Как доказать четность функции – Как проверить функцию на четность и нечетность 🚩 как исследовать функцию на четность и нечетность 🚩 Математика

§ 11. Четные и нечетные функции. Периодические функции

Определение 1. Функцияназываетсячетной (нечетной), если вместе с каждым значением переменнойзначение –хтакже принадлежити выполняется равенство

(11.1)

Таким образом, функция может быть четной или нечетной только тогда, когда ее область определения симметрична относительно начала координат на числовой прямой (числа х и –ходновременно принадлежат). Например, функцияне является четной и нечетной, так как ее область определения

не симметрична относительно начала координат.

Функция четная, так каксимметрична относительно начала координат и.

Функция нечетная, так каки.

Функция не является четной и нечетной, так как хотяи симметрична относительно начала координат, равенства (11.1) не выполняются. Например,.

График четной функции симметричен относительно оси Оу, так как если точкапринадлежит графику, то и точкатоже принадлежит графику. График нечетной функции симметричен относительно начала координат, так как еслипринадлежит графику, то и точкатоже принадлежит графику.

При доказательстве четности или нечетности функции бывают полезны следующие утверждения.

Теорема 1. а) Сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).

б) Произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.

в) Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная.

г) Если f– четная функция на множествеХ, а функцияg определена на множестве, то функция– четная.

д) Если f– нечетная функция на множествеХ, а функцияg определена на множествеи четная (нечетная), то функция– четная (нечетная).

Доказательство. Докажем, например, б) и г).

б) Пусть и– четные функции. Тогда, поэтому. Аналогично рассматривается случай нечетных функций

и.

г) Пусть f – четная функция. Тогда.

Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. Теорема доказана.

Теорема 2. Любую функцию, заданную на множествеХ, симметричном относительно начала координат, можно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

Доказательство. Функциюможно записать в виде

.

Функция – четная, так как, а функция– нечетная, поскольку. Таким образом,, где– четная, а

– нечетная функции. Теорема доказана.

Определение 2. Функцияназываетсяпериодической, если существует число, такое, что при любомчислаитакже принадлежат области определенияи выполняются равенства

.

Такое число Tназываетсяпериодом функции.

Из определения 1 следует, что если Т – период функции, то и число –Т

тоже является периодом функции (так как при заменеТ на –Т равенство сохраняется). С помощью метода математической индукции можно показать, что еслиТ– период функцииf, то и, тоже является периодом. Отсюда следует, что если функция имеет период, то она имеет бесконечно много периодов.

Определение 3. Наименьший из положительных периодов функции называется ееосновным периодом.

Теорема 3. ЕслиТ– основной период функцииf, то остальные периоды кратны ему.

Доказательство. Предположим противное, то есть что существует периодфункцииf (>0), не кратныйТ. Тогда, разделив

наТ с остатком, получим, где. Поэтому

,

то есть – период функцииf, причем, а это противоречит тому, чтоТ– основной период функцииf. Из полученного противоречия следует утверждение теоремы. Теорема доказана.

Хорошо известно, что тригонометрические функции являются периодическими. Основной период иравен,и. Найдем период функции. Пусть— период этой функции. Тогда

(так как.

Отсюда

илиилиили.

Значение T, определяемое из первого равенства, не может быть периодом, так как зависит отх, т.е. является функцией отх, а не постоянным числом. Период определяется из второго равенства:. Периодов бесконечно много, принаименьший положительный период получается при:. Это – основной период функции.

Примером более сложной периодической функции является функция Дирихле

Заметим, что если

T– рациональное число, тоиявляются рациональными числами при рациональномхи иррациональными при иррациональномх. Поэтому

при любом рациональном числе T. Следовательно, любое рациональное числоTявляется периодом функции Дирихле. Ясно, что основного периода у этой функции нет, так как есть положительные рациональные числа, сколь угодно близкие к нулю (например, рациональное числоможно сделать выборомnсколь угодно близким к нулю).

Теорема 4. Если функцияf задана на множествеХи имеет периодТ, а функцияg задана на множестве, то сложная функциятоже имеет период

Т.

Доказательство. Имеем, поэтому

,

то есть утверждение теоремы доказано.

Например, так как cos x имеет период, то и функцииимеют период.

Определение 4. Функции, не являющиеся периодическими, называютсянепериодическими.

studfiles.net

Доказать четность или нечетность !!!

А в чем проблема? пишешь функции не от X, а от -X то бишь y(-x) = ((-x)^2-3)/(2(-x)^3-4(-x)) и y(-x)=((-x)^2-4)/((-x)^2-1)(2(-x)^2+4) упростить их максимально, чтобы довелись максимально до первоначального вида если получится, что y(-x)=y(x), то функция четная если y(-x)=-y(x), то функция нечетная Если ни то, ни другое, то функция не является четной или нечетной. Например, в первой функции получится: y(-x)=(x^2-3)/(-2x^3+4x) = -(x^2-3)/(2x^3-4x) (т. к. при возведении в квадрат минус не сохраняется, а при возведении в куб — сохраняется, а потом вынесли знак из знаменателя, чтоб сравнить первоначальную функцию и конечную) Как видно, функция отличается только одним знаком. Значит, данная функция нечетная. Во втором все проще — сразу видно, что четная, т. к. X dезде возводится в квадрат и не имеет значения, положительный он или отрицательный, тобишь функция четная.

f(x) нечетная, g(x) — четная. <img src=»//otvet.imgsmail.ru/download/855deac5c1a43e4a5c068c7ce9b534db_i-2.jpg» >

можно проще: если функция меняет знак при замене знака переменной — она нечетная. Если не меняет — четная. Первая меняет знак на противоположный (числитель не меняет знак, а занменатель меняет знак на противоположный) ; Вторая, очевидно, не меняет знака, так как переменная стоит в квадрате.

touch.otvet.mail.ru

Ответы@Mail.Ru: Как определить четность/нечетность функции?

Подставить отрицательное значание, если функция поменяет знак, то она нечетна, не поменяет-четна. f(-x)=- f(x) нечетная f(-x)=f(x) четная, начальная функция f(x)

f(-x)=f(x)- четная f(-x)=-f(x)- нечетная если ни то, ни другое, то не четная и не нечетная

четная: f(x) = f(-x) нечетная: f(x) = -f(-x)

Чётной функция явл. когда происходит наложение по оси у. Согни по оси у, и должно произойти наложение. А когда не чётна, я сама не знаю, но определить могу! Вроде я что-то не то написала, но мне кажется так. или так определяется что-то другое.

в вашу функцию вместо КАЖДОГО икса, надо поставить -х, после несложных преобразований посмотрите внимательно на результат, если ни каких изменений не произошло, то функция четная, если все знаки изменились, то не четная, а вот если знаки какие поменялись, а какие нет, то она ни четная ни нечетная

есть 2 способа: 1) по графику: нечетная-симметрична относительно точки (0,0)(начала координат) , четная-симметрична относительно оси ОУ 2)по уравнению функции : взять х=1 и х=-1 и подставить в уравнение функции, если значения у равны, то функция четная, если противоположны по знаку, по нечетная (строго говоря нужно подставлять х и -х, но ученики почему-то испытывают затруднения, я своим разрешаю) может быть еще функция ни четная ни нечетная!!! (если не удовлетворяет ни одному из условий)

Чётная функция симметрична относительно оси у, а нечётная-относительно оси х. Я ориентируюсь так- чётная (парабола, косинусоида) , нечётная (синусоида)

При смене знака аргумента — меняет знак, то нечетная, не меняет знак — четная. Но бывают функции ни те, ни другие. Из того, что функиця не оказалась четной не следует, что она нечетная.

Функция называется четной если при изменении знак аргумента значение функций не меняется F(-x)=f(x) Функция называется нечетной если при изменении знака аргумента значение функции также меняется на противоположное f(-x)=-f(x)

touch.otvet.mail.ru

Четность функции

Четность и нечетность функции являются одним из основных ее свойств, и исследование функции на четность занимает внушительную часть школьного курса по математике. Она во много определяет характер поведения функции и значительно облегчает построение соответствующего графика.

Определим четность функции. Вообще говоря, исследуемую функцию считают четной, если для противоположных значений независимой переменной (x), находящихся в ее области определения, соответствующие значения y (функции) окажутся равными.

Дадим более строгое определение. Рассмотрим некоторую функцию f (x), которая задана в области D. Она будет четной, если для любой точки x, находящейся в области определения:

• -x (противоположная точка) также лежит в данной области определения,

Из приведенного определения следует условие, необходимое для области определения подобной функции, а именно, симметричность относительно точки О , являющейся началом координат, поскольку если некоторая точка b содержится в области определения четной функции, то соответствующая точка — b тоже лежит в этой области. Из вышесказанного, таким образом, вытекает вывод: четная функция имеет симметричный по отношению к оси ординат (Oy) вид.

Как на практике определить четность функции?

Пусть функциональная зависимость задается с помощью формулы h(x)=11^x+11^(-x). Следуя алгоритму, вытекающему непосредственно из определения, исследуем прежде всего ее область определения. Очевидно, что она определена для всех значений аргумента, то есть первое условие выполнено.

Следующим шагом подставим вместо аргумента (x) его противоположное значение (-x).
Получаем :
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Поскольку сложение удовлетворяет коммутативному (переместительному) закону, то очевидно, h(-x) = h(x) и заданная функциональная зависимость – четная.

Проверим четность функции h(x)=11^x-11^(-x). Следуя тому же алгоритму, получаем, что h(-x) = 11^(-x) -11^x. Вынеся минус, в итоге, имеем
h(-x)=-( 11^x-11^(-x))=- h(x). Следовательно, h(x) – нечетная.

Кстати, следует напомнить, что есть функции, которые невозможно классифицировать по этим признакам, их называют ни четными, ни нечетными.

Четные функции обладают рядом интересных свойств:

• в результате сложения подобных функций получают четную;
• в результате вычитания таких функций получают четную;
• функция, обратная четной, также четная;
• в результате умножения двух таких функций получают четную;
• в результате умножения нечетной и четной функций получают нечетную;
• в результате деления нечетной и четной функций получают нечетную;
• производная такой функции – нечетная;
• если возвести нечетную функцию в квадрат , получим четную.

Четность функции можно использовать при решении уравнений.

Чтобы решить уравнение типа g(x) = 0, где левая часть уравнения представляет из себя четную функцию, будет вполне достаточно найти ее решения для неотрицательных значений переменной. Полученные корни уравнения необходимо объединить с противоположными числами. Один из них подлежит проверке.

Это же свойство функции успешно применяют для решения нестандартных задач с параметром.

Например, есть ли какое-либо значение параметра a, при котором уравнение 2x^6-x^4-ax^2=1 будет иметь три корня?

Если учесть, что переменная входит в уравнение в четных степенях, то понятно, что замена х на – х заданное уравнение не изменит. Отсюда следует, что если некоторое число является его корнем, то им же является и противоположное число. Вывод очевиден: корни уравнения, отличные от нуля, входят в множество его решений «парами».

Ясно, что само число 0 корнем уравнения не является, то есть число корней подобного уравнения может быть только четным и, естественно, ни при каком значении параметра оно не может иметь трех корней.

А вот число корней уравнения 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 может быть нечетным, причем для любого значения параметра. Действительно, легко проверить, что множество корней данного уравнения содержит решения «парами». Проверим, является ли 0 корнем. При подстановке его в уравнение, получаем 2=2 . Таким образом, кроме «парных» 0 также является корнем, что и доказывает их нечетное количество.

fb.ru