А х 2 1 – Задачи с параметрами. Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным

Метод мажорант и задачи с параметром. Задание С5

Решим задачу из Задания С5 для подготовки к ЕГЭ  по математике :

Найдите все значения параметра , при каждом из которых имеет хотя бы один корень уравнение:

Решение. Мы видим, что исходное уравнение содержит два выражения под знаком модуля. Поэтому первая задача — раскрыть модули.

Возможны четыре случая:

1. 

2.

3.

4.

Рассмотрим каждый случай:

1. 

Оба подмодульных выражения неотрицательны, следовательно оба модуля раскрываем с тем же знаком:

Раскроем скобки, приведем подобные члены:

Оставим корень слева, а все остальное перенесем вправо:

Теперь оценим выражения в правой и левой частях уравнения, для этого сначала в правой части выделим полный квадрат:

Оценим левую часть уравнения:

Итак, левая часть уравнения больше или равна 25.

Рассмотрим правую часть уравнения:

. Мы видим, что из числа 25 мы вычитаем два неотрицательных выражения:  и  ( в рассматриваемом случае ), следовательно, правая часть уравнения меньше или равна 25. 

Итак, равенство возможно, если обе части уравнения равны 25. Легко заметить, что обе части уравнения равны 25, если и 

Мы получили первое решение: при   уравнение имеет единственный корень . 

Остальные случаи рассматриваются аналогично.

2.

Первое подмодульное выражение раскрываем с тем же знаком, а второе — с противоположным:

Левая часть уравнения больше или равна 25, правая часть уравнения меньше или равна 25. 

Итак, равенство возможно, если обе части уравнения равны 25. Легко заметить, что обе части уравнения равны 25, если и 

Мы получили второе решение: при   уравнение имеет единственный корень . 

Совершенно аналогично рассматриваются третий и четвертый случаи. Рассмотрите их самостоятельно.

Третье решение: при   уравнение имеет единственный корень .

И четвертое решение: при   уравнение имеет единственный корень . 

Ответ: {-5;5}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Занятие 4 — курс «Теория чисел»

Решение уравнений в целых числах.

Неопределенные уравнения – уравнения, содержащие более одного неизвестного. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

Для решения в целых числах уравнения вида

ах + by = c, где а, b, c – целые числа, отличные от нуля, приведем ряд теоретических положений, которые позволят установить правило решения. Эти положения основаны также на уже известных фактах теории делимости.

Теорема 1. Если НОД(а, b) = d, то существуют такие целые числа х и у, что имеет место равенство ах +  bу = d. (Это равенство называется линейной комбинацией или линейным представлением наибольшего общего делителя двух чисел через сами эти числа.)

Доказательство теоремы основано на использовании равенства алгоритма Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (наибольший общий делитель выражается через неполные частные и остатки, начиная с последнего равенства в алгоритме Евклида).

Пример.

Найти линейное представление наибольшего общего делителя чисел 1232 и 1672.

Решение.

1. Составим равенства алгоритма Евклида:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, т.е. (1672,352) = 88.

2) Выразим 88 последовательно через неполные частные и остатки, используя полученные выше равенства, начиная с конца:

88 = 440 — 352∙1 = (1672 — 1232) — (1232 — 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙3 — 1232∙4, т.е. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

Теорема 2. Если уравнение ах +  bу = 1, если НОД(а, b) = 1, достаточно представить число 1 в виде линейной комбинации чисел а и b.

   Справедливость этой теоремы следует из теоремы 1. Т

www.sites.google.com

1) уравнение плоскости А1А2А3; 2) уравнение прямой, проходящей через точку А4, перпендикулярно плоскости А1А2А3; 3) расстояние от точки А4 до плоскости А1А2А3

А₁(2;3;5), А₂(5;3;-7), А₃(1;2;7), А₄(4;2;0)

Решение

1) Уравнение плоскости А₁А₂А₃

-12(x-2)+6(y-3)-3(z-5)=0

-12х+6y-3z+21=0

4х-2y+z-7=0 – общее уравнение плоскости А₁А₂А₃

2) Уравнение прямой, проходящей через точку  А₄ перпендикулярно к плоскости А₁А₂А₃ :

, где =(A;B;C)– нормальный вектор к плоскости А₁А₂А₃.

=(4;-2;1)

– канонические уравнения прямой.

3) Расстояние от точки А_{4до плоскости А1А2А3:}

, где Ax+By+Cz+D=0 – общее уравнение плоскости А₁А₂А₃

A=4    B=-2    C=1    D=-7

4) Синус угла между прямой А₁А₄ и плоскостью А₁А₂А₃:

, где – направляющий вектор прямой, – нормальный вектор к плоскости.

(4-2;2-3;0-5)=(2;-1;-5)

=(4;-2;1)

5)      Косинус угла между координатной плоскостью Oxy  и  плоскостью А₁А₂А₃:

, где  и  – нормальные векторы плоскостей

 

=(0;0;1), =(4;-2;1)

 

 

primer.by