Как решать уравнение в 3 степени – Решение кубических уравнений: примеры, метод Виета-Кардано

§7. Уравнения третьей степени.

Уравнение третьей степени x3+ax2+bx+c=0 (1) подстановкойx=yприводится кприведенному кубическому уравнению y3+py+q=0. (2) Корни такого уравнения можно найти по формулам Кардано:y=u+v=, (3) гдеu=,v=и они связаны соотношениемuv=. (4) С учётом (4) формулу Кардано (3) можно использовать и в таком виде:y=u, гдеu=. (5) Здесь можно брать любое (одно из двух) значение квадратного корня; три значе­ния кубического корня дают три корня приведенного уравнения (2). Заметим, что

u0, еслиp0; еслиp=0, то никакая специальная формула не нужна (имеемдву­членное уравнение).

Чтобы не запоминать формулу, можно пользоваться методом решения, по сути повторяющим вывод формул Кардано. Чтобы найти корни уравнения (2) (считаем р0), пологаяy=u+v, подставляем его в уравнение: (u+v)3+p(u+v)+q=0. Раскрыв скобки, и перегруппировав члены, получим: (u3+v3+q)+( 3uv+p)(u+v)=0. Для уничтожения второго слагаемого подберёмu, vтак, чтобы 3uv+p=0 илиuv=. Тогда уравнение (2) приводится к системе уравнений:

Замечаем, чтоu3,v3– корни квадратного уравненияz2+qz=0.

Затем, выбираем один (любой) корень z1этого квадратного уравнения. Бе­рём в качествеu1одно (любое) значение кубического корня изz1и вычисляем корни кубического уравнения (1) по следующей схеме: u1, v1=,y1=u1+v1,x1=y1;u2= u11, v2= v12,y2=u2+v2,x2=

y2–;u3= u12, v3= v11,y3=u3+v3,x3=y3; где1,2= невещественные кубические корни из единицы. Заметим, что2=(1)2=и1=(2)2=, это позволяет варьировать нахождениеu2, v2, u3, v3.

При исследовании уравнений третьей степени используют теорему:

Теорема. Пустьx3+px+q=0 неполное кубическое уравнение с действи­тельными коэффициентами. Обозначим ∆=.

  1. Если ∆>0, то уравнение имеет один действительный и два мнимых со­пряжённых корня.

  2. Если ∆=0, то корни уравнения действительны и хотя бы один из них кратный.

  3. Если ∆<0, то все корни действительны и различны.

Если не все коэффициенты уравнения (2) действительны, то для упроще­ния вычислений можно вычислить ∆. Если ∆=0 (p0,q0), тогда уравнение (2) имеет два равных корняy2=y3, и в этом случае корни уравнения (2) можно найти, не прибегая к извлечению корней второй и третьей степени, а именноy1=; y2=y3=. (6) Если же ∆0, то уравнение (2) имеет три различных корня, для нахождения кото­рых, используют один из вышеописанных способов.

Пример 1. Решить уравнение:

x3–6x+9=0.

Решение.Уравнение приведенное (отсутствует член сx2). Используем модифицированную формулу Кардано (5): ∆===>0.(берём только одно значение квадратного корня). Тогдаu=. Одно из значенийестьu1=–1, ещё два значения получим, умножаяu1на1,2 – кубические корни из единицы. Итак, u1=–1 , x1= u1

=1–=–3; u2= u11=–1, x2= u2=1+=–1–2/1= =–1–22=. Так как коэффициенты данного уравнения действительны и ∆>0, тоx3=(x3не нужно вычислять по формуле).

Ответ:x1=–3, x2,3=.

Пример 2. Решить уравнение:x3+9x2+18x+28=0.

Решение. Сделаем подстановку

x=y=y–3. Получим уравнениеy3–9y+28=0. Полагаемy=u+v: (u+v)3–9(u+v)+28=0, (u3+v3+28)+(3uv–9)(u+v)=0. Откуда, или, гдеu3,v3– корни квадратного урав­ненияz2+28z+27=0.

Один из корней последнего уравнения z1=–1, тогдаu1=–1, v1==–3,y1=–4,x1=–7;u2= u11=,v2= v

12=,y2=,x2=; Поскольку коэффициенты уравнения действительны и ∆>0, тоx3=.

Ответ: x1=–7, x2,3=.

Пример 3. Решить уравнение:x3+3x–2i=0.

Решение. Данное уравнение приведенное, и не все его коэффициенты дей­ствительны, поэтому вычислим ∆. ∆===–1+1=0 Таким образом корни уравнения можно вычислить по формулам (6).x1=

=; x2=x3==.

Ответ: x1=–2i, x2,3=i.

Пример 4. Решить уравнение:x3–3abx+ a3+b3=0

Решение. Пологаяx=u+v, получим (u+v)3–3ab(u+v)+ a3+b3=0 или (u3+v3+ a3+b3)+(3uv–3ab)(u+v)=0. ОткудаОдно из решений последней системы

Тогда u1=–a, v

1=–b, x1=a–b; u2= u11=, v2= v12=, x2=.

Ответ: x1=a–b, x2,3=.

Замечание: При выписывании ответа воспользовались тем, что при веще­ственныхa,bне надо вычислять x3. Но если выписанное значениеx3есть корень уравнения при (любых) вещественныхa иb, то ясно, чтоx3 будет корнем при лю­быхa,b.

Для самостоятельного решения.

Решить уравнения:

  1. x3

    +6x2–12x+32=0

  2. x3+9x2–18x+44=0

  3. x3–3x2–6x+36=0

  4. x3–12x2+24x–40=0

  5. x3–6ix+4(1–i)=0

  6. x3+(3–3i)x–9=0

  7. x3+3ax+1–a3=0

Ответы:

  1. (–8; )

  2. (–11; )

  3. (–3; )

  4. (10; )

  5. (2+2i; –1–i; –1–i)

  6. (i;

  7. (a–1;

studfiles.net

Уравнение третьей степени - это... Что такое Уравнение третьей степени?


Уравнение третьей степени

Куби́ческое уравне́ние — полиномиальное уравнение третьей степени, канонический вид которого

ax3 + bx2 + cx + d = 0,

где .

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола.

Заменяя в этом уравнении x новым неизвестным y, связанным с x равенством , уравнение можно привести к более простому (каноническому) виду:

y3 + py + q = 0,

где

,
,

Корни уравнения

Число x, обращающее уравнение в тождество, называется корнем или решением уравнения. Оно является также корнем многочлена третьей степени, стоящего в левой части канонической записи.

Над полем комплексных чисел, согласно основной теореме алгебры, кубическое уравнение всегда имеет 3 корня (с учётом кратности).

Так как каждый вещественный многочлен нечётной степени имеет хотя бы один вещественный корень, все возможные случаи состава корней кубического уравнения исчерпывается тремя, описанными ниже. Эти случаи легко различаются с помощью дискриминанта

Δ = − 4b3d + b2c2 − 4ac3 + 18abcd − 27a2d2.

Итак, возможны только три случая:

  • Если Δ > 0, тогда уравнение имеет три различных вещественных корня.
  • Если Δ < 0, то уравнение имеет один вещественный и пару комплексно сопряжённых корней.
  • Если Δ = 0, тогда хотя бы два корня совпадают. Это может быть когда уравнение имеет двойной вещественный корень и ещё один отличный от них вещественный корень; либо, все три корня совпадают, образуя корень кратности 3. Разделить эти два случая помогает результант кубического уравнения и его второй производной: у многочлена есть корень кратности 3 тогда и только тогда, когда указанный результант так же равен нулю.

Методы решения

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

  • Уравнение четвертой степени
  • Уравнение максвелла

Смотреть что такое "Уравнение третьей степени" в других словарях:

  • Уравнение Ван-дер-Ваальса — Уравнение состояния Стат …   Википедия

  • Кубическое уравнение — График кубической функции , у которой 3 действительных корня (в месте пересечения горизонтальной оси, где у = 0) …   Википедия

  • КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение третьей степени, т. е. уравнение вида где Заменяя в этом уравнении хновым неизвестным у, связанным с хравенством х=у b/За, К. у. можно привести к более простому (каноническому) виду: где решение же этого уравнения можно… …   Математическая энциклопедия

  • Кубическое уравнение —         алгебраическое уравнение третьей степени. Общий вид К. у.:          ax3 + bx2 + cx + d = 0,         где а ≠ 0. Заменяя в этом уравнении х новым неизвестным у, связанным с х равенством х = у b/3a, К. у. можно привести к более простому… …   Большая советская энциклопедия

  • Алгебра — вместе с арифметикой есть наука о числах и через посредство чисел о величинах вообще. Не занимаясь изучением свойств каких нибудь определенных, конкретных величин, обе эти науки исследуют свойства отвлеченных величин как таковых, независимо от… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • Кубические уравнения — Кубическое уравнение  полиномиальное уравнение третьей степени, канонический вид которого ax3 + bx2 + cx + d = 0, где . Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола. Заменяя в этом …   Википедия

  • КАРДАНОВО ПРАВИЛО — (от соб. им.). Правило, посредством которого решается уравнение третьей степени. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КАРДАНОВО ПРАВИЛО от соб. им. Правило, посредством которого решается уравнение… …   Словарь иностранных слов русского языка

  • АЛГЕБРА — раздел элементарной математики, в котором арифметические операции производятся над числами, значения которых заранее не заданы. Преимущества алгебраических методов обусловлены использованием достаточно компактных символических систем, что внешне… …   Энциклопедия Кольера

  • Геометрия — (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

  • ПОЛЕТА ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА — совокупность прикладных знаний, позволяющих авиационным инженерам на занятий в области аэродинамики, проблем прочности, двигателестроения и динамики полета летательных аппаратов (т.е. теории) создать новый летательный аппарат или улучшить… …   Энциклопедия Кольера

dic.academic.ru

Заглянем в мир формул. Решение уравнений 3-й степени. Формула Кардано.

МОУ ДОД  Дворец  творчества  детей  и  молодежи

Донская  Академия  Наук  Юных  Исследователей

Секция: математики - алгебра и теория чисел

Исследовательская  работа

«Заглянем в мир формул»

по теме                  «Решение уравнений 3 степени»

Автор работы:                                                                                                       ученица 11 «А» класса                                                                                          Симонян Альбина Левоновна                                                                                МОУ СОШ №7

Руководитель:                                                                                                                учитель математики                                                                                          Бабина Наталья Алексеевна                                                                          

Г.Сальск 2010


Содержание:

  1. Введение …………………………………………………………………………….3                                                                                  
  2. Основная часть…………………………………………………………………….4        
  3. Практическая часть……………………………………………………………10-13
  4. Заключение………………………………………………………………………….14
  5. Литература…………………………………………………………………………..15
  6. Приложения

 

1.Введение

              Математическое образование, получаемое в общеобразовательных  школах, является важнейшим компонентом общего образования и обшей  культуры современного человека. Практически все, что окружает человека –это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике, информационных технологиях не оставляет сомнения, что и в будущем  положение вещей остается прежним. Поэтому решение многих  практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научится решать.                                                                                                               Линейные уравнения первой степени,  нас учили решать еще в первом классе, и особого интереса к ним мы не проявляли. Интереснее нелинейные уравнения – уравнения больших степеней. Математика выявляет порядок, симметрию и  определенность, а это – высшие виды прекрасного.                                                    

              Целью моего проекта”Заглянем в мир формул” по теме “Решение кубических уравнений третий степени”, является систематизирование знаний о способах решения кубических уравнений, установление факта существования формулы для нахождения корней уравнения третий степени, а также связи между корнями и коэффициентами в кубическом уравнении.                                                                        Мы  на занятиях   решали уравнения и кубические, и степени выше 3-х.                   Решая уравнения  разными методами, мы складывали, вычитали, умножали, делили коэффициенты, возводили их в степень и извлекали из них корни, коротко говоря, выполняли алгебраические действия.                                                                    Есть формула  для  решения квадратных уравнений. А существует ли  формула для   решения уравнения  третьей степени,   т.е.  указания, в каком именно порядке и какие именно алгебраические действия надо произвести с коэффициентами, чтобы получить корни. Мне стало интересно  узнать, не попытались ли известные  математики отыскать общую формулу, пригодную для решения  кубических  уравнений?  А если попытались, смогли ли они получить выражение корней через коэффициенты уравнения?

2. Основная часть:

    В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах ,содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в  саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества.                                                                                                   Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является "Арифметика" греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений. Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда Бен Мусы ал-Хорезми.

     Так у меня  возникла идея создания проекта  «Заглянем в  мир формул…»,  основополагающими вопросами  данного проекта стали:

  1. установление, существует ли формула для решения кубических уравнений;
  2. в случае положительного ответа - поиск формулы, выражающей корни кубического уравнения через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами.

Так как в учебниках, да и в других книгах по математике, большинство рассуждений и доказательств проводится не на конкретных примерах, а в общем виде, то я решила искать частные примеры, подтверждающие или опровергающие мою мысль.                                                                                                                                  В поисках формулы решения кубических уравнений  я решила  действовать  по знакомым алгоритмам решения квадратных    уравнений. Например, решая уравнение х3+2х2  - 5х -6=0 выделила полный куб, применив формулу (х+а)3=х3+3х2 а+3а2х+а3.                                                                                             Чтобы выделить полный куб из левой части взятого мной уравнения,   превратила в нем   2х2 в 3х2а, т.е. искала  такое а, чтобы было справедливо равенство                         2х2 = 3х2а. Нетрудно было вычислить, что а = .                                                   Преобразовала левую часть данного уравнения следующим образом:                х3+2х2-5х-6=0                                                                                                                      

(х3+3х2 а+ 3х. + ) - 3х.  -  - 5х - 6= (х+)3 - 6х - 6                          Сделала подстановку   у = х + , т.е.  х = у -                                                               у3    -  6(у - ) - 6=0;                                                                                                             у3   -  6у + 4- 6=0;                                                                                             Исходное уравнение приняло вид:                                                                                         у3     -  6у - 2=0;                                                                                               Получилось не очень-то красивое уравнение, ведь вместо целых коэффициентов у меня теперь дробные, хотя  и  исчез член уравнения, содержащий квадрат неизвестного!                                                                                                          Приблизилась ли я к цели?  Ведь член, содержащий первую степень неизвестного, остался. Может быть, надо было выделить  полный куб так, чтобы исчез член – 5х?                                                                                                                                (х+а)3=х3+3х2 а+3а2х+ а3.                                                                                       Отыскала такое а, чтобы                                                                                                                          3а2х = -5х; т.е. чтобы  а2 = -                                                                                            Но тут-то получилось совсем нехорошо – в этом равенстве слева стоит положительное число, а справа – отрицательное. Такого равенства  быть не может.                                                                                                                      Уравнение пока мне  не удалось решить,  я смогла  его привести лишь к виду         у3     -  6у - 2=0.  

 Итак, итог  проделанной мной работы  на  начальном этапе: смогла  из кубического уравнения удалить член, содержащий вторую степень, т.е.  если дается каноническое  уравнение ах3+вх2+сх+d,  то его можно привести к неполному кубическому уравнению  х3+рх+q=0.                                                       Далее,  работая с разной справочной   литературой,  я  смогла  узнать,  что уравнение вида х3+рх=q  удалось решить итальянскому математику  Даль Ферро  (1465- 1526).                                                                                                                  Почему  для такого вида, а не  для вида  х3+рх+q=0?  Это    потому что,  тогда еще не были   введены отрицательные числа и уравнения рассматривались лишь с положительными коэффициентами. А отрицательные числа получили признание чуть попозже.                                                                                                                    Историческая справка: Даль Ферро подбирал многочисленные варианты по аналогии  с формулой корней приведенного   квадратного уравнения. Рассуждал он так:  корень квадратного уравнения есть - ±   т.е. имеет вид:                     х=t ±  .  Значит, корнем кубического  уравнения   тоже должна быть сумма или разность каких –то чисел, причем, наверное, среди них должны быть и корни третьей степени.  Каких - же именно?  Из многочисленных вариантов один оказался удачным: ответ он нашел в виде разности -  Еще труднее было догадаться, что t   и   u  надо  подобрать так, чтобы   =.                                                                                                   Подставив вместо х разность - ,  а вместо р произведение      получили:            (- )3  +3 (- )=q.                                                                                        Раскрыли скобки:                                                                                                                           t - 3 +3- u+3- 3=q.                                                                               После приведения подобных членов получили:                                                                                                             t-u=q.

Получилась система уравнений:                                                                                                        

t u = ()3                                                                                                                                                    t-u=q.                                                                                                                           Возведем правую и левую части первого уравнения в квадрат, а второе уравнение умножим на 4 и  сложим первое и второе уравнения.                                                          4t2 +2tu +u2 =q2 +4()3;                                                                                                   (t+u)2=4()+()3                                                                                                                       t+u =2                                                                                                            Из новой системы                                                                                                                          t+u=2 ;                                                                                                                                t -u=q                                                                                                                                       имеем: t= +  ;  u= -  .                                                        Подставив  вместо  х  выражение  -   получили                                                                                                                                       В ходе работы над проектом я узнала любопытнейшие материалы. Оказывается, Даль Ферро не опубликовал найденного им метода, но некоторые его ученики  знали об этом открытии, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил этим воспользоваться.                                                                                                                      В те годы были распространены публичные диспуты по научным вопросам. Победители таких диспутов обычно получали неплохое вознаграждение, их часто приглашали на высокие должности.                                                                                  

В это же время в итальянском городе Верона жил небогатый учитель математики Николо (1499-1557), прозванный Тартальей (т.е. заикой). Он был очень талантливым и сумел заново открыть прием Даля Ферро(Приложение 1).                                        Состоялся поединок между Фиором и Тартальей. По условию соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но т.к. Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить ее не может, то все 30 задач оказались однотипными. Тарталья справился  с ними за 2 часа. Фиор же не смог решить ни одной задачи, предложенных противником. Победа прославила Тарталью на всю Италию, но вопрос до конца не был решен. .

Все это удалось сделать Джероламо Кардано.  Ту самую формулу, которую открыл Даль Ферро и   переоткрыл Тарталья  называют  формулой Кардано(Приложение 2).

Кардано Джироламо (24.9.1501-21.9.1576) - итальянский математик, механик и врач. Родился в Павии.  Учился в университетах  Павии и Падуи.  В  молодости  занимался медициной. В 1534г. стал профессором математики в Милане и Болонье. В математике с именем Кардано обычно  связывают формулу для решения   кубического уравнения, которую  он позаимствовал  у Н. Тартальи.  Эта  формула  была  опубликована в книге Кардано  "Великое  искусство,  или   О  правилах  алгебры" (1545г.).  С того  времени Тарталья  и  Кардано  стали  смертельными  врагами.  В  этой  книге  систематически изложены  современные  Кардано  методы   решения  уравнений,  главным  образом кубических.  Кардано   выполнил  линейное  преобразование,  позволяющее привести кубическое уравнение к виду, свободному от члена 2-ой степени и указал на зависимость между корнями и коэффициентами уравнения, на делимость многочлена на разность x –a, если  a-его корень. Кардано одним из первых в Европе допускал существование отрицательных   корней  уравнений.  В   его  работе  впервые  появляются  мнимые величины. В механике Кардано занимался теорией рычагов и весов. Одно из движений отрезка  по  сторонам  прямого  угла  механики  называют  карда новым  движением.                                                                           Итак, по формуле Кардано можно решать уравнения вида                                  х3+рх+q=0 (Приложение 3)

Кажется,  проблема решена. Есть формула для  решения кубических уравнений.

 Вот она!                                                                                                                                        

                                                                       Выражение, стоящее под корнем -  дискриминант.                                                                        D=()2  + ()3                                                                                                                                   Я решила вернуться к моему уравнению и попытаться решить его по формуле Кардано:                                                                                                                                        Моё  уравнение имеет вид:  у3  -  6у - 2=0, где                                                                          р= -  6=-;        q  = - 2 = - .                                                                                     Легко подсчитать, что                                                                                                                 ()3  = =-   и  ()2 = =,                                                                             ()2  + ()3   = = - = - .                                                                                А дальше? Из числителя этой дроби я корень извлекла легко, получилось 15. А что делать со знаменателем? Мало того, что корень не извлекается нацело, так ведь еще извлекать – то его надо из отрицательного числа!                                                 В чем же дело?  Можно предположить, что  это уравнение не имеет корней,  ведь  при DИтак, в ходе работы над  проектом встретилась  с очередной проблемой.              В чем же дело? Я стала  составлять уравнения, имеющие корни, но не содержащие  члена квадрата неизвестного:

  1. составила  уравнение, имеющее корень х= - 4.

х3+15х+124=0                                                                                                                               И действительно, проверкой убедилась, что -4 является корнем уравнения.                       (-4)3 +15*(-4)+124=- 64 – 60 +124=0,

Проверила ,  можно ли  получить этот корень по формуле Кардано                           х=+=+=  =1- 5 =- 4

Получила, х = -4.

  1. составила второе уравнение, имеющее действительный корень х=1:                            х3 + 3х – 4 =0  и  проверила формулу.                                                                        

И в этом случае формула действовала   безотказно.

  1. подобрала уравнение х3+6х+2=0, имеющее один иррациональный корень.  

Решив данное уравнение, я получила этот корень   х =   -                                              И тут- то у меня появилось предположение:  формула  срабатывала, если  уравнение имело всего один корень.                                                                                      А моё уравнение, решение которого  загнало меня  в тупик,  имело три корня!  Вот где нужно искать причину!                                                                                           Теперь  я  взяла  уравнение, имеющее   три корня: 1; 2; -3.                                                                      х3 – 7х +6=0                                                                                                                                        p= -7; q = 6.                                                                                                                      Проверила дискриминант:                                                                                                                 D = ()2  + ()3   = ()3 + (-)3= 9 -  

Как я и предположила, под знаком квадратного корня опять оказалось отрицательное число.  Я пришла к выводу:                                                                         путь к трем корням уравнения х3+рх+q=0                                                                             ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа.

  1. Теперь мне осталось  узнать,  с  чем  же я столкнусь  в  случае, когда уравнение имеет два корня. Выбрала уравнение, имеющее два корня:             х3 – 12 х + 16 = 0.                                                                                                                        p = -12,       q = 16.  

D=()2 +()3=()2+()3=64-64=0                                                                                   D = 64 – 64 = 0.                                                                                                                          Теперь можно было  сделать вывод,   что число корней   кубического уравнения вида  х3+рх+q=0                                                                                                                        зависит от знака дискриминанта D=()2 +()3   следующим образом:

Если D>0, то уравнение имеет 1 решение.

Если D

Если D=0, то уравнение имеет 2 решение.

 Подтверждение моего вывода я  нашла в  справочнике по математике, автор Н.И.Бронштейн.                                                                                                                      Итак, мой вывод: формулой Кардано можно пользоваться, когда мы уверены, что корень единственный.                                                                                                     Мне удалось установить, что существует формула  для поиска корней кубического уравнения, но для вида  х3+рх+q=0.

3. Практическая часть.

Работа над   проектом «…  очень помогла мне  при решении некоторых задач  с параметрами. Например:                                                                                                          1. При каком наименьшем натуральном значении а уравнение х3-3х+4=а имеет 1 решение?                                                                                                             Уравнение переписали  в виде  х3-3х+4-а=0;                                                                                 р= -3;  q=4-а.                                                                                                                               По условию оно должно иметь 1 решение т.е. D>0                                                          Найдем D.                                                                                                                                      D=()2 +(-)3= +(-1)3= ==                               а2 -8а+12>0

_+__-___+___                       а  (-∞;2) (6; ∞)

     2    6

Наименьшее натуральное значение а из этого промежутка – это 1.

Ответ. 1

2. При каком наибольшем натуральном значении параметра а уравнение    х3+х2-8х+2-а=0  имеет три корня?

Уравнение   х3+3х2-24х+6-3а=0                                                                                    приводим к виду у3+ру+q=0, где а=1; в=3; с=-24; d=6-3а                                                           где q= -   +  и   3 p=                                                                                   q=32-3а;  р=-27.                                                                                                                       Для данного вида уравнения                                                                                                     D=()2  + ()3  =()2+(-9)3= -729 =;    D2-4 *9* (-1892) = 36864 + 68112 = 3242                                                                                а1 =  ==28,     а2   == - = -7.

    +_.__-___._+

      -7     28

   а  ( -7; 28)

Наибольшее натуральное значение а из этого интервала : 28.

Ответ.28

3.  В зависимости от значений параметра а найти число корней уравнения   х3 – 3х – а=0

Решение. В уравнении р =-3; q = -а.                                                                                          D=()2  + ()3 =(-)2+(-1)3= -1=.

_+.__-__._+

   -2       2

При а  (-∞;-2)  (2;∞)  уравнение имеет 1 решение;

При а  (-2;2) уравнение имеет 3 корня;

При а = -2; 2 уравнение имеет 2 решения.

Тесты:

 1.Сколько корней имеют уравнения:

1)  х3 -12х+8=0?

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2)  х3-9х+14=0

а) 1; б) 2; в)3; г)4

2.При каких значениях р уравнение х3 +рх+8=0    имеет два корня?

а)3; б) 5; в) -3; г)5

Ответ: 1.г) 4

            2.в) 3.

            3.в)-3

Французский математик Франсуа Виет  (1540-1603)  за 400  лет до нас (Приложение 4)  смог установить связь  корней уравнения второй степени с их коэффициентами.

                                     х1+х2=-р;

                                 х1 ∙х2=q.

Мне стало интересно узнать: а можно ли установить связь  корней уравнения третьей степени с их коэффициентами? Если да, то какова  эта связь?  Так возник мой мини – проект.                                                                                                                         Я решила использовать имеющиеся навыки работы  в области квадратных   уравнений при решении моей проблемы. Действовала по аналогии.                             Взяла  уравнение  х3+рх2+qх+r =0.                                                                                          Если   обозначим  корни уравнения х1, х2, х3 , то  уравнение  можно записать в виде  (х-х1) (х-х2) (х-х3)=0                                                                                                   Раскрыв скобки, получим:                                                                                                              х3-( х1+х2 +х3)х2 +( х1  х2  +  х1 х3 +х2х3)х - х1  х2  х3=0.                                                                     Получили  следующую систему:

   х1+х2 +х3= - р;

   х1 . х2  +  х1 х3 +х2х3 = q;

   х1  х2  х3= - r.

Таким образом,  можно связать корни уравнений произвольной степени с их коэффициентами.                                                                                                                         Что же в интересующем меня   вопросе можно извлечь  из теоремы Виета?

1. Произведение всех корней уравнения равно модулю свободного члена. Если корни уравнения – целые числа, то они должны быть делителями свободного члена.

Опять вернемся к уравнению х3+2х2-5х-6=0.                                                                     Целые числа должны принадлежать множеству: ±1; ±2; ±3; ±6. Последовательно подставляя числа  в уравнение, получим корни: -3; -1; 2.

2.Если решить это уравнение разложением на множители, теорема Виета  дает «подсказку»: надо, чтобы при составлении групп для разложения появились числа – делители свободного члена. Ясно, что сразу может и не поучиться, ведь не все делители являются корнями уравнения. И, увы, может не получиться вообще – ведь корни уравнения могут и не быть целыми числами.

Решим уравнение  х3+2х2-5х-6=0  разложением на множители.                                    х3+2х2-5х-6=х3+(3х2-  х2 )-3х-2х-6=х2(х+3)– х(х+3) – 2(х+3)=(х+3)( х2 –х-2)= =(х+3)(х2+х -2х -2)=(х+3)(х(х+1)-2(х+1))=(х+2)(х+1)(х-2)                                                  Исходное уравнение равносильно такому:                                                                                     (х+2)(х+1)(х-2)=0.                                                                                                                    А у этого уравнения три корня: -3;-1;2.                                                                       Пользуясь «подсказкой» теоремы Виета  я решила такое уравнение:                                                  х3-12х+16=0                                                                                                                                        х1  х2  х3 = -16.                                                                                                                         Делители свободного члена: ±1;±2;±4;±8;±16.                                                                                  х3-12х+16= х3-4х-8х+16= (х3-4х)-(8х-16)=х(х2-4)-8(х-2)=х(х-2)(х+2)-8(х-2)=

=(х-2)(х(х+2)-8)=(х-2)(х2+2х-8)                                                                                                  (х-2)(х2+2х-8)=0                                                                                                                                   х-2=0 или  х2+2х-8=0                                                                                                                         х=2             х1=-4; х2=2.  Ответ.   -4; 2.

3.Зная полученную систему равенств, можно найти по корням уравнения неизвестные коэффициенты  уравнения.                                                                            

Тесты:

1. Уравнение  х3 +рх2 + 19х - 12=0  имеет корни   1, 3, 4.                                                      Найти  коэффициент р;                                                                                                        Ответ. а) 12; б) 19; в) -12; г) -8                                                                                                    2. Уравнение  х3 – 10 х2 + 41х +r=0  имеет корни   2, 3, 5.                                                                              Найти  коэффициент r;                                                                                                         Ответ.  а) 19; б)-10; в) 30; г) -30.                                                                                    

Задания на применение результатов данного проекта  в достаточном количестве можно найти в пособии для поступающих в вузы   под редакцией М.И.Сканави. Знание теоремы Виета может оказать неоценимую помощь при решении таких задач.

№6.354

4. Заключение

1. Существует формула, выражающая корни алгебраического уравнения через коэффициенты уравнения:                                                                                                              где D==()2  + ()3                                              D>0, 1  решение.  Формула Кардано.

2. Свойство корней кубического   уравнения  

      х1+х2 +х3= - р;

      х1 . х2  +  х1 х3 +х2х3 = q;

      х1  х2  х3 = - r.

В итоге я пришла к выводу, что существует формула, выражающая корни кубических уравнений через его коэффициенты, а также существует связь между корнями и коэффициентами уравнения.

5. Литература:

1.Энциклопедический словарь юного математика. А.П.Савин. –М.: Педагогика, 1989.

2.Единый         государственный экзамен по математике – 2004. Задачи и решения. В.Г.Агаков, Н.Д.Поляков, М.П.Урукова и др. Чебоксары. Изд-во Чуваш. ун-та, 2004.

3.Уравнения и неравенства с параметрами. В.В.Мочалов, Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учеб. пособие. –Чебоксары: Изд-во Чуваш. Ун-та, 2004.

4.Задачи по математике. Алгебра. Справочное пособие. Вавилов В.В., Олехник С.Н.-М.: Наука, 1987.

5.Решебник всех конкурсных задач по математике сборника под редакцией М.И.Сканави. Издательство «Украинская энциклопедия» имени М.П.Бажова, 1993.

 6.За страницами учебника алгебры. Л.Ф.Пичурин.-М.: Просвещение,1990.              

nsportal.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *