Решение квадратных неравенств графически
Графический метод является одним из основных методов решения квадратных неравенств. В статье мы приведем алгоритм применения графического метода, а затем рассмотрим частные случаи на примерах.
Суть графического метода
Метод применим для решения любых неравенств, не только квадратных. Суть его вот в чем: правую и левую части неравенства рассматривают как две отдельные функции y=f(x) и y=g(x), их графики строят в прямоугольной системе координат и смотрят, какой из графиков располагается выше другого, и на каких промежутках. Оцениваются промежутки следующим образом:
Определение 1- решениями неравенства f(x)>g(x) являются интервалы, где график функции f выше графика функции g;
- решениями неравенства f(x)≥g(x) являются интервалы, где график функции f не ниже графика функции g;
- решениями неравенства f(x)<g(x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g;
- решениями неравенства f(x)≤g(x) являются интервалы, где график функции f не выше графика функции g;
- абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x).
Рассмотрим приведенный выше алгоритм на примере. Для этого возьмем квадратное неравенство a·x2+b·x+c<0 (≤, >, ≥) и выведем из него две функции. Левая часть неравенства будет отвечать y=a·x2+b·x+c (при этом f(x)=a·x2+b·x+c), а правая y=0 (при этом g(x)=0).
Графиком первой функции является парабола, второй прямая линия, которая совпадает с осью абсцисс Ох. Проанализируем положение параболы относительно оси Ох. Для этого выполним схематический рисунок.
Решение с двумя корнями у квадратного трехчлена
Ветви параболы направлены вверх. Она пересекает ось Ох в точках x1 и x2. Коэффициент а в данном случае положительный, так как именно он отвечает за направление ветвей параболы. Дискриминант положителен, ч
zaochnik.com
Как решать квадратные неравенства — Pronto Costo
Алгоритм решения квадратного неравенства
1. Подготавливаем неравенство к решению путём тождественных преобразований. Если неравенство уже готово, этот пункт пропускаем.
2. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.
3. Рисуем ось Х, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство нестрогое, точки — черные. Если строгое — белые.
4. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.
5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ
Пример.
1. Решить неравенство:
x2≤ 4
Готовим неравенство к решению. Переносим 4 влево, получаем:
x2— 4≤ 0
2. x2— 4 = 0
х1= -2
х2= +2
3.
4.
5.
Ответ:
х ∈
Решить неравенство:
На первом шаге пытаемся разложить квадратный трёхчлен на множители:
Дискриминант положителен, ищем корни:
Таким образом, парабола пересекает ось абсцисс в двух точках, а это значит, что часть параболы расположена ниже оси (неравенство ), а часть параболы – выше оси (нужное нам неравенство ).
Поскольку коэффициент, то ветви параболы смотрят вверх. Из выше сказанного следует, что на интервалах выполнено неравенство (ветви параболы уходят вверх на бесконечность), а вершина параболы расположена на промежутке ниже оси абсцисс, что соответствует неравенству:
Ответ:
pronto-costo.info
Неполные квадратные уравнения — КиберПедия
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
1. x2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной xили свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−
1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax2 + c = 0 выполнено неравенство (−c/a) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c/a) < 0, корней нет.
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c/a) ≥ 0. Достаточно выразить величину x2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.
x2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = −30 ⇒ x2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x2 − 9 = 0 ⇒ 4x2 = 9 ⇒ x2 = 9/4 ⇒ x1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.
Квадратные неравенства.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень…»
И для тех, кто «очень даже…» )
Что такое «квадратное неравенство»?
1. x2-8x+12≥0
2. -x2+3x>0
3. x2≤4
Ну, вы поняли…)
Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства — решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине — неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.
Готовое для решения неравенство имеет вид: слева — квадратный трёхчленax2+bx+c, справа — ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.
Подготовка заключается в тождественных преобразованиях неравенств. Прогуляйтесь по ссылке, если хотите узнать главную ошибку учеников при решении любых неравенств.) Там всё просто. Да и полезная информация по неравенствам имеется.
Решение квадратных неравенств. Примеры.
Квадратные неравенства можно решать двумя способами. Один способ — это метод интервалов. Великий и могучий! Годится для любых неравенств вообще! Ему будет посвящён отдельный урок. Здесь же мы разберём более простой способ с использованием парабол. Зачем из пушки по воробьям палить?) Способ годится только для решения квадратных неравенств. Но прост, очень нагляден и не требует никаких особых расчётов. Что, между прочим, резко уменьшает количество ошибок…
Решение будем разбирать на конкретных примерах. Сразу обрадую: любые квадратные неравенства решаются так, как написано далее. Любое решение состоит из трёх шагов. Первый пример я распишу очень подробно. Для понимания. Кто осилит решение до конца, получит приятный бонус.)
Ну что, начнём?)
1. Решить неравенство:
x2-8x+12≥0
Это неравенство уже готово для решения. Слева — квадратный трёхчлен, справа — ноль. Можно приступать.
Первый шаг решения.
Первый шаг всегда одинаков и прост до ужаса.) Делаем из неравенства уравнение:
x2-8x+12 = 0
Решаем это уравнение.
Знак неравенства на этом этапе нас совершенно не интересует.
Решаем, как обычно, без всяких фокусов, через дискриминант. Получаем корни:
х1= 2
х2= 6
Первый шаг сделан. Можно передохнуть.) Сейчас начнётся самое интересное.
Второй шаг решения.
На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать.) Да-да! Квадратные неравенства, как правило, решаются графически.
Знак неравенства и на этом этапе нас совершенно не интересует.
Слово «парабола» вам знакомо?) Вам повезло. В этом случае специально запоминать ничего не придётся. Один раз разобраться, и проблем не будет. В противном случае придётся запомнить алгоритм решения механически… Алгоритм приведён ниже.
Итак, на первом шаге мы из неравенство сделали уравнение. Решили его. На втором шаге из уравнения сделаем параболу:
y = x2-8x+12
Нарисуем эту параболу на графике. Вот такая она получится:
Точки 2 и 6 — это корни уравнения x2-8x+12 = 0, если помните…) Они располагаются прямо на оси ОХ. Почему так? А как же!? Сравните уравнение и параболу:
x2-8x+12 = 0
y = x2-8x+12
Корни уравнения — это иксы, при которых в правой части уравнения получается ноль. Стало быть, при таких иксах, и игрек нулевой будет. Выражения-то одинаковые. А нулевой игрек — это, как раз, ось ОХ и есть.
Фиксируем в голове: корни уравнения (2 и 6) — это значения икса, при которых выражение x2-8x+12 равно нулю. Это важно!
А теперь прикинем: при каких иксах выражение x2-8x+12 будет больше нуля? Как раз для такой прикидки нам и нужна парабола. Выражение x2-8x+12 это же и есть наш игрек. На графике чётко видно, где игрек больше нуля (положительный) и где он меньше нуля (отрицательный). Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и всё видим.
Если возьмём любую точку левее х=2, например х2, то соответствующий ему у2 будет положительный. Если возьмём точку х1 ещё левее, то пунктир пересечёт график далеко вверху, за пределами картинки, но игрек будет всё равно положительный.
Если мы возьмём икс правее точки х=6, скажем, х5, снова получим положительныйу5.
Если же мы возьмём любую точку между х=2 и х=6, например х3 или х4 — мы получим соответствующие им отрицательные значения у3 и у4.
Улавливаете идею?)
По параболе сразу видно, при каких иксах наш игрек (а это выражение x2-8x+12, между прочим!) больше нуля, меньше нуля и равен нулю!
По параболе, визуально, мы мгновенно определили знаки выражения x2-8x+12 при различных иксах. Можно нарисовать вот такую картину:
При всех иксах, которые меньше (левее) двойки, парабола проходит выше оси ОХ. Игрек при таких иксах — положительный, т.е. больше нуля. Следовательно, наше выражение x2-8x+12 при таких иксах больше нуля. Если мы убежим влево за рисунок, возьмём икс, равный минус сто миллионов, всё равно наше выражение будет больше нуля. Много-много больше.) Парабола — она бесконечная, и внезапно загибаться вниз не может.)
Аналогичная картина получится, если мы возьмём любой икс, больше (правее) шестёрки. Эти области на графике отмечены знаком «плюс»
А вот если мы возьмём любой икс в промежутке между 2 и 6, получим игрек отрицательный. Следовательно, при таких иксах, наше выражение меньше нуля.
Вот, практически и всё. На этом шаге мы руками нарисовали график, глазами увидели параболу, головой сообразили где какие знаки.) Осталось всего ничего.
Третий шаг решения.
На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было «решать уравнение»… НЕ сказано было «строить график»… Это, всего лишь, наши подручные средства.
Нам было сказано: решать квадратное неравенство!
Знак неравенства на этом этапе играет главную роль!
Смотрим на исходное неравенство:
x2-8x+12≥0
Нам нужно найти все иксы, при которых выражение в левой части неравенство больше, либо равно нулю. А чего их искать? Мы уже всё нашли.) Смотрим на график и видим, что это условие выполняется в областях, где стоит знак «+», (игрек больше нуля) и в точках х=2 и х=6 (игрек равен нулю).
cyberpedia.su
Как решать неравенства? Как решать дробные и квадратные неравенства?
Понятие математического неравенства возникло в глубокой древности. Это произошло тогда, когда у первобытного человека появилась потребность при счёте и действиях с различными предметами сравнивать их количество и величину. Начиная с античных времён неравенствами пользовались в своих рассуждениях Архимед, Евклид и другие прославленные деятели науки: математики, астрономы, конструкторы и философы.
Но они, как правило, применяли в своих работах словесную терминологию. Впервые современные знаки для обозначения понятий «больше» и «меньше» в том виде, каком их сегодня знает каждый школьник, придумали и применили на практике в Англии. Оказал такую услугу потомкам математик Томас Гарриот. А случилось это около четырёх столетий назад.
Известно множество видов неравенств. Среди них простые, содержащие одну, две и больше переменных, квадратные, дробные, сложные соотношения и даже представленные системой выражений. А понять, как решать неравенства, лучше всего на различных примерах.
Не опоздать на поезд
Для начала представим себе, что житель сельской местности спешит на железнодорожную станцию, которая находится на расстоянии 20 км от его деревни. Чтобы не опоздать на поезд, отходящий в 11 часов, он должен вовремя выйти из дома. В котором часу это необходимо сделать, если скорость его движения составляет 5 км/ч? Решение этой практической задачи сводится к выполнению условий выражения: 5 (11 – Х) ≥ 20, где Х – время отправления.
Это понятно, ведь расстояние, которое необходимо преодолеть селянину до станции равно скорости движения, умноженной на количество часов в пути. Прийти раньше человек может, но вот опоздать ему никак нельзя. Зная, как решать неравенства, и применив свои умения на практике, в итоге получим Х ≤ 7, что и является ответом. Это значит, что селянину следует отправиться на железнодорожную станцию в семь утра или несколько ранее.
Числовые промежутки на координатной прямой
Теперь выясним, как отобразить описываемые соотношения на координатной прямой. Полученное выше неравенство не является строгим. Оно означает, что переменная может принимать значения меньше 7, а может быть равным этому числу. Приведём другие примеры. Для этого внимательно рассмотрим четыре рисунка, представленных ниже.
На первом из них можно увидеть графическое изображение промежутка [-7; 7]. Он состоит из множества чисел, размещённых на координатной прямой и находящихся между -7 и 7, включая границы. При этом точки на графике изображаются в виде закрашенных кругов, а запись промежутка производится с использованием квадратных скобок.
Второй рисунок является графическим представлением строгого неравенства. В данной случае пограничные числа -7 и 7, показанные выколотыми (не закрашенными) точками, не включаются в указанное множество. А запись самого промежутка производится в круглых скобках следующим образом: (-7; 7).
То есть, выяснив, как решать неравенства такого типа, и получив подобный ответ, можно заключить, что он состоит из чисел, находящихся между рассматриваемыми границами, кроме -7 и 7. Следующие два случая необходимо оценивать аналогичным образом. На третьем рисунке даются изображения промежутков (-∞; -7] U [7; +∞), а на четвёртом — (-∞; -7) U (7; +∞).
Два выражения в одном
Часто можно встретить следующую запись: 7 < 2Х – 3 < 12. Как решать двойные неравенства? Это значит, что на выражение налагаются сразу два условия. И каждое из них следует учитывать, чтобы получить правильный ответ для переменной Х. Приняв во внимание такое положение дел, получаем из соотношений 2Х – 3 > 7 и 2Х – 3 < 11 следующее:
5 < Х < 7. Окончательный ответ записывается таким образом: (5; 7). Это значит, что переменная принимает множество значений, заключённых в промежутке между числами 5 и 7, исключая границы.
Сходные свойства с уравнением
Уравнение представляет собой выражение, объединяемое знаком = , который означает, что обе части его (левая и правая) тождественны по величине. Поэтому часто подобные соотношения связывают с образом старинных весов, имеющих чаши, установленные и скрепляемые посредством рычага. Данное устройство всегда находится в равновесии, если оба конца наделены одинаковым весом. При этом положение не меняется, если левая и правая части дополняются или теряют грузы одинаковой массы.
В математическом уравнении к обеим частям равенства, чтобы оно не нарушилось, тоже можно прибавлять одно и то же число. При этом оно может быть положительным или отрицательным. Как решать неравенства в данном случае, и можно ли сделать с ними то же самое? Предыдущие примеры показали, что да.
Отличие от уравнения
Обе части выражения, соединённые знаками < или >, можно умножать и делить на любое положительное число. При этом истинность соотношения не нарушается. Но как решить неравенство с дробями отрицательными и целыми множителями, перед которыми стоит знак минус? Здесь дело обстоит совершенно иначе.
Разберём это на примере: -3Х < 12. Чтобы выделить переменную в левой части, приходится делить каждую из них на -3. При этом знак неравенства меняется на обратный. Получаем: Х > -4, что и является ответом поставленной задачи.
Метод интервалов
Неравенство называется квадратным в случае, если содержит переменную, возведённую во вторую степень. Примером подобного соотношения может служить следующее выражение: Х2 – 2Х + 3 > 0. Как решать квадратные неравенства? Самым удобным способом является метод интервалов. Для осуществления задуманного, следует разложить на множители левую часть соотношения. Получается: (Х – 3)(Х + 1). Потом рекомендуется найти нули функции и расположить полученные точки в правильном порядке на координатной прямой.
Далее нужно распределить знаки получившихся интервалов, подставив в выражение любое из чисел, принадлежащих данному промежутку. При этом в простых случаях обычно достаточно разобраться хотя бы с одним из них, а остальные — расставить по правилу чередования. В заключении остаётся только отобрать подходящие интервалы, чтобы получить окончательное решение.
Квадратные неравенства здесь подчиняются закону соответствия отрицательных областей минусам, а положительных — плюсам. То есть, если выражение больше нуля, то следует брать числовые промежутки, помеченные знаком + . А в обратном случае решением будут участки, отмеченные знаком — . Таким образом, решение нашего неравенства запишется так: (-∞; -1) U (3; +∞).
Другие примеры применения метода интервалов
Описанный способ даёт ответ и на другой немаловажный вопрос: как решать дробные неравенства, если в данном случае вполне применим тот же метод интервалов? Рассмотрим подробнее, как это можно сделать, на примере соотношения, представленного ниже.
Здесь нулями функции являются точки -9 и 4. Для нахождения решения следует нанести их на координатную прямую и определить знаки промежутков, отобрав те из них, которые окажутся помеченными знаком плюс. При этом следует обратить внимание, что закрашенной будет только цифра 4.
Другая точка буде выколотой, так как -9 не входит в область значений, которые допустимы. Ведь при этом в знаменателе получается ноль, что в математике невозможно. Как решать дробные неравенства? В данном случае окончательным ответом станет объединение промежутков: (-∞; -9) U [4; +∞).
Параболы на графике
Выяснить всё о неравенствах часто помогают не только рисунки на координатной прямой, но и изображения в декартовой плоскости. Графиком квадратичной зависимости, как известно, является парабола. Даже схематичный рисунок такого типа способен практически полностью дать ответы на поставленные вопросы. Рассмотрим некоторые из типов парабол, дающих представления о решении квадратных неравенств.
Здесь прежде всего уясним для себя некоторые истины. Любое выражение такого типа приводится к виду: ах2 + вх + с = 0. При этом, если коэффициент а оказывается положительным, то параболу следует рисовать ветвями верх, в противоположно случае – вниз. А корни уравнения являются точками, где происходит пересечение графика функции с осью ОХ.
Толкования
Знать указанные выше утверждения очень важны для понимания квадратных неравенств и ответов на вопросы, связанные с ними. Начертив схему параболы на декартовой плоскости, для решения необходимо выяснить, в какой момент функция (то есть значения координат точек по оси ОУ) принимает показатели + и -. При этом, если в неравенстве стоит знак >, то решением его будет множество значений, принимаемых переменной Х при положительном У.
В случае знака < в ответе указываются показатели для Х при отрицательном У. Бывает так, что парабола и вовсе не пересекается с осью ОХ. Это происходит в случаях, когда Д < 0. Тогда, если график расположен в верхней полуплоскости, ответом для квадратного неравенства со знаком > окажется промежуток (-∞; +∞). А для < решением будет пустое множество. С нижней полуплоскостью дело обстоит с точностью да наоборот.
О пользе графических изображений
Изображения на декартовой плоскости существенно облегчают задачу для систем уравнений. Рисунки наглядно показывают решения, которые являются точками пересечения нанесённых линий. Остаётся только вычислить их координаты и записать ответ.
То же касается и неравенств. К примеру, решением соотношения у ≤ 6 – х (как понятно по рисунку) является сама прямая у = 6 — х, а также полуплоскость, размещённая ниже данной границы. Для точного ответа можно взять любую точку на графике (например (1; 3) и подставить её координаты в неравенство. Получаем: 3 ≤ 6 — 1, то есть верное соотношение. Значит, приведённые рассуждения были истинными.
Неравенство у ≥ х2 описывается областью на декартовой плоскости, расположенной в чаше параболы, включая границы её самой. А на пересечении указанных секторов можно найти решение соотношения, записанного в виде: х2 ≤ у ≤ 6 – х. Оно будет ограничиваться снизу линией параболы и отсекаться сверху прямой. Для уверенности снова сделаем проверку, подставив значения координат любой точки, пренадлежащей к этой области.
Возьмём (1; 4). Получаем: 1 ≤ 4 ≤ 6 — 1, то есть снова верное соотношение. Здесь опять есть смысл заметить, что неравенства обладают многими сходными чертами с уравнениями, хотя и наделены существенными отличиями.
fb.ru