3 4 решение – Решение онлайн уравнений

3.4 Решение систем линейных уравнений

МЕТОДОМ ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА.

Метод основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается х₁ из всех последующих уравнений. Затем с помощью второго уравнения исключается х₂ из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс, называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-ого) уравнения не останется лишь один член с неизвестным x_n, т.е. матрица системы будет приведена к треугольному виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находим единственное в этом уравнении неизвестное x_n. Далее, используя это значение из предыдущего уравнения, вычисляем x

n_-1 и т.д. Последним найдем x₁ из первого уравнения.

ВЫПОЛНИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО

ЗАДАНИЕ 3

РЕШИТЬ СИСТЕМУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ

ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА.

Система задана в таблице 3.

ТАБЛИЦА 3

	0,1,2	3,4,5,6	7,8,9
0, 1	x1+x2+2x3+3x4=1 3x1–x2–x3–2x4=–4 2x1+3x2–x3–x4=–6 x1+2x2+3x3–x4=–4	x1+2x2+3x3+4x4=5 2x1+x2+2x3+3x4=1 3x1+2x2+x3+2x4=1 4x1+3x2+2x3+x4=–5	2x1–x2+3x3–2x4=4 3x1+3x2+3x3+2x4=6 3x1–x2–x3+2x4=6 3x1–x2+3x3–x4=6
2, 3	x1+2x2+3x3–2x4=6 x1–x2–x3–3x4=8 3x1+2x2–x3+2x4=4 2x1–3x2+3x3+x4=–8	x1+3x2+5x3+7x4=12 3x1+5x2+7x3+x4=0 5x1 +7x2+x3+3x4=4 7x1+x2+3x3+5x4=16	2x1–6x2+2x3+2x4=12 x1+3x2+5x3+7x4=12 3x1+5x2+7x3+x4=0 5x1+7x2+x3+3x4=4
4, 5	5x1–x2+x3+3x4=–4 x1+2x2+3x3–2x4=6 2x1–x2–2x3–3x4=8 3x1+2x2–x3+2x4=4	4x1–2x2+x3+4x4=3 2x1–x2+x3+3x4=1 3x1–x3+2x4=–3 2x1+2x2+2x3+3x 4=–6	–x1+x2+x3+x4=4 2x1+x2+2x3+3x4=1 3x1+2x2+x3+2x4=1 4x1+3x2+2x3+x4=–5
6, 7	2x1–x2+2x3+2x4=–3 3x1+2x2+x3–x4=3 x1–3x2–x3–3x4=0 4x1+2x2+2x3+54=–15	x1–2x2+3x3–4x4=–2 2x1+3x2+4x3–5x4=8 3x1–x2–x3+7x4=–2 2x1–x2+6x3–3x4=7	3x1+2x2+5x3–x 4=3 2x1–3x2–3x3+4x4=1 4x1+x2+3x3+2x4=3 5x1–2x2+x3+3x4=5
8, 9	2x1–x2+5x3–x4=1 3x1–3x2–2x3–5x4=2 x1–x2+2x3+3x4=10 3x1+2x2+7x3–2x4=1	3x1+x2+2x3–x4=8 2x1–3x2–3x3+x4=–3 4x1+2x2+5x3+3x4=6 x1+2x2–4x3–3x4=–3	2x1+3x2+5x3+x4=6 3x1+x2–x3+5x4=0 2x1–x2+3x4=–5 2x1+2x2–x3+7×4=–3

ПРИМЕР: Решить систему методом Гаусса

2x₁+x₂–0,1x₃+x₄=2,7

0,4x₁+0,5x₂+4x₃–8,5x₄=21,9

0,3x₁–x₂+x₃ + 5,2x₄=–3,9

x₁+0,2x₂+2,5x₃–x₄=9,9

РЕШЕНИЕ: Прямой ход. Приведем систему к треугольному виду. Исключим х₁ из второго, третьего и четвертого уравнения. Для этого разделим первое уравнение на 2, получим систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35 0,4x1+0,5x2+4x3–8,5x4=21,9 0,3x1–x2+x3 + 5,2x4=–3,9 x1+0,2x2+2,5x3–x4=9,9

Затем умножим первое уравнение на 0,4 и результат вычтем из второго, затем умножим на 0,3 и вычтем из третьего, затем первое уравнение вычтем из четвертого. Получим систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35 0,3x2+4,02x3–8,7x4=21,36 –1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305 –0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Первое уравнение исключим из полученной системы и оставим его в качестве первого уравнения треугольной системы. Получим систему:

0,3x2+4,02x3–8,7x4=21,36 –1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305 –0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Первое уравнение разделим на 0,3 и получим систему:

x2+13,4x3–29x4=71,2 –1,15x2+1,015x3 + 5,05x4=–4,305 –0,3x2+2,55x3–1,5x4=8,55

Исключим х₂ из второго и третьего уравнений по аналогии с предыдущим. Получим систему:

x2+13,4x3–29x4=71,2 16,425x3 – 28,3x4=77,575 6,57x3–10,2x4=29,910

Первое уравнение исключаем из системы и оставляем его в качестве второго уравнения треугольной системы. Получим систему:

16,425x3 – 28,3x4=77,575 6,57x3–10,2x4=29,910

Первое уравнение разделим на 16,425 и исключим х₃ из второго уравнения:

x3 – 1,72298x4=4,72298 1,11998x4=–1,11998

Первое уравнение полученной системы берем в качестве третьего уравнения треугольной системы, а второе уравнение – в качестве четвертого уравнения треугольной системы.

Таким образом получим треугольную систему:

x1+0,5x2–0,05x3+0,5x4=1,35 x2+13,4x3–29x4=71,2 x3 – 1,72298x4=4,72298 1,11998x4=–1,11998

Обратный ход. Из треугольной системы находим:

х₄=–1; х₃=3; х₂=2; х₁=1.

studfiles.net

3.4. Решение задач теплопроводности с граничными условиями

по законам излучения

Сформулированные закономерности излучения твердых тел, жидкостей и газов, как уже было выше подчеркнуто, верны для термодинамически равновесного излучения, т.е. для постоянной во времени температуры тел-излучателей. Тем не менее их применяют при расчетах теплового состояния нагреваемых или охлаждаемых излучением твердых тел, полагая, что они приближенно выполняются и в нестационарных процессах. В этом случае при расчете процессов нестационарной теплопроводности к уравнению Фурье помимо описания начального распределения температуры в теле присоединяют граничное условие по закону излучения между твердыми телами, имеющее на основании зависимости (3.11) вид

(3.23)

В формуле (3.23) обозначены: и– коэффициент теплопроводности, площадь поверхности и ее термодинамическая температура соответственно для тела с меньшей и с большей площадью поверхности.

При теплообмене излучением между твердым телом и газом имеем на основании зависимости (3.19) следующее описание граничного условия:

. (3.24)

На практике часто твердое тело участвует в лучисто-конвективном теплообмене с газом. При этом, естественно, граничное условие для решения задач нестационарной и стационарной теплопроводности принимает вид

. (3.25)

Последнее равенство в компактной форме записывается как

. (3.26)

Все величины, используемые в (3.23)–(3.26), описаны выше в 1.5, 3.2, 3.3.

103

studfiles.net

3.3. Решение задачи 3

При разработке модуля программы численного интегрирования функции необходимо иметь в виду следующее.

Вычисление определенного интеграла от функции f(x)с пределами интегрированияaиb, как известно, равносильно определению площади фигуры, ограниченной ординатамиаиb, осью абсцисс и графиком подынтегральной функцииf(x). См. рис. 1.

Рис.1. Графическое представление численного интегрирования

При численном интегрировании отрезок [a,b] разбивается наnинтервалов длиной

h=(b—a)/n, и тогда искомая площадь представляется суммой площадейnэлементарных фигур.

В зависимости от того, каким образом определяется площадь элементарной фигуры S, получает название метод численного интегрирования. См. рис. 2.

Если площадь элементарной фигуры определяется приближенно как площадь прямоугольника – получаем метод прямоугольников (рис. 2-1).

Если площадь элементарной фигуры представляется площадью соответствующей трапеции – получаем метод трапеций (рис. 2-2).

Если элементарная фигура заменяется фигурой, в которой функция f(x)представляется параболой – получаем метод парабол, или метод Симпсона (рис. 2-3).

Рис. 2. Графическое представление методов численного интегрирования

Просуммировав площади всех элементарных фигур на интервале [a, b], получаем следующие формулы численного интегрирования:

1. Метод прямоугольников

.

2. Метод трапеций

.

3. Метод Симпсона

.

Разумеется, все эти формулы являются приближенными. С увеличением числа nточность возрастает.

Для оценки правильности принятого алгоритма и составленной по нему программы интегрирования функции рекомендуется провести их проверку на решении следующей тестовой задачи:

приn=32.

Для этого необходимо в программе решения задачи предусмотреть возможность интегрирования наряду с заданной функцией по индивидуальному заданию также и функции f(x)=e^xс пределами интегрированияa=0, b= (=3,141592..=4arctg(1))и числомn=32.

Тестирование можно считать успешным, если значение интеграла от e^x, вычисленное по разработанной программе, будет совпадать с тестовым с точностью до второго знака.

Результаты тестирования должны выводиться наряду с основными результатами интегрирования заданной функции.

3.4. Решение задачи 4

При разработке модуля программы решения нелинейных уравнений необходимо иметь в виду следующие пояснения и рекомендации.

Решение нелинейных уравнений вида F(x)=0заключается в поиске одного или всех таких значенийxна интервале [a,b], при подстановке которых функцияF(x)обращается в нуль.

Работу по решению этой задачи целесообразно провести в два этапа.

На первом этапе оценивается характер изменения функции F(x)при изменении аргументаxна интервале [a,b] и проверяется, имеет ли место перемена ее знака (переход через нуль). Количество таких переходов определяет и количество корней.

Рис. 3. Графическое представление функции F(x)

Для этого интервал [a,b] разбивается наnучастков, гдеnпринимается равным 10..15, и вычисляется функцияF(x)на каждом участке, т.е. при измененииxотa доbс шагомh=(b—a)/n.

Из полученной таким образом таблицы будет виден и характер изменения функции, и количество переходов через нуль.

На втором этапе путем последовательных приближений производится поиск корней одним из предлагаемых методов.

Метод итерацийоснован на последовательном задании аргументаxи вычислении по нему функцииF₁(x), причем очередное значениеxприращивается предыдущему значению функцииx(n+1)=F₁(x(n))до тех пор, пока соблюдается условие|x(n+1)-x(n)|>=E. Первоначальное значение аргументаx(первое приближение –x(1)) определяется из таблицы как ближайшее к месту перехода функцииF(x)через нуль. Последнее приближениеxи будет корнем уравнения с точностьюE[8].

Метод половинного деления (дихотомии)состоит в следующем.

1. Определяем начальное значение x=(a+b)/2(как результат деления интервала [a,b] пополам).

2. Вычисляем F(x).

3. Если F(x)>0 иF(a)>0 илиF(x)<0 иF(a)<0(т.е. перемена знака функцииF(x)не произошла), то задаемa=x(т.е. перемещаем левую границу интервала в середину), уменьшая интервал вдвое и исключая при этом левую половину, на которой либо нет корней, либо есть четное число корней, иначе задаемb=x(исключаем правую половину интервала). См. рис. 4.

4. Проверяем условие b—a<E, если оно выполняется, то возвращаемся к п.1. с новыми значениями границ интервала, иначе заканчиваем вычисления и считаем, что последнее значениеx и будет корнем уравнения с заданной точностьюE.

Рис.4. Геометрическое представление метода половинного деления

Метод Ньютона (касательных)основан также на последовательном задании значенийxи вычислении функцииF(x), причем очередное значениеxопределяется формулой:

x(n+1)=x(n)-F(x(n))/F’(x(n)),

где F’(x(n))– производная от функцииF(x)в точкеx(n).

Геометрически производная от F(x), как известно, по величине равна тангенсу угла наклона касательной к кривойF(x)в точкеx. Тогда точкаx(n+1)есть точка пересечения с осью абсцисс касательной к кривойF(x), проведенной в точкеx=x(n). См. рис. 5.

Рис. 5. Геометрическое представление метода Ньютона

Как и в методе итераций, начальное значение xзадается как ближайшее табличное к месту перехода функцииF(x)через нуль.

Выражение для производной F’(x)получают аналитически в результате дифференцирования функцииF(x). Значение производной может быть получено приближенно и численным методом:

F’(x)=(F(x+E)-F(x))/E.

Итерационный процесс приближения к корню (последовательное вычисление x(n+1)) продолжается до тех пор, пока будет выполняться условие|x(n+1)-x(n)|>=E.

Следует иметь в виду, что при выполнении задания и алгоритм, и программа должны предусматривать оба этапа работы: табулирование функции F(x)с выбором начального приближения и процесс поиска корней с заданной точностью.

studfiles.net