Дифференцирование дроби – . ( ).

Производная дроби — доказательство — примеры

Пусть функции     и     определены в некоторой окрестности точки и имеют в точке производные. И пусть  . Тогда их частное    имеет в точке производную, которая определяется по формуле:
(1)   .

Доказательство

Введем обозначения:
;
.
Здесь и являются функциями от переменных и . Но для простоты записи мы будем опускать обозначения их аргументов.

Далее замечаем, что
;
.
По условию функции   и   имеют производные в точке , которые являются следующими пределами:
;
.
Из существования производных следует, что функции   и   непрерывны в точке . Поэтому
;
.

Рассмотрим функцию y от переменной x, которая является дробью из функций и :
.
Рассмотрим приращение этой функции в точке :
.
Умножим на  :

.
Отсюда
.

Теперь находим производную:

.

Итак,
.
Формула доказана.

Вместо переменной можно использовать любую другую переменную. Обозначим ее как x. Тогда если существуют производные и , причем  , то производная дроби, составленной двух функций, определяется по формуле:
.
Или в более короткой записи
(1)   .

Доказательство вторым способом

Примеры

Здесь мы рассмотрим простые примеры вычисления производной дроби, применяя формулу производной частного (1). Заметим, что в более сложных случаях, находить производную дроби проще с помощью логарифмической производной.

Пример 1

Найдите производную дроби
,
где , , , – постоянные.

Решение

Применим правило дифференцирования суммы функций:
.
Производная постоянной
.
Из таблицы производных находим:
.
Тогда
;
.

Заменим на и на :
.

Теперь находим производную дроби по формуле
.

.

Ответ

.

Пример 2

Найти производную функции от переменной x
.

Решение

Применяем правила дифференцирования, как в предыдущем примере.
;
.

Применяем правило дифференцирования дроби
.


.

Раскрываем скобки.

.

Ответ

.

Пример 3

Найти производную дроби
.

Решение

Из таблицы производных находим:
.
Применяем правила дифференцирования суммы и постоянной.
;
.

Применяем формулу для производной дроби:
;

.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 30-10-2016   Изменено: 02-12-2016

1cov-edu.ru

9

Основные правила дифференцирования. Сумма.

      Выведем несколько правил вычисления производных, В этом пункте значения функций u и v и их производных в точке х₀ обозначаются для краткости так: u(х₀) = u, v(х₀) = v, u'(х₀) = u’, v'(х₀)=v`. Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀, то их сумма дифференцируема в этой точке и

(u+v)’ = u’ + v’.

      Коротко говорят: производная суммы равна сумме производных.       1) Для доказательства вычислим сначала приращение суммы функций в рассматриваемой точке: Δ(u+v) = u (х₀+Δx)+ v(х₀+Δx) – (u(х₀)+v(х₀)) = (u(х₀+Δx)-u(х₀)) + (v(х₀+Δx)-v(х

0)) = Δu + Δv       2)

      3) Функции u и v дифференцируемы в точке х₀, т. е. при Δх→0

      Тогда

при Δх→0 (см. правило 3, а) предельного перехода), т. е. (u+v)’ = u’+v’

Основные правила дифференцирования. Произведение.

      Если функции и и v дифференцируемы в точке х₀, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

(uv)’ = u’v+uv’.

      1) Найдем сначала приращение произведения:

Δ(uv) = u(х₀+Δx)v(х₀+Δx)-u(х₀)v(х₀)=(u(х₀)+ Δu)(v(х₀)+ Δv)-u(х₀)v(х₀) =

=u(х₀)v(х₀)+ Δuv(х₀)+u(х₀) Δv+ΔuΔv-u(х₀)v(х₀)= Δuv(х₀)+u(х₀) Δv+ΔuΔv

      2)

      3) В силу дифференцируемости функций u и v в точке х₀ при Δx→0 имеем

      Поэтому

т. е. (uv)’ = u’v+uv’, что и требовалось доказать.       Следствие. Если функция u дифференцируема в х₀, а С — постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и

(Сu)’ = Сu’.

      Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.       Для доказательства воспользуемся правилом 2 и известным из пункта о производной, фактом С’ = 0:

(Сu)’ = Сu’ + С’u = Cu’ + 0⋅u = Cu’.

Пример.

Продифференцировать функцию .

Решение.

В данном примере . Применяем правило производной произведения:

Обращаемся к таблице производных основных элементарных функций и получаем ответ:

Основные правила дифференцирования. Частное

Если функции u и v дифференцируемы в точке x₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное u/v также дифференцируемо в x₀ и

Выведем сначала формулу

1) найдем приращение функции 1/v:

2) Отсюда

3) При Δx→0 имеем Δv/Δx→v’ (в силу дифференцируемости v в точке x₀), Δv→0 (по доказанной лемме). Поэтому

Теперь, пользуясь правилом нахождения производной произведения функций, находим производную частного:

Пример.

Выполнить дифференцирование функции .

Решение.

Исходная функция представляет собой отношение двух выражений sinx и 2x+1. Применим правило дифференцирования дроби:

Не обойтись без правил дифференцирования суммы и вынесения произвольной постоянной за знак производной:

Производная сложной функции.

Если функция f имеет производную в точке х₀, а функция g имеет производную в точке y₀=f(x₀)y то сложная функция h(х) = g(f(х)) также имеет производную в точке х₀, причем

h’(x₀) = g’(f(x₀))•f’(x₀) (1)

Для доказательства формулы (1) надо (как и раньше) при Δx≠0 рассмотреть дробь Δh/Δx и установить, что

при Δx→0. Введем обозначения:

Δy = f(x₀+Δx)-f(x₀)= Δf

Тогда Δh = h(х₀ + Δх) — h(x₀) = g(f(x₀ +Δx)) — g(f(x₀)) = g(y₀ + Δy) — g(y₀) = Δg. Δy→0 при Δx→0, так как f дифференцируема в точке x₀

. Далее доказательство мы проведем только для таких функций f, у которых Δf≠0 в некоторой окрестности точки х₀. Тогда

при Δx→0, так как Δf/Δx→f’(x₀) при Δx→0, а Δg/Δy→g’(y₀) при Δy→0, что выполнено при Δx→0.

Пример.НА ВСЯКИЙ СЛУЧАЙ !! ! ! !!! http://www.mathelp.spb.ru/book1/proizvodnaya.htm

Производная обратной функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на. Пусть также в точкепроизводная. Тогда в точкеопределена дифференцируемая функция, которую называют обратной к, а ее производная вычисляется по формуле.

Примеры.

Найти производную обратной тригонометрической функции y = arcsinx.  Обратная функция  x = siny и , по формуле для обратной функции.

Найдем функции  y = arctgx. Обратная функция  x = tgy, 

Производная суммы, производная разности.

Для доказательства второго правила дифференцирования воспользуемся определением производной и свойством предела непрерывной функции.

Подобным образом можно доказать, что производная суммы (разности) n функций равна сумме (разности) n производных 

Пример.

Найти производную функции 

Решение.

Упростим вид исходной функции 

Используем правило производной суммы (разности): 

В предыдущем пункте мы доказали, что постоянный множитель можно выносить за знак производной, поэтому

Осталось воспользоваться таблицей производных:

studfiles.net

По правилам дифференцирования дроби получим

 

б) .

 

Решение.

По правилам дифференцирования произведения получим

 

в)

 

Решение.

Дифференцируем как сложную функцию.

 

 

г) . Это неявная функция.

 

 

Решение.

, , .

Задача 6.С помощью правила Лопиталя вычислить пределы функций:

1) .

Решение.

Непосредственная подстановка х = 0 приводит к неопределенности вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя: заменить предел отношения функций пределом отношения их производных.

 

2)

 

Решение.

При получим неопределенность вида , когда можно применить правило Лопиталя.

Задача 7. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

 

Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо конце исследования (рис.2).

Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь вертикальная асимптота . , — предел слева в точке ; — предел справа. Наклонные асимптоты вида Найдем, если существуют конечные пределы и .

Здесь

Итак, — уравнение наклонной асимптоты.

 

5) Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума.

Найдем производную первого порядка.

Найдем критические точки первого рода и выясним знаки на полученных интервалах в окрестности критических точек. Критические точки: х₁ = 0, х

2 = 3, х₃ = 1 — последняя н входит в область определения функции. Используя достаточные признаки экстремума, выясним, как меняет знак при переходе через критические точки слева направо. Возьмем непрерывный интервал , содержащий точку .

; . Так как при переходе через точку производная знак не имеет, то функция монотонно возрастает и не является точкой экстремума.

Возьмем интервал , содержащий точку х = 3.

; . Здесь производная меняет знак с «-» на «+», значит, х =3 – точка минимума функции .

Итак, функция возрастает на интервалах и , убывает на интервале (1;3).

 

6) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

Вычислим производную второго порядка и найдем критические точки второго рода.

Критические точки второго рода, при которых в нуль или существует, такие , , но эта последняя не входит в область определения функции. Остается точка х = 0. Проверим меняет ли знак при переходе через эту точку. Возьмем интервал (-1; ), содержащий точку х = 0. Вычислим , . Отсюда следует, что х = 0 – точка перегиба, . . Отсюда следует, что — интервал выпуклости; , — интервалы вогнутости кривой.

 

Задача 8.Три пункта А.В. и С расположены так, что угол АВС (рис.3) равен 60⁰. Расстояние между пунктами А и В равно 200 км. Одновременно из пункта А выходит автомобиль, а из пункта В – поезд. Автомобиль движется по направлению к пункту В со стороны 80 км/ч, а поезд движется по направлению к пункту С со скоростью 50 км/ч. Через скорость времени расстояние между автомобилем и поездом будет наименьшим?

Решение.

Пусть t-время, через которое, поле начала движения автомобиля и поезда, расстоянием MN = s между ними будет наименьшими. По теореме косинусов для треугольника MBN запишем равенство H 0 MB = 200 – 80t, NB = 50t, cos600 = .

рис. 3.

 

 

Тогда получим уравнение ;

км.

Отсюда . Найдем первую производную по t:

. Приравнивая первую производную к нулю получим откуда или — критическая точка.

Квадратный трехчлен под корнем в знаменателе в ноль не обращается ни при каких действительных значениях t, поскольку его дискриминант Д .

Легко видеть, что при переходе через критическую точку t₀ от меньших значений t к большим, например, от t = 1 до t = 2, первая производная меняет знак с минуса на плюс . Следовательно, t₀ = 1.6279 часа – точка минимума функции s. А так как других экстремумов эта функция не имеет, то в точке минимума функция имеет наименьшее значение: .

 

Задача 9.Найти частные производные и полный дифференциал функции

двух независимых переменных:

а)

Решение.

Найти частные производные ; . Составим полный дифференциал по формуле .

Получим .

б) .

Решение.

Найдем частные производные

.

Составим полный дифференциал

.

 

Задача 10.Найти экстремум функции

Решение.

Найдем частные производные:

и смешанную производную .

Необходимое условие экстремума: и

Решим систему уравнений x = 2y, 4y – y = -9, y = -3

x = -9

Итак, точка P(-9; -3) критическая точка. Составим выражение и вычислим его значение в критической точке P(-9; -3). Тогда, если , то P- точка экстремума. При этом, если , то Р – точка минимума,

а если , то Р – точка максимума,

Если , экстремума нет, а если — экстремум может быть, а может не быть. Нужны дополнительные исследования.

Установим характер экстремума в точке P(-9; -3).

, следовательно, P(-9; -3)- точка экстремума, а так как независимо от координат точки Р, то P(-9; -3) – точка минимума данной функции.

 

Задача 11.Найти неопределенные интегралыа) , б) ,

в) , г) , д) .

Предлагаемые интегралы можно , применив основные методы

интегрирования; метод замены переменной подстановка, метод

интегрирования по частям.

Решение.

а) ;

Подстановка: . Найдем дифференциалы обеих частей подстановки

или . Произведем замену переменной в подынтегральном выражении и найдем интеграл .

б) .

В первом из интегралов, стоящих справа, введем подстановку . откуда или . Таким образом, .

Второй интеграл справа является табличным .

Итак, , где , две произвольные постоянные суммы неопределенных интегралов объединяют в одну.

в)

Подстановка:

Получим табличный интеграл типа . Возвращаясь к прежней переменной, будем иметь .

г) .Найдем его методом интегрирования по частям по формуле .

Примем , .

В первом из этих двух равенств обе части дифференцируем, чтобы найти , а во втором интегрируем, чтобы найти . Получим , (здесь произвольную постоянную интегрирования принимаем равной нулю, поскольку достаточно хотя бы одного значения ).

Применив формулу интегрирования по частям, получим

.

д) .Это интеграл от рациональной функции. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби по известному правилу, предварительно разложив знаменатель дроби на множители . Тогда , где A, B, M, N – неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Приведя обе части последнего равенства к общему знаменателю, найдем

.

Такое равенство отношений с одинаковыми знаменателями возможны только в случае равенства числителей, то есть .

Приравнивая коэффициенты при x в одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений

Решение системы:

Переходим к интегрированию

!! .

Приведем две задачи геометрического характера, связанные с вычислениями определенного интеграла.

 

Задача 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

, (рис.2)

рис. 4.

 

Определенные интегралы вычисляются по ф>рмуле Ньютона-Лейбница . Итак, площадь ОМА равна

.

 

Задача 13. Вычислить объем тела, полученного в результате вращения

вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , ,

, . (рис. 5).

Решение. Объем тела вращения находим по формуле

рис. 5.

 

Задача 14. Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

при .

Решение.

Это уравнение первого порядка является линейным, так как это удовлетворяет общему виду линейных уравнений . Будем искать решение в виде , где , — дифференцируемые функции от . Тогда . Подставляя , в данное уравнение, получим

или .

Приравняем нулю выражение, стоящее в скобках и получим уравнение с разделяющимися переменными или , или . Интегрируя обе части уравнения, находим или (Здесь полагают произвольную постоянную равной нулю). Откуда . Подставляя его уравнение , придем к его общему уравнению с разделяющимися переменными или , или , или , откуда .

А так как решение ищется в виде , то оно будет таким . Это- общее решение, в котором — произвольная постоянная. Решим теперь задачу Коши: из общего решения по заданным начальным условиям определим частное решение. Для этого подставим в общее решение начальные условия. Получим или , или , или , откуда . Подставляя это значение постоянной в общее решение, получим частное решение удовлетворяющее начальным условиям.

Задача 15.Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.

Область сходимости называется множество всех точек сходимости данного ряда. Найдем радиус и интервал сходимости.

.

Где . Радиус сходимости . Тогда интервал сходимости . Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала.

1) Подставим в данный степенной ряд . Получим числовой ряд . Этот ряд является расходящимся, так как не выполняется необходимое условие его сходимости .

2) Подставляя в степенной ряд , получим знакочередующийся числовой ряд , который расходится по той же причине: его общий член при стремится к 1, а не к 0.

Итак, область сходимости данного степенного ряда .

 



infopedia.su

Производная дроби

См. также полную таблицу производных простых функций.

Формулы нахождения производной дроби как для частного случая, так и универсальную, можно посмотреть внизу страницы. Далее, же следует подробное описание вывода этих формул с подробным пояснением, почему именно так.

Для начала, преобразуем выражение для нахождения производной. Как известно, дробь вида 1/х можно представить как х^-1.

Таким образом, заменив исходное выражение на тождественное, задачу нахождения производной дроби вида 1/х можно представить как:
(1/x)’ = (x ^-1)’ 

Тогда для нахождения производной дроби можно применить правило нахождения производной степенной функции, откуда:
(x ^-1)’ = -1x^-2  = — 1 / х²  

Таким образом, производная дроби 1/х равна:

(1/х)’ = — 1 / x²  

На основании только что показанного принципа преобразования исходного выражения, можно вывести и более универсальную формулу:

Производная дроби с переменной произвольной степени в знаменателе  

( 1 / x^с )’ = — c / x^с+1  

Пример нахождения производной дроби:  
( 1 / x²  )’ = — 2 / x³ .

(впереди ставим минус, показатель степени переменной поднимаем в числитель дроби, а степень переменной в знаменателе увеличиваем на единичку. Немного «ненаучно», но подходит для быстрого запоминания)

Формулы нахождения производной дроби:

 

 Производная числа | Описание курса | Производная корня 

   

profmeter.com.ua

По правилам дифференцирования дроби получим

 

б) .

 

Решение.

По правилам дифференцирования произведения получим

 

в)

 

Решение.

Дифференцируем как сложную функцию.

 

 

г) . Это неявная функция.

 

 

Решение.

, , .

Задача 6.С помощью правила Лопиталя вычислить пределы функций:

1) .

Решение.

Непосредственная подстановка х = 0 приводит к неопределенности вида , следовательно, можно применить правило Лопиталя: заменить предел отношения функций пределом отношения их производных.

 

2)

 

Решение.

При получим неопределенность вида , когда можно применить правило Лопиталя.

Задача 7. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

 

Исследование выполним по примерной схеме, имеющейся в учебниках и практических руководствах. График можно строить либо по ходу исследования, либо конце исследования (рис.2).

Вертикальная асимптота может быть в точке разрыва или на границе области определения. Здесь вертикальная асимптота . , — предел слева в точке ; — предел справа. Наклонные асимптоты вида Найдем, если существуют конечные пределы и .

Здесь

Итак, — уравнение наклонной асимптоты.

 

5) Найти интервалы монотонности (возрастания и убывания) функции и точки экстремума.

Найдем производную первого порядка.

Найдем критические точки первого рода и выясним знаки на полученных интервалах в окрестности критических точек. Критические точки: х₁ = 0, х₂ = 3, х₃ = 1 — последняя н входит в область определения функции. Используя достаточные признаки экстремума, выясним, как меняет знак при переходе через критические точки слева направо. Возьмем непрерывный интервал , содержащий точку .

; . Так как при переходе через точку производная знак не имеет, то функция монотонно возрастает и не является точкой экстремума.

Возьмем интервал , содержащий точку х = 3.

; . Здесь производная меняет знак с «-» на «+», значит, х =3 – точка минимума функции .

Итак, функция возрастает на интервалах и , убывает на интервале (1;3).

 

6) Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

Вычислим производную второго порядка и найдем критические точки второго рода.

Критические точки второго рода, при которых в нуль или существует, такие , , но эта последняя не входит в область определения функции. Остается точка х = 0. Проверим меняет ли знак при переходе через эту точку. Возьмем интервал (-1; ), содержащий точку х = 0. Вычислим , . Отсюда следует, что х = 0 – точка перегиба, . . Отсюда следует, что — интервал выпуклости; , — интервалы вогнутости кривой.

 

Задача 8.Три пункта А.В. и С расположены так, что угол АВС (рис.3) равен 60⁰. Расстояние между пунктами А и В равно 200 км. Одновременно из пункта А выходит автомобиль, а из пункта В – поезд. Автомобиль движется по направлению к пункту В со стороны 80 км/ч, а поезд движется по направлению к пункту С со скоростью 50 км/ч. Через скорость времени расстояние между автомобилем и поездом будет наименьшим?

Решение.

Пусть t-время, через которое, поле начала движения автомобиля и поезда, расстоянием MN = s между ними будет наименьшими. По теореме косинусов для треугольника MBN запишем равенство H0 MB = 200 – 80t, NB = 50t, cos600 = .

рис. 3.

 

 

Тогда получим уравнение ;

км.

Отсюда . Найдем первую производную по t:

. Приравнивая первую производную к нулю получим откуда или — критическая точка.

Квадратный трехчлен под корнем в знаменателе в ноль не обращается ни при каких действительных значениях t, поскольку его дискриминант Д .

Легко видеть, что при переходе через критическую точку t₀ от меньших значений t к большим, например, от t = 1 до t = 2, первая производная меняет знак с минуса на плюс . Следовательно, t₀ = 1.6279 часа – точка минимума функции s. А так как других экстремумов эта функция не имеет, то в точке минимума функция имеет наименьшее значение: .

 

Задача 9.Найти частные производные и полный дифференциал функции

двух независимых переменных:

а)

Решение.

Найти частные производные ; . Составим полный дифференциал по формуле .

Получим .

б) .

Решение.

Найдем частные производные

.

Составим полный дифференциал

.

 

Задача 10.Найти экстремум функции

Решение.

Найдем частные производные:

и смешанную производную .

Необходимое условие экстремума: и

Решим систему уравнений x = 2y, 4y – y = -9, y = -3

x = -9

Итак, точка P(-9; -3) критическая точка. Составим выражение и вычислим его значение в критической точке P(-9; -3). Тогда, если , то P- точка экстремума. При этом, если , то Р – точка минимума,

а если , то Р – точка максимума,

Если , экстремума нет, а если — экстремум может быть, а может не быть. Нужны дополнительные исследования.

Установим характер экстремума в точке P(-9; -3).

, следовательно, P(-9; -3)- точка экстремума, а так как независимо от координат точки Р, то P(-9; -3) – точка минимума данной функции.

 

Задача 11.Найти неопределенные интегралыа) , б) ,

в) , г) , д) .

Предлагаемые интегралы можно , применив основные методы

интегрирования; метод замены переменной подстановка, метод

интегрирования по частям.

Решение.

а) ;

Подстановка: . Найдем дифференциалы обеих частей подстановки

или . Произведем замену переменной в подынтегральном выражении и найдем интеграл .

б) .

В первом из интегралов, стоящих справа, введем подстановку . откуда или . Таким образом, .

Второй интеграл справа является табличным .

Итак, , где , две произвольные постоянные суммы неопределенных интегралов объединяют в одну.

в)

Подстановка:

Получим табличный интеграл типа . Возвращаясь к прежней переменной, будем иметь .

г) .Найдем его методом интегрирования по частям по формуле .

Примем , .

В первом из этих двух равенств обе части дифференцируем, чтобы найти , а во втором интегрируем, чтобы найти . Получим , (здесь произвольную постоянную интегрирования принимаем равной нулю, поскольку достаточно хотя бы одного значения ).

Применив формулу интегрирования по частям, получим

.

д) .Это интеграл от рациональной функции. Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби по известному правилу, предварительно разложив знаменатель дроби на множители . Тогда , где A, B, M, N – неопределенные коэффициенты, которые надо найти. Приведя обе части последнего равенства к общему знаменателю, найдем

.

Такое равенство отношений с одинаковыми знаменателями возможны только в случае равенства числителей, то есть .

Приравнивая коэффициенты при x в одинаковых степенях в левой и правой частях последнего равенства, получим систему уравнений

Решение системы:

Переходим к интегрированию

!! .

Приведем две задачи геометрического характера, связанные с вычислениями определенного интеграла.

 

Задача 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

, (рис.2)

рис. 4.

 

Определенные интегралы вычисляются по ф>рмуле Ньютона-Лейбница . Итак, площадь ОМА равна

.

 

Задача 13. Вычислить объем тела, полученного в результате вращения

вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , ,

, . (рис. 5).

Решение. Объем тела вращения находим по формуле

рис. 5.

 

Задача 14. Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

при .

Решение.

Это уравнение первого порядка является линейным, так как это удовлетворяет общему виду линейных уравнений . Будем искать решение в виде , где , — дифференцируемые функции от . Тогда . Подставляя , в данное уравнение, получим

или .

Приравняем нулю выражение, стоящее в скобках и получим уравнение с разделяющимися переменными или , или . Интегрируя обе части уравнения, находим или (Здесь полагают произвольную постоянную равной нулю). Откуда . Подставляя его уравнение , придем к его общему уравнению с разделяющимися переменными или , или , или , откуда .

А так как решение ищется в виде , то оно будет таким . Это- общее решение, в котором — произвольная постоянная. Решим теперь задачу Коши: из общего решения по заданным начальным условиям определим частное решение. Для этого подставим в общее решение начальные условия. Получим или , или , или , откуда . Подставляя это значение постоянной в общее решение, получим частное решение удовлетворяющее начальным условиям.

Задача 15.Найти область сходимости степенного ряда .

Решение.

Область сходимости называется множество всех точек сходимости данного ряда. Найдем радиус и интервал сходимости.

.

Где . Радиус сходимости . Тогда интервал сходимости . Исследуем сходимость ряда на концах этого интервала.

1) Подставим в данный степенной ряд . Получим числовой ряд . Этот ряд является расходящимся, так как не выполняется необходимое условие его сходимости .

2) Подставляя в степенной ряд , получим знакочередующийся числовой ряд , который расходится по той же причине: его общий член при стремится к 1, а не к 0.

Итак, область сходимости данного степенного ряда .

 

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

Производная суммы дробей со степенями и корнями

При нахождении производной суммы дробей со степенями и корнями во избежание распространённых ошибок следует обращать внимание на следующие моменты:

• применяя формулу дифференцирования произведения и частного, чётко определять разницу между константой, производная которой равна нулю, и постоянным множителем, который просто выносится за знак производной;
• необходимо уверенно пользоваться знаниями из школьного курса по действиям со степенями и корнями, например, что происходит с показателями степени, когда умножаются степени с одинаковыми основаниями;
• что происходит со знаками, когда у производной слагаемого знак противоположен знаку самого слагаемого.

Пример 1. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

.

Находим производную второго слагаемого:

.

Находим производную третьего слагаемого:

.

Здесь двойка перед иксом — постоянный множитель, поэтому его просто вынесли за знак производной.

Собираем всё вместе:

.

Если требуется в окончательном решении получить выражение с корнями, то преобразуем степени в корни и получаем искомую производную:

.

Пример 2. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

.

Здесь первая двойка в числителе промежуточного выражения была константой, её производная равна нулю.

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Здесь применяли знания из школьного курса о действиях с дробями, их преобразовании и сокращении.

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных первого и третьего слагаемых противоположны знакам слагаемых в исходном выражении:

.

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Здесь потребовались навыки в действиях с дробями.

Находим производную второго слагаемого:

Производная третьего слагаемого — константы 1/2 — равна нулю (бывает, что студенты упорно пытаются найти отличную от нуля производную константы).

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго слагаемого противоположен знаку слагаемого в исходном выражении:

Пример 4. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знаки производных второго и третьего слагаемых — минусы:

.

Пример 5. Найти производную функции

.

Решение. Находим производную первого слагаемого:

Находим производную второго слагаемого:

Находим производную третьего слагаемого:

Собираем всё вместе, обращая внимание на то, что знак производной второго слагаемого — минус:

.

Поделиться с друзьями

Весь блок «Производная»

function-x.ru

Как найти производную от дроби

Происхождение дифференциального исчисления вызвано необходимостью решать определенные физические задачи. Предполагается, что человек, обладающий дифференциальным исчислением, может брать производные от разных функций. Умеете ли вы брать производную от функции, выраженной дробью?

Инструкция

1. Любая дробь имеет числитель и знаменатель. В процессе нахождения производной от дроби понадобится находить отдельно производную числителя и производную знаменателя.

2. Дабы обнаружить производную от дроби , производную числителя домножьте на знаменатель. Вычтите из полученного выражения производную знаменателя, помноженную на числитель. Итог поделите на знаменатель в квадрате.

3. Пример 1[sin (x) / cos (x)]’ = [sin’ (x) · cos (x) — cos’ (x) · sin (x)] / cos? (x) = [cos (x) · cos (x) + sin (x) · sin (x)] / cos? (x) = [cos? (x) + sin? (x)] / cos? (x) = 1 / cos? (x).

4. Полученный итог является ничем другим, как табличным значением производной функции тангенса. Оно и внятно, чай отношение синуса к косинусу и есть, по определению, тангенс. Выходит,tg (x) = [sin (x) / cos (x)]’ = 1 / cos? (x).

5. Пример 2[(x? — 1) / 6x]’ = [(2x · 6x — 6 · x?) / 6?] = [12x? — 6x?] / 36 = 6x? / 36 = x? / 6.

6. Частным случаем дроби является такая дробь, у которой в знаменателе единица. Обнаружить производную от такого вида дроби проще: довольно представить ее в виде знаменателя со степенью (-1).

7. Пример(1 / x)’ = [x^(-1)]’ = -1 · x^(-2) = -1 / x?.

Обратите внимание!
Дробь может содержать в своем составе еще несколько дробей. В таком случае комфортнее находить вначале отдельно производные «первичных» дробей.

Полезный совет
Когда вы ищите производные знаменателя и числителя, применяйте правила дифференцирования: суммы, произведения, трудных функций. Пригодно удерживать в голове производные простейших табличных функций: линейной, показательной, степенной, логарифмической, тригонометрических и т.д.

jprosto.ru

No related posts.