3 4 решение – Решение онлайн уравнений

3.4 Решение систем линейных уравнений

МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА.

Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается х1 из всех последующих уравнений. Затем с помощью второго уравнения исключается х2 из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-ого) уравнения не останется лишь один член с неизвестным xn, т.е. матрица системы будет приведена к треугольному виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное в этом уравнении неизвестное xn. Далее, используя это значение из предыдущего уравнения, вычисляем xn-1 и т.д. Последним найдем x1 из первого уравнения.

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 3

РЕШИТЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА.

Система задана в таблице 3.

ТАБЛИЦА 3

0,1,2

3,4,5,6

7,8,9

0,

1

x1+x2+2x3+3x4=1

3x1–x2–x3–2x4=–4

2x1+3x2–x3–x4=–6

x1+2x2+3x3–x4=–4

x1+2x2+3x3+4x4=5

2x1+x2+2x3+3x4=1

3x1+2x2+x3+2x4=1

4x1+3x2+2x3+x4=–5

2x1–x2+3x3–2x4=4

3x1+3x2+3x3+2x4=6

3x

1–x2–x3+2x4=6

3x1–x2+3x3–x4=6

2,

3

x1+2x2+3x3–2x4=6

x1–x2–x3–3x4=8

3x1+2x2–x3+2x4=4

2x1–3x2+3x3+x4=–8

x1+3x2+5x3+7x4=12

3x1+5x2+7x3+x4=0

5x1+7x2+x3+3x4=4

7x1+x2+3x3+5x4=16

2x1–6x2+2x3+2x4=12

x1+3x2+5x3+7x4=12

3x1+5x2+7x3+x4=0

5x1+7x2+x3+3x4=4

4,

5

5x1–x2+x3+3x4=–4

x1

+2x2+3x3–2x4=6

2x1–x2–2x3–3x4=8

3x1+2x2–x3+2x4=4

4x1–2x2+x3+4x4=3

2x1–x2+x3+3x4=1

3x1–x3+2x4=–3

2x1+2x2+2x3+3x4=–6

–x1+x2+x3+x4=4

2x1+x2+2x3+3x4=1

3x1+2x2+x3+2x4=1

4x1+3x2+2x3+x4=–5

6,

7

2x1–x2+2x3+2x4=–3

3x1+2x2+x3–x4=3

x1–3x2–x3–3x4=0

4x1+2x2+2x3+54=–15

x1–2x2+3x3–4x4=–2

2x1+3x2

+4x3–5x4=8

3x1–x2–x3+7x4=–2

2x1–x2+6x3–3x4=7

3x1+2x2+5x3–x4=3

2x1–3x2–3x3+4x4=1

4x1+x2+3x3+2x4=3

5x1–2x2+x3+3x4=5

8,

9

2x1–x2+5x3–x4=1

3x1–3x2–2x3–5x4=2

x1–x2+2x3+3x4=10

3x1+2x2+7x3–2x4=1

3x1+x2+2x3–x4=8

2x1–3x2–3x3+x4=–3

4x1+2x2+5x3+3x4=6

x1+2x2–4x3–3x4=–3

2x1+3x2+5x3+x4=6

3x1+x2–x

3+5x4=0

2x1–x2+3x4=–5

2x1+2x2–x3+7x4=–3

ПРИМЕР: Решить систему методом Гаусса

2x1+x2–0,1x3+x4=2,7

0,4x1+0,5x2+4x3–8,5x4=21,9

0,3x1–x2+x3 + 5,2x4=–3,9

x1+0,2x2+2,5x3–x4=9,9

РЕШЕНИЕ: Прямой ход. Приведем систему к треугольному виду. Исключим х1 из второго, третьего и четвертого уравнения. Для этого разделим первое уравнение на 2, получим систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35

0,4x1+0,5x2+4x3–8,5x4=21,9

0,3x1–x2+x3 + 5,2x4=–3,9

x1+0,2x2+2,5x3–x4=9,9

Затем умножим первое уравнение на 0,4 и результат вычтем из второго, затем умножим на 0,3 и вычтем из третьего, затем первое уравнение вычтем из четвертого. Получим систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35

0,3x2+4,02x3–8,7x4=21,36

–1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305

–0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Первое уравнение исключим из полученной системы и оставим его в качестве первого уравнения треугольной системы. Получим систему:

0,3x2+4,02x3–8,7x4=21,36

–1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305

–0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Первое уравнение разделим на 0,3 и получим систему:

x2+13,4x3–29x4=71,2

–1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305

–0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Исключим х2 из второго и третьего уравнений по аналогии с предыдущим. Получим систему:

x2+13,4x3–29x4=71,2

16,425x3 – 28,3x4=77,575

6,57x3–10,2x4=29,910

Первое уравнение исключаем из системы и оставляем его в качестве второго уравнения треугольной системы. Получим систему:

16,425x3 – 28,3x4=77,575

6,57x3–10,2x4=29,910

Первое уравнение разделим на 16,425 и исключим х3 из второго уравнения:

x3 – 1,72298x4=4,72298

1,11998x4=–1,11998

Первое уравнение полученной системы берем в качестве третьего уравнения треугольной системы, а второе уравнение – в качестве четвертого уравнения треугольной системы.

Таким образом получим треугольную систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35

x2+13,4x3–29x4=71,2

x3 – 1,72298x4=4,72298

1,11998x4=–1,11998

Обратный ход. Из треугольной системы находим:

х4=–1; х3=3; х2=2; х1=1.

studfiles.net

3.4. Решение задач теплопроводности с граничными условиями

по законам излучения

Сформулированные закономерности излучения твердых тел, жидкостей и газов, как уже было выше подчеркнуто, верны для термодинамически равновесного излучения, т.е. для постоянной во времени температуры тел-излучателей. Тем не менее их применяют при расчетах теплового состояния нагреваемых или охлаждаемых излучением твердых тел, полагая, что они приближенно выполняются и в нестационарных процессах. В этом случае при расчете процессов нестационарной теплопроводности к уравнению Фурье помимо описания начального распределения температуры в теле присоединяют граничное условие по закону излучения между твердыми телами, имеющее на основании зависимости (3.11) вид

(3.23)

В формуле (3.23) обозначены: и– коэффициент теплопроводности, площадь поверхности и ее термодинамическая температура соответственно для тела с меньшей и с большей площадью поверхности.

При теплообмене излучением между твердым телом и газом имеем на основании зависимости (3.19) следующее описание граничного условия:

. (3.24)

На практике часто твердое тело участвует в лучисто-конвективном теплообмене с газом. При этом, естественно, граничное условие для решения задач нестационарной и стационарной теплопроводности принимает вид

. (3.25)

Последнее равенство в компактной форме записывается как

. (3.26)

Все величины, используемые в (3.23)–(3.26), описаны выше в 1.5, 3.2, 3.3.

103

studfiles.net

3.3. Решение задачи 3

При разработке модуля программы численного интегрирования функции необходимо иметь в виду следующее.

Вычисление определенного интеграла от функции f(x)с пределами интегрированияa

иb, как известно, равносильно определению площади фигуры, ограниченной ординатамиаиb, осью абсцисс и графиком подынтегральной функцииf(x). См. рис. 1.

Рис.1. Графическое представление численного интегрирования

При численном интегрировании отрезок [a,b] разбивается наnинтервалов длиной

h=(b-a)/n, и тогда искомая площадь представляется суммой площадейnэлементарных фигур.

В зависимости от того, каким образом определяется площадь элементарной фигуры S, получает название метод численного интегрирования. См. рис. 2.

Если площадь элементарной фигуры определяется приближенно как площадь прямоугольника – получаем метод прямоугольников (рис. 2-1).

Если площадь элементарной фигуры представляется площадью соответствующей трапеции – получаем метод трапеций (рис. 2-2).

Если элементарная фигура заменяется фигурой, в которой функция f(x)представляется параболой – получаем метод парабол, или метод Симпсона (рис. 2-3).

Рис. 2. Графическое представление методов численного интегрирования

Просуммировав площади всех элементарных фигур на интервале [a, b], получаем следующие формулы численного интегрирования:

  1. Метод прямоугольников

.

  1. Метод трапеций

.

  1. Метод Симпсона

.

Разумеется, все эти формулы являются приближенными. С увеличением числа nточность возрастает.

Для оценки правильности принятого алгоритма и составленной по нему программы интегрирования функции рекомендуется провести их проверку на решении следующей тестовой задачи:

приn=32.

Для этого необходимо в программе решения задачи предусмотреть возможность интегрирования наряду с заданной функцией по индивидуальному заданию также и функции f(x)=exс пределами интегрированияa=0, b= (=3,141592..=4arctg(1))и числомn=32.

Тестирование можно считать успешным, если значение интеграла от ex, вычисленное по разработанной программе, будет совпадать с тестовым с точностью до второго знака.

Результаты тестирования должны выводиться наряду с основными результатами интегрирования заданной функции.

3.4. Решение задачи 4

При разработке модуля программы решения нелинейных уравнений необходимо иметь в виду следующие пояснения и рекомендации.

Решение нелинейных уравнений вида F(x)=0заключается в поиске одного или всех таких значенийxна интервале [a,b], при подстановке которых функцияF(x)обращается в нуль.

Работу по решению этой задачи целесообразно провести в два этапа.

На первом этапе оценивается характер изменения функции F(x)при изменении аргументаxна интервале [a,b] и проверяется, имеет ли место перемена ее знака (переход через нуль). Количество таких переходов определяет и количество корней.

Рис. 3. Графическое представление функции F(x)

Для этого интервал [a,b] разбивается наnучастков, гдеnпринимается равным 10..15, и вычисляется функцияF(x)на каждом участке, т.е. при измененииxотa доbс шагомh=(b-a)/n.

Из полученной таким образом таблицы будет виден и характер изменения функции, и количество переходов через нуль.

На втором этапе путем последовательных приближений производится поиск корней одним из предлагаемых методов.

Метод итерацийоснован на последовательном задании аргументаxи вычислении по нему функцииF1(x), причем очередное значениеxприращивается предыдущему значению функцииx(n+1)=F1(x(n))до тех пор, пока соблюдается условие|x(n+1)-x(n)|>=E. Первоначальное значение аргументаx(первое приближение –x(1)) определяется из таблицы как ближайшее к месту перехода функцииF(x)через нуль. Последнее приближениеxи будет корнем уравнения с точностьюE[8].

Метод половинного деления (дихотомии)состоит в следующем.

  1. Определяем начальное значение x=(a+b)/2(как результат деления интервала [a,b] пополам).

  2. Вычисляем F(x).

  3. Если F(x)>0 иF(a)>0 илиF(x)<0 иF(a)<0(т.е. перемена знака функцииF(x)не произошла), то задаемa=x(т.е. перемещаем левую границу интервала в середину), уменьшая интервал вдвое и исключая при этом левую половину, на которой либо нет корней, либо есть четное число корней, иначе задаемb=x(исключаем правую половину интервала). См. рис. 4.

  4. Проверяем условие b-a<E, если оно выполняется, то возвращаемся к п.1. с новыми значениями границ интервала, иначе заканчиваем вычисления и считаем, что последнее значениеx и будет корнем уравнения с заданной точностьюE.

Рис.4. Геометрическое представление метода половинного деления

Метод Ньютона (касательных)основан также на последовательном задании значенийxи вычислении функцииF(x), причем очередное значениеxопределяется формулой:

x(n+1)=x(n)-F(x(n))/F’(x(n)),

где F’(x(n))– производная от функцииF(x)в точкеx(n).

Геометрически производная от F(x), как известно, по величине равна тангенсу угла наклона касательной к кривойF(x)в точкеx. Тогда точкаx(n+1)есть точка пересечения с осью абсцисс касательной к кривойF(x), проведенной в точкеx=x(n). См. рис. 5.

Рис. 5. Геометрическое представление метода Ньютона

Как и в методе итераций, начальное значение xзадается как ближайшее табличное к месту перехода функцииF(x)через нуль.

Выражение для производной F’(x)получают аналитически в результате дифференцирования функцииF(x). Значение производной может быть получено приближенно и численным методом:

F’(x)=(F(x+E)-F(x))/E.

Итерационный процесс приближения к корню (последовательное вычисление x(n+1)) продолжается до тех пор, пока будет выполняться условие|x(n+1)-x(n)|>=E.

Следует иметь в виду, что при выполнении задания и алгоритм, и программа должны предусматривать оба этапа работы: табулирование функции F(x)с выбором начального приближения и процесс поиска корней с заданной точностью.

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *