Формула вероятности случайного события – Классическая вероятность. Вероятность случайного события

Классическая вероятность. Вероятность случайного события

Для количественного сравнения событий по степени возможности их появления вводится числовая мера, которая называется вероятностью события. Вероятностью случайного события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Величины, определяющие, насколько значительны объективные основания рассчитывать на появление события, характеризуются вероятностью события. Необходимо подчеркнуть, что вероятность есть объективная величина, существующая независимо от познающего и обусловленная всей совокупностью условий, которые способствуют появлению события.

Объяснения, которые мы дали понятию вероятности, не являются математическим определением, так как они не определяют это понятие количественно. Существует несколько определений вероятности случайного события, которые широко применяются при решении конкретных задач (классическое, геометрическое определение вероятности, статистическое и т. д.).

Классическое определение вероятности события сводит это понятие к более элементарному понятию равновозможных событий, которое уже не подлежит определению и предполагается интуитивно ясным. Например, если игральная кость — однородный куб, то выпадения любой из граней этого куба будут равновозможными событиями.

Пусть достоверное событие  распадается на  равновозможных случаев , сумма  которых дает событие . То есть случаи из , на которые распадается , называются благоприятствующими для события , так как появление одного из них обеспечивает наступление .

Вероятность события  будем обозначать символом .

Вероятность события  равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа  единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Это есть классическое определение вероятности. Таким образом, для нахождения вероятности события необходимо, рассмотрев различные исходы испытания, найти совокупность единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев, подсчитать общее их число n, число случаев m, благоприятствующих данному событию, и затем выполнить расчет по вышеприведенной формуле.

Вероятность события, равная отношению числа благоприятных событию исходов опыта к общему числу исходов опыта называется классической вероятностью случайного события.

Из определения вытекают следующие свойства вероятности:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Свойство 4. Вероятность наступления событий, образующих полную группу, равна единице.

Свойство 5. Вероятность наступления противоположного события  определяется так же, как и вероятность наступления события A.

 — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события  . Отсюда вероятность наступления противоположного события  равна разнице между единицей и вероятностью наступления события A:

Важное достоинство классического определения вероятности события состоит в том, что с его помощью вероятность события можно определить, не прибегая к опыту, а исходя из логических рассуждений.

При выполнении комплекса условий достоверное событие обязательно произойдет, а невозможное обязательно не произойдет. Среди событий, которые при создании комплекса условий могут произойти, а могут не произойти, на появление одних можно рассчитывать с большим основанием, на появление других с меньшим основанием. Если, например, в урне белых шаров больше, чем черных, то надеяться на появление белого шара при вынимании из урны наудачу больше оснований, чем на появление черного шара.

На соседней странице рассматривается вероятность наивероятнейшего числа наступления события.

Пример 1

В ящике находится 8 белых, 4 черных и 7 красных шаров. Наудачу извлечены 3 шара. Найти вероятности следующих событий:  – извлечен по крайней мере 1 красный шар,  – есть по крайней мере 2 шара одного цвета,  – есть по крайней мере 1 красный и 1 белый шар.

Задали объемную контрольную? Скоро важный зачет/экзамен? Нет времени на выполнение работы или подготовку к зачету/экзамену, но есть деньги? На сайте 100task.ru можно заказать решение или онлайн-помощь на зачете/экзамене

〉〉

Решение задачи

Общее число исходов испытания найдем как число сочетаний из 19 (8+4+7) элементов по 3:

 

Найдем вероятность события  – извлечен по крайней мере 1 красный шар (1,2 или 3 красных шара)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

 

Пусть событие  – есть по крайней мере 2 шара одного цвета (2 или 3 белых шара, 2 или 3 черных шара и 2 или 3 красных шара)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

 

Пусть событие  – есть по крайней мере один красный и 1 белый шар

(1 красный, 1 белый, 1 черный или 1 красный, 2 белых или 2 красных, 1 белый)

Число исходов, благоприятствующих событию:

Искомая вероятность:

 

Ответ: P(A)=0.773;P(C)=0.7688;  P(D)=0.6068

Пример 2

Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков не меньше 5.

Решение

Пусть событие  – сумма очков не меньше 5

Воспользуемся классическим определением вероятности:

 -общее число возможных исходов испытания

 -число испытаний, благоприятствующих интересующему нас событию

На выпавшей грани первого игрального кубика может появиться одно очко, два очка…, шесть очков. аналогично шесть исходов возможны при бросании второго кубика. Каждый из исходов бросания первой кости может сочетаться с каждым из исходов второй. Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу размещений с повторениями (выбор с размещениями 2 элементов из совокупнности объема 6):

Найдем вероятность противоположного события  – сумма очков меньше 5

Благоприятствовать событию  будут следующие сочетания выпавших очков:

№	1-я кость	2-я кость
1	1	1
2	1	2
3	2	1
4	3	1
5	1	3

Ответ: p=0.8611

К оглавлению решебника по теории вероятностей и математической статистике 〉

100task.ru

1. Случайное событие. Вероятность случайного события. Классическое и статистическое определение вероятности. Понятие о совместных и несовместных событиях. Закон (теорема) сложения вероятностей.

Случайное событие – это любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Случайное событие – это результат испытания. Испытание – это эксперимент, выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А,В,С.

Численная мера степени объективности возможности наступления события называется вероятностью случайного события.

Классическое определение вероятности события А:

Р(А)=m/n

Вероятность события А равна отношению числа случаев, благоприятствующих событию A(m), к общему числу случаев (n).

Статистическое определение вероятности

Относительная частота событий – это доля тех фактически проведенных испытаний, в которых событие А появилось W=P*(A)= m/n. Это опытная экспериментальная характеристика, где m – число опытов, в которых появилось событие А; n – число всех проведенных опытов.

Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний P(A)=.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление другого. В противном случае события – совместные.

Сумма двух событий – это такое событие, при котором появляется хотя бы одно из этих событий (А или В).

Если А и В совместные события, то их сумма А+В обозначает наступление события А или события В, или обоих событий вместе.

Если А и В несовместные события, то сумма А+В означает наступление или события А или события В.

2. Понятие о зависимых и независимых событиях. Условная вероятность, закон (теорема) умножения вероятностей. Формула Байеса.

Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности появления события В. Вероятностью появления нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих:

P(AB) = P(A)*P(B)

Для зависимых событий:

P(AB) = P(A)*Р(B/A).

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие произошло.

Условная вероятность события В — это вероятность события В, найденная при условии, что событие А произошло. Обозначается Р(В/А)

Произведение двух событий – это событие, состоящее в совместном появлении этих событий (А и В)

Формула Байеса служит для переоценки случайных событий

P(H/A) = (P(H)*P(A/H))/P(A)

P(H) – априорная вероятность события Н

P(H/A) – апостериорная вероятность гипотезы H при условии, что событие А уже произошло

P(A/H) – экспертная оценка

P(A) – полня вероятность события А

3. Распределение дискретных и непрерывных случайных величин и их характеристики: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратичное отклонение. Нормальный закон распределения непрерывных случайных величин.

Случайная величина – это величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений.

Дискретная случайная величина – это случайная величина, когда принимает отдельное изолированное, счетное множество значений.

Непрерывная случайная величина – это случайная величина, принимающая любые значения из некоторого интервала. Понятие непрерывной случайной величины возникает при измерениях.

Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Таблица – это простейшая форма задания закона распределения

Хi	X1	X2	…	Xn
Pi	P1	P2	…	Pn

Требования:

для дискретных случайных величин

Аналитический:

1)F(x)=P(X<x)

Функция распределения = интегральная функция распределения. Для дискретный и непрерывных случайных величин.

2)f(x) = F’(x)

Плотность распределения вероятностей = дифференциальная функция распределения только для непрерывной случайной велечины.

Графический:

С-ва: 1) 0≤F(x)≤1

2) неубывающая для дискретных случайных величин

для непрерывных случайных величин

С-ва: 1) f(x)≥0 P(x)=

2) площадь S=1

для непрерывных случайных величин

Характеристики:

1.математическое ожидание – среднее наиболее вероятное событие

Для дискретных случайных величин.

Для непрерывных случайных величин.

2)Дисперсия – рассеяние вокруг математического ожидания

Для дискретных случайных величин:

D(x)=x_i-M(x))²*p_i

Для непрерывных случайных величин:

D(x)=x-M(x))²*f(x)dx

3)Среднее квадратическое отклонение:

σ(х)=√(D(x))

σ – стандартное отклонение или стандарт

х – арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии

Нормальный закон распределения (НЗР) – закон Гаусса

НЗР – это распад вероятностей непрерывной случайной величины, который описывается дифференциальной функцией

studfiles.net

Классическое определение вероятности случайного события

Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые можно провести многократно, в теории вероятностей принято называть испытанием. Результат, исход испытания называется событием.

Пример 1. Сдача экзамена — это испытание; получение определенной отметки — событие. Выстрел — это испытание; попадание в определенную область мишени — событие. Бросание игрального кубика — это испытание; появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости — событие.

Виды случайных событий

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании.

Пример 2:

• несовместные события: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное;
• совместные события: идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное.

Несколько событий образуют полную группу (пространство исходов), если в результате испытания появиться хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.

Пример 3.

Урок алгебры » Случайные события. Вероятность случайного события.»

При сдаче зачета возможны следующие исходы: «зачтено», «не зачтено», «не явился»; при подбрасывании монеты – «орел», «решка».

Классическое определение вероятности

Пример 4. Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров, причем 2 из них — красные, 3 — синие и 1 — белый. Какова возможность вынуть наудачу из урны цветной шар? Можно ли охарактеризовать эту возможность числом?

Оказывается можно. Это число и называется вероятностью события А (появления цветного шара). Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Каждый из возможных результатов испытания (в примере 4, испытание состоит в извлечении шара из урны) называется элементарным исходом.

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию. В примере 4 благоприятствуют событию А (появление цветного шара) 5 исходов.

События называются равновозможными, если есть основания считать, что не одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример 5. Появление того или иного числа очков на брошенном игральном кубике – равновозможные события.

Вероятностью P(A) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Вероятность P(A) события А определяется по формуле

,

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих A; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

В примере 4 всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того что взятый шар окажется цветным, равна P(A) = 5/6.

Пример 6. Определить вероятность выпадения нечётного числа очков на кости.

Решение. При бросании кости событие A – «выпало нечётное число очков» можно записать как подмножество {1, 3, 5} пространства исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6} (рис. 1).

Число всех равновозможных исходов n = 6, а число благоприятных событию A – m = 3. Следовательно,

Пример 7. В урне находится 7 шаров: 2 белых, 4 черных и 1 красный. Вынимается один шар наугад. Какова вероятность того, что вынутый шар будет чёрным?

Решение. Занумеруем шары. Пусть, например, шары с номерами 1 и 2 – белые, с номерами 3, 4, 5 и 6 – чёрные, а красному шару присвоим номер 7.

Так как мы можем вынуть только один из семи шаров, то общее число равновозможных исходов равно семи (n = 7). Из них 4 исхода – появление шаров с номерами 3, 4, 5 и 6 – приведут к тому, что вынутый шар будет чёрным (m = 4). Тем самым, вероятность события А, состоящего в появлении чёрного шара, равна

Вычислите вероятность того, что вынутый шар будет белым.

Пример 8.

Вычислить вероятность выпадения в сумме 10 очков при бросании пары костей.

Решение. Рассмотрим все равновозможные исходы в результате бросания двух костей (их число равно 36 — рекомендуем записать в виде таблицы). Выпадение в сумме 10 очков (событие А) возможно в трёх случаях – 4 очка на первой кости и 6 на второй, 5 очков на первой и 5 на второй, 6 очков на первой и 4 на второй. Поэтому вероятность события А (выпадения в сумме 10 очков) равна

Свойство 1. Вероятность достоверного события А равна единице: Р(А) = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события А равна нулю: Р(А) = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей:

0 £ P (A) £ 1.

Пример 9. Так как вероятность выпадения 13 очков при бросании пары костей – невозможное событие, его вероятность равна нулю.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же часто встречаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. Кроме этого, часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. По этой причине, наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение.

Статистическое определение вероятности

Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей.

Относительной частотой события А называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически произведенных испытаний:

,

где m – число появлений события А, n – общее число испытаний.

Классическая вероятность вычисляется до опыта, а относительная частота – после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости.

Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Это постоянное число и есть вероятность появления события.

Таким образом, при достаточно большом количестве испытаний в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней.

Пример 10. Естествоиспытатель К. Пирсон терпеливо подбрасывал монету и после каждого бросания не ленился записывать полученный результат. Проделав эту операцию 24 000 раз, он обнаружил, что герб выпадал в 12 012 случаях. Вычисляя относительную частоту выпадения герба, он получил , что практически равно 1/2.
 

laservirta.ru

77. Вероятность и её свойства. Примеры вероятностных пространств. Условная вероятность, независимость событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

Теория вероятностей и математическая статистика.

Каждый из возможных результатов испытания назовем элементарным исходом. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующим этому событию. Событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А.

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через P(A).

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместимых элементарных исходов, образующих полную группу. (Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие.). Итак, вероятность события А определяется формулой P(A)=m/n,где m- число элементарных исходов, благоприятствующих А ;n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместимы, равновозможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекает следующие ее свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если события достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m=n, следовательно, P(A)=m/n =n/n=1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю.Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m=0, следовательно, P(A)=m/n=0/n=0.

3. Вероятность случайного событию есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0<m<n, значит, 0<m/n <1, следовательно,

0<P(A)<1.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0≤P(A)≤1.

Основные формулы комбинаторики.

Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведено два выстрела и А – попадание при первом выстреле, В – попадание при втором выстреле, то А+В – попадание при первом выстреле, или при втором выстреле, или в обоих выстрелах

В частности, если два события А и В – несовместные, то А+В – событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении одного из этих событий. Например, событие А+В+С состоит в появлении одного из следующих событий: А,В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С.

Пусть события А и В – несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того , что наступит либо событие А, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложении.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P (A+B) =P (A) +P (B).

Следствие. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Произведение событий.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении ) этих событий. Например, если А- деталь годная, В- деталь окрашенная, то АВ- деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появление всех этих событий. Например, если A, B, C- появление « герба» соответственно в первом в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то ABC – выпадение «герба » во всех трех испытаниях.

Условная вероятность.

Во введении случайное событие определено как событие, которое при осуществлении совокупности условий S может произойти или не произойти. Если при вычислении вероятности события никаких других ограничений, кроме условий, не налагается, то такую вероятность называют безусловной; если же налагаются и другие дополнительные условия, то вероятность события называют условной. Например, часто вычисляют вероятность события B при дополнительном условии, что произошло событие А. Затем, что и безусловная вероятность, строго говоря, яв-ся условной, поскольку предполагается осуществление условий S.

Условной вероятностью называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило.

Теорема умножения вероятностей.

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятность P(A) и известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:P(AB)=P(A) .

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:P(

Где — вероятность события, вычисленная в предположении, что событие- наступили.В частности, для трех событийP(ABC)=P(A) .

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т.е. безразлично какаое событие считать первым, вторым и т.д.

Независимые события.

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появления события А не изменяет вероятность события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: (*)

Подставив (*) в соотношение (***) (см. выше), получим

Отсюда , т.е. условная вероятность события А в предположении, что наступило событие, равна его безусловной вероятности.Другими словами , событие А не зависит от события В.

Итак, если событие В не зависит от события А, то и событие А не зависит от события В; это означает, что свойство независимости событий взаимно.

Для независимых событий теорема умножения P(AB)=P(A)P(B) имеет вид

P(AB)=P(A)P(B), (**) т.е, вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Равенство (**) принимает в качестве определения независимых событий.

Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае событие называют зависимыми.

На практике о независимости событий заключают по смыслу задачи. Например, вероятности поражения цели каждым из двух орудий не зависит от того , поразило ли цель другое орудие, поэтому событие «первое орудие поразило цель» и « второе орудие поразило цель» независимы.

Несколько событий называют попарно независимыми, если каждые два из них независимы. Например, события А, В, С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С.

Для того, чтобы обобщить теорему умножения на несколько событий, введем понятие независимости событий в совокупности.

Несколько событий называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если независимы каждые два из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.

Например, если событие независимы в совокупности, то независимы событияи,и,и;и,и,и.Из сказанного следует, что если события независимы в совокупности, то условная вероятность появления любого события из них, вычисленная в предположении, что наступили какие- либо другие события из числа остальных, равна его безусловной вероятности.

Подчеркнем, что если несколько событий независимы попарно, то отсюда еще не следует их независимость в совокупности. В этом смысле требование независимости событий в совокупности сильнее требование их попарной независимости.

Поясним сказанное на примере. Пусть в урне имеется 4 шара, окрашенные: один – в красный цвет (А), один – в синий цвет (В), один – в черный цвет (С) и один- во все три цвета (АВС). Чему равна вероятность того, что извлеченный из урны шар имеет красный цвет?

Т.к. из четырех шаров два имеют красный цвет, то P(A)=2/4=1/2. Рассуждая аналогично, найдем P(B)=1/2, P(C)=1/2. Допустим теперь, что взятый шар имеет синий цвет, т.е событие В уже произошло. Изменится ли вероятность того, что извлеченный шар имеет красный цвет, т. е. изменится ли вероятность события А? Из двух шаров, имеющих синий цвет, один шар имеет и красный цвет, поэтому вероятность, событие А по-прежнему равна 1/2. Другими словами, условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Следовательно, события А и В независимы. Аналогично, придем к выводу, что событие А и С, В и С независимы. Итак, события А, В и С попарно независимы.

Независимы ли эти события в совокупности? Оказывается, нет. Действительно, пусть извлеченный шар имеет два цвета, например синий и черный. Чему равна вероятность того, что этот шар имеет и красный цвет? Лишь один шар окрашен во все три цвета, поэтому взятый шар имеет и красный цвет. Таким образом, допустив, что событие В и С произошли, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, приходим к выводу, что событие А обязательно наступит. Следовательно, это событие достоверное и вероятность его равна единице. Другими словами, условная вероятность события А не равна его безусловной вероятностиP(A)=1/2. Итак, попарно независимые события А, В, С не яв-ся независимыми в совокупности.

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

.

Док-во. Рассмотрим три события: А, В и С. Совмещение событий А, В и С равносильно совмещению АВ и С, поэтому P(ABC)=P(AB*C).

Т.к. событие А, В и С независимы в совокупности, то независимы, в частности, события АВ и С, а также А и В. По теореме умножения для двух независимых событий имеем

P(AB*C)=P(AB)P(C) и P(AB)= P(A)P(B).

Итак, окончательно получим P(ABC)=P(A)P(B)P(C).

Для произвольного n док-во проводится методом мат. индукции.

Терема сложения вероятностей совместных событий.

Пусть события А и В совместны, причем даны вероятности этих событий и вероятность их совместного появления. Как найти вероятность события А+В, состоящего в том, что появится хотя бы одно событие из событий А и В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения вероятностей совместных событий.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равнее сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появленияP(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Формула полной вероятности.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий , которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятностисобытия А. Как найти вероятность события А ? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Док-во. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из совместных событий . Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из совместных событий. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим(*)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности

studfiles.net

Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

СПОСОБЫ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Классический

Если исходы опыта можно представить в виде полной группы событий кот несовместны и равновозможны,то вероятность события А м.б. вычислена по формуле:

Р(А)=m:n

m-общее число возможных случаев(общ число случаев)

n-число исходов благоприятствующих событию А(общ число благопр случаев)

благоприятствующий случай-если его появление влечет за собой событие

пример:

1) №:в урне 3 белых и 4 черных шара

А-событие вынуть белый шар.

Р(А)=m:n=3:7-0,43(43%)

m=3,n=3+4

 

2) Вероятность появл-я четного числа очков при однокр брос кости

А-событие выпад-я четн числа очков

Р(А)=m:n=3:6=0,5(50%)

m-благопр случай 3(2,4,6-четн цифры на кости)

n=6(всего цифр)

 

Геометрический

Исп-ся д/вычисл вероятностей события в том случае,когда рез-т испыт-я определ-ся случайным полож-ем точек в некот обл-ти,причем любые полож-я точек в этой обл-ти равновозможны.

Р(А)=Wm:Wn

Wm-размер всей площади

Wn-мера обл-ти,попад в кот благоприятствует событию А.

Примечание:

Единицы измерения обл-тей м.б. самые различн,в завис-ти от смысла задачи(S,V,t)

пример:

1) В некот точке С телеф линии АВ длиной L. Определ вероятность того,что С удал от А на расст не <,чем l

А-событие,что произошло в т.С→Р(А)

Р(А)= Wm:Wn=(L-l):L

 

Статистический

Частотой появл-я события А назыв отношение числа его появл-й к числу произвед опытов

F(A)=m:n

P(A)=lim f(A) (внизу под lim n→∞)=lim m:n(внизу под lim n→∞)

 

Основные элементы комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

Комбинаторика-спец раздел мат-ки интересующийся ? «Сколько различн комбинаций можно сост из задан объектов.

Рассм 3 типа комбинаторики:

Перестановка

Перестановками из n элементов назыв всевозм комбинации из этих элементов,отлич друг от друга порядком располож-я элементов.

Рn=1×2×3…×n=n!(эн-факториал)

Пример:

1) 1,2,3

123; 321; 231; 213; 132; 312

Р₃=3!=1×2×3=6 Ответ:6

2) В ауд 5 столов. Сколькими способами м рассад 5 чел.

Р₅=5!=120. Ответ: 120

Размещение

Размещениями из n элементов по m элементов называются все возможные комбинации (группы) из этих элементов, содержащие по m элементов в каждой и различающиеся между собой элементами или их расположением.

А_n^m=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

А_n^m=P_n😛_m—n

Пример:

1) Информация кодируется словами из 4 цифр,цифры в словах не повтор. Сколько м сост слов д/кодир-я информ.

n=10 (0,1,2..9), m=4

A₁₀⁴=10!:(10-4+1!)=10×9×8×7=5040

Ответ: 5040

3. Сочетания

Сочетаниями из n элементов по m элементов (m<n) называются все возможные комбинации (группы) из этих элементов, содержащие по m элементов в каждой и отличающиеся друг от друга, по крайней мере, одним элементом.

С_n^m= А_n^m: P_m=n!:(m!×(n-m)!)

n!-кол-во чисел

m!×(n-m)!-кол-во групп

пример:

1) в урне 3 белых и 7 черных шаров.Скольк сущ возм-тей вынуть из урны 2 шара одного цвета?

m=2

C₃²-число возм-тей вытянуть 2 белых шара

C₃²=3!:(2!1!)=3

C₇²-число возм-тей вытянуть 2 черных шара

C₇²=21

С=C₃²+C₇²=21+3=24. Ответ: 24

Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

Теорема сложения.

Суммой 2х событий А и В называют событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А ИЛИ В

Пример:

1) А-событие вынуть из колоды красную карту

В-событие вынуть туза

(рисуются 2 раза 2 кружка, первый раз события несовпад и кружки не пересек, второй раз вынут красный туз-кружки пересек)

С=А+В

Теорема 1.Сложение вероятностей 2х несовместных событий

Вероятность суммы двух несовм событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Если число несовм событий не 2, а более,то данная теорема справедлива,т.е.:

РS(сверху n,снизу i=1)А_i=S(сверху n,снизу i=1) Р(А_i)

Пример:

1) Произв выстрел по мешени сост из 3х зон

Вероятность попадания в первую зону-0,1

Во вторую-0,3

В третью – 0,4

Определ вероятность попадания в мешень.

1. Обозначение событий и их вероятностей.

А₁-событие попадания в первую зону

А₂-во вторую

А₃-в третью

А-событие попадания в мешень

2. Составим расчетную формулу:

А=А₁+А₂+А₃

А_1,А_2,А₃-несовместные события

Р(А)= Р(А₁)+Р(А₂)+Р(А₃)

3. Расчет:

Р(А)=0,1+0,3+0,4=0,8(80%)

 

Противоположные события-если они несовместные и образуют полную группу.

А(с – сверху)-противоположное событие

 

Следствие 1 из теоремы 1:

Сумма вероятностей противоположных событий равна еденице: А(с – сверху)=1

Док-во:

Р(А+А с черточкой)=Р(U)=1 (как вероятность достоверного события)

* Событие назыв достоверным ,если в результате опыта оно обязат произойдет (№:при бросании 2 кубиков выпадет сумма >=2)

События А и А с черточкой – несовместны, тогда по теореме 1:

Р(А+А с черточкой)=Р(А)+Р(А с черточкой)=1

Запись формулы Р(А)+Р(А с черточкой)=1 Р(А)+Р(А с черточкой)=1 в других обозначениях:

p+q=1,

где р— вероятность того, что событие А произошло; q — вероятность того, что событие А не произошло.

Следствие 2 из теоремы 1:

Если событие А₁,А₂, … А_n образуют полную несовм группу событий, то сумма их вероятностей:

Р(А₁)+Р(А₂)+…+Р(А_n)=1

S(сверху n,снизу- i=1) Р(А_i)=1

* сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице

Пример:

1) Определить вероятность промаха в условия предудущ задачи:

Р(А с -)=1-Р(А)=1-0,8=0,2(20%)

Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления (т.е. вероятность произведения)

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Произведением (∩) 2х событий А и В называется событие С,состоящее в проявлении А И В одновременно.

 

Произведение событий. Теорема умножения вероятностей для независисмых событий и следствия из нее.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

Теорема умножения вероятностей.

О. событие А независимое от В, если вероятность события А не зависит от того,появ ли событие В или нет. В противном случае событие А зависимо от В.

Условная вероятность-Р(А/В)-вероятность события А выше при условии что событие В произошло.

Условная независимость событий.

Если выпад соотношение что:

Р(А/В)=Р(А/В с черточкой)=Р(А)

Р(В/А)=Р(В/Ас черточкой)=Р(В) – независимые события.

Пример:

1) В урне 10 шаров. 7-белых. 3-черных.

Наугад берется 1 шар, потом другой. Найти вероятность того,что оба шара белые.

1. Обозн событий:

А-событие что второй шар белый

В-событие что первый шар белый.

2. Расчеты:

Р(А/В)=(7-1):(10-1)=2/3

Р(А/Вс черточкой)=7:(10-1)=7/9

Р(А/В) ≠Р(А/Вс черточкой)→А,В зависимые.

 

Теорема 3. Умножение вероятностей 2 независимых событий.

Вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисляемую при усл что первое событие имело место.

Р(А×В)=Р(А)×Р(В/А)= Р(В)×Р(А/В)

Если А и В независимы,то вероятность 2х событий равна произведению их вероятностей:

Р(А×В)=Р(А)×Р(В)

Если событий больше 2х,то:

Р(∩-сверху n снизу i=1 ×А_i)=∩-сверху n снизу i=1Р(А_i)

Следствие 1

Если события А₁,А₂, … А_n-равновероятны, т.е. вероятность

Р(А₁)=Р(А₂)=…=Р(А_n)=Р_у, то

Р(∩-сверху n снизу i=1 ×А_i)=Рⁿ

Следствие 1 (совместны)

Если события А₁,А₂, … А_n-независимы, но м.б. совместны, то вероятность появл хотя бы одного из них определ формулой:

Р_>=1=1-(1-Р(А₁))(1-Р(А₂))…(1-Р(А_n))

Р(А₁)=Р(А₂)=…=Р(А_n)=Р

Р_>=1=1-(1-Р)ⁿ

Пример:

1) Определить вероятность исправной работы цепочки состоящей из 2х элементов.

а) случай параллельного соединения

б) последовательного

если вероятность исправной работы первого 0.5, второго 0,6

решение:

1. Обозн событий:

А₁-событие исправной работы 1ого элемента

А₂-второго

2. Расчет формулы:

а) А=А₁+А₂(или 1 или 2 событие, события совсм могут произойти одноврем) необх применить формулу вероятности суммы 2х совм событий:

Р(А)=Р(А₁)+Р(А₂)-Р(А₁×А₂)

Вероятность двух независ событий равна произведению их вероятностей.

б) А=А₁×А₂

Р(А)=Р(А₁)×Р(А₂)

3. Расчеты:

а) Р(А)=0,5+0,6-0,5*0,6=0,8(80%)

б) Р(А)=0,5*0,6=30%

Условная вероятность. Условие зависимости событий. Теорема умножения вероятностей.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

Формула полной вероятности.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

 

Пусть треб определ вероятность события А,кот может произойти только вместе с одним из событий:Н₁,Н₂, … H_n образующих полную группу несовместных событий

Данные события называются ГИПОТЕЗЫ поэтому формула полн вер им вид:

Р(А)=S(сверху n,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i)

Полн вероятность события А равна сумме произведения вероятностей гипотез на условные вероятности событий.

По данным событиям требования к гипотезам: несовместные,сост полн группу
Пример:

1) Имеется 3 урны. В первой-4 белых,6 черных шаров,во второй-3 и 5,в третьей только белые. К одной из урн подх и выним шар. Какова вероятность вытащить белый?

1. Обозн событий:

А-событие, что вынутый шар белый

Н₁— гипотеза,шар вынут из 1 урны, Н₂-из второй, Н₃-из третьей.

2. Расчет формула:

Р(А)=S(сверху 3,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i) *3-т.к. 3 урны

3. Расчеты:

Р(Н₁)= Р(Н₂)= Р(Н₃)=1/3- вероятность что он подойдет к урне

Р(А/Н₁)=4:(4+6)=0,4(40%)

Р(А/Н₂)=3/8

Р(А/Н₃)=1

Р(А)=1/3*4/10+1/3*3/8+1/3*1=59%

*59% означают,что при проведении достаточно большого кол-ва опятов в одинак условиях в средем в 59 случаях из 100 будет вынут белый шар.

2) Из 2х швейных фабрик поступ на базу внешне одинак изделия. С 1ой фабрики поступ втрое больше изделий,чем со второй. Вероятность брака изд с первой фабрике 0,1, со второй 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделии окаж НЕ браков.

1. А-событие, что изделие вытащ из урны БЕЗ брака

Н₁-гипотеза,что изд будет с первой фабрики, Н₂-со второй

2. Расчетная формула: Р(А)=S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i) *2-т.к. 2 фабрики

3. Р(Н₁)* Р(Н₂)=3/4*1/4

Р(А/Н₁)=1-0,1=0,9 – вероятность без брака, а нам дан брак, значит 1-…

Р(А/Н₂)=1-0,05=0,95

Р(А)=9/10*3/4+1/4*95/100=91%

 

3) Предприятие выпуск за смену изделие 3х видов в кол-ве 160,430,360 шт. каждого вида. ОТК ставит штамп «Брак» или «Экспорт». Найти вероятность того,что наудачу взятое изделие пойдет на экспорт,если вероятность этого для каждого изделия вида 1,2,3=0.9, 0,8 и 0,6 соотв-но.

1. А-событие, что изделие пойдет на экспорт

Н₁-гипотеза,изделие 1ого вида Н₂-2ого вида Н₃-3его вида

2. Р(А)=S(сверху 3,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i) *3-т.к. 3 вида изделий

3. Р(Н₁)=160/950

Р(Н₂)= 430/950

Р(Н₃)=360/950

Р(А)= 160/950*0,9+430/950*0,8+360/950*0,6=74%

Теорема гипотез (формула Байеса)

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

 

Формула Байеса исп д/определ вероятности гипотезы после испытания,когда событие А УЖЕ имело место.

Если событие А уже произошло,какие-то гипотезы отпадут,значит уменьшится их кол-во. А след-но каким-то образом изменятся их вероятности.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания собятия А,кот уже произошло опред по формуле:

Р(Н_i /А)= (Р(Н_i)× Р(А/Н_i)):(S(сверху n,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i))

Вероятность равна произведению вероятности до испытания на условную вероятность события делить на полную вероятность события.

Пример:

1) В пирамиде 5 винтовок.3-с оптикой,2-без.Вероятность попад из оптич винт-0,95,без-0,7. После выстрела из наугад взятой винтовки мишень оказалась поражена. Что вероятнее: стреляли из винт с оптикой или без?

1. Обозн событий и их вероятностей:

А-событие попадания в цель

Н₁-гипотеза,из опт винтовки

Н₂-без оптики

2. Расчетн формулы:

Вероятность гипотезы Н_i до испытания на условную вероятность события,делить на полн вероятность события:

Р(Н₁ /А)= (Р(Н₁)× Р(А/Н₁)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i))

Р(Н₂ /А)= (Р(Н₂)× Р(А/Н₂)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i))

3. Расчеты:

Р(Н₁)=3/5 *3-винт с оптикой,5-всего винтовок

Р(Н₂)=2/5

Р(А/Н₁)=95/100

Р(А/Н₂)=70/100

Р(Н₁ /А)=(3/5*95/100):( 3/5*95/100+2/5*70/100)=57/85

Р(Н₂ /А)=( 2/5*70/100):( 3/5*95/100+2/5*70/100)=28/85

Ответ:Вероятнее что стреляли из оптич винтовки.

2) С 3х конвееров поступ на склад детали в кол-ве 150,300,350 шт. вероятность брака 0,3 0,2 0,2. Наудачу взятая дет НЕбрак. Найти вероятность того,что деталь с третьего конвеера.

1. А-событие что деталь небрак

Н₁-гипотеза,что с первого конвеера

Н₂-со второго

Н₃-с третьего.

2. Р(Н₃ /А)= (Р(Н₃)× Р(А/Н₃)):(S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i))

3. Р(Н₁)=m/n=150/(150+300+350)=150/800

Р(Н₂)= 300/800

Р(Н₃)=350/800

Р(Н₁)+Р(Н₂)+Р(Н₃)=1

Р(А/Н₁)=1-0,3=0,7

Р(А/Н₂)=1-0,2=0,8

Р(А/Н₃)=1-0,2=0,8 *0,7 0,8 0,8-имела место та или иная гипотеза.

Р(Н₃ /А)=(7/16*8/10):(3/16*7/10+3/8*8/10+7/16*8/10)=44,8%



infopedia.su

1. Предмет теории вероятностей. Понятие случайного события.

В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Случайным событием (просто событием) называется любой факт, который в результате может произойти или не произойти.

2. Основные типы событий, алгебра событий.

События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие– событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие– событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие– событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

Алгебра событий.

Суммой А+Вдвух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В.

Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Назовем все возможные результаты данного опыта его исходамии предположим, что множество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов,благоприятных событию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множество исходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множеств исходов, благоприятных событиям А или В (рис. 1).

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогичнопроизведением нескольких событийназывается событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.

Разностью А\Bсобытий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

Рис.3.

Введем еще несколько категорий событий.

События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называютсянесовместными.

Говорят, что события А₁, А₂,…,А_п образуютполную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.

В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называютэлементарными событиями.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.

3.Понятие вероятности события. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности. Свойства вероятностей.

При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта. Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью событияи является вторым основным понятием теории вероятностей.

Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,

а) попарно несовместны;

б) равновозможны;

в) образуют полную группу,

то говорят, что имеет место схема случаев.

Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта. Пусть их число равно п( число возможных исходов), а притиз них происходит некоторое событие А (число благоприятных исходов).

Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:

— (1.1)

1. классическое определение вероятности.

Свойства вероятности.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно,

Р(А)= 1.

Свойство 2.Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благопри-ятным, поэтому т= 0 ир(А)= 0.

Свойство 3.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 <m < n, и из (1.1) следует, что 0 <p(A) < 1.

Если требуется определять вероятность события иным образом, то введем вначале понятие относительной частотыW(A)событияAкак отношения числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний:

(1.2)

где N– общее число опытов,М– число появлений события А.

2. Статистической вероятностью событиясчитают его относительную частоту или число, близкое к ней.

Из формулы (1.2) следует, что свойства вероятности, доказанные для ее классического определения, справедливы и для статистического определения вероятности.

Для существования статистической вероятности события Атребуется:

1. возможность производить неограниченное число испытаний;

2. устойчивость относительных частот появления Ав различных сериях достаточно большого числа опытов.

3.Недостатком статистического определения является неоднозначность статистической вероятности.

3. Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным количеством исходов. В таких случаях можно воспользоваться понятием геометрической вероятности.

Пусть на отрезок Lнаудачу брошена точка. Это означает, что точка обязательно попадет на отрезокLи с равной возможностью может совпасть с любой точкой этого отрезка. При этом вероятность попадания точки на любую часть отрезкаL не зависит от расположения этой части на отрезке и пропорциональна его длине. Тогда вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезокl, являющийся частью отрезкаL, вычисляется по формуле:

(2.1)

где l – длина отрезка l, аL – длина отрезкаL.

Можно дать аналогичную постановку задачи для точки, брошенной на плоскую область Sи вероятности того, что она попадет на часть этой областиs:

(2.1`)

где s – площадь части области, а S – площадь всей области.

В трехмерном случае вероятность того, что точка, случайным образом расположенная в теле V, попадет в его часть v, задается формулой:

(2.1«)

где v – объем части тела, а V – объем всего тела.

4. Элементы комбинаторики. Схемы выбора без возвращения и с возвращением.

При вычислении вероятностей часто приходится использовать некоторые формулы комбинаторики– науки, изучающей комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества. Определим основные такие комбинации.

Перестановки – это комбинации, составленные из всехпэлементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок

Р_п = п!

Размещения– комбинации изтэлементов множества, содержащегопразличных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений

(1.4)

Сочетания– неупорядоченные наборы изтэлементов множества, содержащегопразличных элементов (то есть наборы, отличающиеся только составом элементов). Число сочетаний

(1.5)

studfiles.net

Понятие случайного события и вероятности /qualihelpy

Опытом (испытанием, экспериментом) называют осуществление комплекса условий или действий, при которых наблюдается соответствующее явление. 

Событие – возможный результат опыта. Если событие не разбивается на более простые составляющие, то его называют элементарным. Для обозначения событий используют любую заглавную букву или набор букв, например:  ,  ,  ,  и т.п.

Например, в результате игры в шахматы могут произойти следующие события: «выигрыш», «проигрыш», «ничья».

События равновозможные, если нет оснований полагать, что у одного события есть больше шансов появиться, чем у другого.

Например, при подбрасывании монеты события  (появление на верхней стороне монеты орла) и  (появление решка) будут равновозможными, если монета не деформирована.

Различают:

а) достоверные события, которые обязательно произойдут в данном опыте; 

б) случайные события, которые могут произойти, а могут и не произойти в данном опыте;

в) невозможные события, которые никогда не произойдут в данном опыте.

Достоверные события, как правило, обозначают буквой  , а невозможные буквой  .

Например, из урны, в которой находятся красные и синие шары, наудачу извлекается один шар. Событие «появление синего шара» – случайное, «появление не белого шара» – достоверное, «появление не красного шара» – случайное, «появление черного шара» –  невозможное.

Два события называют совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появления и другого. 

Например, если подбросить две монеты, то события  «появилась решка» и событие  «появился орел» будут совместными. Если же подбросить одну монету, то события  и  будут несовместными.Два события называют противоположными в данном опыте, если появление одного из них равносильно не появлению другого. Обозначают:  и  . Например, «выигрыш» и «проигрыш» лотерейного билета.

Множество событий называют полной группой событий, если они попарно несовместны и появление одного и только одного из них является достоверным событием. 

Вероятностью события называют числовую характеристику, определяющую степень возможности интересующего результата в условиях проводимого опыта. 

Вероятность события  обозначают  .

Определения вероятности появления события.

1. Классическое: 

 , (10.1)где  – количество всевозможных исходов опыта, которые образуют полную группу событий,  – количество исходов, благоприятствующих появлению события .Например, если подбросить монету, то вероятности событий  «появилась решка» и  «появился орел», будут равны:   ,   .

2. Статистическое (относительная частота события): 

 , (10.2)где  – количество проведенных опытов,  – количество опытов, в которых появилось событие  .

Свойства вероятностей

1. Вероятность достоверного события равна  , так как   .2. Вероятность невозможного события рана  , так как   .3. Вероятность случайного события   , так как   . 

Следовательно, вероятность любого события удовлетворяет неравенствам:

 . (10.3)

helpy.quali.me