График функции y = 1-sign(sin(x)-cos(x))
Решение
f(x) = 1 - sign(sin(x) - cos(x))
$$f{\left (x \right )} = — \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} \right )} + 1$$
Точки пересечения с осью координат X[LaTeX]
График функции пересекает ось X при f = 0значит надо решить уравнение:
$$- \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} \right )} + 1 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:
Численное решение
$$x_{1} = 76.25$$
$$x_{2} = 52$$
$$x_{3} = 54$$
$$x_{4} = 66$$
$$x_{5} = 60$$
$$x_{6} = 16$$
$$x_{7} = 20$$
$$x_{8} = 34$$
$$x_{9} = 2$$
$$x_{10} = 70$$
$$x_{11} = -72$$
$$x_{12} = -60$$
$$x_{13} = -11.75$$
$$x_{14} = 96$$
$$x_{15} = 78$$
$$x_{16} = -78$$
$$x_{17} = -48$$
$$x_{18} = 40$$
$$x_{19} = -55.75$$
$$x_{21} = -24$$
$$x_{22} = 32.25$$
$$x_{23} = 22$$
$$x_{24} = 58$$
$$x_{25} = 26$$
$$x_{26} = 28$$
$$x_{27} = -66$$
$$x_{28} = 8$$
$$x_{29} = -16$$
$$x_{30} = -34$$
$$x_{31} = -42$$
$$x_{32} = -22$$
$$x_{33} = -68$$
$$x_{34} = -4$$
$$x_{35} = 84$$
$$x_{36} = -86$$
$$x_{37} = 72$$
$$x_{38} = 98$$
$$x_{39} = -62$$
$$x_{40} = -54$$
$$x_{41} = 90$$
$$x_{42} = 64$$
$$x_{43} = -18$$
$$x_{44} = 14$$
$$x_{45} = 10$$
$$x_{46} = -98$$
$$x_{47} = -28$$
$$x_{48} = -74$$
$$x_{49} = -80$$
$$x_{50} = -36$$
$$x_{51} = -92$$
$$x_{52} = -30$$
$$x_{53} = -10$$ Точки пересечения с осью координат Y
[LaTeX]
График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в 1 — sign(sin(x) — cos(x)).
$$1 — \operatorname{sign}{\left (- \cos{\left (0 \right )} + \sin{\left (0 \right )} \right )}$$
Результат:
$$f{\left (0 \right )} = 1 — \frac{- \cos{\left (0 \right )} + \sin{\left (0 \right )}}{- \sin{\left (0 \right )} + \cos{\left (0 \right )}}$$
Точка:
(0, 1 - (sin(0) - cos(0))/(-sin(0) + cos(0)))Горизонтальные асимптоты
[LaTeX]
Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo$$\lim_{x \to -\infty}\left(- \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} \right )} + 1\right) = \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} + \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} + 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты слева:
$$y = \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} + \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} + 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} \right )} + 1\right) = — \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} — \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} + 1$$
значит,
уравнение горизонтальной асимптоты справа:
$$y = — \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (\tilde{\infty} \right )} — \cos{\left (\tilde{\infty} \right )} \right )} + 1$$ Наклонные асимптоты
[LaTeX]
Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции 1 — sign(sin(x) — cos(x)), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
Предел слева не удалось вычислить
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} \right )} + 1\right)\right)$$
Предел справа не удалось вычислить
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{x} \left(- \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} \right )} + 1\right)\right)$$
[LaTeX]
Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$- \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} \right )} + 1 = — \operatorname{sign}{\left (- \sin{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} \right )} + 1$$
— Нет
$$- \operatorname{sign}{\left (\sin{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} \right )} + 1 = — -1 \operatorname{sign}{\left (- \sin{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} \right )} — 1$$
— Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной
www.kontrolnaya-rabota.ru
| 1 | sin(30) | ||
| 2 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 3 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 4 | Найти точное значение | sin(30 град. ) | |
| 5 | Найти точное значение | sin(60 град. ) | |
| 6 | Найти точное значение | tan(30 град. ) | |
| 7 | Найти точное значение | arcsin(-1) | |
| 8 | Найти точное значение | sin(pi/6) | |
| 9 | Найти точное значение | cos(pi/4) | |
| 10 | Найти точное значение | sin(45 град. ) | |
| 11 | Найти точное значение | sin(pi/3) | |
| 12 | Найти точное значение | arctan(-1) | |
| 13 | Найти точное значение | cos(45 град. ) | |
| 14 | Найти точное значение | cos(30 град. ) | |
| 15 | tan(60) | ||
| 16 | Найти точное значение | csc(45 град. ) | |
| 17 | Найти точное значение | tan(60 град. ) | |
| 18 | Найти точное значение | sec(30 град. ) | |
| 19 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 20 | График | y=sin(x) | |
| 21 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 22 | Найти точное значение | cos(60 град. ) | |
| 23 | Найти точное значение | cos(150) | |
| 24 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 25 | Найти точное значение | sin(30) | |
| 26 | Найти точное значение | sin(60) | |
| 27 | Найти точное значение | cos(pi/2) | |
| 28 | Найти точное значение | tan(45 град. ) | |
| 29 | y=sin(x) | ||
| 30 | Найти точное значение | arctan(- квадратный корень 3) | |
| 31 | Найти точное значение | csc(60 град. ) | |
| 32 | Найти точное значение | sec(45 град. ) | |
| 33 | Найти точное значение | csc(30 град. ) | |
| 34 | Найти точное значение | sin(0) | |
| 35 | Найти точное значение | sin(120) | |
| 36 | Найти точное значение | cos(90) | |
| 37 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/3 | |
| 38 | Найти точное значение | sin(45) | |
| 39 | Найти точное значение | tan(30) | |
| 40 | Преобразовать из градусов в радианы | 45 | |
| 41 | Найти точное значение | tan(60) | |
| 42 | Упростить | квадратный корень x^2 | |
| 43 | Найти точное значение | cos(45) | |
| 44 | Упростить | sin(theta)^2+cos(theta)^2 | |
| 45 | Преобразовать из радианов в градусы | pi/6 | |
| 46 | Найти точное значение | cot(30 град. ) | |
| 47 | Найти точное значение | arccos(-1) | |
| 48 | Найти точное значение | arctan(0) | |
| 49 | График | y=cos(x) | |
| 50 | Найти точное значение | cot(60 град. ) | |
| 51 | Преобразовать из градусов в радианы | 30 | |
| 52 | Упростить | ( квадратный корень x+ квадратный корень 2)^2 | |
| 53 | Преобразовать из радианов в градусы | (2pi)/3 | |
| 54 | Найти точное значение | sin((5pi)/3) | |
| 55 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 56 | Найти точное значение | sin((3pi)/4) | |
| 57 | Найти точное значение | tan(pi/2) | |
| 58 | Найти угол А | tri{}{90}{}{}{}{} | |
| 59 | Найти точное значение | sin(300) | |
| 60 | Найти точное значение | cos(30) | |
| 61 | Найти точное значение | cos(60) | |
| 62 | Найти точное значение | cos(0) | |
| 63 | Найти точное значение | arctan( квадратный корень 3) | |
| 64 | Найти точное значение | cos(135) | |
| 65 | Найти точное значение | cos((5pi)/3) | |
| 66 | Найти точное значение | cos(210) | |
| 67 | Найти точное значение | sec(60 град. ) | |
| 68 | Найти точное значение | sin(300 град. ) | |
| 69 | Преобразовать из градусов в радианы | 135 | |
| 70 | Преобразовать из градусов в радианы | 150 | |
| 71 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/6 | |
| 72 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/3 | |
| 73 | Преобразовать из градусов в радианы | 89 град. | |
| 74 | Преобразовать из градусов в радианы | 60 | |
| 75 | Найти точное значение | sin(135 град. ) | |
| 76 | Найти точное значение | sin(150) | |
| 77 | Найти точное значение | sin(240 град. ) | |
| 78 | Найти точное значение | cot(45 град. ) | |
| 79 | Преобразовать из радианов в градусы | (5pi)/4 | |
| 80 | Упростить | 1/( кубический корень от x^8) | |
| 81 | Найти точное значение | sin(225) | |
| 82 | Найти точное значение | sin(240) | |
| 83 | Найти точное значение | cos(150 град. ) | |
| 84 | Найти точное значение | tan(45) | |
| 85 | Вычислить | sin(30 град. ) | |
| 86 | Найти точное значение | sec(0) | |
| 87 | Упростить | arcsin(-( квадратный корень 2)/2) | |
| 88 | Найти точное значение | cos((5pi)/6) | |
| 89 | Найти точное значение | csc(30) | |
| 90 | Найти точное значение | arcsin(( квадратный корень 2)/2) | |
| 91 | Найти точное значение | tan((5pi)/3) | |
| 92 | Найти точное значение | tan(0) | |
| 93 | Вычислить | sin(60 град. ) | |
| 94 | Найти точное значение | arctan(-( квадратный корень 3)/3) | |
| 95 | Преобразовать из радианов в градусы | (3pi)/4 | |
| 96 | Вычислить | arcsin(-1) | |
| 97 | Найти точное значение | sin((7pi)/4) | |
| 98 | Найти точное значение | arcsin(-1/2) | |
| 99 | Найти точное значение | sin((4pi)/3) | |
| 100 | Найти точное значение | csc(45) |
www.mathway.com
построение графика синуса | математика-повторение
На этом и последующих занятиях мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим три тригонометрических неравенства вида sint<a. Вот они:
Составим алгоритм решения.
1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.
2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint и y=a.
3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.
4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).
5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.
Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.
Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).
Вот как будет выглядеть координатная плоскость.
Эти точки мы взяли из таблицы значений синуса. Также используем свойство нечетности функции y=sinx (sin (-x)=-sinx), периодичность синуса (наименьший период Т=2π) и известное равенство: sin (π-x)=sinx. Проводим синусоиду
. Проводим прямую.
Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.
Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.
Решим второе неравенство.
Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1 клетку вниз.
Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.
Записываем промежуток значений введенной переменной t. Возвращаемся к первоначальному значению аргумента (2х). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х. Записываем ответ в виде числового промежутка.
Аналогично решаем и третье неравенство.
В выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции синуса, запишем в виде двойного неравенства значения t. Затем вместо t подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать х из полученного двойного неравенства.
Ответ запишем в виде числового промежутка.
Смотрите видео: 10.2.1. Решение тригонометрических неравенств вида: sinx<a графическим способом.
И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!
Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!
ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint<a (-1≤а≤1) справедлива формула:
— π — arcsin a + 2πn < t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!
Вывод: УЧИТЕ ФОРМУЛЫ, ДРУЗЬЯ!
www.mathematics-repetition.com