ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° 10 класс ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ – ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра, 10 класс.

ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=x2+1Γ—2βˆ’1.

РСшСниС 1. Π’Π²Π΅Π΄Ρ‘ΠΌ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: f(x)=x2+1Γ—2βˆ’1. Найдём ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Она задаётся условиями xβ‰ 1,xβ‰ βˆ’1. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, D(f)=(βˆ’βˆž;βˆ’1)βˆͺ(βˆ’1;1)βˆͺ(1;+∞).

2. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ:

f(βˆ’x)=βˆ’x2+1βˆ’x2βˆ’1=x2+1Γ—2βˆ’1=f(x).

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, заданная функция Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Π°, Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ построСниСм Π²Π΅Ρ‚Π²Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ xβ‰₯0.

3. Найдём асимптоты. Π’Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ асимптотой являСтся прямая \(x=1\), ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΈ этом Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ \(x\) Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ обращаСтся Π² Π½ΡƒΠ»ΡŒ, Π° Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ ΠΎΡ‚ нуля. Для отыскания Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ асимптоты Π½Π°Π΄ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ limxβ†’βˆžf(x):

limxβ†’βˆžx2+1Γ—2βˆ’1=limxβ†’βˆžx2x2+1x2x2x2βˆ’1Γ—2=limxβ†’βˆž1+1Γ—21βˆ’1Γ—2=1.

 Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, \(y=1\) β€” Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

4. Найдём стационарныС ΠΈ критичСскиС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ экстрСмума ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ монотонности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

yβ€²=x2+1Γ—2βˆ’1β€²=(x2+1)β€²β‹…(x2βˆ’1)βˆ’(x2+1)β‹…(x2βˆ’1)β€²x2βˆ’12=2xβ‹…(x2βˆ’1)βˆ’(x2+1)β‹…2xx2βˆ’12==βˆ’4xx2βˆ’12.

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ сущСствуСт Π²ΡΡŽΠ΄Ρƒ Π² области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, критичСских Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‚.

Π‘Ρ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Ρ‘ΠΌ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ yβ€²=0. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: \(-4x=0\) β€” ΠΎΡ‚ΠΊΡƒΠ΄Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(x=0\). ΠŸΡ€ΠΈ \(x<0\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: yβ€²>0; ΠΏΡ€ΠΈ \(x>0\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: yβ€²<0. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, \(x=0\) β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ ymax=f(0)=02+102βˆ’1=βˆ’1.

ΠŸΡ€ΠΈ \(x>0\) ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ: yβ€²<0; Π½ΠΎ слСдуСт ΡƒΡ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° \(x=1\). Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ°Ρ… монотонности Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ: Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ 0;1) функция ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠ΅ (1;+∞) функция Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

5. Боставим Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x)=x2&plus;1Γ—2βˆ’1 ΠΏΡ€ΠΈ xβ‰₯0:

\(x\)

\(0\)

\(0.5\)

\(2\)

\(3\)

\(4\)

\(y\)

\(-1\)

βˆ’53

53

54

1715

 

6. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости, учтя ΠΏΡ€ΠΈ этом, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \((0;-1)\) β€” Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° максимума, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(y=1\) β€” Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \(x=1\) β€” Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота, построим Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ искомого Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΈ xβ‰₯0. Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠ² Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ, симмСтричныС построСнным ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ вСсь Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

www.yaklass.ru

10 класс. АлгСбра. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½Π°Ρ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊ исслСдованию Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. β€” ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ построСниС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

ΠšΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ прСподаватСля

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ β€” Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ графичСским способом, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ с ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°ΠΌΠΈ.

Алгоритм ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ  ΠΈ построСния Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ²:

 

1. ΠΠ°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния (D(f)) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

2. Π•ΡΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтрична ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ нуля (Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ для любого значСния  ΠΈΠ· D(f) Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅  Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ области опрСдСлСния, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Если , Ρ‚ΠΎ функция Ρ‡Π΅Ρ‚ная. (ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся функция )

Для нас Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси OY.

Если , Ρ‚ΠΎ функция Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚ная. (ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся функция )

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ 

Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ симмСтричСн ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Если функция являСтся Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° для ,  Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅.

3. Π

www.kursoteka.ru

Π£Ρ€ΠΎΠΊΠΈ 9-10. ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ занятиС) | ΠŸΠΎΡƒΡ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ»Π°Π½Ρ‹ ΠΏΠΎ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ ΠΈ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° 10 класс

Π£Ρ€ΠΎΠΊΠΈ 9-10. ИсслСдованиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ занятиС)