Что такое в алгебре е – Экспонента и число е: просто и понятно

Экспонента и число е: просто и понятно

Перевод большой статьи «An Intuitive Guide To Exponential Functions & e»

Число e всегда волновало меня — не как буква, а как математическая константа. Что число е означает на самом деле?

Разные математические книги и даже моя горячо любимая Википедия описывает эту величественную константу совершенно бестолковым научным жаргоном:

Математическая константа е является основанием натурального логарифма.

Если заинтересуетесь, что такое натуральный логарифм, найдете такое определение:

Натуральный логарифм, ранее известный как гиперболический логарифм, является логарифмом с основанием е, где е – иррациональная константа, приблизительно равная 2.718281828459.

Определения, конечно, правильные. Но понять их крайне сложно. Конечно, Википедия в этом не виновата: обычно математические пояснения сухи и формальны, составляются по всей строгости науки. Из-за этого новичкам сложно осваивать предмет (а когда-то каждый был новичком).

С меня хватит! Сегодня я делюсь своими высокоинтеллектуальными соображениями о том, что такое число е, и чем оно так круто! Отложите свои толстые, наводящие страх математические книжки в сторону!

Число е – это не просто число

Описывать е как «константу, приблизительно равную 2,71828…» — это все равно, что называть число пи «иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415…». Несомненно, так и есть, но суть по-прежнему ускользает от нас.

Число пи — это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковое для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, а следовательно, она участвует в вычислении длины окружности, площади, объема и площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и т.д. Пи показывает, что все окружности связаны, не говоря уже о тригонометрических функциях, выводимых из окружностей (синус, косинус, тангенс).

Число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число е позволяет взять простой темп прироста (где разница видна только в конце года) и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой (или даже быстрее) всё вырастает еще на немного.

Число е участвует как в системах с экспоненциальным, так и постоянным ростом: население, радиоактивный распад, подсчет процентов, и много-много других. Даже ступенчатые системы, которые не растут равномерно, можно аппроксимировать с помощью числа е.

Также, как любое число можно рассматривать в виде «масштабированной» версии 1 (базовой единицы), любую окружность можно рассматривать в виде «масштабированной» версии единичной окружности (с радиусом 1). И любой коэффициент роста может быть рассмотрен в виде «масштабированной» версии е («единичного» коэффициента роста).

Так что число е – это не случайное, взятое наугад число. Число е воплощает в себе идею, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного и того же показателя.

Понятие экспоненциального роста

Давайте начнем с рассмотрения базовой системы, которая удваивается за определенный период времени. Например:

  • Бактерии делятся и «удваиваются» в количестве каждые 24 часа
  • Мы получаем вдвое больше лапшинок, если разламываем их пополам
  • Ваши деньги каждый год увеличиваются вдвое, если вы получаете 100% прибыли (везунчик!)

И выглядит это примерно так:

Деление на два или удваивание – это очень простая прогрессия. Конечно, мы можем утроить или учетверить, но удваивание более удобно для пояснения.

Математически, если у нас есть х разделений, мы получаем в 2^x раз больше добра, чем было вначале. Если сделано только 1 разбиение, получаем в 2^1 раза больше. Если разбиений 4, у нас получится 2^4=16 частей. Общая формула выглядит так:

рост = 2x

Другими словами, удвоение – это 100% рост. Мы можем переписать эту формулу так:

рост = (1+100%)x

Это то же равенство, мы только разделили «2» на составные части, которыми в сущности и является это число: начальное значение (1) плюс 100%. Умно, да?

Конечно, мы можем подставить и любое другое число (50%, 25%, 200%) вместо 100% и получить формулу роста для этого нового коэффициента. Общая формула для х периодов временного ряда будет иметь вид:

рост = (1+прирост)x

Это просто означает, что мы используем норму возврата, (1 + прирост), «х» раз подряд.

Приглядимся поближе

Наша формула предполагает, что прирост происходит дискретными шагами. Наши бактерии ждут, ждут, а потом бац!, и в последнюю минуту они удваиваются в количестве. Наша прибыль по процентам от депозита магическим образом появляется ровно через 1 год. На основе формулы, написанной выше, прибыль растет ступенчато. Зеленые точки появляются внезапно.

Но мир не всегда таков. Если мы увеличим картинку, мы увидим, что наши друзья-бактерии делятся постоянно:

Зеленый малый не возникает из ничего: он медленно вырастает из синего родителя. После 1 периода времени (24 часа в нашем случае), зеленый друг уже полностью созрел. Повзрослев, он стает полноценным синим членом стада и может создавать новые зеленые клеточки сам.

Эта информация как-то изменит наше уравнение?

Не-а. В случае с бактериями, полусформированные зеленые клетки все же не могут ничего делать, пока не вырастут и совсем не отделятся от своих синих родителей. Так что уравнение справедливо.

В следующий статье мы посмотрим на пример экспоненциального роста ваших денег.

Продолжение

zero2hero.org

E (математическая константа) — это… Что такое E (математическая константа)?

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Иногда число e называют числом Эйлера (не путать с т. н. числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e».

Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.

2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757…[1]

Способы определения

Число e может быть определено несколькими способами.

Свойства


  • Данное свойство играет важную роль в решении дифференциальных уравнений. Так, например, единственным решением дифференциального уравнения является функция , где
    c
     — произвольная константа.
  • Число e иррационально и даже трансцендентно. Это первое число, которое не было выведено как трансцендентное специально, его трансцендентность была доказана только в 1873 году Шарлем Эрмитом. Предполагается, что e — нормальное число, то есть вероятность появления разных цифр в его записи одинакова.
  • , см. формула Эйлера, в частности
  • Ещё одна формула, связывающая числа е и π, т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»
  • Для любого комплексного числа z верны следующие равенства:
  • Число e разлагается в бесконечную цепную дробь следующим образом:
    , то есть
  • Представление Каталана:

История

Данное число иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .

Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует (см.: Непер).

Предполагается, что автором таблицы был английский математик Отред.

Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.

Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно,

e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.

Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии (нем. Euler).

Способы запоминания

  • Для получения приблизительного значения нужно выписать подряд цифры, выражающие число букв в словах следующего стишка, и поставить запятую после первого знака: «Мы порхали и блистали, но застряли в перевале; не признали наши крали авторалли».
  • Стишок:
Два и семь, восемнадцать,
Двадцать восемь, восемнадцать,
Двадцать восемь, сорок пять,
Девяносто, сорок пять.
  • Легко запомнить как 2, далее запоминаем 71, потом повторяющиеся 82, 81, 82
  • Число e можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого (1828), затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника (45, 90 и 45 градусов). Стихотворная мнемофраза, иллюстрирующая часть этого правила: «Экспоненту помнить способ есть простой: две и семь десятых, дважды Лев Толстой»
  • Цифры 45, 90 и 45 можно запоминать как «год победы над фашистской Германией, затем дважды этот год и снова он»
  • В другом варианте правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 — столько раз избирался, 7 — он был седьмым президентом США, 1828 — год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем — опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

Доказательство иррациональности

Пускай рационально. Тогда , где и целые положительные, откуда

Умножая обе части уравнения на , получаем

Переносим в левую часть:

Все слагаемые правой части целые, следовательно:

— целое

Но с другой стороны

Получаем противоречие.

Интересные факты

  • В IPO компании 2004 году было объявлено о намерении компании увеличить свою прибыль на 2 718 281 828 долларов. Заявленная цифра представляет собой первые 10 цифр известной математической константы.
  • В языках программирования символу e в экспоненциальных записях числовых литералов соответствует число 10, а не Эйлерово число. Это связано с историей создания и использования языка для математических вычислений FORTRAN
    [2]
    :

Я начал программировать в 1960 году на FORTRAN II, используя компьютер IBM 1620. В то время, в 60-е и 70-е годы, FORTRAN использовал только заглавные буквы. Возможно, это произошло потому, что большинство старых устройств ввода были телетайпами, работавшими с 5-битовым кодом Бодо, который не поддерживал строчные буквы. Буква E в экспоненциальной записи тоже была заглавной и не смешивалась с основанием натурального логарифма e, которое всегда записывается маленькой буквой. Символ E просто выражал экспоненциальный характер, то есть обозначал основание системы — обычно таким было 10. В те годы программисты широко использовали восьмеричную систему. И хотя я не замечал такого, но если бы я увидел восьмеричное число в экспоненциальной форме, я бы предположил, что имеется в виду основание 8. Первый раз я встретился с использованием маленькой e в экспоненциальной записи в конце 70-х годов, и это было очень неудобно. Проблемы появились потом, когда строчные буквы по инерции перешли в FORTRAN. У нас существовали все нужные функции для действий с натуральными логарифмами, но все они записывались прописными буквами.

Таким образом, записи типа 7.38e-43 в языках программирования будет соответствовать число , а не .

Примечания

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Число e | Математика, которая мне нравится

Число впервые появилось в математике как нечто незначительное. Это случилось в 1618 г. В приложении к работе Непера (Napier) по логарифмам была дана таблица натуральных логарифмов различных чисел. Однако никто не понял, что это логарифмы по основанию , так как в понятие логарифма того времени такая вещь как основание не входила. Это сейчас мы называем логарифмом степень, в которую нужно возвести основание, чтобы получить требуемое число. Мы еще вернемся к этому позже. Таблица в приложении скорее всего была сделана Отредом (Ougthred), хотя автор ее не был указан. Через несколько лет, в 1624 г., в математической литературе снова появляется , но опять-таки завуалированно. В этом году Бриггс (Briggs) дал численное приближение десятичного логарифма , но само число в его работе не упоминается.

Следующее появление числа снова cомнительно. В 1647 г. Сен-Винсент (Saint-Vincent) вычислил площадь сектора гиперболы. Понимал ли он связь с логарифмами, остается только догадываться, но даже если понимал, то вряд ли он мог прийти к самому числу . Только к 1661 г. Гюйгенс (Huygens) понял связь между равнобочной гиперболой и логарифмами. Он доказал, что площадь под графиком равнобочной гиперболы равнобочной гиперболы на промежутке от до равна . Это свойство делает основанием натуральных логарифмов, но это не понимали математики того времени, однако они медленно приближались к этому пониманию.

Гюйгенс сделал следующий шаг в 1661 г. Он определил кривую, которую назвал логарифмической (в нашей терминологии мы будем называть ее экспоненциальной). Это кривая вида . И снова появляется десятичный логарифм , который Гюйгенс находит с точностью до 17 десятичных цифр. Однако он возник у Гюйгенса как некая константа и не был связан с логарифмом числа (итак, снова подошли вплотную к , но само число остается неузнанным).

В дальнейших работах по логарифмам опять-таки число не появляется в явном виде. Однако изучение логарифмов продолжается. В 1668 г. Никола Меркатор (Nicolaus Mercator) опубликовал работу Logarithmotechnia, которая содержит разложение в ряд . В этой работе Меркатор впервые использует название “натуральный логарифм” для логарифма по основанию . Число явно опять не появляется, а остается неуловимым где-то в стороне.

Удивительно, что число в явном виде впервые возникает не в связи с логарифмами, а в связи с бесконечными произведениями. В 1683 г. Якоб Бернулли пытается найти

   

Он использует биномиальную теорему для доказательства того, что этот предел находится между и , и это мы можем рассматривать как первое приближение числа . Хотя мы принимаем это за определение , это первый случай, когда число определяется как предел. Бернулли, конечно, не понял связи между своей работой и работами по логарифмам.

Ранее упоминалось, что логарифмы в начале их изучения никак не связывались с экспонентами. Конечно, из уравнения мы находим, что , но это гораздо более поздний способ восприятия. Здесь мы в самом деле подразумеваем под логарифмом функцию, тогда как сначала логарифм рассматривался только как число, которое помогало в вычислениях. Возможно, Якоб Бернулли первым понял, что логарифмическая функция является обратной показательной. С другой стороны, первым, кто связал логарифмы и степени, мог быть Джеймс Грегори (Games Gregory). В 1684 г. он определенно осознал связь между логарифмами и степенями, но, возможно, он был не первым.

Мы знаем, что число появилось в том виде, как сейчас, в 1690 г. Лейбниц в письме к Гюйгенсу использовал для него обозначение . Наконец у появилось обозначение (хотя оно не совпадало с современным), и это обозначение было признано.

В 1697 г. Иоганн Бернулли начинает изучение показательной функции и публикует Principia calculi exponentialum seu percurrentium. В этой работе вычисляются суммы различных экспоненциальных рядов, и получены некоторые результаты их почленным интегрированием.

Эйлер (Euler) ввел так много математических обозначений, что
неудивительно, что обозначение также принадлежит ему. Кажется смешным утверждение, что он использовал букву из-за того, что это первая буква его имени. Вероятно, это даже не потому, что взято от слова “exponential”, а просто это следующая гласная за “a”, а Эйлер уже использовал обозначение “a” в своей работе. Независимо от причины, обозначение впервые появляется в письме Эйлера Гольдбаху (Goldbach) в 1731 г. Он сделал много открытий, изучая в дальнейшем, но только в 1748 г. в Introductio in Analysin infinitorum он дал полное обоснование всем идеям, связанным с . Он показал, что

   

Эйлер также нашел первые 18 десятичных знаков числа :

   

правда, не объясняя, как он их получил. Похоже, что он вычислил это значение сам. На самом деле, если взять около 20 членов ряда (1), то получится точность, которую получил Эйлер. Среди других интересных результатов в его работе приведена связь между функциями синус и косинус и комплексной показательной функцией, которую Эйлер вывел из формулы Муавра.

Интересно, что Эйлер нашел даже разложение числа в непрерывные дроби и привел образцы такого разложения. В частности, он получил
и
Эйлер не привел доказательства, что эти дроби так же продолжаются, однако он знал, что если бы такое доказательство было, то оно доказывало бы иррациональность . Действительно, если бы непрерывная дробь для продолжалась так же, как в приведенном образце, (каждый раз прибавляем по ), то она никогда бы не прервалась, и (а значит, и ) не могло бы быть рациональным. Очевидно, это первая попытка доказать иррациональность .

Первым, кто вычислил довольно большое число десятичных знаков числа , был Шенкс (Shanks) в 1854 г. Глейшер (Glaisher) показал, что первые 137 знаков, вычисленные Шенксом, были верными, однако далее нашел ошибку. Шенкс ее исправил, и было получено 205 десятичных знаков числа . В действительности, нужно около
120 членов разложения (1), чтобы получить 200 верных знаков числа .

В 1864 г. Бенджамен Пирс (Peirce) стоял у доски, на которой было написано

   

В своих лекциях он мог бы сказать своим студентам: “Джентльмены, мы не имеем ни малейшего представления, что бы это значило, но мы можем быть уверены, что это значит что-то очень важное”.

Большинство считает, что Эйлер доказал иррациональность числа . Однако это сделал Эрмит (Hermite) в 1873 г. До сих пор остается открытым вопрос, является ли число алгебраическим. Последний результат в этом направлении — это то, что по крайней мере одно из чисел и является трансцендентным.

Далее вычисляли следующие десятичные знаки числа . В 1884 г. Бурман (Boorman) вычислил 346 знаков числа , из которых первые 187 совпали со знаками Шенкса, но последующие различались. В 1887 г. Адамс (Adams) вычислил 272 цифры десятичного логарифма .

J.J.Connor, E.F.Robertson. The number e. Перевод статьи http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/e.html

hijos.ru

ЧИСЛО Е | Энциклопедия Кругосвет

ЧИСЛО e. Число, приближенно равное 2,718, которое часто встречается в математике и естественных науках. Например, при распаде радиоактивного вещества по истечении времени t от исходного количества вещества остается доля, равная e–kt, где k – число, характеризующее скорость распада данного вещества. Обратная величина 1/k называется средним временем жизни атома данного вещества, так как в среднем атом прежде, чем распасться, существует в течение времени 1/k. Величина 0,693/k называется периодом полураспада радиоактивного вещества, т.е. временем, за которое распадается половина исходного количества вещества; число 0,693 приближенно равно loge 2, т.е. логарифму числа 2 по основанию e. Аналогично, если бактерии в питательной среде размножаются со скоростью, пропорциональной их числу в настоящий момент, то по истечении времени t начальное количество бактерий N превращается в Nekt. Затухание электрического тока I в простом контуре с последовательным соединением, сопротивлением R и индуктивностью L происходит по закону I = I0e–kt, где k = R/L, I0 – сила тока в момент времени t = 0. Аналогичные формулы описывают релаксацию напряжений в вязкой жидкости и затухание магнитного поля. Число 1/k часто называют временем релаксации. В статистике величина e–kt встречается как вероятность того, что за время t не произошло событий, наступающих случайно со средней частотой k событий в единицу времени. Если S – сумма денег, вложенных под r процентов с непрерывным начислением вместо начисления через дискретные промежутки времени, то к моменту времени t первоначальная сумма возрастет до Setr/100.

Причина «вездесущности» числа e заключается в том, что формулы математического анализа, содержащие экспоненциальные функции или логарифмы, записываются проще, если логарифмы брать по основанию e, а не 10 или какому-либо другому основанию. Например, производная от log10 x равна (1/x)log10 e, тогда как производная от loge x равна просто 1/x. Аналогично, производная от 2x равна 2xloge 2, тогда как производная от eх равна просто ex. Это означает, что число e можно определить как основание b, при котором график функции y = logb x имеет в точке x = 1 касательную с угловым коэффициентом, равным 1, или при котором кривая y = bx имеет в x = 0 касательную с угловым коэффициентом, равным 1. Логарифмы по основанию e называются «натуральными» и обозначаются ln x. Иногда их также называют «неперовыми», что неверно, так как в действительности Дж.Непер (1550–1617) изобрел логарифмы с другим основанием: неперов логарифм числа x равен 107 log1/e (x/107) (см. также ЛОГАРИФМ).

Различные комбинации степеней e встречаются в математике так часто, что имеют специальные названия. Таковы, например, гиперболические функции

График функции y = ch x называется цепной линией; такую форму имеет подвешенная за концы тяжелая нерастяжимая нить или цепь. Формулы Эйлера

где i2 = –1, связывают число e с тригонометрией. Частный случай x = p приводит к знаменитому соотношению eip + 1 = 0, связывающему 5 наиболее известных в математике чисел.

При вычислении значения e могут быть использованы и некоторые другие формулы (чаще всего пользуются первой из них):

Значение e с 15 десятичными знаками равно 2,718281828459045. В 1953 было вычислено значение e с 3333 десятичными знаками. Символ e для обозначения этого числа был введен в 1731 Л.Эйлером (1707–1783).

Десятичное разложение числа e непериодично (e – иррациональное число). Кроме того, e, как и p, – трансцендентное число (оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами). Это доказал в 1873 Ш.Эрмит. Впервые было показано, что столь естественным образом возникающее в математике число является трансцендентным.

Проверь себя!
Ответь на вопросы викторины «Математика»

Как звали математика, который в 19 лет решил задачу, не поддававшуюся усилиям лучших геометров со времен Евклида?

www.krugosvet.ru

А что означает это в алгебре?

корень (маленькое число) -й степени

степень корня

Степень корня, он бывает не только квадратный.. .

обычно ты считаешь корень квадратный т. е. 2 но могуть быть и 256 и 32 и 7

степень корня

Степень, то же самое, что 2 в 5 степени ( 2 умножают на 2 5 раз) выходит 32

Это означает степень корня (корень может быть квадратным, кубическим, 4-ой степени и т. д.)

степень этого числа

например 3 корня из 8. ответ 2. 2 в кубе!!!!

корень n-ой степени

touch.otvet.mail.ru

Что в алгебре обозначается буквами s, v, t?

расстояние, скорость, время, быть может)). хзз)))

По порядку: расстояние, скорость и время

площадь объём время.. . может быть…

s-растояние, v -скорость, t -время

а есть какие-то правила?? ? можно нафантизировать для примера, что S это площадь, что V это объём … (что-то больше на геометрию смахивает) , что t это аргумент в параметрической форме записи.. . это всего лишь буквы. Вы их можете привязать к любым понятиям…

S- скорость. t- время. на счёт V не уверена.

расстояние, скорость, время

touch.otvet.mail.ru

что такое размах чисел?в алгебре. в алгебре

Разница между большим и меньшим числом в ряду. Например: 14, 13, 6, 25, 14, 17 Размах: 25-6=19

разница самого меньшего числа от большего.

разница самого меньшего числа от большего.

Это когда берется самое большое число и из него вычитается самое маленькое. Например: 6,71,32,80,75 — 80-6=74(это и есть размах чисел)

Это когда берется самое большое число и из него вычитается самое маленькое. Например: 6,71,32,80,75 — 80-6=74(это и есть размах чисел).

touch.otvet.mail.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *