Интеграл от дроби, все формулы и примеры
Нужно запомнить, что интеграл от дроби не равен интегралу числителя, деленному на интеграл знаменателя:
Для интегрирования подобных выражений существует несколько методов, которые зависят от вида подынтегральной функции.
Первый метод вычисления интеграла от дроби
Подынтегральная функция является отношением двух многочленов и представляет собою неправильную дробь (степень числителя больше или равна степени знаменателя). Тогда нужно выделить целую часть, для этого в числителе либо нужно выделить выражение, стоящее в знаменателе, либо поделить числитель на знаменатель в столбик.
Замечание. Если степень многочлена, стоящего в числителе, большее степени многочлена, стоящего в знаменателе, то рациональнее для выделения целой части делить числитель на знаменатель в столбик.
Второй метод
Для дробей типа
применяется метод замены переменной или заданный интеграл сводится к табличным.
Третий метод вычисления интеграла от дроби
Интегралы вида
находятся с помощью выделения полного квадрата в знаменателе, что позволит свести их к табличным интегралам.
Четвертый метод
Для интегралов вида
применяется следующий подход. В числителе выделяется производная знаменателя, далее дробь почленно делится: получаем сумму двух интегралов, в числителе одного из них стоит производная знаменателя, а второго – константа. Первый из интегралов находится методом замены, метод нахождения второго описан выше.
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com
Как решать интегралы 🚩 зачем нужны интегралы 🚩 Математика
Автор КакПросто!
Основой математического анализа является интегральное счисление. Это один из наиболее сложных разделов курса высшей математики. Вся трудность состоит в том, что не существует единого алгоритма, по которому можно было бы решать все интегралы.
Статьи по теме:
Инструкция
Интегрирование — это операция, которая противоположна дифференцированию. Поэтому, если вы хотите хорошо научиться интегрировать, то вам сначала необходимо научиться находить от любых функций производные. Научиться этому можно достаточно быстро. Ведь есть специальная таблица производных. При ее помощи уже можно решать простые интегралы. А есть и таблица основных неопределенных интегралов. Она представлена на рисунке.
Теперь нужно запомнить самые основные свойства интегралов, приведенные ниже. 
Интеграл от суммы функций лучше всего раскладывать на сумму интегралов. Это правило чаще всего применяется, когда слагаемые функции достаточно простые, если их можно найти при помощи таблицы интегралов.Есть один очень важный метод. Согласно этому методу функция вносится под дифференциал. Им особенно хорошо пользоваться в случаях, если перед внесением под дифференциал, от функции берем производная. Затем она ставится вместо dx. Таким способом получается df(x). Этим способом легко можно добиться того, что даже функцией под дифференциалом можно пользоваться как обычной переменной.
Еще одна основная формула, без которой очень часто просто не обойтись — это формула интегрирования по частям: Integral(udv)=uv-Integral(vdu). Эта формула эффективна в том случае, если в задании требуется найти интеграл от произведения двух элементарных функций. Конечно можно использовать обычные преобразования, но это трудно и занимает много времени. Поэтому взять интеграл с помощью этой формулы намного проще.
Полезный совет
Решить интеграл — это значит проинтегрировать по переменной заданную функцию. Если вид интеграла стандартный, то можно сказать, что он почти решен. Если же он имеет более сложную запись, то основной задачей при нахождении интеграла от функции становится приведение его к табличной форме.
Совет полезен?
Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:
www.kakprosto.ru
Что такое интеграл — это умножение
Интегралы чаще всего описываются как “площадь под кривой”. Это описание сбивает с толку. Точно также, как если сказать, что умножение — это “нахождение площади прямоугольника”. Нахождение площади — это одно из полезных применений умножения, но не его суть. Интегралы помогают нам комбинировать числа тогда, когда умножение бессильно.
Так я размышлял про себя на парах математики в ВУЗе:
“Интегралы позволяют нам ‘умножать’ изменяющиеся числа. Мы привыкли к “3 × 4 = 12”, но что если одно из чисел изменяется? Мы не можем умножать меняющиеся числа, поэтому используем интегралы вместо умножения.
Вы услышите много разговоров насчет площади — но это всего лишь один из способов визуализировать умножение. Ключом является не площадь, а идея объединения множеств воедино. Конечно, мы можем интегрировать (“умножать”) длину и ширину, чтобы получить площадь на плоскости. Но мы также можем интегрировать скорость и время, чтобы получить расстояние, или длину, ширину и высоту для получения объема.
Когда мы хотим использовать обычное умножение, но не можем, мы достаем свое оружие и начинаем интегрировать. Площадь — это всего лишь прием визуализации, не зацикливайтесь на нем слишком сильно. А теперь давайте учить математику!”
И вот он, мой момент истины: интегрирование — это улучшенная версия умножения, которая работает с изменяющимися величинами. Давайте изучать интегралы в таком свете.
Понятие умножения
Вот как во все времена и эпохи понимали умножение:
- Если речь идет о натуральных числах (3 × 4), умножение — это повторяющееся сложение.
- С вещественными числами (3.12 × √2 ), умножение — это масштабирование.
- В случае с отрицательными числами (-2.3 × 4.3), умножение — это поворот и масштабирование.
- С комплексными числами (3 × 3i), умножение выступает вращением и масштабированием.
Мы ходим вокруг да около “применения” одного числа к другому, и действия, которые мы применяем (повторное суммирование, масштабирование, зеркальное отображение или вращение), могут быть разными. Интегрирование — это всего лишь еще один шаг в этом направлении.
Понятие площади
Площадь — очень тонкое понятие. На данный момент, давайте представим площадь как визуальную интерпретацию умножения:
Мы можем “применять” числа на разных осях друг к другу (3 применяется к 4) и получить результат (12 единиц площади). Свойства каждого вводного значения (длина и длина) превратились в результат (единицы площади).
Легко, правда? Не так, как кажется на первый взгляд. Умножение может привести к “отрицательному результату” (3×(-4) = -12), которого не существует.
Мы понимаем график как представление умножения, и используем эту аналогию из-за удобства. Если бы все были слепыми, и в мире не существовало диаграмм, мы бы все равно хорошо справлялись с умножением. Площадь — это всего лишь интерпретация.
Умножение по частям
А теперь давайте умножим 3 × 4.5:
Что происходит? Ну, 4.5 — это не целочисленное число, но мы же можем воспользоваться “частичным” умножением. Если 3×4 = 3 + 3 + 3 + 3, то
3 × 4.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3×0.5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 1.5 = 13.5
Мы берем 3 (значение) 4.5 раза. Таким образом, мы объединили 3 с 4 полными сегментами (3 × 4 = 12), а также одним частичным сегментом (3 × 0.5 = 1.5).
Мы так привыкли к умножению, что даже забываем, как здорово оно работает. Мы можем разбить число на единицы (целые или частичные), умножать каждый кусочек и складывать результаты. Заметьте, как мы легко расправились с дробной частью? Это и есть начало интегрирования.
Проблема с числами
Числа не всегда ведут себя постоянно для наших расчетов. Сценарии типа “Вы ехали 3 часа со скоростью 30 км/ч” не имеют ничего общего с реальностью. Так условия описываются просто для удобства.
Формулы по типу “расстояние = скорость × время” только маскируют проблему; нам все еще нужно брать постоянные числа и умножать. А как узнать пройденное расстояние, если наша скорость постоянно изменялась во времени?
Описываем изменение
Первым испытанием для нас будет описание изменяющегося числа. Мы можем просто сказать: “Моя скорость менялась с 0 до 30 км/ч”. Это не совсем точно: как быстро она изменялась? Были ли изменения плавными?
Давайте будем точны: моя скорость в каждый момент времени равнялась удвоенному количеству секунд. В 1 секунду я двигался со скоростью 2 км/ч. Во 2 секунду скорость уже была 4 км/ч, в 3 секунду — уже 6 км/ч, и так далее:
Вот теперь у нас есть хорошее описание, достаточно подробное, чтобы знать свою скорость в каждый момент времени. Формальное описание звучит как “скорость — это функция времени”, и оно означает, что мы можем взять любой момент времени (t) и узнать нашу скорость в тот момент (“2t” км/ч).
(Это, конечно, не дает ответа на вопрос, почему скорость и время связаны. Я могу ускоряться за счет гравитации, или ослик может толкать меня сзади. Мы всего лишь установили, что с изменением времени изменяется и скорость).
Наше произведение “расстояние = скорость × время”, возможно, лучше написать так:
расстояние = скорость(t) × t
где скорость (t) — это скорость в любой момент времени. В нашем случае скорость (t) = 2t, так что мы пишем:
расстояние = 2t × t
Но это уравнение выглядит странно! “t” по-прежнему выглядит как единичный момент, который нужно выбирать (например, t=3 секунды), а значит и скорость (t) примет единичное значение (6 км/ч). А это нехорошо.
При обычном умножении, мы можем взять одну скорость и предположить, что она одинаковая во всем прямоугольнике. Но изменяющаяся скорость требует совмещения скорости и времени по частям (секунда за секундой). В каждый момент ситуация может быть разной.
Вот как это выглядит в большой перспективе:
- Обычное умножение (прямоугольник): берем расстояние, на которое мы продвинулись за секунду, предполагая, что эта величина была постоянной во все последующие секунды движения, и “масштабируем ее”.
- Интегрирование (по частям): рассматриваем время как ряд мгновений, в каждое из которых скорость разная. Суммируем расстояния, пройденные посекундно.
Мы видим, что обычное умножение — это частный случай интегрирования, когда количество пройденных метров не изменяется.
Насколько большая эта “часть”?
Насколько велика “часть”, при прохождении дистанции по частям? Секунда? Миллисекунда? Наносекунда?
Ответ навскидку: достаточно мала, чтобы значение было постоянным все время. Нам не нужна идеальная точность.
Более длинный ответ: такие понятия, как пределы, были придуманы, чтобы помочь в покусочном умножении. Принося пользу, они просто решают проблему и отвлекают от сути “объединения величин”. Мне очень не нравится, что пределы проходят в самом начале матанализа, еще перед тем, как студенты вникнут в проблему, которую они решают.
А что по поводу начала и конца?
Скажем, мы исследуем интервал от 3 до 4 секунд.
Скорость вначале (3×2 = 6 км/ч) отличается от скорости в конце (4×2 = 8 км/ч). Так какое же значение мне брать при вычислении “скорости × время”?
Решением будет разбить наши кусочки времени на достаточно мелкие отрезки (от 3.00000 до 3.00001 секунд), пока разность скоростей от начала до конца интервала будет для нас незначительной. Опять же, это более длинный разговор, но “поверьте мне”, что это временной отрезок, который делает разницу незначительной.
На графике представьте, что каждый интервал — это одна точка на прямой. Вы можете нарисовать ровную линию к каждой скорости, и ваша “площадь” будет представлять собой множество отрезков, которое и будет измерять умножение.
Где же “часть”, и каково ее значение?
Разделение части и ее значения далось мне нелегко.
“Часть” — это интервал, который мы рассматриваем (1 секунда, 1 миллисекунда, 1 наносекунда). “Позиция” — это то, где начинается секундный, миллисекундный или наносекундный интервал. Значение — это наша скорость в той позиции.
Например, рассмотрим интервал от 3.0 до 4.0 секунд:
- “Ширина” отрезка времени составляет 1.0 секунду
- Позиция (начальное время) равно 3.0
- Значение (скорость(t)) — это скорость(3.0) = 6.0 км/ч
Опять же, матанализ учит нас сокращать интервал до тех пор, пока разница между значениями в начале и конце интервала будет на столько мала, что ею можно пренебречь, считая этот интервал «точкой». Не выпускайте из вида большую картинку: мы умножаем набор частей.
Понимание записи интеграла
У нас есть здравая идея “покусочного умножения”, но мы никак не можем ее выразить. “Расстояние = скорость(t) × t” все еще выглядит, как обычное уравнение, где t и скорость(t) принимают одно единственное значение.
В матанализе мы пишем это соотношение как
расстояние = ∫скорость(t)dt
- знак интеграла (s-образная кривая) означает, что мы умножаем покусочно и суммируем значения в одно.
- dt представляет временной “интервал”, который мы рассматриваем. Его называют “дельта t” а не “d раз по t”.
- t представляет положение dt (если dt — это промежуток от 3.0 до 4.0, то t равно 3.0)
- скорость(t) — это значение, на которое мы умножаем (скорость(3.0) = 6.0))
У меня есть парочка претензий к этой записи:
- То, как здесь используются буквы, немного смущает. “dt” выглядит как “d раз по t” в отличие от любого уравнения, которое вы ранее видели.
- Мы пишем скорость(t) × dt, вместо скорость(t_dt) × dt. Последний вариант четко указывает, что мы исследуем “t” на конкретном участке “dt”, а не какое-то глобальное “t”
- Вы часто встретите ∫скорость(t), без dt. Это вообще помогает легко забыть, что мы выполняем покусочное умножение двух элементов.
Похоже, уже поздно менять форму записи интегралов. Просто запомните эту идею насчет “умножения” чего-то, что изменяется.
Как это понимать
Когда я вижу вот это:
расстояние = ∫скорость(t)dt
Я думаю “Расстояние равно скорости t раз (читая левую часть первой) или “совместите скорость и время, чтобы получить расстояние” (читая правую часть первой).
В уме я перевожу “скорость(t)” как скорость и “dt”, и это превращается в умножение, при условии, что скорости позволено изменяться. Представление интегрирования подобным образом помогает мне сконцентрироваться на том, что на самом деле происходит (“Мы совмещаем скорость и время, чтобы получить расстояние!”) вместо зацикливания на деталях действия.
Бесплатный сюрприз: новые идеи
Интегралы — это очень глубокая идея, также, как и умножение. У вас могло появиться много вопросов, основанных на этой аналогии:
- Если интегралы умножают изменяющиеся величины, есть ли что-то, что делит их? (ДА — производные).
- Являются ли интегралы (умножение) и производные (деление) взаимообратными? (Да, с некоторыми тонкостями).
- Можем ли мы преобразовать уравнение “расстояние = скорость × время” в “скорость = расстояние / время”? (Да).
- Можем ли мы совмещать несколько величин одновременно? (Да — это называется многократное интегрирование).
- Влияет ли как-то порядок совмещения на результат? (Обычно нет).
Как только вы начнёте воспринимать интегралы как “улучшенное умножение”, вы сразу начнете задумываться о таких вещах, как “улучшенное деление”, “повторное интегрирование” и так далее. Застряв на “площади под кривой”, вы не уловите связи между этими темами. (Математических заучек видение “площади под кривой” и “угла наклона кривой” обратными понятиями ставит в тупик).
Как читать интегралы
У интегралов масса применений. Одним из них является объяснение того, что две величины были “умножены” для получения результата.
Вот как мы представляем площадь круга с помощью интегралов:
Площадь = ∫Длина окружности (r) · dr = ∫2πr · dr = π · r2
Нам бы очень хотелось взять площадь кривой умножением. Но мы не можем — высота изменяется в каждой ее точке. Если мы “развернем” круг, мы увидим, что частичка площади под каждой порцией радиуса будет равна “радиус × отрезок окружности”. Мы можем описать эту связь с помощью интеграла (как описано выше).
А вот как интеграл описывает идею, что “масса = плотность × объем”:
масса = ∫V ρ(r) ∙ dv
Что здесь сказано? Греческая буква «ро» («ρ») — это функция плотности, которая говорит нам, насколько плотен материал в определенном положении. Так, r∙dv — это частичка объема, который мы рассматриваем. Так что мы умножаем маленький кусочек объема (dv) на плотность в том интервале ρ(r), и потом складываем все эти части, чтобы получить массу.
Мы привыкли просто умножать плотность на объем, но если плотность изменяется, то нужно интегрировать. Индекс V просто означает “интеграл объема”, что по сути является тройным интегралом длины, ширины и высоты! Интеграл предполагает четыре “умножения”: 3 для поиска объема, и еще одно для умножения на плотность.
Что это нам дало?
Сегодняшней целью было не научное понимание интегральных исчислений. Наша цель — расширить модель мышления, и получить представление об интеграле как о надстройке над такими низкоуровневыми операциями как сложение, вычитание, умножение и деление.
Рассматривайте интегралы как улучшенный способ умножения: вычисления станут проще, и вам под силу станут понятия типа кратного интеграла и производной. Приятных вычислений!
Перевод статьи «A Calculus Analogy: Integrals as Multiplication».
zero2hero.org
11-а, Решение интегралов
Решение интегралов. Рассказываем, как решать интегралы.
Интеграл – расширенное математическое понятие суммы. Решение интегралов или их нахождение называется интегрированием. Пользуясь интегралом можно найти такие величины, как площадь, объем, массу и другое. Решение интегралов (интегрирование) есть операция обратная диференциированию. Чтобы лучше представлять, что есть интеграл, представим его в следующей форме. Представьте. У нас есть тело, но пока не можем описать его, мы только знаем какие у него элементарные частицы и как они расположены. Для того, чтобы собрать тело в единое целое необходимо проинтегрировать его элементарные частички – слить части в единую систему. В геометрическом виде для функции y=f(x), интеграл представляет собой площадь фигуры ограниченной кривой, осью х, и 2-мя вертикальными линиями х=а и х=b .
Так
вот площадь закрашенной области, есть
интеграл от функции в пределах от a до
b.
Не верится? Проверим на любой функции.
Возьмем простейшую у=3. Ограничим функцию
значениями а=1 и b=2. Построим:
Итак
ограниченная фигура прямоугольник.
Площадь прямоугольника равна произведению
длины на ширину. В наше случае длина 3,
ширина 1, площадь 3*1=3.
Попробуем решить
тоже самое не прибегая к построению,
используя интегрирование:Как
видите ответ получился тот же. Решение
интегралов – это собирание во едино
каких-либо элементарных частей. В случае
с площадью суммируются полоски бесконечно
малой ширины. Интегралы могут быть
определенными и неопределенными.
Решить
определенный интеграл значит найти
значение функции в заданных границах.
Решение неопределенного интеграла
сводиться к нахождению первообразной.F(x)
– первообразная. Дифференцируя
первообразую, мы получим исходное
подинтегральное выражение. Чтобы
проверить правильно ли мы решили
интеграл, мы дифференциируем полученный
ответ и сравниваем с исходным
выражением.
Основные функции и
первообразные для них приведены в
таблице:
Таблица первообразных для решения интегралов
Основные
приемы решения интегралов:
Решить
интеграл, значит проинтегрировать
функцию по переменной. Если интеграл
имеет табличный вид, то можно сказать,
что вопрос, как решить интеграл, решен.
Если же нет, то основной задачей при
решении интеграла становиться сведение
его к табличному виду.
Сначала следует
запомнить основные свойства интегралов: 
Знание только этих основ позволит решать простые интегралы. Но следует понимать, что большинство интегралов сложные и для их решения необходимо прибегнуть к использованию дополнительных приемов. Ниже мы рассмотрим основные примеры решения интегралов. Приемы будет даны для общего ознакомления
Основные приемы решения интегралов
1.
Замена переменной. 
Для
выполнения данного приема потребуется
хороший навык нахождения производных.
2. Интегрирование по частям. Пользуются следующей формулой. Применения этой формулы позволяет казалось бы нерешаемые интегралы привести к решению.
3. Интегрирование дробно-рациональных функций. — разложить дробь на простейшие- выделить полный квадрат.- создать в числителе дифференциал знаменателя.
4. Интегрирование дробно-иррациональных функций. — выделить под корнем полный квадрат- создать в числителе дифференциал подкоренного выважения. 5. Интегрирование тригонометрических функций.При интегрировании выражений вида применяет формулы разложения для произведения. Для выраженийm-нечетное, n –любое, создаем d(cosx). Используем тождество sin 2+cos2=1 m,n – четные, sin2x=(1-cos2x)/2 и cos2x=(1+cos2x)/2 Для выражений вида: — Применяем свойство tg2x=1/cos2x – 1
1. Разобраться
в сути интегралов.
Необходимо понять базовую сущность
интеграла и его решения. Интеграл по
сути есть сумма элементарных частей
объекта интегрирования. Если речь идет
об интегрирование функции, то интеграл
есть площадь фигуры между графиком
функции, осью х и границами интегрирования.
Если интеграл неопределенный, то есть
границы интегрирования не указаны, то
решение сводиться к нахождению
первобразной. Если интеграл определенный,
то необходимо подставить значения
границ в найденную функцию.
2.
Примеры решения интегралов
Пример 1: Решить интеграл: Интеграл неопределенный. Находим первообразную. Для этого интеграл суммы разложим на сумму интегралов.Каждый из интегралов табличного вида. Смотрим первообразные по таблице. Решение интеграла:Проверим решение(найдем производную):
Пример 2. Решаем интеграл Интеграл неопределенный. Находим первообразную. Сравниваем с таблицей. В таблице нет. Разложить, пользуясь свойствами, нельзя. Смотрим приемы. Наиболее подходит замена переменной. Заменяем х+5 на t5. t5 = x+5 . Получаем. Но dx нужно тоже заменить на t. x= t5 — 5, dx = (t5 — 5)’ = 5t4. Подставляем: Интеграл из таблицы. Считаем:Подставляем в ответ вместо t ,Решение интеграла:
Пример 3. Решение интеграла: Для решения в этом случае необходимо выделить полный квадрат. Выделяем:
В данном случае коэфециент ½ перед интегралом получился в результате замены dx на ½*d(2x+1). Если вы найдете производные x’ = 1 и ½*(2x+1)’= 1, то поймете почему так. В результате мы привели интеграл к табличному виду. Находим первообразную. В итоге получаем:
studfiles.net
Приемы взятия сложных интегралов / Habr
Интeгpaлы, чтo мoжeт быть вeceлee? Hу, вoзмoжнo нe для вcex, нo вce жe, я ужe дaвнo ничeгo нe пocтил тaкoгo cугубo мaтeмaтичecкoгo, тaк чтo пoпpoбую. Этoт пocт – пpo тo кaк бpaть «cлoжныe» интeгpaлы. Этoт пocт пoдpaзумeвaeт чтo читaтeль училcя тaки в шкoлe и знaeт тpивиaльныe пoдxoды (нaпpимep, интегрирование по частям). B пocтe мы будeм oбcуждaть тoлькo интeгpaлы Pимaнa, a нe интeгpaлы Лeбeгa-Cтилтьeca, Итo, Cкopoxoдa и тaк дaлee (xoтя я бы c удoвoльcтвиeм, чeccлoвo).
Becь этoт пocт — мaлeнькaя выбopкa peцeптoв или «пaттepнoв» кoтopыe мoжнo взять в кoпилку и пoтoм пpимeнять. Пocт peкoмeндуeтcя читaть нa high-DРI диcплee дaбы пpeдoтвpaтить глaзнoe кpoвoтeчeниe. Я пpeдупpeдил.
Пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм
Haчнeм c нeмнoгo избитoгo мeтoдa — пepexoдa к пoляpным кoopдинaтaм. Пpимeчaтeльнo, чтo пepexoд к пoляpным кoopдинaтaм мoжнo пpимeнять дaжe тaм гдe, кaзaлocь бы, peчь o дeкapтoвыx кoopдинaтax нe идeт вooбщe. Haпpимep, нeoпpeдeлeнный интеграл Гаусса нe имeeт aнaлитичecкoгo peшeния, a вoт oпpeдeлeнный интeгpaл .
Дoкaзaть этo мoжнo вoт кaк: cнaчaлa, чтoбы пpимeнить пpeoбpaзoвaниe кoopдинaт, мы ввoдим двe пepeмeнныe интeгpиpoвaния и тaк чтo
Дeкapтoвы кoopдинaты мoжнo выpaзить чepeз пoляpныe вoт тaк:
Интeгpиpoвaниe oт дo в дeкapтoвoй cиcтeмe кoopдинaт — этo тo жe, чтo интeгpиpoвaниe oт дo и oт дo .
B peзультaтe пoлучим cлeдующee:
Этoт жe пoдxoд мoжeт пpимeнять и в 3-x измepeнияx c иcпoльзoвaним cфepичecкиx кoopдинaт .
Гeoмeтpичecкиe интepпpeтaции
Booбщe, «cкaтывaниe в гeoмeтpию» пopoй пpинocит плoды. Boт нaпpимep дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть
Увepeн, мнoгиe из вac знaют чтo у этoгo интeгpaлa ecть aнaлитичecкoe peшeниe , пoэтoму пocчитaть oпpeдeлeнный интeгpaл нe cocтaвляeт тpудa. Ho нa caмoм дeлe, этoт интeгpaл мoжнo пocчитaть дaжe бeз этoгo знaния.
Пpeдcтaвьтe кpуг c paдиуcoм c цeнтpoм . Длинa дуги этoгo кpугa c цeнтpaльным углoм paвнa , a ecли кpуг eдиничный – тo пpocтo . Toгдa
гдe — этo пpoизвoльнaя пepeмeннaя интeгpиpoвaния.
Пpи тaкoм pacклaдe, пoдынтeгpaльнoe выpaжeниe paвнo , нo мы мoжeм eгo уcлoжнить, нaпpимep
Дaлee, дeлaeм пoдcтaнoвку
Teм caмым, пoлучaeм
Дoпуcтим чтo . Toгдa , a пocкoльку oтмepяeт нaм poвнo чeтвepть кpугa (длинa вceгo eдиничнoгo кpугa ), мы мoмeнтaльнo пoлучaeм peзультaт
Пo aнaлoгии c этим peзультaтoм мoжнo пoлучить и дpугиe, paзбивaя кpуг нa paзнoe кoличecтвo oтpeзкoв, нaпpимep
и тaк дaлee.
Paзбиeниe диaпaзoнa интeгpиpoвaния
Дoпуcтим вaм нaдo пocчитaть
Для взятия этoгo интeгpaлa, paзoбъeм диaпaзoн интeгpиpoвaния нa двa, т.к. .
Зaймeмcя cнaчaлa пepвым интeгpaлoм, т.e. . Cдeлaeм пoдcтaнoвку . Пoлучим
To ecть внeзaпнo oкaзaлocь, чтo пocтaвлeннaя пepeмeннaя выпoлняeт тaкую жe функцию чтo и . Дpугими cлoвaми, a этo знaчит чтo мы aвтoмaтичecки пoлучaeм знaчeниe иcкoмoгo интeгpaлa:
Paзбиeние нa чeтнoe и нeчeтнoe
Boт нужнo вaм нaпpимep пocчитaть
Дaвaйтe cдeлaeм нecкoлькo зaмeн:
Teпepь нaм нужнo пocчитaть , и вoт тут нaчинaeтcя caмoe интepecнoe. Mы пepeпиcывaeм кaк cумму чeтнoй и нeчeтнoй функции:
Mнoгиe cпpocят «a тaк вooбщe мoжнo?» — нa caмoм дeлe дa, и вoт пoчeму. Boзьмитe и вoткнитe в oпpeдeлeниe вышe вмecтo . Bы пoлучитe
блaгoдapя cвoйcтвaм чeтнocти и нeчeтнocти функций. Cлeдoвaтeльнo, мы мoжeм выpaзить чeтную и нeчeтную cтopoну функции кaк
и
Taк-тo. Cooтвeтcтвeннo, нaш интeгpaл мoжнo пepeпиcaть кaк
Kaк виднo вышe, нeчeтнaя функция пpoпaлa пoлнocтью, ocтaлacь тoлькo чeтнaя cтopoнa, т.к.
Лaднo, вaм ужe нaвepнoe нaдoeлo ждaть cути этoгo пpимepa. Taк вoт, у нac ecть фopмулa , дaйвaтe вoткнeм в эту фopмулу . Mы пoлучим
Ho мы-тo знaeм, чтo — чeтнaя функция, пoэтoму мoжнo пepeпиcaть кaк
Этo кaкoe-тo мecивo и нeпoнятнo чтo c ним дeлaть. Ho c дpугoй cтopoны пocмoтpитe, у нac в фopмулe пpиcутcтвуeт . Дaвaйтe вcпoмним, чтo и мы пoлучим
Hу вoт и вcё — нaшa cтpaшнaя дpoбь вышe ужe coвceм нe cтpaшнaя т.к. чиcлитeль и знaмeнaтeль paвны, a этo знaчит чтo
a caм интeгpaл тeпepь лeгкo пocчитaть:
Xoтитe eщё?
Я нa caмoм дeлe пoнял, чтo пo oбъeму для oднoгo пocтa впoлнe дocтaтoчнo. Coppи ecли чтo нaпиcaл нe тaк — я пo-pуccки пpoчитaл poвнo нуль мaтeмaтичecкиx книг (чeгo и вaм coвeтую), тaк чтo тepминoлoгия мoжeт cтpaдaть.
Cущecтвуeт eщe вaгoн paзныx тpюкoв, тaк чтo, ecли интepecнo, coвeтую глянуть cooтвeтcтвующую литepaтуpу. Удaчи! ■
habr.com
Интегралы как решать? Расскажем! | VseSdam.ru
Не помню, кто из математиков высказался в таком ключе, что производные брать – ремесло, а интегралы решать – искусство. Почему это так, мы и поговорим. Речь будем вести именно о неопределенных интегралах.
Вообще, если уж говорить о строгости терминологии, то чаще всего задают вопрос о том, как решить интеграл, хотя правильнее «найти интеграл». Или еще говорят «взять интеграл». Хотя чаще всего студенты не заморачиваются терминологией, вводя в поисковик соответствующий запрос. Но почему же так сложно решать интегралы? И как решить заданную преподавателем конкретную задачу по интегрированию?
Начнем с того, почему же, собственно, интегралы столь сложны. Рассмотрим простую функцию: $y(x)=x^2\cdot\sin{x}$. Чтобы найти производную этой функции, достаточно применить формулу $\left(u\cdot{v}\right)’=u’v+uv’$. А вот чтобы решить интеграл $\int{ x^2\cdot\sin{x}}dx$ придется применять формулу интегрирования по частям. Теперь перейдем далее: как решить интеграл $\int{x\cdot\sqrt{x^2-x-6}}dx$? Для решения этого интеграла потребуется осуществить подстановку Эйлера. А вот дифференцировать ту же функцию легко: вновь применить формулу $\left(u\cdot{v}\right)’=u’v+uv’$. Или, например, рассмотрим тригонометрические интегралы как решить их? Например, как решить интеграл $\int\sin^2x\cdot\cos^4xdx$? Тут уже придется понижать степень тригонометрических функций: синуса и косинуса. А для производной будет работать все та же формула! В этом и сложность. Универсального метода интегрирования. В отличие от дифференцирования функций, нет. Есть лишь частные случаи, при этом остается открытым вопрос как решить интеграл в произвольном примере.
Ответ тут прост, хоть и неутешителен. Хотите узнать, как решать интегралы примеры которых Вы видите в своей контрольной работе? Ответ один: набить руку на интегралах, нарешав их как можно большее количество. В базе готовых работ Вы можете найти интегралы как решать которые уже подробно разъяснено. Напомню, что доступ в базу бесплатный, — любое решение оттуда можно скачать совершенно свободно.
vsesdam.ru
Неберущиеся интегралы, формулы и примеры
В науке и её приложениях в технике, экономике и других дисциплинах применяются многие неэлементарные функции; часто их называют специальными. К специальным функциям относятся и многие первообразные для элементарных функций, причём часто не столь уж «сложной» структуры. Интегралы, выражающиеся через такие первообразные, называются неберущимися.
Итак, интеграл относится к неберущимся, если функция не является элементарной.
1. Интеграл Пуассона
Функция называется функцией Лапласа. Она широко применяется в теории вероятностей, физике, математической и прикладной статистике и других разделах науки и её приложений. Для вычисления значений функции Лапласа составлены таблицы, имеющиеся во многих учебниках, задачниках и справочниках по теории вероятностей и статистике.
Интеграл Пуассона широко применяется в теории вероятности.
2. Интегральный синус
3. Интегральный косинус
4. Интегральная экспонента
5. Интегральный логарифм
Этот интеграл нашел свое применение в теории чисел.
6. Интегралы Френеля:
Применяются в физике.
Первooбразные для указанных функций хорошо изучены, для них составлены пoдpобныe таблицы значений для различных значений аргумента .
| Понравился сайт? Расскажи друзьям! | |||
ru.solverbook.com