Алгоритмы решения задач с помощью систем уравнений
Разделы: Математика
Объяснительная записка.
В курсе алгебры 9 класса отводится всего 4 часа на решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Это задачи на движение, совместную работу и задачи с геометрическим содержанием. Мне захотелось расширить тематику задач, и на факультативе по алгебре я предложила учащимся задачи, которые не включены в учебник. Для каждого из рассматриваемых типов задач я предлагаю алгоритм решения. Уважаемые коллеги, быть может, это покажется интересным и вам.
Алгоритм решения задач на совместную работу.
- Принимаем всю работу, которую необходимо
выполнить за 1.
Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. , где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно. - Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.
- Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.
Задача №1
Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?
1. Принимаем площадь участка, с которого необходимо собрать урожай, за 1.
2. Пусть х – время, необходимое первому
комбайнеру для уборки всего урожая, у — время,
необходимое второму
комбайнеру для уборки всего урожая. Тогда–
производительность первого комбайнера, –
производительность второго комбайнера.
4.Составим систему уравнений:
у = 60, х = 84
Ответ: для уборки всего урожая первому
комбайнеру потребуется 84 часа, второму – 60 часов.
Задача №2
Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй.
Задача №3
Мастер и ученик должны были выполнить некоторое задание. После четырех дней совместной работы ученик был переведен в другой цех, и, чтобы закончить выполнение задания, мастеру пришлось еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы выполнить каждый из них это задание, если известно, что мастеру для этого требуется на 3 дня меньше, чем ученику?
Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа.
- Вводится обозначение:
х – цифра десятков
у – цифра единиц - Искомое двузначное число 10х + у
- Составить систему уравнений
Задача №1.
Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число.
Х – цифра десятков. У – цифра единиц. 10х + у – искомое число.
2х2 + 12х – 32 =0х2 +6х – 16 =0
х1 =-8 (посторонний корень) х2 =2, тогда у =4.
Ответ: 24.
Задача №2.
Двузначное число в трое больше суммы его цифр.
Если из этого числа вычесть произведение его
цифр, то получится 13. Найдите это двузначное
число. (27).
Задача №3.
Двузначное число в шесть раз больше суммы его
цифр. Если это число сложить с произведением его
цифр, то получится 74. Найдите это число.(54).
Задача №4.
Сумма квадратов цифр двузначного числа
равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим
число, записанное теми же цифрами, но в обратном
порядке. Найти число.(32).
Задача №5.
Произведение цифр двузначного числа в три
раза меньше самого числа. Если к искомому числу
прибавить 18, то получится число, написанное теми
же цифрами, но в обратном порядке. Найти это
число.
Алгоритм решения задач на смеси.
х – масса первого раствора, у – масса второго раствора, (х + у ) – масса полученной смеси.
Найти содержание растворенного вещества в растворах, т.е.
а % от х, в % от у, с % от (х+у)Составить систему уравнений.
Задача №1
Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% -ным
и получили 600г 15% -ого раствора. Сколько граммов
каждого раствора было взято?
Введем обозначение. Пусть взяли х г первого раствора, у г – второго раствора, тогда масса третьего раствора – (х+у).
Определим количество растворенного вещества в первом, втором, третьем растворах, т.е. найдем 30% от х, 10% от у, 15% от 600.
Составим систему уравнений:
0,3х + 60 – 0,1х = 90
0,2х = 30
х = 30:0,2
х = 150, у = 600 – 150 = 450
Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго
раствора.
Задача №2
Имеется лом стали двух сортов с содержанием
никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого
их этих сортов, чтобы получить 140 т стали с
содержанием 30% никеля?
Задача №3
Смешали 10% -ный и 25% -ный растворы соли и
получили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество
каждого раствора в килограммах было
использовано?
Литература:
1. В.С. Крамор. Повторяем и
систематизируем школьный курс алгебры и начал
анализа. “ Просвещение”.
3. М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. “ Высшая школа”.
4. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре.
8 – 9. “ Просвещение”.
2.02.2006
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
|
Этап урока |
Деятельность учителя и ученика (содержание урока) |
|||
|
1 |
«Приветствие. Мотивация» |
|||
|
2 |
«Актуализация знаний и способов деятельности»
Беседа: — Каков алгоритм решения задач с помощью уравнений? Ответ ученика:
— Подробно пояснить п. 2 Ответ ученика: По условию задачи можно разбить на 4 группы:
Работа с таблицей-опорой: |
|||
|
3 |
«Закрепление знаний и способов деятельности» — Применить данный теоретический материал при выполнении разноуровневой самостоятельной работы «Поле чудес». Цель: разгадать зашифрованное слово, установить закономерность его образования, определить тип каждой задачи по условию. Время выполнения работы — 15 мин. За каждую решенную задачу получаете жетон определенного цвета: «I уровень» — желтый жетон «II уровень» — зеленый жетон «III уровень» — красный жетон |
|||
|
1 вариант |
2 вариант |
|||
|
«I уровень» |
«I уровень» |
|||
|
Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в 1,5 раза. Вместе им 36 лет. Сколько лет каждому из них? Ответ: 16 лет, 12 лет, 8 лет Задача 4 типа |
На первой полке было в 1,6 раза больше книг, чем на второй. Когда с первой полки взяли 4 книги, а на вторую положили 8 книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально? Ответ: 32 и 20 книг Задача 1 типа |
|||
|
«Х» |
«О» |
|||
|
«II уровень» |
«II уровень» |
|||
|
|
Кофейник и две чашки вмещают 740 г воды. В кофейник входит на 380 г воды больше, чем в чашку. Сколько граммов воды вмещает кофейник? Ответ: 500 г Задача 4 типа |
|||
|
«Р» |
«Д» |
|||
|
«III уровень» |
«III уровень» |
|||
|
На турбазе имеются палатки и домики. Всего их 25. В каждом домике живут 4 человека, а в каждой палатке 2 человека. Сколько на турбазе палаток и сколько домиков, если на турбазе отдыхают 70 человек? (решить задачу разными способами, обсудить решение в парах) Ответ: 15 палаток, 10 домиков Задача 4 типа |
||||
|
«А» |
||||
|
На доске ответы:
|
||||
|
Итог самостоятельной работы разгаданное слово «хорда»: Учитель дает определение, достает модель из «черного ящика». Каждый ученик получает оценку за самостоятельную работу, подняв жетоны. оценка «3» — за желтый жетон; оценка «4» — за желтый и зеленый жетоны; (самооценка) оценка «5» — за все три жетона. Задачу III-го уровня подробно разобрать, обсудить все способы её решения [см. Приложение 1]. Во время выполнения с/р двое сильных учеников выполняют индивидуальные задания на дополнительных досках (задачи 1 и 2). |
||||
|
Задача 1 Бригада должна была изготовить определенное количество стульев за 10 дней. Однако она ежедневно изготавливала на 20 стульев больше, чем планировалось первоначально, поэтому за 3 дня до срока ей осталось изготовить 58 стульев. Сколько стульев должна была изготовить бригада? Ответ: 660 стульев. Более подробное решение в Приложении 2. Задача 2 В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17- в хоккей, 18 – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта: баскетболом и хоккеем – 4, баскетболом и волейболом – 3, волейболом и хоккеем – 5. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни волейболом, ни хоккеем. а) Сколько ребят увлекаются лишь одним из этих видов спорта? б) Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта? (решить, используя круги Эйлера) Ответ: а) 21 человек, б) 2 человека. Решение в Приложении 2. Класс оценивает ответы работающих у доски. Справившиеся раньше с с/р получают дополнительные задания: составить задачи по уравнению, указать тип по условию [см. Приложение 3].
|
||||
|
4 |
«Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности» Информация учителя о системе работы по данной теме, начиная с 5-го класса, и перспективах в курсе основной школы. Ответ: 7 плюшек Беседа учителя: — Какого типа задачи мы решали сегодня на уроке? (1, 2, 4) — Придумать задачу 3-го типа по уравнению: (50 — 3x)2 = 50 — x Рассмотреть другие способы составления уравнения, выбрать наиболее рациональный [см. Приложение 4]. |
multiurok.ru
примеры, объяснение. Задачи по алгебре :: SYL.ru
Рано или поздно любому школьнику на уроках алгебры встречаются задачи, решаемые с помощью уравнения. Поначалу появление букв вместо привычных цифр и действия с ними ставят в тупик даже самых одарённых, но если разобраться, всё далеко не так сложно, как кажется на первый взгляд.
Алгоритм решения
Перед тем как перейти к конкретным примерам, необходимо понять алгоритм решения задач с помощью уравнений. В любом уравнении есть неизвестное, чаще всего обозначаемое буквой Х. Также и в каждой задаче есть то, что необходимо найти, то же самое неизвестное. Именно его и нужно обозначать как Х. А потом, следуя условию задачи, прибавлять, отнимать, умножать и делить – совершать любые необходимые действия.
После нахождения неизвестного обязательно выполнение проверки, чтобы быть уверенными, что задача решена правильно. Стоит заметить, что дети уже в начальной школе начинают решение задач с помощью уравнений. Примеры этому — те задачи, которые нужно решать отрезками, являющимися полнейшими аналогами буквенных неизвестных.
Основа основ — задача про корзины
Итак, попробуем же на практике применить решение задач с помощью уравнений, объяснение алгоритма которых было дано чуть выше.
Дана задача: Собрали некоторое количество корзин с яблоками. Сначала 3 корзины продали, потом дособирали ещё 8 корзин. В итоге получилось 12 корзин. Сколько корзин яблок собрали первоначально?
Начнём решение задачи с того, что обозначим неизвестное — то есть первоначальное количество корзин – буквой Х. Теперь начинаем составлять уравнение: Х (первоначальное количество) – 3 (проданные корзины) + 8 (те, которые собрали позже) = 12 (итоговое число корзин), то есть Х — 3 + 8 = 12. Решив простое уравнение, получим, что Х = 7. Обязательно выполняем проверку, то есть подставляем найденное число в равенство: 7 — 3 + 8 действительно равно 12, то есть задача решена верно.
Закрепление: концертные залы
Дана следующая задача: В двух концертных залах 450 мест. Известно, что в одном зале мест в 4 раза больше, чем в другом. Нужно узнать, сколько мест в каждом зале.
Для того чтобы решать подобные задачи по алгебре, снова нужно применить уравнение. Мы знаем, что сумма двух чисел, одно из которых в 4 раза больше другого, равна 450. Пусть число мест в меньшем зале, неизвестное, будет равно Х, тогда число мест в большем зале – 4 * Х = 4Х. Следовательно, 450 = Х + 4Х = 5Х. А дальше нужно решить стандартное уравнение 450 = 5Х, где Х = 450 / 5 = 90, то есть в меньшем зале 90 мест, значит в большем – 90 * 4 = 360. Чтобы убедиться, что задача решена правильно, можно проверить неравенство: 360 + 90 = 450, то есть ответ верный.
Классика: полки с книгами
Но задачи, решаемые с помощью уравнения, могут быть и посложнее. Например, есть три полки с книгами. На первой полке книг на 8 больше, чем на второй, а на третьей — в 3 раза больше, чем на второй, причём количество книг на первой и третьей полках равное. Сколько книг на каждой полке?
Понятно, что отталкиваться здесь нужно от второй полки, которая встречается в обоих условиях. Если мы обозначаем количество книг на ней за Х, то тогда на первой полке Х + 8 книг, а на третьей — Х * 3 книг, при этом Х + 8 = 3Х. Решив уравнение, получаем Х = 4. Выполняем проверку, подставляя неизвестное в равенство: 4 + 8 действительно равно 3 * 4, то есть задача решена правильно.
Практикуемся дальше: бобры
Как видите, решение задач с помощью уравнения гораздо легче, чем кажется на первый взгляд. Закрепим навыки работы с уравнениями ещё одной задачей. Первый бобр сгрыз за день какое-то количество деревьев. Второй бобр сгрыз в 6 раз больше. Третий бобр сгрыз в 2 раза больше деревьев, чем первый, но в 3 раза меньше, чем второй. Сколько деревьев сгрыз каждый бобр?
Задача не такая запутанная, какой кажется на первый взгляд. Для начала найдём неизвестное – в этой задаче это количество деревьев, сгрызенных первым бобром. Следовательно, второй бобр уничтожил 6 * Х деревьев, а третий – 2 * Х, причём это число в 3 раза меньше 6 * Х. Составляем уравнение: 6Х = 3 * 2Х. Решив его, получаем, что первый бобр погрыз всего одно дерево, тогда второй – 6, а третий – 2. Подставив числа в уравнение, понимаем, что задача решена верно.
Соотносим уравнения и условия
Если вам скажут: «К каждой задаче подберите соответствующее уравнение», — не пугайтесь – это целиком и полностью реально.
Даны следующие уравнения:
- 6 + Х = 2Х;
- 6 = 2Х;
- 2 + Х = 6.
Условия задач следующие:
- У мальчика было 6 яблок, а у девочки в два раза меньше, сколько было яблок у девочки?
- На столе лежат ручки и карандаши, известно, что ручек на столе 6, а карандашей на 2 меньше, сколько ручек и сколько карандашей на столе?
- У Вани на шесть монет больше, чем у Тани, а у Тани в два раза меньше, чем у Ани, сколько монет у каждого ребёнка, если у Вани и Ани одинаковое количество монет?
Составим уравнения по каждой из задач.
- В первом случае нам не известно число яблок у девочки, то есть оно равно Х, мы знаем, что Х в 2 раза меньше 6, то есть 6 = 2Х, следовательно, к этому условию подходит уравнение №2.
- Во втором случае за Х обозначается количество карандашей, тогда количество ручек Х + 2, но при этом мы знаем, что ручек 6, то есть Х + 2 = 6, значит сюда подходит третье уравнение.
- Что касается последней задачи, под номером 3, количество Таниных монет, которое встречается в двух условиях, является искомым неизвестным, тогда у Вани 6 + Х монет, а у Ани 2Х монет, то есть 6 + Х = 2Х – очевидно, что сюда подходит первое уравнение.
Если у вас есть задачи, решаемые с помощью уравнения, к которым необходимо подобрать соответствующее равенство, то составьте уравнение для каждой из задач, а потом уже соотносите то, что получилось у вас, с данными уравнениями.
Усложняем: система уравнений — конфеты
Следующий этап применения буквенных равенств в алгебре – это задачи, решаемые системой уравнений. В них имеется два неизвестных, причём одно из них выражается через другое на основании имеющихся данных. Известно, что у Паши и Кати вместе 20 конфет. Ещё известно, что если бы у Паши было на 2 конфеты больше, то у него было бы 15 конфет, сколько конфет у каждого?
В данном случае мы не знаем ни количество Катиных конфет, ни количество Сашиных конфет, следовательно, у нас два неизвестных, Х и Y соответственно. Вместе с тем, мы знаем, что Y + 2 = 15.
Составив систему, получаем два уравнения:
- Х + Y = 20;
- Y + 2 = 15.
А дальше действуем по правилам решения систем: выводим Y из второго уравнения, получая Y = 15 — 2, а потом подставляем его в первое, то есть Х + Y = Х + (15 — 2) = 20. Решив уравнение, получаем Х = 7, тогда Y = 20 — 7 = 13. Проверяем правильность решения, подставив Y во второе уравнение: 13 + 2 действительно равно 15, то есть у Кати 7 конфет, а у Паши — 13.
Ещё сложнее: квадратные уравнения и земельный участок
Встречаются также и задачи по алгебре, решаемые квадратным уравнением. В них нет ничего сложного, просто стандартная система преобразовывается в квадратное уравнение в ходе решения. Например, дан участок земли площадью в 6 гектаров (60000 квадратных метров), забор, огораживающий его, имеет длину 1000 метров. Каковы длина и ширина участка?
Составляем уравнения. Длина забора является периметром участка, следовательно, если длину обозначить Х, а ширину Y, то 1000 = 2 * (Х + Y). Площадь же, то есть Х * Y = 60000. Из первого уравнения выводим Х = 500 — Y. Подставляя его во второе уравнение, получаем (500 — Y) * Y = 60000, то есть 500Y — Y2 = 60000. Решив уравнение, получаем стороны равные 200 и 300 метрам – квадратное уравнение имеет два корня, один из которых зачастую не подходит по условию, например, является отрицательным, тогда как ответ должен быть числом натуральным, поэтому проверку проводить обязательно.
Повторяем: деревья в саду
Закрепляя тему, решим ещё одну задачу. В саду есть несколько яблонь, 6 груш и несколько вишнёвых деревьев. Известно, что общее количество деревьев в 5 раз больше, чем количество яблонь, при этом вишневых деревьев в 2 раза больше, чем яблоневых. Сколько деревьев каждого вида в саду и сколько в саду всего деревьев?
За неизвестное Х, как, наверное, уже понятно, обозначаем яблоневые деревья, через которые мы сможем выразить остальные величины. Известно, что Y = 2X, а Y + Х + 6 = 5Х. Подставив Y из первого уравнения, получаем равенство 2Х + Х + 6 = 5Х, откуда Х = 3, следовательно в саду Y = 3 * 2 = 6 вишнёвых деревьев. Проводим проверку и отвечаем на второй вопрос, складывая получившиеся величины: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, то есть задача решена верно.
Контрольная: сумма чисел
Решение задач с помощью уравнения далеко не такое сложное, как кажется на первый взгляд. Главное – не ошибиться в выборе неизвестного и, что ещё важнее, правильно его выразить, особенно если речь идёт о системе уравнений. В завершение даётся последняя задача, гораздо более запутанная, чем представленные выше.
Сумма трёх чисел – 40. Известно, что Х = 2Y + 3Z, а Y = Z — 2 / 3. Чему равны Х, Y и Z?
Итак, начнём с избавления от первого неизвестного. Вместо Х подставляем в равенство соответствующее выражение, получаем 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40. Далее заменяем также известный Y, получая равенство 3Z — 2 + 4Z = 40, откуда Z = 6. Возвращаясь к Y, находим, что он равен 5.2, а Х, в свою очередь, равен 18. С помощью проверки убеждаемся в истинности выражения, следовательно задача решена правильно.
Заключение
Итак, что же такое задачи, решаемые с помощью уравнения? Так ли они страшны, как кажется на первый взгляд? Ни в коем случае! При должной усидчивости разобраться в них не составляет никакого труда. А однажды поняв алгоритм, в дальнейшем вы сможете щёлкать подобные задачки, даже самые запутанные, как семечки. Главное – внимательность, именно она поможет правильно определить неизвестное и путём решения порой множества уравнений найти ответ.
www.syl.ru
Презентация » алгоритм решения задач с помощью уравнений «
Алгоритм решения задач с помощью уравнений
Составила: Маношина Олеся Валерьевна
1.Внимательно прочитать задачу
2. Определить вид задачи ( если возможно записать формулу, связывающую величины в задаче )
3. Составить графическую модель ( отрезок, таблицу ) или краткую запись
4. Проверить соответствие единиц измерения величин
5. Одну из неизвестных величин обозначить переменной Х
6. Выразить через Х значение других неизвестных величин
7. Составить уравнение
8. Решить уравнение
9. Соотнести корень уравнения с вопросом задачи
10. Записать ответ к задаче
« Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путём подражания или упражнения »
multiurok.ru
Решение задач с помощью уравнений. 7-й класс
Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (312,5 кБ)
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока:
- закрепление умения решать текстовые задачи с помощью уравнений;
- проверить уровень усвоения;
- развитие правильной математической речи;
- воспитание критичного отношения к себе.
Планируемые результаты:
- предметные: уметь применять алгоритм решения задач с помощью составления уравнений; уметь решать текстовые задачи с помощью уравнений; уметь работать с математическим текстом (структурирование, извлечение необходимой информации), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи;
- личностные: уметь слушать собеседника и вести диалог, аргументировать свою точку зрения, дополнять и исправлять ответы других учащихся; способность сопереживать радость, удовольствие от верно решенной задачи; понимать смысл поставленной задачи;
- метапредметные: способность самостоятельно ставить цели учебной деятельности, планировать, осуществлять, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей и условиями её выполнения, владение основами самоконтроля, самооценки.
Познавательные УУД: анализировать и осмысливать текст задачи, применять алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений.
Регулятивные УУД: работать по алгоритму, сверять свои ответы с ответами одноклассников.
Коммуникативные УУД: аргументировать свою точку зрения, участвовать в диалоге, работать в группах.
В результате у учащихся формируются такие качества личности, необходимые в современном обществе, как интуиция, логическое мышление, определение адекватных способов решения учебной задачи на основе заданных алгоритмов.
Задачи:
- образовательные: продолжить формировать умение решать текстовые задачи;
- воспитательные: умение слушать и вступать в диалог; формировать внимательность и аккуратность в вычислениях; прививать учащимся умение аргументировать свое мнение, повышая самооценку, самоконтроль, взаимоконтроль; требовательное отношение к себе и своей работе;
- развивающие: развитие навыков и способностей критического мышления; развитие у детей способности рассуждать.
Тип урока: урок закрепления знаний и умений.
Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, работа в группах.
Необходимое оборудование: доска, интерактивная доска, компьютер, карточки для коммуникации.
Ход урока
1. Организационный этап
Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку, предлагает обучающимся поделиться своим настроением с помощью карточек для коммуникации.
Доброе утро, садитесь. С каким настроением вы пришли ко мне на урок? Надеюсь, что с урока вы уйдёте с хорошим настроением и новыми знаниями.
Учащиеся слушают учителя, поднимают карточки.
2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся
Кто может сказать, чем мы с вами занимались на прошлом уроке?
Правильно. Мы начали с вами применять уравнения для решения задач.
- Как вы считаете, достаточно ли вами решено задач? (Нет).
- Какая цель может быть у нас сегодня? (Закрепить умение решать текстовые задачи с помощью уравнений).
- Что для этого необходимо? (Продолжить решать текстовые задачи на эту тему).
Сегодня на уроке мы продолжим решать задачи с помощью уравнений. Работать вы будете в группах, а это значит, что нужно активно участвовать в совместной работе, внимательно выслушивать каждого члена группы, не перебивать собеседника, не смеяться над ошибками других, а помочь им в работе. В конце урока каждый получит оценку за свою работу.
Учащиеся отвечают на вопросы учителя и формулируют цель и задачи урока.
3. Устная работа
Проверим сначала, как вы научились решать линейные уравнения и составлять их по условию задачи? (Да).
Задания проецируются на экран. Презентация, слайд № 2.
№ 1. Составьте уравнение по условию задачи:
- В первой бригаде на 5 рабочих больше, чем во второй. Сколько рабочих в каждой бригаде, если всего в двух бригадах 77 человек?
- Длина прямоугольника в 2 раза больше ширины, а его периметр равен 138 см. Найдите размеры прямоугольника.
№ 2. Решите уравнение:
- 5 – 2х = 0;
- х – 8 = -4х – 9.
Учащиеся работают фронтально, выполняют предложенные задания.
4. Работа в группах
Повторение алгоритма решения задач с помощью уравнений. Перед вами на интерактивной доске алгоритм решения задач с помощью уравнения. Вам нужно найти ошибки и исправить их:
1. Обозначают все неизвестные числа буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение.
2. Решают это уравнение.
3. Записывают полученный результат в ответ задачи.
Каждая из групп находит ошибки и подзывает учителя, даёт правильный ответ, потом ответ проверяется с помощью слайдов презентации.
5. Физкультминутка
Перед тем, как продолжить нашу работу, давайте немного передохнём.
— Встали. Потянулись. Поиграем в «Карлики – великаны».
6. Работа в группах
Решение задач
Каждая из групп решает задачу, показывает своё решение учителю, потом решение проверяется с помощью слайда презентации.
Задача 1: Три школы получили 70 компьютеров. Вторая школа получила на 6 компьютеров больше первой, а третья – на 10 компьютеров больше второй. Сколько компьютеров получила каждая школа?
Задача 2 (на движение): За 9 ч по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
7. Информация о домашнем задании
Решить задачи из учебника:
На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причём на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором – на 4 банки меньше, чем в третьем?
Тем, кому интересно, предлагаю решить старинную задачу:
Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 верст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 верст в день. Через сколько дней второй догонит первого?
8. Рефлексия
С каким настроением вы заканчиваете урок? Покажите карточкой.
Предлагаю каждой группе написать на листочках ответы на следующие вопросы:
- Что понравилось на уроке?
- Что не понравилось на уроке?
9. Подведение итогов
Оценивается работа каждого обучающегося, выставляются оценки.
Список литературы и источников Интернета.
- Учебник для общеобразовательных организаций. Алгебра. 7 класс: учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова; под ред. С.А.Теляковского. – М. : Просвещение, 2014.
- https://xn--80aa2aegbj2f.xn--p1ai/publications/igry-na-trave/%D1%88%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D0%B0%D0%BC%D0%B0%D0%BC.%D1%80%D1%84/publications/igry-na-trave/
9.04.2018
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
«Решение задач методом уравнений» (из опыта работы, 5 класс)
Урок на тему «Решение задач с помощью уравнений»
5 класс (из опыта работы)
Тема довольно сложная. Учащимся можно предложить принципиально новый подход к решению задач.
Очень важно показать учащимся необходимость и целесообразность такого способа решения, и, главное, его механизм, ход логических рассуждений. Предлагаю решить задачу:
«Ваня, Петя и Сережа пошли на рыбалку и поймали 51 рыбку. Ваня поймал в 2 раза больше, чем Петя, а Сережа – на 3 рыбки больше, чем Петя. Сколько рыбок поймал каждый мальчик? На доске появляется следующая запись:
Ваня — ? в 2 раза больше, чем
Петя — ? 51
Сережа — ? на 3 больше, чем
Предлагаю учащимся решить задачу. Арифметически – не получается.
Рассказываю. Как можно было ее решить. Сначала методом подбора.
На доске чертится таблица, которая заполняется по мере рассуждений учащихся
Если Петя поймал 1 рыбку, то Ваня – 2, а Сережа – 4 рыбки. Всего 7 рыбок, а должно быть 51 и т.д. Можно дойти до правильного ответа. Какой недостаток этого решения?
Нужно много перебрать значений, долго.
Можно иначе. Мы не знали сколько рыбок у Пети, но всякий раз число рыбок у других мальчиков выражали через них.
Обозначим число рыбок у Пети через х. Тогда у Вани будет – 2х рыбок, а у Сережи – (х+3) рыбки. Всего поймали 51 рыбку т.е.
Х+2х+(х+3)=51.
Решим это уравнение.
4х=48;
Х=12 – столько рыбок у Пети.
У Вани 12*2=24 рыбки. А у Сережи 12+3=15рыбок.
Проверим: 24:12=2; 15 – 12=3; 24+15+12=51. Все условия выполнены. Задача решена верно.
Проследим решение задачи и запишем последовательность действий в виде плана (алгоритма)
Алгоритм решения задач с помощью уравнений
Обозначим неизвестную величину переменной.
Выразить через нее другие величины.
Найдем зависимость между ними и на основании этой зависимости составим уравнение.
Решим уравнение и найдем ответ.
Проверим правильность решения задачи.
Запишем ответ.
Затем даю под диктовку образец оформления решения задачи, называя одновременно этапы решения
Решение
Пусть Петя поймал х рыбок. Тогда Ваня поймал 2х рыбок. А Сережа (х+3) рыбок. Зная. Что вместе они поймали 51 рыбку, составим уравнение:
х+2х+ (х+3) =51;
х+2х+х+3=51;
4х=48;
х=12.
2х=2*12=24 х+3=15
Проверка: 24:12=2 15-12=3 12+24+15=51
Ответ: 24рыбки; 12 рыбок; 15 рыбок.
Практика показывает, что после решения нескольких похожих задач учащиеся хорошо усваивают алгоритм решения и не испытывают серьезных трудностей в дальнейшем.
infourok.ru
Решение задач с помощью уравнений
Конспект урока по математике 6 кл.
Тема урока: Решение задач с помощью уравнений
Цели:
Образовательная: вырабатывать навыки в решении задач с помощью уравнений;
Развивающая: развивать логическое мышление, умение анализировать ситуацию.
Воспитательная: воспитывать уверенность при принятии решений, интерес к математике, культуру математических записей.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Оборудование: мультимедийное оборудование, презентация, роздаточный материал «Алгоритм решения задач с помощью уравнений»
Ход урока
1.Организационный момент. Эпиграф урока:
«Через математические знания, полученные в школе,
лежит широкая дорога к огромным,
почти необозримым областям труда и открытий»
Маркушевич А.И
2.Устный счет Диктант:
1.Равенство содержащее переменную, называется ….
2. Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное …
3. Решить уравнение, это значит найти все его …
4. Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения умножить на одно и то же число. (да)
5. Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. (да)
3.Актуализация знаний. Решить уравнение (трое учеников решают у доски)
3х=4-х 34+х=2(11+х) 6х+12=7х-14
4.Создание проблемной ситуации. Решение задачи.
В книге 60 страниц.
Прочитали в 2 раза больше
страниц, чем осталось прочитать.
Сколько страниц осталось прочитать?
5. Мотивация учебной деятельности. Сообщение темы и целей урока
Вы уже знаете, что такое уравнение, что означает требование «решить уравнение». А задумывались ли вы над тем, зачем нам нужно уметь решать уравнения?
Дело в том, что очень много разнообразных задач проще решаются, если составить и решить уравнение, опираясь на их условия.
Сегодня на уроке мы будем решать задачи с помощью уравнений, анализировать ситуацию, подключая логическое мышление, при этом вы должны быть уверены в своих действиях, придерживаться правил оформления математических записей, и возможно, кто-то из вас сегодня заинтересуется математикой.
6.Формирование умений и навыков
Задача 1.
На автостоянке стоит 24 автомобиля, причем легковых автомобилей в 3 раза больше, чем грузовых. Сколько грузовых автомобилей стоит на автостоянке?
Решение задачи с помощью уравнений будет происходить по плану:
1.Проанализировать условие и определиться, какую величину обозначим переменной .
2.Через выбранную переменную выразить другие неизвестные величины, записать соответствующие математические выражения.
3.Составить уравнение, опираясь на данные, имеющиеся в условии задачи
4.Решить полученное уравнение.
5.Найти другие неизвестные величины.
6.Записать ответ.
Ученики получают карточки с алгоритмом решения задач с помощью уравнений.
Алгоритм решения задачи с помощью уравнений:
1.Проанализировать условие и определиться, какую величину обозначим переменной .
2.Через выбранную переменную выразить другие неизвестные величины, записать соответствующие математические выражения.
3.Составить уравнение, опираясь на данные, имеющиеся в условии задачи
4.Решить полученное уравнение.
5.Записать ответ.
Решение.
Пусть грузовых автомобилей х, тогда легковых будет 3х. По условию всего 24 автомобиля. х+3х=24
4х=24
х=24/4, х=6 . Ответ: 6 грузовых автомобилей.
7.Физкультминутка
Задача 2. Ученик решает у доски.
Задача 3. Самостоятельно
Желающие решают у доски Задача 4 и Задача 5.
8.Итог урока.
Что нового узнали на уроке?
Было ли вам интересно на уроке?
Все ли было вам понятно?
Понравился урок или нет?
9.Оценки, домашнее задание
infourok.ru