Формула геом прогрессии – Геометрическая прогрессия

Содержание

Геометрическая прогрессия | umath.ru

Определение геометрической прогрессии

Определение. Последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число , называется геометрической прогрессией. Число называется знаменателем прогрессии.

То есть геометрическая прогрессия определяется рекуррентным соотношением

Итак, для n-го члена геометрической прогрессии справедлива формула

Теорема 2. Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов:

Доказательство. Из определения геометрической прогрессии

Следовательно,

откуда

Обратное утверждение тоже верно. Если для всех членов последовательности начиная со второго, выполняется равенство то эта последовательность — геометрическая прогрессия.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Вычислим сумму первых n членов геометрической прогрессии знаменатель которой :

(1)

Умножим это равенство на :

или

(2)

Вычтем из равенства (2) равенство (1), и приведя подобные члены, получим Отсюда, так как имеем

или

(3)

Так как то формулу (3) можно переписать в виде

(4)

Пример 2. Считается, что шахматы были изобретены в V в. н. э. в Индии. По легенде, когда создатель шахмат показал своё изобретение правителю страны, тому настолько понравилась игра, что он решил щедро отблагодарить её создателя, позволив мудрецу самостоятельно выбрать награду.

Мудрец попросил короля за первую клетку шахматной доски дать ему одно зерно пшеницы, за вторую — два, за третью — четыре, и так далее, удваивая количество зёрен за каждую клетку. Правитель рассмеялся, услышав столь ничтожную на первый взгляд просьбу, и, быстро согласившись, повелел своим казначеям подсчитать и выдать нужное количество зерна. Однако спустя неделю зерно всё ещё не было подсчитано. Интересно, в чём же причина такой задержки?

Давайте подсчитаем величину награды, то есть найдём сумму геометрической прогрессии

По формуле (3) получаем

Именно столько зёрен должен был выдать король. Это примерно 1200 триллионов тонн или 1500 куб. км. пшеницы, что эквивалентно амбару размерами 10х10х15 км. Для справки, это примерно в 1800 раз больше всего урожая пшеницы 2009 года.

Примерно такие расчёты и показали королю, когда тот поинтересовался, почему зерно всё ещё не выдано.

Наверное, вы спросите, чем же всё закончилось. Легенда гласит, что король «не остался в долгу» перед хитрым изобретателем, и, выдав ему пшеницу (конечно, намного меньше), предложил тому пересчитать каждое зёрнышко, чтобы не было сомнений в том, что он честно с ним расплатился.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Рассмотрим геометрическую прогрессию Если её знаменатель то эта последовательность называется бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогресcии выражается формулой

(5)

umath.ru

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого фиксированного числа d:

Фиксированное число d называется разностью арифметической прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, есть среднее арифметическое соседних:

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних: .

Для решения задач на нахождение наибольших и наименьших значений функций – повторите тему «Производная».

Примеры решения задач

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии

Тема: Геометрическая прогрессия

Урок: Формула суммы членов геометрической прогрессии

На уроке повторяется определение геометрической прогрессии

, формула общего члена, выводится формула суммы членов конечной геометрической прогрессиии решаются типовые задачи.

Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией. При этом число q называют знаменателем прогрессии.

Математическая запись.

геометрическая прогрессия, ее члены , при этом:

Иная запись:, т.е. . — формула n–го члена геометрической прогрессии, n=1,2,3,…

т.е. геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию натурального аргумента.

Выведем далее формулу суммы конечного числа членов геометрической прогрессии.

Дано: геометрическая прогрессия.

Найти:

Решение:.

Умножим обе части этого равенства на q:

И вычтем из первого равенства второе:

В полученной формуле , рассмотрим частный случай

Геометрическая прогрессия имеет nравных членов, поэтому ее сумма

Итак, , при ; при .

Далее рассмотрим типовые задачи, для решения которых понадобится формула суммы членов геометрической прогрессии:

1. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: Решение: . Ответ:

2. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: . Решение: Ответ:

3. «Легенда об изобретателе шахмат». Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: Решение: Ответ: А теперь легенда. Восточный правитель захотел наградить мудреца за то, что он научил правителя играть в шахматы. Мудрец попросил на первую клетку шахматной доски положить одно зернышко пшеницы, а на каждую следующую в 2 раза больше зерен, чем на предыдущую. Шахматная доска имеет 64 клетки, поэтому общее количество зерен на доске – это сумма 64 членов геометрической прогрессии, у которой . Мы только что нашли, что Оказалось, что это число настолько огромно, что у правителя не нашлось столько пшеницы. Возрастающая геометрическая прогрессия возрастает очень быстро и сумма даже не очень большого числа членов – огромное число.

1. Дано:геометрическая прогрессия, . Найти: Решение: Ответ:

2. Найдите сумму Решение:Данная сумма является суммой геометрической прогрессии, действительно, ,отношение не зависит от n, т.е. это геометрическая прогрессия. В этой прогрессии , тогда . Ответ:.

3. Докажите тождество Доказательство: Притождество справедливо. При имеем геометрическую прогрессию (). В предыдущей задаче мы вычислили , тогда Тождество доказано.

Список рекомендованной литературы

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. — М., 2011. — 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. РЕШУ ЕГЭ (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 502 — 505.

interneturok.ru

Геометрическая прогрессия | Формулы с примерами

Определение
Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (b_n), в
которой для любого натурального n, b_n ? 0, q ? 0.

q — знаменатель геометрической прогрессии (заданное число).

Пример

	Дано	Геометрическая прогрессия
1.	b₁ = 0,5; q = 2	0,5; 1; 2; 4; 8; 16; …
2.	b₁ = 7; q = -1	7; -7; 7; -7; 7; -7; …
3.	b₁ = 100; q = 0,2	100; 20; 4; 0,8; 0,16; 0,032; …

Формула
Формула общего (n-го) члена геометрической прогрессии:

Формулы
Формулы суммы S_n n первых членов геометрической прогрессии:

Где: S₁ = b₁. S_n = b₁ + b₂ + … + b_n.

Пример решения
b₁ = 12, b₂ = -6. Найти b₇ и сумму S₈.

Знаменатель q = b₂b₁ = — 12.

Тогда b₇ = b₁ • q⁶ = 12 • (- 12)⁶ = 3 16 • S₈ = b₁(q⁸ — 1)q — 1 = 7 3132.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Правило

formula-xyz.ru

Геометрическая прогрессия на примерах

Геометрическая прогрессия не менее важная в математике по сравнению с арифметической. Геометрической прогрессией называют такую последовательность чисел b1, b2,…, b[n] каждый следующий член которой, получается умножением предыдущего на постоянное число. Это число, которое также характеризует скорость роста или убывания прогрессии называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают

Для полного задания геометрической прогрессии кроме знаменателя необходимо знать или определить первый ее член. Для положительного значения знаменателя прогрессия является монотонной последовательностью, причем если это последовательность чисел является монотонно убывающей и при монотонно возрастающей. Случай, когда знаменатель равен единице на практике не рассматривается, поскольку имеем последовательность одинаковых чисел, а их суммирование не вызывает практического интереса

Общий член геометрической прогрессии вычисляют по формуле

Сумма n первых членов геометрической прогрессии определяют по формуле

Рассмотрим решения классических задач на геометрическую прогрессию. Начнем для понимания с простейших.

Пример 1. Первый член геометрической прогрессии равен 27, а ее знаменатель равен 1/3. Найти шесть первых членов геометрической прогрессии.

Решение: Запишем условие задачи в виде

Для вычислений используем формулу n-го члена геометрической прогрессии

На ее основе находим неизвестные члены прогрессии

Как можно убедиться, вычисления членов геометрической прогрессии несложные. Сама прогрессия будет выглядеть следующим образом

Пример 2. Даны три первых члена геометрической прогрессии : 6; -12; 24. Найти знаменатель и седьмой ее член.

Решение: Вычисляем знаменатель геомитрической прогрессии исходя из его определения

Получили знакопеременную геометрическую прогрессию знаменатель которой равен -2. Седьмой член вычисляем по формуле

На этом задача решена.

Пример 3. Геометрическая прогрессия задана двумя ее членами . Найти десятый член прогрессии.

Решение:

Запишем заданные значения через формулы

По правилам нужно было бы найти знаменатель, а затем искать нужное значение, но для десятого члена имеем

Такую же формулу можно получить на основе нехитрых манипуляций с входными данными. Разделим шестой член ряда на другой, в результате получим

Если полученное значение умножить на шестой член, получим десятый

Таким образом, для подобных задач с помощью несложных преобразований в быстрый способ можно отыскать правильное решение.

Пример 4. Геометрическая прогрессия задано рекуррентными формулами

Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых шести членов.

Решение:

Запишем заданные данные в виде системы уравнений

Выразим знаменатель разделив второе уравнение на первое

Найдем первый член прогрессии из первого уравнения

Вычислим следующие пять членов для нахождения суммы геометрической прогрессии

Поскольку найти сумму в данном случае не составляет большого труда, то обходя простые выкладки сводим все слагаемые под общий знаменатель

В общем случае, при нахождении суммы знакопеременных рядов следует выделять их положительную часть и отрицательную и найти отдельно их суммы по приведенным выше формулам. Наконец найденные значения добавить.

Примеры на геометрическую прогрессию не так сложны если знать несколько базовых формул. Все остальное сводится к простым математическим манипуляциям. Практикуйте с примерами самостоятельно и подобные задания будут для Вас несложными.

Похожие материалы:

yukhym.com

Сумма геометрической прогрессии

На этой странице даны формулы, с помощью которых вычисляется сумма геометрической прогрессии, и совет, как их запомнить.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Здесь b1 — первый член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, а q — знаменатель геометрической прогрессии. Эту формулу можно применять при условии

Формула, по которой находится сумма бесконечной геометрической прогрессии простая, и запомнить ее не составляет труда.

Сумма первых членов геометрической прогрессии

вычисляется по формуле, запоминание которой обычно вызывает затруднения:

Здесь b1 и q — первый член и знаменатель геометрической прогрессии, а n — количество взятых первых членов прогрессии (считая от b1).

Посмотрите внимательно на эту формулу. Это та же формула суммы бесконечно убывающее геометрической прогрессии:

только дополненная в числителе множителем

который от знаменателя отличается только тем, что q взято в степени n. Собственно, формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии — это сумма первых членов геометрической прогрессии при условии

Если запомнить эту деталь, то формулу суммы первых членов геометрической прогрессии специально учить не придется. Достаточно дополнить формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

В следующий раз я расскажу, как легко запомнить формулы суммы арифметической прогрессии.

www.uznateshe.ru

StudyPort.Ru — Геометрическая прогрессия. Формула n

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, в которой каждый член (начиная со второго) получается из предыдущего путем умножения его на одного и того же число q ≠ 0. Число q называют

знаменателем геометрической прогрессии. Для того, чтобы задать геометрическую прогрессию, нужно задать ее первый член a₁ и знаменатель q.

Геометрическая прогрессия возрастает при q > 1, убывает при 0 < q < 1.

Примеры геометрических прогрессий:

1. 2, 4, 8, 16… . Здесь первый член равен 1, а знаменатель равен 2.

81, 27, 9, 3, 1, 1/3… . Здесь первый член равен 81, а знаменатель равен 1/3.

Итак, первый член прогрессии равен a₁, второй — a₁q, третий a₁q*q = a₁q², четвертый a₁q²*q = a₁q³…. Таким образом, n-й член прогрессии вычисляется по формуле a_n = a₁q^n-1.

Утверждение: Сумма n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле

Доказательство.

S_n = a

1+a₁q+a₁q²+a₁q³+…+a₁q^n-1.

Умножим на , получим:

S_nq = a₁q+a₁q²+a₁q³+…a₁qⁿ.

Теперь вычтем S_nq из S_n.

Получим:

Примеры задач на геометрическую прогрессию.

1. Найдите сумму первых 10 членов геометрической прогрессии, если известно, что a₁ = 3, q = 4.

Решение.

2. За одну минуту биомасса увеличивается в 2 раза. Какой вес она будет иметь через 5 минут, если сейчас ее вес 3 кг.