c} и аналогично для прочих знаков.
- Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.
Решение неравенств
Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:
- x 2 < 4 {\displaystyle x^{2}<4} выполняется при − 2 < x < 2. {\displaystyle -2<x<2.}
- x 2 > 4 {\displaystyle x^{2}>4} выполняется, если либо x > 2 , {\displaystyle x>2,} либо x < − 2. {\displaystyle x<-2.}
- x 2 < − 4 {\displaystyle x^{2}<-4} не выполняется никогда (решений нет).
- x 2 > − 4 {\displaystyle x^{2}>-4} выполняется при всех x {\displaystyle x} (тождество).
Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство x > 3 {\displaystyle x>3} возвести в квадрат: x 2 > 9 , {\displaystyle x^{2}>9,} то появится ошибочное решение x < − 3 , {\displaystyle x<-3,} не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.
Неравенства первой степени
Неравенство первой степени имеет общий формат: a x > b {\displaystyle ax>b} или a x < b , {\displaystyle ax<b,} где a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} (работа со знаками ⩾ {\displaystyle \geqslant } и ⩽ {\displaystyle \leqslant } аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на a {\displaystyle a} и, если a < 0 , {\displaystyle a<0,} измените знак неравенства на противоположный[3]. Пример:
- 5 x − 11 > 8 x + 1. {\displaystyle 5x-11>8x+1.} Приведём подобные члены: − 3 x > 12 , {\displaystyle -3x>12,} или x < − 4. {\displaystyle x<-4.}
Системы неравенств первой степени
Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.
Пример 1. Из системы { 4 x − 3 > 5 x − 5 2 x + 4 < 8 x {\displaystyle {\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}} получаем два решения: для первого неравенства x < 2 , {\displaystyle x<2,} для второго: x > 2 3 . {\displaystyle x>{2 \over 3}.} Соединяя их, получаем ответ: 2 3 < x < 2. {\displaystyle {2 \over 3}<x<2.}
Пример 2. { 2 x − 3 > 3 x − 5 2 x + 4 > 8 x {\displaystyle {\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}} Решения: x < 2 {\displaystyle x<2} и x < 2 3 . {\displaystyle x<{2 \over 3}.} Второе решение поглощает первое, так что ответ: x < 2 3 . {\displaystyle x<{2 \over 3}.}
Пример 3. { 2 x − 3 < 3 x − 5 2 x + 4 > 8 x {\displaystyle {\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}} Решения: x > 2 {\displaystyle x>2} и x < 2 3 , {\displaystyle x<{2 \over 3},} они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.
Неравенства второй степени
Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):
- x 2 + p x + q > 0 {\displaystyle x^{2}+px+q>0} или x 2 + p x + q < 0. {\displaystyle x^{2}+px+q<0.}
Если квадратное уравнение x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} имеет вещественные корни x 1 , x 2 , {\displaystyle x_{1},x_{2},} то неравенство можно привести к виду соответственно:
- ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) > 0 {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})>0} или ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) < 0. {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})<0.}
В первом случае x − x 1 {\displaystyle x-x_{1}} и x − x 2 {\displaystyle x-x_{2}} должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило[4].
Квадратный трёхчлен x 2 + p x + q {\displaystyle x^{2}+px+q} с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала. |
Если оказалось, что у уравнения x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех x . {\displaystyle x.} Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры[5]).
Пример 1. − 2 x 2 + 14 x − 20 > 0. {\displaystyle -2x^{2}+14x-20>0.} Разделив на − 2 , {\displaystyle -2,} приведём неравенство к виду: x 2 − 7 x + 10 < 0. {\displaystyle x^{2}-7x+10<0.} Решив квадратное уравнение x 2 − 7 x + 10 = 0 , {\displaystyle x^{2}-7x+10=0,} получаем корни x 1 = 2 ; x 2 = 5 , {\displaystyle x_{1}=2;x_{2}=5,} поэтому исходное неравенство равносильно такому: ( x − 2 ) ( x − 5 ) < 0. {\displaystyle (x-2)(x-5)<0.} Согласно приведенному выше правилу, 2 < x < 5 , {\displaystyle 2<x<5,} что и является ответом.
Пример 2. − 2 x 2 + 14 x − 20 < 0. {\displaystyle -2x^{2}+14x-20<0.} Аналогично получаем, что x − 2 {\displaystyle x-2} и x − 5 {\displaystyle x-5} имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, либо x < 2 , {\displaystyle x<2,} либо x > 5. {\displaystyle x>5.}
Пример 3. x 2 + 6 x + 15 > 0. {\displaystyle x^{2}+6x+15>0.} Уравнение x 2 + 6 x + 15 = 0 {\displaystyle x^{2}+6x+15=0} не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех x . {\displaystyle x.} При x = 0 {\displaystyle x=0} левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех x {\displaystyle x} ).
Пример 4. x 2 + 6 x + 15 < 0. {\displaystyle x^{2}+6x+15<0.} Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.
Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах[6].
Некоторые известные неравенства
Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы[7].
- ( 1 + x ) n ⩾ 1 + n x , {\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx,} где x ⩾ − 1 , n {\displaystyle x\geqslant -1,n} — натуральное число.
- | a + b | ⩽ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}
- См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.
Знаки неравенства в языках программирования
Символ «не равно» в разных языках программирования изображается по-разному.
| Символ | Языки |
|---|---|
| != | C, Java, PHP, Python |
| <> | Basic, Pascal |
| ~= | Lua |
| /= | Haskell, Fortran, Ada |
| # | Modula-2, Oberon |
Коды знаков неравенств
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.
- ↑ Элементарная математика, 1976, с. 217—222.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.
- ↑ Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.
Литература
- Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
- Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.
Знаки неравенства Википедия
О неравенствах в социально-экономическом смысле см. Социальное неравенство.Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков[1].
Область допустимых решений («feasible region») в задачах линейного программирования
- Строгие неравенства
- a < b {\displaystyle a<b} — означает, что a {\displaystyle a} меньше, чем b . {\displaystyle b.}
- a > b {\displaystyle a>b} — означает, что a {\displaystyle a} больше, чем b . {\displaystyle b.}
Неравенства a > b {\displaystyle a>b} и b < a {\displaystyle b<a} равносильны. Говорят, что знаки > {\displaystyle >} и < {\displaystyle <} противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что < {\displaystyle <} заменено на > {\displaystyle >} или наоборот.
- Нестрогие неравенства
- a ⩽ b {\displaystyle a\leqslant b} — означает, что a {\displaystyle a} меньше либо равно b . {\displaystyle b.}
- a ⩾ b {\displaystyle a\geqslant b} — означает, что a {\displaystyle a} больше либо равно b . {\disp
Линейные неравенства. Подробная теория с примерами.
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Раз уж ты оказался на этой теме, то ты наверняка уже знаком с темой «Линейные уравнения».
Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение.
Без усвоенной темы «Линейные уравнения» спокойное плавание в «Линейных неравенствах» не гарантировано.
Итак, надеюсь, ты уже знаком с линейными уравнениями, поэтому можно смело покорять неравенства!
Что такое «линейные неравенства»?
Если ты ознакомился с линейными уравнениями, то уже знаком с Васей, который раздавал яблоки своим друзьям. Давай вернемся к примеру с Васей (может, и нам что-то перепадет?).
Так вот, предположим, что у Васи больше, чем яблок. Все свои яблоки он хочет раздать поровну троим друзьям. По сколько яблок получит каждый друг?
Если обозначить через количество яблок, которое достанется каждому из трех друзей, то получим следующее линейное неравенство:
Дальше мы делим обе части составленного неравенства на и получаем:
Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем яблока.
Ну вот и справились с неравенством!
Сейчас я введу формализованное определение линейного неравенства и будем разбираться с ним дальше.
|
Линейные неравенства — это неравенства вида: где и – любые числа, причем ; — неизвестная переменная. |
Например:
Все приведенные выше неравенства являются линейными.
Во всех них «сидит» очень важная особенность: в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.
Чтобы лучше распознавать линейные неравенства, настоятельно рекомендую тебе еще раз заглянуть в раздел «Скрытые» линейные уравнения или…» темы «Линейные уравнения. Начальный уровень.».
Линейные неравенства обладают не меньшим талантом «скрываться».
Чтобы не попасть впросак и с легкостью преобразовывать любые неравенства надо знать и успешно применять 3 очень важных правила. Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути в решении неравенств.
Правила преобразования неравенств
Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения.
Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство.
Для упрощения процесса нахождения всех корней неравенства проводятся равносильные преобразования, то есть проводится замена данного неравенства более простым, при этом не должны потеряться никакие решения и не должно возникнуть никаких посторонних корней.
В общем, это все пока только слова. Давай разбираться прямо на правилах.
| ПРАВИЛО 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные). |
Например,
Таким образом, можно с уверенностью сказать, что равносильно .
Или вот такой пример:
В теме «Линейные уравнения» говорилось, что для удобства принято переносить слагаемые с переменной в левую часть, а остальные в правую – так и поступим:
Здесь все должно быть понятно, перейдем к следующему правилу.
| ПРАВИЛО 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному. |
Вернемся к нашим двум предыдущим примерам.
В первом примере мы остановились на . Применим правило 2, разделив обе части неравенства на положительное число :
Заметил, знак неравенства как был «больше», так и сохранился? Все это потому, что мы делили на положительное число.
Давай закрепим на втором примере, где мы остановились на . Разделим обе части неравенства на :
Делили на положительное число , поэтому знак неравенства сохранился.
Почему так акцентируется внимание на том, что знак неравенства сохраняется? А вот потому, что в отличие от преобразований линейных уравнений, преобразования линейных неравенств имеют свою особенность, можно даже сказать «подводный камень». Что это за «камень» должно прояснить правило 3.
| ПРАВИЛО 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак на знак , и наоборот; знак на знак , и наоборот). |
Заметил важное отличие от правила 2? Все верно:
- При умножении/делении на положительное число знак неравенства сохраняется
- При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный
Например:
Делим на отрицательное число , тогда знак неравенства меняется на противоположный:
Заметил, знак (меньше) заменили на знак (больше)?
Или вот такой пример:
Делим обе части на отрицательное число , меняя при этом знак неравенства на противоположный:
Усвоил? Тогда давай закреплять на примерах
Не пугайся, что примеры, на первый взгляд, сложней, чем мы с тобой разбирали. Мы ведь знаем все необходимые правила преобразования линейных неравенств, а значит, не пропадем.
Ну что, приступим? Как-никак, это не Эверест покорять.
1.
Раскроем для начала скобки и приведем подобные слагаемые:
А теперь можем применять наши правила преобразования линейных неравенств:
Ну вот, мы почти решили наше неравенство – осталось записать ответ в виде промежутка. Неравенство у нас нестрогое, поэтому число включается в наш промежуток. Для наглядности изображу решения на оси:
Запишем ответ:
2.
Все, как в первом примере: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, осуществляем необходимые преобразования:
Неравенство у нас нестрогое, поэтому число включается в наш промежуток:
Ответ:
3.
Думаешь это не линейное неравенство? А что мы говорили в теме Линейные уравнений об их «скрытности»?
Поспешных выводов делать не стоит, давай лучше проведем все возможные преобразования и убедимся, что это линейное неравенство, либо докажем обратное.
Сейчас будем делить обе части неравенства на отрицательное число . Что же тогда произойдет со знаком неравенства? Все верно – он поменяется на противоположный!
Неравенство нестрогое, значит, включается в наш промежуток.
Ответ:
4.
Проводим соответствующие преобразования:
Делим обе части на отрицательное число , не забывая поменять знак неравенства на противоположный:
Неравенство нестрогое, поэтому — не включается в промежуток:
Ответ:
5.
Этот пример проще, поэтому сразу запишу ход решения без комментариев:
Ответ:
Линейные неравенства с двумя переменными
В теме Линейные уравнения достаточно подробно разобрано понятие линейного уравнения с двумя переменными. Линейное неравенство представляет собой практически то же самое, только знак равенства меняется на знак неравенства .
|
Линейные неравенства с двумя переменными имеют вид: где , и – любые числа, . |
А вся разница с линейным неравенством с одной переменной только в том, что в неравенство добавляется еще одна переменная .
Решением неравенства с двумя переменными называется множество пар чисел , которые удовлетворяют этому неравенству (т.е. при подстановке этих точек неравенство верно).
Для решения линейных неравенств с двумя переменными, используется графический способ.
Давай разберем вот такой пример:
Решение:
Как уже упоминалось, решается такое неравенство графически.
Построим график уравнения . Как ты уже должен был знать из темы «Линейные уравнения», графиком будет прямая.
Строим график по двум точкам, через которые проходит прямая, к примеру, и . Вот, что у меня получилось:
Так как неравенство в этом примере у нас строгое, то координаты точек самого графика прямой не будут являться решением исходного неравенства. Поэтому обозначим линию пунктиром на графике:
Как можно заметить, прямая разбила плоскость на две полуплоскости. Все точки одной из полуплоскостей будут являться решением исходного неравенства.
Так как в исходном неравенстве у нас стоит знак , то мы должны выбрать те точки, которые лежат выше графика прямой. Изобразим все решения неравенства на графике:
Все решения «затушеваны» голубым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты и любой точки из закрашенной области – решения неравенства.
ЛИНЕЙНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Линейными неравенствами называются неравенства вида:
где и – любые числа, причем ; — неизвестная переменная.
Правила преобразования неравенств:
Правило 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).
Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.
Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак на знак , и наоборот; знак на знак , и наоборот).
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!
Стать учеником YouClever,
Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене «чашка кофе в месяц»,
А также получить бессрочный доступ к учебнику «YouClever», Программе подготовки (решебнику) «100gia», неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.
можно кликнув по этой ссылке.
Неравенство — Википедия
Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков[1].
- Строгие неравенства
Неравенства a > b {\displaystyle a>b} и b < a {\displaystyle b<a} равносильны. Говорят, что знаки > {\displaystyle >} и < {\displaystyle <} противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что < {\displaystyle <} заменено на > {\displaystyle >} или наоборот.
- Нестрогие неравенства
Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ {\displaystyle \leqslant } и ⩾ {\displaystyle \geqslant } отличается от принятой за рубежом, где обычно используются знаки ≤ {\displaystyle \leq } и ≥ {\displaystyle \geq } .Про знаки ⩽ {\displaystyle \leqslant } и ⩾ {\displaystyle \geqslant } также говорят, что они противоположны.
- Другие типы неравенств
Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.
В элементарной математике изучают числовые неравенства. В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.
Связанные определения
Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).
Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:
- a < b < c {\displaystyle a<b<c} — это краткая запись пары неравенств: a < b {\displaystyle a<b} и b < c . {\displaystyle b<c.}
Числовые неравенства
Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных ( x , y , … ) . {\displaystyle (x,y,\dots ).} Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство 18 x < 414 {\displaystyle 18x<414} — алгебраическое первой степени, неравенство 2 x 3 − 7 x + 6 > 0 {\displaystyle 2x^{3}-7x+6>0} — алгебраическое третьей степени, неравенство 2 x > x + 4 {\displaystyle 2^{x}>x+4} — трансцендентное[2].
Свойства
Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений[1]:
- К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
- От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из a + b < c {\displaystyle a+b<c} следует, что a < c − b . {\displaystyle a<c-b.}
- Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
- Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, a < b {\displaystyle a<b} и c < d , {\displaystyle c<d,} то a + c < b + d . {\displaystyle a+c<b+d.} Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
- Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
- Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).
- Другие свойства
- (Транзитивность) Если a < b {\displaystyle a<b} и b < c , {\displaystyle b<c,} то a < c {\displaystyle a<c} и аналогично для прочих знаков.
- Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.
Решение неравенств
Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:
- x 2 < 4 {\displaystyle x^{2}<4} выполняется при − 2 < x < 2. {\displaystyle -2<x<2.}
- x 2 > 4 {\displaystyle x^{2}>4} выполняется, если либо x > 2 , {\displaystyle x>2,} либо x < − 2. {\displaystyle x<-2.}
- x 2 < − 4 {\displaystyle x^{2}<-4} не выполняется никогда (решений нет).
- x 2 > − 4 {\displaystyle x^{2}>-4} выполняется при всех x {\displaystyle x} (тождество).
Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство x > 3 {\displaystyle x>3} возвести в квадрат: x 2 > 9 , {\displaystyle x^{2}>9,} то появится ошибочное решение x < − 3 , {\displaystyle x<-3,} не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.
Неравенства первой степени
Неравенство первой степени имеет общий формат: a x > b {\displaystyle ax>b} или a x < b , {\displaystyle ax<b,} где a ≠ 0 {\displaystyle a\neq 0} (работа со знаками ⩾ {\displaystyle \geqslant } и ⩽ {\displaystyle \leqslant } аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на a {\displaystyle a} и, если a < 0 , {\displaystyle a<0,} измените знак неравенства на противоположный[3]. Пример:
- 5 x − 11 > 8 x + 1. {\displaystyle 5x-11>8x+1.} Приведём подобные члены: − 3 x > 12 , {\displaystyle -3x>12,} или x < − 4. {\displaystyle x<-4.}
Системы неравенств первой степени
Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.
Пример 1. Из системы { 4 x − 3 > 5 x − 5 2 x + 4 < 8 x {\displaystyle {\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}} получаем два решения: для первого неравенства x < 2 , {\displaystyle x<2,} для второго: x > 2 3 . {\displaystyle x>{2 \over 3}.} Соединяя их, получаем ответ: 2 3 < x < 2. {\displaystyle {2 \over 3}<x<2.}
Пример 2. { 2 x − 3 > 3 x − 5 2 x + 4 > 8 x {\displaystyle {\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}} Решения: x < 2 {\displaystyle x<2} и x < 2 3 . {\displaystyle x<{2 \over 3}.} Второе решение поглощает первое, так что ответ: x < 2 3 . {\displaystyle x<{2 \over 3}.}
Пример 3. { 2 x − 3 < 3 x − 5 2 x + 4 > 8 x {\displaystyle {\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}} Решения: x > 2 {\displaystyle x>2} и x < 2 3 , {\displaystyle x<{2 \over 3},} они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.
Неравенства второй степени
Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):
- x 2 + p x + q > 0 {\displaystyle x^{2}+px+q>0} или x 2 + p x + q < 0. {\displaystyle x^{2}+px+q<0.}
Если квадратное уравнение x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} имеет вещественные корни x 1 , x 2 , {\displaystyle x_{1},x_{2},} то неравенство можно привести к виду соответственно:
- ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) > 0 {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})>0} или ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) < 0. {\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})<0.}
В первом случае x − x 1 {\displaystyle x-x_{1}} и x − x 2 {\displaystyle x-x_{2}} должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило[4].
Квадратный трёхчлен x 2 + p x + q {\displaystyle x^{2}+px+q} с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала. |
Если оказалось, что у уравнения x 2 + p x + q = 0 {\displaystyle x^{2}+px+q=0} вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех x . {\displaystyle x.} Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры[5]).
Пример 1. − 2 x 2 + 14 x − 20 > 0. {\displaystyle -2x^{2}+14x-20>0.} Разделив на − 2 , {\displaystyle -2,} приведём неравенство к виду: x 2 − 7 x + 10 < 0. {\displaystyle x^{2}-7x+10<0.} Решив квадратное уравнение x 2 − 7 x + 10 = 0 , {\displaystyle x^{2}-7x+10=0,} получаем корни x 1 = 2 ; x 2 = 5 , {\displaystyle x_{1}=2;x_{2}=5,} поэтому исходное неравенство равносильно такому: ( x − 2 ) ( x − 5 ) < 0. {\displaystyle (x-2)(x-5)<0.} Согласно приведенному выше правилу, 2 < x < 5 , {\displaystyle 2<x<5,} что и является ответом.
Пример 2. − 2 x 2 + 14 x − 20 < 0. {\displaystyle -2x^{2}+14x-20<0.} Аналогично получаем, что x − 2 {\displaystyle x-2} и x − 5 {\displaystyle x-5} имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, либо x < 2 , {\displaystyle x<2,} либо x > 5. {\displaystyle x>5.}
Пример 3. x 2 + 6 x + 15 > 0. {\displaystyle x^{2}+6x+15>0.} Уравнение x 2 + 6 x + 15 = 0 {\displaystyle x^{2}+6x+15=0} не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех x . {\displaystyle x.} При x = 0 {\displaystyle x=0} левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех x {\displaystyle x} ).
Пример 4. x 2 + 6 x + 15 < 0. {\displaystyle x^{2}+6x+15<0.} Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.
Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах[6].
Некоторые известные неравенства
Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы[7].
- ( 1 + x ) n ⩾ 1 + n x , {\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx,} где x ⩾ − 1 , n {\displaystyle x\geqslant -1,n} — натуральное число.
- | a + b | ⩽ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}
- См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.
Знаки неравенства в языках программирования
Символ «не равно» в разных языках программирования изображается по-разному.
| Символ | Языки |
|---|---|
| != | C, Java, PHP, Python |
| <> | Basic, Pascal |
| ~= | Lua |
| /= | Haskell, Fortran, Ada |
| # | Modula-2, Oberon |
Коды знаков неравенств
См. также
Примечания
- ↑ 1 2 Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.
- ↑ Элементарная математика, 1976, с. 217—222.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.
- ↑ Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.
- ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.
Литература
- Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
- Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.
Устранение неравенств
Иногда нам нужно решить такие неравенства:
Символ | слов | Пример |
|---|---|---|
| > | больше | х + 3 > 2 |
| < | менее | 7x < 28 |
| ≥ | больше или равно | 5 ≥ x — 1 |
| ≤ | меньше или равно | 2 года + 1 ≤ 7 |
Решение
Наша цель — иметь x (или другую переменную) отдельно слева от знака неравенства:
| Что-то вроде: | х <5 | |
| или: | г ≥ 11 |
Мы называем это «решенным».
Пример: x + 2> 12
Вычтем 2 с обеих сторон:
х + 2 — 2> 12 — 2
Упростить:
х> 10
Решено!
Как решить
Решение неравенств очень похоже на решение уравнений … мы делаем почти то же самое …
… но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .
Направление: куда «указывает» стрелка
Некоторые вещи могут изменить направление !
<становится>
> становится <
≤ становится ≥
≥ становится ≤
Безопасные дела
Эти вещи не влияют на направление неравенства:
- Сложить (или вычесть) число с обеих сторон
- Умножьте (или разделите) обе стороны на положительное число
- Упростить сторону
Пример: 3x <7 + 3
Мы можем упростить 7 + 3, не затрагивая неравенство:
3x <10
Но эти вещи действительно меняют направление неравенства (например, «<" становится ">«):
Пример: 2y + 7 <12
Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :
12 > 2лет + 7
Вот подробности:
Сложение или вычитание значения
Мы часто можем решить неравенства, добавляя (или вычитая) число с обеих сторон (точно так же, как во Введении в алгебру), например:
Пример: x + 3 <7
Если вычесть 3 с обеих сторон, получим:
х + 3 — 3 <7 — 3
х <4
И вот наше решение: x <4
Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.
Что мы сделали?
Мы пошли от этого: Кому: | х + 3 <7 х <4 | |||
И это хорошо работает для , добавляя и , вычитая , потому что, если мы прибавляем (или вычитаем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не влияет на неравенство
Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли.Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекс все равно будет больше монет, чем у Билли.
Что, если я решу, но «x» справа?
Неважно, просто поменяйте местами стороны, но переверните знак , чтобы он по-прежнему «указывал» на правильное значение!
Пример: 12
Если отнять 5 с обеих сторон, получим:
12 — 5
7 <х
Вот и решение!
Но это нормально, если поставить «х» слева…
… так давайте обратим внимание (и знак неравенства!):
x> 7
Вы видите, как знак неравенства все еще «указывает» на меньшее значение (7)?
И вот наше решение: x> 7
Примечание: «x» может быть справа, но людям обычно нравится видеть его слева.
Умножение или деление на значение
Также мы умножаем или делим обе стороны на значение (как в алгебре — умножение).
Но мы должны быть немного осторожнее (как вы увидите).
Положительные значения
Все хорошо, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :
Пример: 3y <15
Если разделить обе части на 3, получим:
3 года /3 <15 /3
г <5
И вот наше решение: y <5
Отрицательные значения
| Когда мы умножаем или делим на отрицательное число , мы должны обратить неравенство. |
Почему?
Ну, посмотрите на числовую строку!
Например, от 3 до 7 это , увеличение ,
, но от -3 до -7 — , уменьшение.
| −7 <−3 | 7> 3 |
Видите, как меняет знак неравенства (с <на>)?
Давайте попробуем пример:
Пример: −2y <−8
Разделим обе части на −2… и отменяют неравенство !
−2y <−8
−2y / −2 > −8 / −2
г> 4
И это правильное решение: y> 4
(Обратите внимание, что я перевернул неравенство в той же строке , разделенное на отрицательное число.)
Итак, запомните:
При умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство
Умножение или деление на переменные
Вот еще один (хитрый!) Пример:
Пример: bx <3b
Кажется легко просто разделить обе стороны на b , что дает нам:
х <3
… но подождите … если b равно отрицательное , нам нужно изменить неравенство следующим образом:
x> 3
Но мы не знаем, положительное или отрицательное значение b, поэтому мы не можем ответить на этот вопрос !
Чтобы помочь вам понять, представьте, что замените b на 1 или −1 в примере bx <3b :
- , если b равно 1 , то ответ будет x <3
- , но если b равно −1 , тогда мы решаем −x <−3 , и ответим x> 3
Ответом может быть x <3 или x> 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .
Так:Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).
Пример побольше
Пример: x − 3 2 <−5
Во-первых, давайте уберем «/ 2», умножив обе части на 2.
Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся.
x − 3 2 × 2 <−5 × 2
х-3 <-10
Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам:
х − 3 + 3 <−10 + 3
х <−7
И это наше решение: x <−7
Два неравенства сразу!
Как решить задачу сразу с двумя неравенствами?
Пример: −2 < 6−2x 3 <4
Во-первых, давайте очистим «/ 3», умножив каждую часть на 3.
Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не меняются:
−6 <6−2x <12
Теперь вычтите 6 из каждой части:−12 <−2x <6
Теперь разделите каждую часть на 2 (положительное число, чтобы неравенства снова не изменились):
−6 <−x <3
Теперь умножьте каждую часть на -1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства изменяют направление .
6> х> −3
И это решение!
Но для наглядности лучше иметь меньшее число слева, большее — справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):
−3 <х <6
Сводка
- Многие простые неравенства могут быть решены путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей, пока не останется переменная сама по себе.
- Но эти вещи изменят направление неравенства:
- Умножение или деление обеих сторон на отрицательное число
- Замена левой и правой сторон
- Не умножайте и не делите на переменную (если вы не знаете, что она всегда положительна или всегда отрицательна)
Неравенства по математике ACT: стратегии и практика
Вопросы о неравенстве бывают самых разных форм и форм в ACT, но независимо от их формы вы увидите примерно три вопроса о неравенстве в любом заданном тесте . Это означает, что вопросы о неравенстве составляют 5% вашего общего теста ACT по математике. Итак, 5% вашего теста может показаться не таким уж большим количеством, но если только быстро вспомнить о неравенствах, это дополнительные 5% ваших вопросов, которые вы обязательно получите!
Это будет ваше полное руководство по неравенствам в ACT : что это такое, различные типы математических задач ACT по неравенствам и способы их решения.
Что такое неравенство?
Неравенство — это представление, что два значения не равны или что два значения , возможно, не равны. Существуют разные типы неравенства и разные символы для обозначения этих разных отношений.
≠ — знак «неравно». Каждый раз, когда вы видите этот знак, вы знаете, что два значения не равны, но не более того. Мы не знаем, какое значение больше или меньше, просто они не совпадают.
Если мы
.Умножение и разделение неравенств — GMAT Math Study Guide
Определения
Неравенство сравнивает два значения.
- Неравенство — сравнение двух значений или выражений.
Например, 10x <50 - это неравенство, а x = 5 - это уравнение. - Equation — Утверждение, объявляющее равенство двух выражений.
Например, 4x = 8 — это уравнение, а 10x> 20 — неравенство.
Оперируя неравенствами: умножение и деление
Выполнение умножения или деления с использованием неравенства почти идентично умножению или делению частей традиционных уравнений (за одним исключением, описанным ниже).
Рассмотрим следующие примеры:
10x + 15 <25 + 5x
10x + 15-15 <25-15 + 5x
10x <10 + 5x
10x — 5x <10 + 5x - 5x
5x <10
x <2
Исключение: отрицательные числа
Есть одно очень важное исключение из правила, согласно которому умножение или деление неравенства — то же самое, что умножение или деление уравнения.
Всякий раз, когда вы умножаете или делите неравенство на отрицательное число, вы должны перевернуть знак неравенства.
В следующем примере обратите внимание, как знак <становится знаком>, когда неравенство делится на -2
-2x — 10 <2
-2x — 10 + 10 <2 + 10
-2x <12
x> -6 [При делении на -2 знак неравенства менялся местами]
В следующем примере обратите внимание, как знак <становится знаком>, когда неравенство делится на -2
-2x + 15 <3
-2x + 15 — 15 <3 - 15
-2x <-12
x> 6 [При делении на -2 знак неравенства перевернулся]
Предупреждение: осторожность при умножении или делении переменных
Одно очень важное следствие этого правила: Вы не можете разделить на неизвестное (т.е., переменная), если вы не уверены в ее знаке , так как не знаете, нужно ли менять знак неравенства. Существует множество случаев, когда вы знаете знак переменной, и в результате вы можете умножать или делить и точно знать, нужно ли перевернуть знак неравенства. Однако вы всегда должны спрашивать себя, знаете ли вы наверняка знак переменной, прежде чем делить или умножать, когда имеете дело с неравенством.
Если 2x5y <10y, каков диапазон возможных значений x?
Вы не можете разделить на y или 5y, так как вы не знаете, является ли y отрицательным или положительным, и, как таковой, вы не знаете, нужно ли менять неравенство.
Множественные неравенства
Подобно тому, как можно решить два одновременных уравнения, можно решить два неравенства (или три, или четыре и т. Д.). При решении нескольких одновременных неравенств с помощью умножения или деления наиболее важной частью является решение каждого неравенства отдельно, а затем их объединение.
Если 2x <150, каков диапазон возможных значений x? 1.) Решите каждое неравенство отдельно.
2x <10
x <5 [Примечание: неравенство не отменяется, так как мы делим на 2, что положительно]
-5x <-10
x> 2 [Поскольку мы делим на -5, отрицательное число, переворачиваем знак неравенства]
15x <150
x <10
2.) Объедините каждое неравенство и найдите перекрытие (т.е. области, в которых каждое неравенство выполняется — эта область является решением).
x <5
x> 2
x <10
Область перекрытия, то есть решение набора неравенств, — это где x <5 и x> 2
Для многих студентов вышеуказанный набор неравенств лучше всего можно понять графически. Решением множества неравенств является перекрывающаяся графическая область.
,Свойства неравенств
Неравенство говорит нам об относительном размере двух значений.
(Вы можете сначала прочитать краткое введение в неравенство)
Четыре неравенства
Обозначение | слов | Пример |
|---|---|---|
> | больше | х + 3> 2 |
< | менее | 7x <28 |
≥ | больше или равно | 5 ≥ х − 1 |
≤ | меньше или равно | 2 года + 1 ≤ 7 |
| | | |
Символ «указывает» на меньшее значение
Недвижимость
Неравенства имеют свойства… все со специальными именами!
Здесь мы перечисляем каждый из них с примерами.
Примечание: значения a , b и c , которые мы используем ниже, являются действительными числами.
Переходное свойство
Когда мы соединяем неравенства по порядку, мы можем «перепрыгнуть» через среднее неравенство.
Если a и b Аналогично: Если a> b и b> c, то a> c , значит, Алекс тоже старше Кэрол! Мы можем поменять местами на и b , если мы убедимся, что символ все еще «указывает» на меньшее значение. Пример: Алекс старше Билли, поэтому Билли моложе Алекса «Закон трихотомии» говорит, что истинно только одно из следующего: В этом есть смысл, правда? a должно быть либо на меньше, чем b , либо должно быть равно b , либо должно быть больше b .Это должен быть один из них, и только один из них. Мы могли бы написать это так: а> б Итак, мы также знаем, что: (Конечно!) Добавление c к обеим сторонам неравенства всего сдвигает все по , и неравенство остается прежним. Если a Если и Алекс, и Билли получат на 3 доллара больше, то у Алекс все равно будет меньше денег, чем у Билли. Аналогично: Таким образом, добавление (или вычитание) одного и того же значения к a и b не изменит неравенство Когда мы умножаем и a, и b на положительное число , неравенство остается неизменным . Но когда мы умножаем и a, и b на отрицательное число , неравенство меняет местами ! Вот правила: «Положительный» пример: Пример: 3 балла Алекса на ниже баллов Билли 7. а <б Если и Алексу, и Билли удастся удвоить своих баллов (× 2), баллы Алекса все равно будут ниже, чем баллы Билли. 2a <2b Но при умножении на отрицательное происходит обратное: Но если оценка станет минус , то Алекс теряет 3 очков, а Билли теряет 7 очков Итак, Алекс теперь сделал лучше , чем Билли! -a> -b Ну, посмотрите на числовую строку! Например, от −3 до −7 это , уменьшение , а от 3 до 7 — , увеличение . Обратите внимание, что −7 <−3 но + 7> +3 Значит, знак неравенства меняется на противоположный (с <на>) Как мы только что видели, добавление минусов перед a и b изменяет направление неравенства. Это называется «аддитивная инверсия»: Это действительно то же самое, что умножение на (-1), и именно поэтому оно меняет направление. Пример: У Алекса денег больше, чем у Билли, поэтому Алекс впереди. Но новый закон гласит: «Теперь все ваши деньги — это долг , который вы должны выплатить тяжелым трудом» Итак, теперь Алекс хуже, чем Билли. Взятие обратной величины (1 / значение) для a и b может изменить направление неравенства. Когда a и b равны , оба положительные или , оба отрицательные : Алекс бежит со скоростью 6 км / ч , а Билли идет со скоростью 4 км / ч . Скорость Алекса больше, чем скорость Билли 6> 4 Но время Алекса меньше, чем время Билли: 12/6 <12/4 2 часа <3 часа Но когда либо a, либо b отрицательны (не оба), направление остается прежним: Число в квадрате больше или равно нулю: а 2 ≥ 0 Всегда больше (или равно) нулю Извлечение квадратного корня не изменит неравенства (но только тогда, когда и a, и b больше или равны нулю) . Если a ≤ b, то √a ≤ √b Пример:
Свойство разворота
Закон трихотомии
Пример: У Алекса денег больше, чем у Билли
Сложение и вычитание
Пример: У Алекса меньше денег, чем у Билли.
Умножение и деление
Обратите внимание, что a становится b после умножения на (-2)
Но неравенство остается неизменным при умножении на +3 Почему умножение на отрицательное меняет знак?
Инверсная добавка
Мультипликативная обратная
Пример: Алекс и Билли преодолевают путь длиной 12 километров.
Неотрицательное свойство квадратов
Пример:
Свойство квадратного корня
(для a, b ≥ 0)