Как упростить квадратный корень 🚩 упрощение выражения квадратный корень из степени 🚩 Математика
Автор КакПросто!
Если подкоренное выражение содержит набор математических действий с переменными, то иногда в результате его упрощения есть возможность получить относительно простое значение, часть которого можно вынести из под корня. Бывает полезно такое упрощение и в тех случаях, когда приходится производить расчеты в уме, а стоящее под знаком корня число слишком велико. Возникает необходимость разделить подкоренное выражение на насколько сомножителей и для того, чтобы оставить часть выражения под знаком радикала, так как требуется получить точный результат, а извлечение его из полного подкоренного значения дает в результате бесконечную десятичную дробь.
Статьи по теме:
Инструкция
Если под знаком корня стоит численное значение, то попробуйте разбить его на несколько сомножителей таким образом, чтобы из одного или нескольких из них можно было бы без проблем извлечь квадратный корень. Например, если под знаком радикала стоит число 729, то его можно разбить на два сомножителя — 81 и 9 (81*9=729). Извлечение квадратного корня из каждого из них никаких трудностей не представляет — в отличие от 729 эти числа принадлежат к знакомой со школы таблице умножения.Так как корень из произведения чисел равен раздельно, а полученные значения перемножьте между собой. Для использованного выше примера это действие можно записать так: √729 = √(81*9) = √81*√9 = 9*3 = 27.
Не всегда из каждого сомножителя можно извлечь корень с целочисленным результатом. В этом случае подберите наибольший множитель, с которым это можно сделать, и вынесите его из подкоренного выражения, а второй оставьте под знаком радикала. Например, для числа 192 наибольшим множителем, из которого можно извлечь квадратный корень, будет 64, а под знаком радикала надо оставить тройку: √192 = √(64*3) = √64*√3 = 8*√3.
Если подкоренное выражение содержит переменные, то его иногда тоже можно упростить и вынести из под знака радикала. Например, подкоренное выражение 4*x²+4*y²+8*x*y можно преобразовать к виду 4*(x+y)², а затем извлечь квадратный корень из каждого сомножителя и получить простое выражение: √(4*x²+4*y²+8*x*y) = √(4*(x+y) ²) = √4*√(x+y)² = 2*(x+y).
Как и с численными значениями, выражения с переменными не всегда можно вынести из под радикала полностью. Например, при подкоренном выражении x³-y³-3*y*x²+3x*y² можно вынести только часть, но полученный результат будет проще исходного: √(x³-y³-3*y*x²+3x*y²) = √(x-y)³ = (x-y)*√(x-y).
Видео по теме
Совет полезен?
Статьи по теме:
Не получили ответ на свой вопрос?
Спросите нашего эксперта:
www.kakprosto.ru
Как упростить квадратный корень Как? Так!
Содержимое:
3 метода:
Упростить квадратный корень вовсе не так сложно, как может показаться. Нужно просто разложить число на множители и извлечь из-под знака корня полные квадраты. Запомнив несколько самых распространенных квадратов и научившись раскладывать число на множители, вы сможете запросто упрощать квадратные корни.
Шаги
Метод 1 Разложение на множители
- 1 Цель упрощения квадратного корня – это переписать его в такой форме, которую проще использовать в вычислениях. Разложение числа на множители – это нахождение двух или нескольких чисел, которые при перемножении дадут исходное число, например, 3 х 3 = 9. Найдя множители, вы сможете упростить квадратный корень или вообще избавиться от него. Например, √9 = √(3×3) = 3.
- 2 Если подкоренное число четное, разделите его на 2. Если подкоренное число нечетное, попробуйте разделить его на 3 (если число на 3 не делится, делите его на 5, 7 и так далее по списку простых чисел). Делите подкоренное число исключительно на простые числа, так как любое число можно разложить на простые множители. Например, вам не нужно делить подкоренное число на 4, так как 4 делится на 2, а вы уже разделили подкоренное число на 2.
- 3 Перепишите задачу как корень из произведения двух чисел. Например, упростим √98: 98 ÷ 2 = 49, поэтому 98 = 2 x 49. Перепишите задачу так: √98 = √(2 x 49).
- 4 Продолжите разложение чисел до тех пор, пока под корнем не останется произведение двух одинаковых чисел и других чисел. Это имеет смысл, если задуматься о смысле квадратного корня: √(2 х 2) равен числу, которое, будучи умноженным само на себя, будет равно 2 х 2. Очевидно, что это число 2! Повторите описанные выше действия для нашего примера: √(2 х 49).
- 2 уже максимально упрощено, так как это простое число (см. список простых чисел выше). Поэтому разложите на множители число 49.
- 49 на 2, 3, 5 не делится. Поэтому переходите к следующему простому числу – 7.
- 49 ÷ 7 = 7, поэтому 49 = 7 x 7.
- Перепишите задачу так: √(2 x 49) = √(2 x 7 x 7).
- 5 Упростите квадратный корень. Так как под корнем находится произведение 2 и двух одинаковых чисел (7), вы можете вынести такое число за знак корня. В нашем примере: √(2 x 7 x 7) = √(2)√(7 x 7) = √(2) x 7 = 7√(2).
- Как только под корнем вы получили два одинаковых числа, вы можете остановиться с разложением чисел на множители (если их все еще можно разложить). Например, √(16) = √(4 х 4) = 4. Если вы продолжите разложение чисел на множители, вы получите тот же ответ, но проделаете больше вычислений: √(16) = √(4 х 4) = √(2 х 2 х 2 х 2) = √(2 х 2) √(2 х 2) = 2 х 2 = 4.
- 6 Некоторые корни можно упрощать многократно. В этом случае числа, выносимые из-под знака корня, и числа, стоящие перед корнем, перемножаются. Например:
- √180 = √(2 x 90)
- √180 = √(2 x 2 x 45)
- √180 = 2√45, но 45 можно разложить на множители и еще раз упростить корень.
- √180 = 2√(3 x 15)
- √180 = 2√(3 x 3 x 5)
- √180 = (2)(3√5)
- √180 = 6√5
- 7 Если вы не можете получить два одинаковых числа под знаком корня, то такой корень упростить нельзя. Если вы разложили подкоренное выражение на произведение простых множителей, и среди них нет двух одинаковых чисел, то такой корень упростить нельзя. Например, попробуем упростить √70:
- 70 = 35 x 2, поэтому √70 = √(35 x 2)
- 35 = 7 x 5, поэтому √(35 x 2) = √(7 x 5 x 2)
- Все три множителя являются простыми, поэтому их больше нельзя разложить на множители. Все три множителя разные, поэтому вы не сможете вынести целое число из-под знака корня. Следовательно, √70 упростить нельзя.
Метод 2 Полный квадрат
- 1 Запомните несколько квадратов простых чисел. Квадрат числа получается при его возведении во вторую степень, т. е. умножении на само себя. Например, 25 — полный квадрат, потому что 5 x 5 (5 2) = 25. Запомнив хотя бы десяток полных квадратов, вы сможете быстро упрощать корни. Вот первые десять полных квадратов:
- 12 = 1
- 22 = 4
- 32 = 9
- 42 = 16
- 52 = 25
- 62 = 36
- 72 = 49
- 82 = 64
- 92 = 81
- 102 = 100
- 2 Если под знаком квадратного корня вы видите полный квадрат, то избавьтесь от знака корня (√) и запишите квадратный корень этого полного квадрата. Например, если под знаком квадратного корня находится число 25, то такой корень равен 5, так как 25 является полным квадратом.
- √1 = 1
- √4 = 2
- √9 = 3
- √16 = 4
- √25 = 5
- √36 = 6
- √49 = 7
- √64 = 8
- √81 = 9
- √100 = 10
- 3 Разложите число под знаком корня на произведение полного квадрата и другого числа. Если вы заметили, что подкоренное выражение можно разложить на произведение полного квадрата и какого-то числа, то вы сэкономите время и усилия. Вот несколько примеров:
- √50 = √(25 х 2) = 5√2. Если подкоренное число оканчивается на 25, 50 или 75, вы всегда можете разложить его на произведение 25 и какого-то числа.
- √1700 = √(100 х 17) = 10√17. Если подкоренное число оканчивается на 00, вы всегда можете разложить его на произведение 100 и какого-то числа.
- √72 = √(9 х 8) = 3√8. Если сумма цифр подкоренного числа равна 9, вы всегда можете разложить его на произведение 9 и какого-то числа.
- √12 = √(4 х 3) = 2√3. Всегда проверяйте, делятся ли подкоренные числа на 4.
- 4 Разложите подкоренное число на произведение нескольких полных квадратов. В этом случае вынесите их из-под знака корня и перемножьте. Например:
- √72 = √(9 x 8)
- √72 = √(9 x 4 x 2)
- √72 = √(9) x √(4) x √(2)
- √72 = 3 x 2 x √2
- √72 = 6√2
Метод 3 Терминология
- 1 √ – это знак квадратного корня.
- 2 Под знаком корня записывается подкоренное выражение. Например, «25» – это подкоренное выражение (число) в √25.
- 3 Коэффициент – это число, стоящее перед знаком корня (слева от него). Например, «7» – это коэффициент в 7√2.
- 4 Множитель — целое число, получаемое при делении другого числа. 2 – множитель 8, так как 8 ÷ 4 = 2, а 3 не является множителем 8, так как 8 на 3 не делится (нацело). 5 – множитель 25, так как 5 x 5 = 25.
- 5 Упрощение квадратного корня – это нахождение среди множителей подкоренного выражения полных квадратов и их извлечение из-под корня. Например, √98 может быть упрощен до 7√2.
Советы
- Для нахождения полного квадрата (как одного из множителей подкоренного выражения) просто просмотрите список полных квадратов, начиная с полного квадрата, ближайшего к подкоренному числу (и далее в порядке уменьшения). Ища полный квадрат в числе 27, начните с полного квадрата 25, потом 16, и остановитесь на 9.
Предупреждения
- Ни при каких обстоятельствах у вас не должна появиться десятичная дробь!
- Калькуляторы могут быть полезны для вычислений с большими подкоренными числами, но лучше практиковаться в упрощении корней вручную.
Прислал: Fluffy . 2017-11-12 13:14:54
kak-otvet.imysite.ru
упростить корень в слове и морфемный разбор по составу
Разбор слова по составу.
Состав слова «упростить»:
Приставка: у
Корень слова: прост
Суффикс: ить
Окончание слова: —
Как правильно сказать?
Тест по русскому языку. Пройти >>Морфемный разбор слова упростить
Морфемным разбором слова обычно называют разбор слова по составу – это поиск и анализ входящих в заданное слово морфем (частей слова).
Морфемный разбор слова упростить делается очень просто. Для этого достаточно соблюсти все правила и порядок разбора.
Сделаем морфемный разбор правильно, а для этого просто пройдем по 5 шагам:
- определение части речи слова упростить – это первый шаг;
- второй — выделяем окончание: для изменяемых слов спрягаем или склоняем, для неизменяемых (деепричастие, наречие, некоторые имена существительные и имена прилагательные, служебные части речи) – окончаний нет;
- далее ищем основу. Это самая легкая часть, потому что для определения основы нужно просто отсечь окончание. Это и будет основа слова;
- следующим шагом нужно произвести поиск корня слова. Подбираем родственные слова для упростить (еще их называют однокоренными), тогда корень слова будет очевиден;
- Находим остальные морфемы для упростить путем подбора других слов, которые образованы таким же способом, что и упростить.
Как вы видите, морфемный разбор упростить делается просто. Теперь давайте определимся с основными морфемами слова упростить и сделаем его разбор.
упростить — корень суффикс окончание и приставка в слове
Окончание в слове упростить
Окончание. Окончание в слове упростить находим, изменяя слово (склоняем/спрягаем). В данном случае окончание: —
Корень слова ( в слове ) упростить
Корень. Корень слова определить проще, если вы можете подобрать однокоренные и родственные слова. Для слова упростить прост — корень слова.
Приставка в слове упростить
Приставка. Определяем приставку, подбирая слова, которые так же образованы с этой приставкой. В данном случае, приставка: у
Суффикс в слове упростить
Суффикс. Чтобы определить суффикс в слове упростить смотрим и подбираем слова, образованные суффисально, т.е. с похожим суффиксом. Для слова упростить суффикс: ить
Вот так просто мы произвели морфемный разбор слова упростить по составу.
aznaetelivy.ru
Упрощение выражения содержащего корень вида
Упрощение
выражения, содержащего корень вида 
Способ 1(представление подкоренного выражения в виде квадрата двучлена)
Рассмотрим на примере.
Пример 1. Упростить выражение
Решение.
Пусть .
Тогда . Приравняв, свободные от квадратного корня числа и коэффициенты, стоящие перед корнем получим систему уравнений:
или 
Так как числа х, у – натуральные, то получим следующие системы:
или
и тем самым только система (3) имеет натуральные решения: .
Следовательно .
Ответ: .
Способ 2 (формула сложного радикала)
Пример 2. Разность является целым числом. Найти это число.
Решение.
Ответ:
Пример 3. Упростить выражение
Решение.
Упростим корень 
по формуле сложного радикала:
.
Тогда
.
Упростим корень
по формуле сложного радикала:
Поэтому получим .
Ответ: .
Из ЕГЭ-2008г
Пример 4. Упростить выражение
Решение.
Способ 1 (формула сложного радикала).
Способ 2 (выделение полного квадрата). Пример 1.
Способ 3.
Пусть т.к.
Очевидно, что .
Возведем равенство в квадрат:
и т.к.
,
по 
.
(представление подкоренного выражения в виде куба двучлена)
Рассмотрим на примере.
Пример
4. Упростить выражение 
Решение.
Пусть .
Тогда . Приравняв, свободные от квадратного корня числа и коэффициенты, стоящие перед корнем получим систему уравнений
или 
Решать данную систему будем в натуральных числах .
Рассмотрим второе уравнение. С учетом условия , причем , получим следующие системы:
или
и тем самым только система (1) имеет натуральные решения: .
Следовательно .
Пример 5. Упростить выражение
Решение.
Упростим каждый корень.
Для упрощения квадратного корня воспользуемся формулой сложного радикала: .
Для упрощения кубического корня представим подкоренное выражение в виде куба двучлена: . Тогда .
Тем самым получим, что:
Ответ: .
gigabaza.ru
как упростить выражение с корнем?
У вас ошибка: 5корней из 3 = корню из 75, а не 45. Вынести из под корня нужно вот как: число 45 раскладывается как 9*5. из девятки вычислить корень мы можем, будет 3, а 5 мы просто оставляем под корнем. Итого: Корень из 45 = трем корням из пяти. Теперь Упрощаем: 2корня из пяти — три корня из пяти + корень из трех = — корню из 5 + корень из трех. Дальше упрощать некуда.
получится 2√5-3√3+√3, а дальше (2-3+1)√3=√3
45=9*5 поэтому корень из 45 =3 корня из5 !!!из пяти!!! ! 2V5-3V5+V3= V3-V5 больше ничего не сделать. упростили? упростили. решение ОЛЕЧКИ НЕВЕРНОЕ!!! ! и Артема тем более.
я не знаю точно но вот… 2√5=√20 …√20-√45+√3= -√22
2v5+v9x3+v3=2v5-3v5+v3=v3-v5; Ваша ошибка: v45 не равень 5v3=v25x3=v75
touch.otvet.mail.ru