Дифференциальные уравнения онлайн. Решение дифференциальных уравнений
Решение дифференциальных уравнений. Благодаря нашему онлайн сервису вам доступно решение дифференциальных уравнений любого вида и сложности: неоднородные, однородные, нелинейные, линейные, первого, второго порядка, с разделяющимися переменными или не разделяющимися и т.д. Вы получаете решение дифференциальных уравнений в аналитическом виде с подробным описанием. Многие интересуются: зачем необходимо решать дифференциальные уравнения онлайн? Данный вид уравнений очень распространён в математике и физике, где решить многие задачи без вычисления дифференциального уравнения будет невозможно. Также дифференциальные уравнения распространены в экономике, медицине, биологии, химии и других науках. Решение же такого уравнения в онлайн режиме значительно облегчает вам поставленные задачи, дает возможность лучше усвоить материал и проверить себя. Преимущества решения дифференциальных уравнений онлайн. Современный математический сервис Math34.su позволяет решать дифференциальные уравнения онлайн любой сложности. Как вы знаете, существует большое количество видов дифференциальных уравнений и для каждого из них предусмотрены свои способы решения. На нашем сервисе вы можете найти решение дифференциальных уравнений любого порядка и вида в онлайн режиме. Для получения решения мы предлагаем вам заполнить исходные данные и нажать кнопку «Решение». Ошибки в работе сервиса исключены, поэтому вы можете на 100% быть уверены, что получили верный ответ. Решайте дифференциальные уравнения вместе с нашим сервисом. Решить дифференциальные уравнения онлайн. По умолчанию в таком уравнении функция y – это функция от x переменной. Но вы можете задавать и свое обозначение переменной. Например, если вы укажете в дифференциальном уравнении y(t), то наш сервис автоматически определит, что у является функцией от t переменной. Порядок всего дифференциального уравнения будет зависеть от максимального порядка производной функции, присутствующей в уравнении. Решить такое уравнение – означает найти искомую функцию. Решить дифференциальные уравнения онлайн вам поможет наш сервис. Для решения уравнения от вас не потребуется много усилий. Необходимо лишь ввести в нужные поля левую и правую части вашего уравнения и нажать кнопку «Решение». При вводе производную от функции необходимо обозначать через апостроф. Через считанные секунды вы получите готовое подробное решение дифференциального уравнения. Наш сервис абсолютно бесплатный. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Если в дифференциальном уравнении в левой части находится выражение, зависящее от y, а правой части – выражение, которое зависит от x, то такое дифференциальное уравнение называется с разделяющимися переменными. В левой части может быть производная от y, решение дифференциальных уравнений такого вида будет в виде функции y, выраженной через интеграл от правой части уравнения. Если же в левой части будет дифференциал функции от y, то в таком случае интегрируются обе части уравнения. Когда переменные в дифференциальном уравнении не разделены, то их потребуется разделить, чтобы получить дифференциальное уравнение с разделенными переменными. Линейное дифференциальное уравнение. Линейным называется дифференциальное уравнение, у которого функция и все ее производные находятся в первой степени. Общий вид уравнения: y’+a1(x)y=f(x). f(x) и a1(x) – это непрерывные функции от x. Решение дифференциальных уравнений такого типа сводится к интегрированию двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными. Порядок дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение может быть первого, второго, n-го порядка. Порядок дифференциального уравнения определяет порядок старшей производной, которая содержится в нем. В нашем сервисе вы можете решить дифференциальные уравнения онлайн первого, второго, третьего и т.д. порядка. Решением уравнения будет любая функция y=f(x), подставив которую в уравнение, вы получите тождество. Процесс поиска решения дифференциального уравнения называют интегрированием. Задача Коши. Если помимо самого дифференциального уравнения задается первоначальное условие y(x0)=y0, то это называется задачей Коши. В решение уравнения добавляются показатели y0 и x0 и определяют значение произвольной константы C, а потом частное решение уравнения при этом значении C. Это и является решением задачи Коши. Еще задачу Коши называют задачей с граничными условиями, что очень распространено в физике и механике. Также у вас есть возможность задать задачу Коши, то есть из всех возможных решений уравнения выбрать частное, которое отвечает заданным первоначальным условиям.
math24.su
Решение задачи Коши онлайн · Как пользоваться Контрольная Работа РУ
UPD: Теперь вы можете вводить условия задачи Коши прямо в форму:
Рассмотрим пример решения задачи Коши с помощью онлайн калькулятора «Контрольная-работа.Ру».
Внимание! Следуя этому примеру и подробно и внимательно читая вы сможете решить и свою задачу, просто следуя тем же шагам!
Возьмём задачу из контрольной «Решить задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка«:
Для того, чтобы решить данную задачу откройте сервис решения дифференциальных уравнений онлайн
и введите в форму левую часть уравнения y’ — y/x
а в правую часть уравнения: -lnx/x
как на картинке:
Нажимаем кнопку «Решить дифференциальное уравнение!«
Видим ответ для этого дифф. ур-ния:
y(x) == C1*x + log(x) + 1
Но как вы знаете, это ещё не решение задачи Коши, это всего лишь решение дифференциального уравнения.
Теперь по начальным условиям y(1) = 1 надо найти C1.
Для этого воспользуемся сервисом по решению обычных уравнений онлайн
Вобъём в форму обычных уравнений в правую часть уравнения c*x + log(x) + 1, а в левую y
А также укажем, что уравнение с неизвестной c
=C1На рис. всё это видно:
Нажимаем кнопку «Решить уравнение!«
Получаем ответ для C1
y - log(x) - 1
──────────────
x Но и это ещё не всё.
Надо указать, что y = 1 и x = 1 (т.к. y(1)=1). Подставляем по той же ссылке как на рис. ниже:
Нажимаем кнопку «Обновить«
И получаем окончательный ответ для C1:
C1 = c = 0
Подставляем это C1 в решение дифф. уравнения и мы получим решение нашей задачи Коши:
y(x) = C1*x + log(x) + 1 = 0*x + log(x) + 1 = log(x) + 1
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решение дифференциальных уравнений онлайн
Дифференциальные уравнения онлайн. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн на сайте Math34.biz. Дифуры онлайн, решение математики в режиме онлайн. Пошаговое решение математических задач онлайн. Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него. Дифференциальные уравнения онлайн. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Дифференциальные уравнения онлайн. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных. Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Дифференциальные уравнения онлайн. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных производных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн. После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными. Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привёл к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Дифференциальные уравнения онлайн. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т.д. Пошаговое решение дифференциальных уравнений онлайн.
math24.biz
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида
y» + p(x)y‘ + q(x)y = f(x),
где y — функция, которую требуется найти, а p(x), q(x) и f(x) — непрерывные функции на некотором интервале (a, b).
Если правая часть уравнения равна нулю ( f(x) = 0), то уравнение называется линейным однородным уравнением. Таким уравнениям и будет в основном посвящена практическая часть этого урока. Если же правая часть уравнения не равна нулю (f(x) ≠ 0), то уравнение называется линейным неоднородным уравнением (смотрите отдельный урок).
В задачах от нас требуется разрешить уравнение относительно y»:
y» = −p(x)y‘ − q(x)y + f(x).
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка имеют единственное решение задачи Коши.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:
y» + p(x)y‘ + q(x)y = 0.
Если y
1) y1(x) + y2(x) — также является решением этого уравнения;
2) Cy1(x), где C — произвольная постоянная (константа), также является решением этого уравнения.
Из этих двух высказываний следует, что функция
C1y1(x) + C2y2(x)
также является решением этого уравнения.
Возникает справедливый вопрос: не является ли это решение общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, то есть таким решением, в котором при различных значениях C1 и C2 можно получить все возможные решения уравнения?
Ответ на этот вопрос следуюший: может, но при некотором условии. Это условие о том, какими свойствами должны обладать частные решения y1(x) и y2(x).
И это условие называется условием линейной независимости частных решений.
Теорема. Функция C1y1(x) + C2y2(x) является общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, если функции y1(x) и y2(x) линейно независимы.
Определение. Функции y1(x) и y2(x) называются линейно независимыми, если их отношение является константой, отличной от нуля:
y1(x)/y2(x) = k; k = const; k ≠ 0.
Однако установить по определению, являются ли эти функции линейно независимыми, часто очень трудоёмко. Существует способ установления линейной независимости с помощью определителя Вронского W(x):
.
Если определитель Вронского не равен нулю, то решения — линейно независимые. Если определитель Вронского равен нулю, то решения — линейно зависимымые.
Пример 1. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения .
Решение. Интегрируем дважды и, как легко заметить, чтобы разность второй производной функции и самой функции была равна нулю, решения должны быть связаны с экспонентой, производная которой равна ей самой. То есть частными решениями являются и .
Так как определитель Вронского
не равен нулю, то эти решения линейно независимы. Следовательно, общее решение данного уравнения можно записать в виде
.
Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
y» + py‘ + qy = 0,
где p и q — постоянные величины.
На то, что это уравнение второго порядка, указывает наличие второй производной от искомой функции, а на его однородность — нуль в правой части. Постоянными коэффициентами называются уже упомянутые выше величины.
Чтобы решить линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, нужно сначала решить так называемое характеристическое уравнение вида
k² + pq + q = 0,
которое, как видно, является обычным квадратным уравнением.
В зависимости от решения характеристического уравнения возможны три различных варианта решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, которые сейчас разберём. Для полной определённости будем считать, что все частные решения прошли проверку определителем Вронского и он во всех случаях не равен нулю. Сомневающиеся, впрочем, могут проверить это самостоятельно.
Корни характеристического уравнения — действительные и различные
Иными словами, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Корни характеристического уравения — вещественные и равные
То есть, . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Корни характеристического уравнения — комплексные
То есть, , , . В этом случае решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид
.
Решить линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 8. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение
.
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Поделиться с друзьями
function-x.ru
Линейные неоднородные ДУ второго порядка
Определение и формулы линейных неоднородных ДУ 2-ого порядка
Соответствующее ему однородное уравнение:
Решение дифференциальные уравнения второго порядка
Решение уравнения (2) ищется в виде:
После подстановки этого решения в уравнение (2) получаем алгебраическое уравнение
Это квадратное уравнение называется характеристическим уравнением, соответствующим однородному дифференциальному уравнению (2).
В результате решения характеристического уравнения, возможны следующие варианты:
1) корни характеристического уравнения – различные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:
2) корни характеристического уравнения – равные действительные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:
3) корни характеристического уравнения – комплексно сопряженные числа, тогда решение уравнения (2) записывается в виде:
Примеры решения задач
К уравнениям вида (1) чаще всего применяются два метода решения: метод вариации произвольных постоянных и метод неопределенных коэффициентов.
Метод вариации постоянных или метод Лагранжа
Если известно общее решение соответствующего однородного уравнения (2), то общее решение неоднородного уравнения (1) можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных.
Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка (1) имеет вид:
Далее варьируем произвольные постоянные, то есть считаем, что в указанном решении величины и – это не постоянные, а функции переменной x:
То есть решение неоднородного уравнения тогда ищется в виде:
Искомые функции и находятся из системы
Определитель этой системы
называется определителем Вронского.
Решая систему (5) относительно пока неизвестных функций и (а точнее относительно их производных и ), будем иметь:
Интегрируя последние равенства, получаем:
Подставляя полученные в результате функции в решение (4), будем иметь:
или, после упрощения
Метод неопределенных коэффициентов
Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения (1) представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию (или комбинацию указанных функций):
то тогда решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.
В любом из случаев вид частного решения соответствует структуре правой части исходного неоднородного дифференциального уравнения.
1) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (7), то частное решение ищем в виде:
где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами и s=0 при , которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности , где — корень характеристического многочлена.
2) Если правая часть уравнения (1) имеет вид (8), то частное решение будем искать следующим образом:
Здесь – многочлены степени k с неопределенными коэффициентами и s=0 ( не является корнем характеристического многочлена), или s кратности — корень характеристического многочлена.
Неизвестные коэффициенты многочленов определяются подстановкой выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение (1).
ru.solverbook.com
Решение систем дифференциальных уравнений
Системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим простейшую систему дифференциальных уравнений вида
Здесь коэффициенты – некоторые действительные числа.
Если коэффициенты равны нулю, то система называется однородной.
Решение систем дифференциальных уравнений
Из второго уравнения выразим неизвестную функцию :
Тогда отсюда
Подставляем полученные выражения в первое уравнение системы, тем самым исключив функцию :
В результате пришли к линейному неоднородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами. Найдя его решение – функцию – легко находим и вторую неизвестную функцию .
Решение систем дифференциальных уравнений метода Эйлера
Линейные однородные системы, например, с двумя неизвестным
можно также решать с помощью метода Эйлера.
Решение системы будем искать в виде:
Здесь – некоторые константы. Для определения и подставляем эти решения в систему (1):
После упрощения и сокращения на будем иметь:
Полученная однородная система имеет ненулевое решение, если ее определитель
равен нулю:
Многочлен (3) называется характеристическим полиномом системы (1), а уравнение (4) называется ее характеристическим уравнением.
Возможны следующие случаи.
1. Корни характеристического уравнения (3) вещественные и различны. Тогда модно подставить в систему(2) вместо число и тем самым получить решение этой системы и . Аналогичные действия выполняются и для второго значения (в результате получаем соответственно и ).
В результате получаем два частных решения:
и
А тогда общее решение исходной системы (1) имеет вид:
2. Случай, когда корни характеристического уравнения комплексные, рассмотрим на пример.
Примеры решения задач
3. Случай кратных корней характеристического уравнения также рассмотрим на примере.
ru.solverbook.com
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
,
где p и q — вещественные числа (постоянные величины), f(x) — непрерывная функция.
Общее решение такого уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. такого, у которого правая часть равна нулю. Записывается это так: .
Общее решение может найти каждый, кто ознакомился с соответствующим уроком. Остаётся рассмотреть вопрос о нахождении частного решения. Существуют методы решения для случаев, когда функция f(x) в правой части уравнения представляет собой многочлен, показательную функцию и тригонометрическую функцию.
Последнее тождество возможно лишь при равенстве коэффициентов при одинаковых степенях x:
Т. е. получили систему трёх уравнений относительно трёх неизвестных A, B, C. При система даёт единственное решение для A, B, C.
Если же в линейном неоднородном дифференциальном уравнении коэффициент , то его частное решение следует искать в виде
.
Если же и , то исходное уравнение имеет вид . Оно решается непосредственным двукратным интегрированием.
Аналогично поступают в случаях, когда в линейном неоднородном дифференциальном уравнении функция f(x) является многочленом n-й степени. Если , то частное решение ищут в виде многочлена той же степени. Если же , то частное решение ищут в виде произведения многочлена n-й степени на x. Если и предшествующий ему коэффициент равен нулю, то частное решение ищут в виде и т.д.
Пример 1. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Сначала решаем однородное уравнение , соответствующее данному неоднородному. Характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и (как искать корни квадратного уравнения). Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде , поскольку в правой его части — многочлен второй степени, а . Подстановка функции Y и её производных в данное уравнение приводит к тождеству
или
.
Отсюда для определения коэффициентов A, B, C получаем систему уравнений
Её решения , , .
Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения
,
а его общее решение
.
Пример 2. Решить линейное неоднородное дифференциальное уравнение
.
Решение. Однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному, имеет вид . Его характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни и . Следовательно, общее решение однородного уравения имеет вид
.
Так как в данном уравнении (отсутствует член с y), а в правой его части — многочлен первой степени, то частное решение данного неоднородного уравнения ищем в виде . Найдя первую и вторую производные функции Y и подставив их в данное уравнение, получим
или
.
Таким образом, для определения коэффициентов A, B получаем систему уравнений
Её решения , .
Следовательно, частное решение данного линейного неоднородного дифференциального уравнения
,
а его общее решение
.
Но как дискриминант характеристического уравнения, имеющего равные корни. Следовательно, последнее равенство упрощается и принимает вид , откуда и определяется A.
Это тождество возможно, если коэффициенты при и совпадают. Приравнивая их, получим систему уравнений
откуда находим
,
.
Если правая часть линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму рассмотренных типов функций, т. е. , то частное решение этого уравнения равно сумме частных решений, полученных отдельно для каждого слагаемого.
Всё по теме «Дифференциальные уравнения»
Поделиться с друзьями
function-x.ru