Уравнение касательной
Вспомним определение секущей для лучшего понимания что такое касательная.
Определение 1
Секущей называют прямую, пересекающую график кривой в двух точках одновременно.
Касательной прямой к графику кривой называют прямую, проходящую через некую точку кривой и совпадающую с ней в этой точке так, что это прямая лишь касается кривой.
Другое и более ёмкое определение касательной дал Лейбниц.
Определение 2
Лейбниц касательной называл прямую, проведённую через пару точек на рассматриваемой кривой, не совпадающих между собой, но находящихся бесконечно близко друг к другу. Из определения Лейбница видно, что касательная является частным случаем секущей.
Геометрический смысл производной в точке и касательной
Рассмотрим определение касательной подробнее.
Рисунок 1. Касательная и секущая к графику. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пусть дана некая кривая $L$, а на ней выбрана произвольная точка $M$. Возьмём ещё одну точку $P$, расположенную также на этой кривой и проведём через точки $M$ и $P$ секущую. Теперь поставим точку $P$ ещё ближе к точке $M$ и проведём новую секущую.
Проделаем так ещё несколько раз, каждый раз получая новую секущую, как бы поворачивающуюся вокруг точки $M$.
В момент, когда очередная точка $P$ находится бесконечно близко к точке $M$, секущая как бы достигает своего предельного положения, в котором по сути она лишь касается графика.
Это положение называется касательной к графику кривой $L$ в точке $M$.
Уравнение касательной через производную
Теперь узнаем, как найти уравнение касательной.
Рассмотрим некую функцию $y(x)$ и выберем на ней точку $M$ с координатами $(a; y(a))$.
Сделаем приращение к аргументу $x$ в этой точке, равное $Δx$ и рассмотрим точку $P$ на графике функции с абсциссой, равной $x=x+Δx$. Значение функции в этой точке будет равно $y(a+ Δx)$. Проведём через точки $M$ и $P$ секущую.
Как мы помним из курса математики, угловой коэффициент равен тангенсу угла прямой с осью абсцисс. Это значит, что угловой коэффициент рассматриваемой нами секущей равен приращению функции $y$ к приращению функции $x$:
$k_{секущ.}=\frac{Δy}{Δx}\left(1\right)$.
Теперь рассмотрим приращение $Δx$ как бесконечно малую величину. В этом случае точка $P$ с координатами $(a; y(a)+ Δy)$ будет приближаться к точке $M$, стремясь к ней. Следовательно, угловой коэффициент нашей секущей, которая в данном случае является касательной, равен пределу:
$k_{кас.}=lim_{ Δx \to 0}(k_{секущ.})$
Воспользуемся формулой $(1)$ для секущей:
$k_{кас.}=lim_{ Δx \to 0} \frac{Δy}{Δx}$
Данный предел также носит название производной функции $y=f(x)$ в точке $x$ и обозначается как $y’(x)$.
Определение 3
Геометрический смысл производной состоит в том, что при условии возможности проведения касательной в точке $x$ к графику исследуемой кривой, такой, что эта касательная не параллельна оси $OX$, значение производной является угловым коэффициентом проведённой касательной в этой точке.
Иначе данное утверждение можно записать как
$k_{кас.}(a)=f’(a)$.
То есть, при составлении уравнения касательной через производную, производная функции является угловым коэффициентом.
Заметим на всякий случай, что сама функция $y=f(x)$ и её производная $y’(x)$ — две разные функции, равные между собой в точке $x$.
Таким образом, в общем виде уравнение касательной будет иметь вид:
$y=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0) \left(2\right)$,
где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f’(x_0)$ — её производная.
Уравнение касательной для параболы
Рисунок 2. Уравнение касательной к графику параболической функции. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рассмотрим получение уравнения касательной к графику функции на параболе $y=ax^2$ в точке $M$ c координатами $(x; y)$.
Придадим этой точке приращение по оси $OX$, равное $Δx$, приращение по оси $y$ тогда составит $y+Δy=a(x+ Δx)^2$. Точку с координатами $(x+ Δx; y+Δy)$ назовём $P$.
Теперь чтобы определить тангенс угла секущей $MP$с осью абсцисс, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MNP$. В нём катет $MN$ равен $Δx$, а второй катет $Δy$ — это приращение ординаты, равное $Δy=a(2x \cdot Δx + Δx^2)$.
Выразим используя эти данные тангенс угла $φ$.
$\mathrm{tg}φ=\frac{Δy}{Δx}=2ax + a \cdot Δx$
Теперь для получения углового коэффициента рассмотрим это отношение при бесконечно малой величине $Δx$. Как известно, в этом случае мы имеем дело с пределом:
$\mathrm{tg}φ= \lim_{Δx \to 0}(2ax+a \cdot x)=2ax$.
Благодаря такому соотношению становится легко построить касательную к параболе (рис. 2, б).
Для этого достаточно рассмотреть треугольник $\triangle MPT$, так как отрезок $TP$ будет равен:
$TP=\frac{y}{\mathrm{tg}α}=\frac{ax^2}{2ax}=\frac{x}{2}$
То есть, для того чтобы получить касательную, необходимо соединить середину отрезка $OP$ с точкой $M$.
Расположение касательной в зависимости от значения её углового коэффициента
Рассмотрим несколько различных случаев значения углового коэффициента для касательной.
Если её угловой коэффициент, то есть, тангенс, равен нулю, то касательная расположена параллельно оси $OX$, а сама прямая принимает вид $y=b$.
Если тангенс положительный, то касательная образует острый угол с осью абсцисс, что значит, что вместе с ростом $x$ растёт и $y$.
В случае если тангенс отрицательный, прямая образует тупой угол с горизонтальной осью, а это значит, что с увеличением значения икса происходит уменьшение значения игрека.
Есть ещё один случай расположения касательной — параллельно оси $OY$, в этом случае её уравнение описывается как $x=c$, где $c$ — некая константа.
Другим числом, определяющим положение касательной, является число $b$, являющееся свободным членом в уравнении прямой $y=kx+b$. Число $b$ характеризует значение функции $y(x)$ в точке её пересечения с осью ординат, иначе говоря, оно есть не что иное, как значение уравнения касательной к графику функции в точке $x=0$.
Пример 1
Составить уравнение касательной в точке $x=3$ для графика функции $y(x)=2x^2+3x-6$.
Сначала найдём значение функции в точке $x=3$:
$y=2 \cdot 3^2 +3 \cdot 3 – 6 = 21$
Теперь определим значение производной для исследуемой функции:
$(2x^2+3x-6)’=4x+3$
Теперь получим значение углового коэффициента, для этого подставим $x=3$ в производную:
$y’(x)=4 \cdot 3 + 3 = 15$
Подставим это значение в формулу для касательной $(2)$:
$y_{кас.}=21+15 \cdot (x-3)$
$y=15x-24$ — уравнение касательной получено.
spravochnick.ru
4.1.3 Уравнение касательной к графику функции
Видеоурок: Уравнение касательной к графику функции
Лекция: Уравнение касательной к графику функции
Если некоторая прямая проходит через точку с координатами (х0; f (х0)), а угол наклона данной прямой равен производной функции в данной токе, то такую прямую называют касательной к графику.
Обратите внимание, если не существует производной графика в данной точке, то и не может существовать касательной, или же данная касательная перпендикулярна к оси ОХ. Второй случай можно наблюдать в результате проведения касательной для графика функции арксинуса.
Итак, давайте рассмотрим задание касательной. Мы знаем, что для задания любой прямой, необходимо воспользоваться формулой y = kx + b.
Коэффициент k показывает, под каким углом будет располагаться прямая относительно оси ОХ. Если данный коэффициент больше нуля, то угол наклона между касательной и осью ОХ острый, если же коэффициент отрицательный, то угол между осью ОХ и касательной тупой.
Но давайте возвратимся к тому, что такое угловой коэффициент и как он находится. С прошлых вопросов мы помним, что угловой коэффициент – это производная функции в некоторой точке х0.
Чтобы задать уравнение касательной, необходимо воспользоваться формулой:
Итак, давайте рассмотрим подробнее, для этого необходимо провести аналогию между первоначальным уравнением прямой и уравнением касательной.
Отсюда следует, что для нахождения коэффициента k, необходимо найти производную в рассматриваемой точке.
Давайте найдем уравнение прямой для функции у = х3 в точке х0 = 3.
1. Находим производную данной функции:
y’ = 3x2.
2. Как уже было сказано ранее, коэффициент – это производная функции в некоторой точке, поэтому
y'(3) = 3* 32 = 27.
3. Как видно из уравнения касательной, нам так же необходимо найти и значение функции в рассматриваемой точке f(x0):
f(3) = 33 = 27.
Совершенно случайно получилось так, что значение производной в точке совпало со значением функции в заданной точке. Обратите внимание, что это просто совпадения и НЕ обязательно y’ = f(x0).
4. Теперь давайте составим уравнение касательной по заданной формуле:
у = 27 * (х – 3) + 27.
Чтобы получить конечно уравнение, необходимо сделать некоторые преобразования:
у = 27 * (х – 3) + 27 = 27х – 81 + 27 = 27х — 54.
То есть уравнение касательной:
у = 27х — 54.
Найти уравнение касательной достаточно просто, главное не запутаться в формуле. Для этого её необходимо просто выучить.
cknow.ru
Уравнение касательной к графику функции
Ну вот, совсем другое дело. Вычислим значение производной в точке
:
В том случае, если Вам не понятно, как найдена производная, вернитесь к первым двум урокам темы. Если возникли трудности (недопонимание) с арктангенсом и его значениями, обязательно
изучите методический материал Графики и свойства элементарных функций – самый последний параграф. Потому что арктангенсов на студенческий век ещё хватит.
Пример 4
Вычислить производную функции в точке.
Это пример для самостоятельного решения.
Чтобы закрепить предыдущий параграф, рассмотрим задачу нахождения касательной к графику функции в данной точке. Это задание встречалось нам в школе, и оно же встречается в курсе высшей математики.
Как составить уравнение касательной в точке с абсциссой ?
Общая формула знакома нам еще со школы:
Значение нам уже дано в условии.
Теперь нужно вычислить, чему равна сама функция в точке:
На следующем этапе находим производную:
Находим производную в точке (задание, которое мы недавно рассмотрели):
Подставляем значения ,ив формулу
:
Таким образом, уравнение касательной:
Это «школьный» вид уравнения прямой с угловым коэффициентом. В высшей математике уравнение прямой на плоскости принято записывать в так называемой общей форме , поэтому перепишем найденное уравнение касательной в соответствии с традицией:
Очевидно, что точка должна удовлетворять данному
уравнению:
– верное равенство.
Следует отметить, что такая проверка является лишь частичной. Если мы неправильно вычислили производную в точке , то выполненная подстановка нам ничем не поможет.
Рассмотрим еще два примера.
Пример 5
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссойУравнение касательной составим по формуле
1)Вычислим значение функции в точке :
2)Найдем производную. Дважды используем правило дифференцирования сложной функции:
3) Вычислим значение производной в точке :
4) Подставим значения ,ив формулу
:
Готово.
Выполним частичную проверку:
Подставим точку в найденное уравнение:
– верное равенство.Пример 6
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
Полное решение и образец оформления в конце урока.В задаче на нахождение уравнения касательной очень важно ВНИМАТЕЛЬНО и аккуратно выполнить вычисления, привести уравнение прямой к общему виду. И, конечно же, ознакомьтесь со
строгим определением касательной, после чего закрепите материал на уроке Уравнение нормали, где есть дополнительные примеры с касательной.
studfiles.net
Как найти уравнение нормали к графику функции в заданной точке? — Мегаобучалка
На данном уроке мы узнаем, как найти уравнение нормали к графику функции в точке и разберём многочисленные примеры, которые касаются этой задачи. Для качественного усвоения материала нужно понимать геометрический смысл производной и уметь их находить хотя бы на уровне следующих статей:
Как найти производную?
Производная сложной функции
и
Простейшие задачи с производными.
Перечисленные уроки позволят «чайникам» быстро сориентироваться в теме и поднять свои навыки дифференцирования практически с полного нуля. По существу, сейчас последует развёрнутое продолжение параграфа об
Но сначала освежим воспоминания: если функция дифференцируема в точке (т.е. если существует конечная производная ), то уравнение касательной к графику функции в точке можно найти по следующей формуле:
Это самый распространенный случай, с которым мы уже столкнулись на уроке Простейшие задачи с производными. Однако дело этим не ограничивается: если в точке существует бесконечная производная: , то касательная будет параллельна оси и её уравнение примет вид . Дежурный пример: функция с производной , которая обращается в бесконечность вблизи критической точки . Соответствующая касательная выразится уравнением:
(ось ординат).
Если же производной не существует (например, производной от в точке ), то, разумеется, не существует и общей касательной.
Как различать последние два случая, я расскажу чуть позже, а пока что вернёмся в основное русло сегодняшнего урока:
Что такое нормаль? Нормалью к графику функции в точке называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной к графику функции в этой точке (понятно, что касательная должна существовать). Если совсем коротко, нормаль – это перпендикулярная к касательной прямая, проходящая через точку касания.
Как найти уравнение нормали? Из курса аналитической геометрии напрашивается очень простой алгоритм: находим уравнение касательной и представляем его в
Этот способ применять можно, но в математическом анализе принято пользоваться готовой формулой, основанной на взаимосвязи угловых коэффициентов перпендикулярных прямых. Если существует конечная и отличная от нуля производная , то уравнение нормали к графику функции в точке выражается следующим уравнением:
Особые случаи, когда равна нулю либо бесконечности мы обязательно рассмотрим, но сначала «обычные» примеры:
Пример 1
Составить уравнения касательной и нормали к графику кривой в точке, абсцисса которой равна .
В практических заданиях часто требуется найти и касательную тоже. Впрочем, это очень только нА руку – лучше будет «набита рука» =)
Решение: Первая часть задания хорошо знакома, уравнение касательной составим по формуле:
В данном случае:
Найдём производную:
Здесь на первом шаге вынесли константу за знак производной, на втором – использовали правило дифференцирования сложной функции.
Теперь вычислим производную в точке :
Получено конечное число и это радует. Подставим и в формулу :
Перебросим наверх левой части, раскроем скобки и представим уравнение касательной в общем виде:
Вторая часть задания ничуть не сложнее. Уравнение нормали составим по формуле:
Избавляемся от трёхэтажности дроби и доводим уравнение до ума:
– искомое уравнение.
Ответ:
Здесь можно выполнить частичную проверку. Во-первых, координаты точки должны удовлетворять каждому уравнению:
– верное равенство.
– верное равенство.
И, во-вторых, векторы нормали должны быть ортогональны. Это элементарно проверяется с помощью
, что и требовалось проверить.
Как вариант, вместо нормальных векторов можно использовать направляющие векторы прямых.
!Данная проверка оказывается бесполезной, если неверно найдена производная и/или производная в точке . Это «слабое звено» задания – будьте предельно внимательны!
Чертежа по условию не требовалось, но полноты картины ради:
Забавно, но фактически получилась и полная проверка, поскольку чертёж выполнен достаточно точно =) Кстати, функция задаёт верхнюю дугу эллипса.
Следующая задача для самостоятельного решения:
Пример 2
Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .
Примерный образец чистового оформления задания в конце урока.
Теперь разберём два особых случая:
1) Если производная в точке равна нулю: , то уравнение касательной упростится:
То есть, касательная будет параллельна оси .
Соответственно, нормаль будет проходить через точку параллельно оси , а значит её уравнение примет вид .
2) Если производная в точке существует, но бесконечна: , то, как отмечалось в самом начале статьи, касательная станет вертикальной: . И поскольку нормаль проходит через точку параллельно оси , то её уравнение выразится «зеркальным» образом:
Всё просто:
Пример 3
Составить уравнения касательной и нормали к параболе в точке . Сделать чертёж.
Требование выполнить чертёж я не добавлял – так было сформулировано задание в оригинале. Хотя это редкость.
Решение: составим уравнение касательной .
В данном случае
Казалось бы, расчёты пустяковые, а в знаках запутаться более чем реально:
Таким образом:
Поскольку касательная параллельна оси (Случай №1), то нормаль, проходящая через ту же точку , будет параллельна оси ординат:
Чертёж – это, конечно же, дополнительные хлопоты, но зато добротная проверка аналитического решения:
Ответ: ,
В школьном курсе математики распространено упрощённое определение касательной, которое формулируется примерно так: «Касательная к графику функции – это прямая, имеющая с данным графиком единственную общую точку». Как видите, в общем случае это утверждение некорректно. Согласно геометрическому смыслу производной, касательной является именно зелёная, а не синяя прямая.
Следующий пример посвящён тому же Случаю №1, когда :
Пример 4
Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .
Краткое решение и ответ в конце урока
Случай №2, в котором на практике встречается редко, поэтому начинающие могут особо не волноваться и с лёгким сердцем пропустить пятый пример. Информация, выделенная курсивом, предназначена для читателей с высоким уровнем подготовки, которые хорошо разобрались с определениями производной и касательной, а также имеют опыт нахождения производной по определению:
Пример 5
Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке
Решение: в критической точке знаменатель производной обращается в ноль, и поэтому здесь нужно вычислить односторонние производные с помощью определения производной (см. конец статьи Производная по определению):
Обе производные бесконечны, следовательно, в точке существует общая вертикальная касательная:
Ну, и очевидно, что нормалью является ось абсцисс. Формально по формуле:
Для лучшего понимания задачи приведу чертёж:
Ответ:
Я рад, что вы не ушли бороздить просторы Интернета, потому что всё самое интересное только начинается! Чтобы осилить материал следующего параграфа, нужно уметь находить производную от неявно заданной функции:
Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана неявно?
Формулы касательной и нормали остаются прежними, но меняется техника решения:
Пример 6
Найти уравнения касательной и нормали к кривой в точке .
Решение: судя по уравнению, это какая-то линия 3-го порядка, какая именно – нас сейчас совершенно не интересует.
В уравнении присутствует зловред , и поэтому перспектива выразить функция в явном виде выглядит весьма туманной.
Но этого и не требуется! Есть куда более остроумное решение. Уравнение касательной составим по той же формуле .
Из условия известны значения , кстати, не помешает убедиться, что они действительно удовлетворяют предложенному уравнению:
Получено верное равенство, значит, с точкой всё в порядке.
Осталось вычислить . Сначала по стандартной схеме найдём производную от функции, заданной неявно:
Перепишем результат с более подходящим для нашей задачи обозначением:
На 2-м шаге в найденное выражение производной подставим :
Вот так-то!
Осталось аккуратно разобраться с уравнением:
Составим уравнение нормали:
Ответ:
Готово! А поначалу представлялось всё непросто. Хотя производная здесь, конечно, – место уязвимое. Миниатюра для самостоятельного решения:
Пример 7
Найти уравнение нормали к линии в точке
Хватит уже вымучивать касательную =)
В данном случае легко выяснить, что это окружность центром в точке радиуса и даже выразить нужную функцию . Но зачем?! Ведь найти производную от неявно заданной функции на порядок легче! Она тут чуть ли не самая примитивная.
Краткое решение и ответ в конце урока.
Как найти уравнение касательной и уравнение нормали,
если функция задана параметрически?
Ещё проще. Но для этого нужно потренироваться в нахождении производной от параметрически заданной функции. А так – почти халява:
Пример 8
Составить уравнения касательной и нормали к циклоиде , проведенные в точке, для которой .
Чертёж циклоиды можно найти на странице S и V, если линия задана параметрически (так получилось, что эта статья была создана раньше). Там даже изображена точка касания.
Решение: абсцисса и ордината точки касания рассчитываются непосредственно из параметрических уравнений кривой:
Найдём 1-ую производную от параметрически заданной функции:
И вычислим её значение при :
Уравнение касательной составим по обычной формуле с поправкой на несколько другие обозначения:
Уравнение нормали:
Ответ:
В заключение предлагаю познакомиться с ещё одной интересной линией:
Пример 9
Составить уравнение нормали к полукубической параболе , проведенной в точке, для которой .
Это пример для самостоятельного решения. Напоминаю, что графики параметрически заданных функций можно построить, например, с помощью моего расчётного геометрического макета.
Ну а наш урок подошёл к концу, и я надеюсь, что изложенный материал прошёл для вас не по касательной, а нормально =)
Спасибо за внимание и успехов!
Решения и ответы:
Пример 2: Решение: уравнение касательной составим по формуле:
В данном случае:
Таким образом:
Уравнение нормали составим по формуле :
Ответ:
Пример 4: Решение: уравнение касательной составим по формуле:
В данной задаче:
Таким образом:
В точке касательная параллельна оси , поэтому соответствующее уравнение нормали:
Ответ:
Пример 7: Решение: в данной задаче: .
Найдём производную:
Или:
Подставим в выражение производной :
Искомое уравнение нормали:
Ответ:
Пример 9: Решение: в данном случае:
Найдём производную и вычислим её значение при :
Уравнение нормали:
Ответ:
Взято с сайта http://www.mathprofi.ru
megaobuchalka.ru