1 2x производная – Производная от 1/2х чему равна?

Производная 1/x^2+1/(x+1)^2

Дано

$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$$

Подробное решение

1. дифференцируем
   \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{1}{x^{2}}
   почленно:

   1. Заменим
      u = x^{2}
      .

   2. В силу правила, применим:
      \frac{1}{u}
      получим
      — \frac{1}{u^{2}}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x} x^{2}
      :

      1. В силу правила, применим:
         x^{2}
         получим
         2 x

      В результате последовательности правил:

      — \frac{2}{x^{3}}

   4. Заменим
      u = \left(x + 1\right)^{2}
      .

   5. В силу правила, применим:
      \frac{1}{u}
      получим
      — \frac{1}{u^{2}}

   6. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x} \left(x + 1\right)^{2}
      :

      1. Заменим
         u = x + 1
         .

      2. В силу правила, применим:
         u^{2}
         получим
         2 u

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
         \frac{d}{d x}\left(x + 1\right)
         :

         1. дифференцируем
            x + 1
            почленно:

            1. В силу правила, применим:
               x
               получим
               1

            2. Производная постоянной
               1
               равна нулю.

            В результате:
            1

         В результате последовательности правил:

         2 x + 2

      В результате последовательности правил:

      — \frac{2 x + 2}{\left(x + 1\right)^{4}}

   В результате:
   — \frac{2 x + 2}{\left(x + 1\right)^{4}} — \frac{2}{x^{3}}

2. Теперь упростим:

   — \frac{2 x^{3} + 2 \left(x + 1\right)^{3}}{x^{3} \left(x + 1\right)^{3}}

---

Ответ:

— \frac{2 x^{3} + 2 \left(x + 1\right)^{3}}{x^{3} \left(x + 1\right)^{3}}

Первая производная

2 -2 — 2*x
— —- + ——————
2 2 2
x*x (x + 1) *(x + 1)

$$\frac{- 2 x — 2}{\left(x + 1\right)^{4}} — \frac{2}{x^{3}}$$

Вторая производная

/1 1
6*|— + ———|
| 4 4|
x (1 + x) /

$$6 \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{4}} + \frac{1}{x^{4}}\right)$$

Третья производная

/1 1
-24*|— + ———|
| 5 5|
x (1 + x) /

$$- 24 \left(\frac{1}{\left(x + 1\right)^{5}} + \frac{1}{x^{5}}\right)$$ Загрузка… 32*a*65*c*409*b если a=4 (упростите выражение) 1-2*(5-2*x)=-x-3 >>

uchimatchast.ru

Производная ((x^2-1)/(x^2-5))^(1/2)

Дано

$$\sqrt{\frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}}$$

Подробное решение

1. Заменим
   u = \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}
   .

2. В силу правила, применим:
   \sqrt{u}
   получим
   \frac{1}{2 \sqrt{u}}

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
   \frac{d}{d x}\left(\frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right)
   :

   1. Применим правило производной частного:

      \frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)

      f{\left (x \right )} = x^{2} — 1
      и
      g{\left (x \right )} = x^{2} — 5
      $$ .

      Чтобы найти $$
      \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}
      :

      1. дифференцируем
         x^{2} — 1
         почленно:

         1. Производная постоянной
            -1
            равна нулю.

         2. В силу правила, применим:
            x^{2}
            получим
            2 x

         В результате:
         2 x

      Чтобы найти
      \frac{d}{d x} g{\left (x \right )}
      :

      1. дифференцируем
         x^{2} — 5
         почленно:

         1. Производная постоянной
            -5
            равна нулю.

         2. В силу правила, применим:
            x^{2}
            получим
            2 x

         В результате:
         2 x

      Теперь применим правило производной деления:

      \frac{1}{\left(x^{2} — 5\right)^{2}} \left(2 x \left(x^{2} — 5\right) — 2 x \left(x^{2} — 1\right)\right)

   В результате последовательности правил:

   \frac{2 x \left(x^{2} — 5\right) — 2 x \left(x^{2} — 1\right)}{2 \sqrt{\frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}} \left(x^{2} — 5\right)^{2}}

4. Теперь упростим:

   — \frac{4 x}{\sqrt{\frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}} \left(x^{2} — 5\right)^{2}}

---

Ответ:

— \frac{4 x}{\sqrt{\frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}} \left(x^{2} — 5\right)^{2}}

Первая производная

________
/ 2 / / 2 \
/ x — 1 / 2 | x x*x — 1/|
/ —— *x — 5/*|—— — ———-|
/ 2 | 2 2 |
/ x — 5 |x — 5 / 2 |
x — 5/ /
———————————————
2
x — 1

$$\frac{\sqrt{\frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}}}{x^{2} — 1} \left(x^{2} — 5\right) \left(\frac{x}{x^{2} — 5} — \frac{x \left(x^{2} — 1\right)}{\left(x^{2} — 5\right)^{2}}\right)$$

Вторая производная

/ 2
| / 2 / 2 / 2 |
| 2 | -1 + x | 2 | -1 + x | 2 | -1 + x | |
_________ | x *|1 — ——-| 2*x *|1 — ——-| 2*x *|1 — ——-| |
/ 2 | 2 2 | 2| | 2| | 2| 2 / 2|
/ -1 + x | -1 + x 4*x -5 + x / -5 + x / -5 + x / 4*x * -1 + x /|
/ ——- *|1 — ——- — ——- + —————— — —————— + —————— + —————|
/ 2 | 2 2 2 2 2 2 |
/ -5 + x | -5 + x -5 + x -1 + x -1 + x -5 + x / 2 |

-5 + x / /
———————————————————————————————————————-
2
-1 + x

$$\frac{\sqrt{\frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}}}{x^{2} — 1} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} — 1} \left(1 — \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right)^{2} — \frac{2 x^{2}}{x^{2} — 1} \left(1 — \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right) + \frac{2 x^{2}}{x^{2} — 5} \left(1 — \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right) — \frac{4 x^{2}}{x^{2} — 5} + \frac{4 x^{2} \left(x^{2} — 1\right)}{\left(x^{2} — 5\right)^{2}} + 1 — \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right)$$

Третья производная

/ / 2 2 2 / 2\ / 2 2 2 / 2\ / 2 2 2 / 2\ 3 2 / 2 / 2 2 2 / 2\ 2
| | -1 + x 4*x 4*x * -1 + x /| / 2 / 2 | -1 + x 4*x 4*x * -1 + x /| | -1 + x 2*x 2*x * -1 + x /| / 2 / 2 | -1 + x | | -1 + x 4*x 4*x * -1 + x /| / 2 / 2 / 2 |
| 4*|-1 + ——- + ——- — —————| | -1 + x | | -1 + x | 4*|-1 + ——- + ——- — —————| 12*|-1 + ——- + ——- — —————| 2 | -1 + x | 2 | -1 + x | 3*|1 — ——-|*|-1 + ——- + ——- — —————| 2 | -1 + x | 2 | -1 + x | 2 | -1 + x | |
_________ | | 2 2 2 | 2*|1 — ——-| 2*|1 — ——-| | 2 2 2 | | 2 2 2 | x *|1 — ——-| 6*x *|1 — ——-| | 2| | 2 2 2 | 8*x *|1 — ——-| 8*x *|1 — ——-| 6*x *|1 — ——-| |
/ 2 | | -5 + x -5 + x / 2 | | 2| | 2| | -5 + x -5 + x / 2 | | -5 + x -5 + x / 2 | | 2| | 2| -5 + x / | -5 + x -5 + x / 2 | | 2| | 2| | 2| |
/ -1 + x | -5 + x / / -5 + x / -5 + x / -5 + x / / -5 + x / / -5 + x / -5 + x / -5 + x / / -5 + x / -5 + x / -5 + x / |

x* / ——- *|- ——————————————- — ————— + ————— + ——————————————- + ——————————————— + —————— — ——————- — ——————————————————— + —————— — ——————- + ——————-|
/ 2 | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 / 2 / 2 / 2 / 2|
/ -5 + x | -5 + x -1 + x -5 + x -1 + x -5 + x / 2 / 2 -1 + x / 2 -1 + x /* -5 + x / -1 + x /* -5 + x /|
-1 + x / -1 + x / -1 + x / /
————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————-
2
-1 + x

$$\frac{x \sqrt{\frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}}}{x^{2} — 1} \left(\frac{x^{2}}{\left(x^{2} — 1\right)^{2}} \left(1 — \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right)^{3} — \frac{6 x^{2}}{\left(x^{2} — 1\right)^{2}} \left(1 — \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right)^{2} + \frac{6 x^{2} \left(1 — \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right)^{2}}{\left(x^{2} — 5\right) \left(x^{2} — 1\right)} + \frac{8 x^{2}}{\left(x^{2} — 1\right)^{2}} \left(1 — \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right) — \frac{8 x^{2} \left(1 — \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right)}{\left(x^{2} — 5\right) \left(x^{2} — 1\right)} — \frac{3}{x^{2} — 1} \left(1 — \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right) \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} — 5} — \frac{4 x^{2} \left(x^{2} — 1\right)}{\left(x^{2} — 5\right)^{2}} — 1 + \frac{x^{2} — 1}{x^{2} — 5}\right) — \frac{1}{x^{2} — 1} \left(2 — \frac{2 x^{2} — 2}{x^{2} — 5}\right) + \frac{1}{x^{2} — 5} \left(2 — \frac{2 x^{2} — 2}{x^{2} — 5}\right) + \frac{1}{x^{2} — 1} \left(\frac{16 x^{2}}{x^{2} — 5} — \frac{16 x^{2} \left(x^{2} — 1\right)}{\left(x^{2} — 5\right)^{2}} — 4 + \frac{4 x^{2} — 4}{x^{2} — 5}\right) + \frac{1}{x^{2} — 5} \left(\frac{24 x^{2}}{x^{2} — 5} — \frac{24 x^{2} \left(x^{2} — 1\right)}{\left(x^{2} — 5\right)^{2}} — 12 + \frac{12 x^{2} — 12}{x^{2} — 5}\right) — \frac{1}{x^{2} — 5} \left(\frac{16 x^{2}}{x^{2} — 5} — \frac{16 x^{2} \left(x^{2} — 1\right)}{\left(x^{2} — 5\right)^{2}} — 4 + \frac{4 x^{2} — 4}{x^{2} — 5}\right)\right)$$ Загрузка… sin(x^2)=0 x+3*y=10 x*y=3 >>

uchimatchast.ru

Производная e^(1/(1+x^2))

Дано

$$e^{\frac{1}{x^{2} + 1}}$$

Подробное решение

1. Заменим
   u = \frac{1}{x^{2} + 1}
   .

2. Производная
   e^{u}
   само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
   \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2} + 1}
   :

   1. Заменим
      u = x^{2} + 1
      .

   2. В силу правила, применим:
      \frac{1}{u}
      получим
      — \frac{1}{u^{2}}

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на
      \frac{d}{d x}\left(x^{2} + 1\right)
      :

      1. дифференцируем
         x^{2} + 1
         почленно:

         1. Производная постоянной
            1
            равна нулю.

         2. В силу правила, применим:
            x^{2}
            получим
            2 x

         В результате:
         2 x

      В результате последовательности правил:

      — \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}

   В результате последовательности правил:

   — \frac{2 x e^{\frac{1}{x^{2} + 1}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}

---

Ответ:

— \frac{2 x e^{\frac{1}{x^{2} + 1}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}

Первая производная

1
——
2
1 + x
-2*x*e
————
2
/ 2
1 + x /

$$- \frac{2 x e^{\frac{1}{x^{2} + 1}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

1
——
/ 2 2 2
| 2*x 4*x | 1 + x
2*|-1 + ——— + ——|*e
| 2 2|
| / 2 1 + x |
1 + x / /
————————————
2
/ 2
1 + x /

$$\frac{2 e^{\frac{1}{x^{2} + 1}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} — 1\right)$$

Третья производная

1
——
/ 2 2 2 2
| 3 12*x 12*x 2*x | 1 + x
4*x*|6 + —— — —— — ——— — ———|*e
| 2 2 2 3|
| 1 + x 1 + x / 2 / 2 |
1 + x / 1 + x / /
———————————————————
3
/ 2
1 + x /

$$\frac{4 x e^{\frac{1}{x^{2} + 1}}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} \left(- \frac{12 x^{2}}{x^{2} + 1} — \frac{12 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} — \frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} + 6 + \frac{3}{x^{2} + 1}\right)$$ Загрузка… (2^x-1)*(25-5^x)>0 sin(x)^(4)+cos(x)^(4)=sin(x)*cos(x) >>

uchimatchast.ru