Нок примеры с ответами – НОК. Наименьшее общее кратное чисел.

Содержание

НОК. Наименьшее общее кратное чисел.

Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Пример 1. Найти НОК(35; 40).

Разложим числа 35 и 40 на простые множители.

35=5∙7, 40=2∙2∙2∙5 или 40=2³∙5

Берем разложение большего числа 40 и дополняем его недостающими множителями. НОК(35; 40)=2³∙5∙7=40∙7=280.

Ответ: НОК(35; 40)=280.

Пример 2. Найти НОК(45; 54).

Раскладываем числа 45 и 54 на простые множители.

45=3²∙5, 54=2∙3³.

Берем разложение числа 54 и умножаем на недостающие множители из разложения числа 45, т. е. на число 5.

НОК(45; 54)=2∙3³∙5=54∙5=270.

Ответ: НОК(45; 54)=270.

Пример 3. Найти НОК(75; 120; 150).

Разложим числа 75, 120 и 150 на простые множители.

75=3∙5², 120=2³∙3∙5, 150=2∙3∙5²

Возьмем разложение большего числа 150 и дополним его двумя «двойками», так как в разложении числа 120 имеется три «двойки», а в разложении числа 150 – только одна.

НОК(75; 120; 150)=2∙3∙5²∙2∙2=150∙4=600.

Ответ: НОК(75; 120; 150)=600.

Вывод: при нахождении НОК выписывают произведение всех простых (различных) множителей, имеющихся в разложениях этих чисел, причем, каждый из множителей берется с наибольшим из имеющихся показателей степеней.

Запись имеет метки: НОК

www.mathematics-repetition.com

Нод и Нок чисел. Разложение на простейшие множители. Примеры вычисление НОК И НОД.

Для начала вспомним, что такое простые числа – это числа, которые имеют два делителя: само себя и \(1\). Давайте рассмотрим два числа \(18\) и \(48\) и найдем числа которые будут делится без остатка на них – \(864\) и \(144\). Наименьшее из них \(144\), то есть мы нашли наименьшее общее кратное, сокращенно \(НОК\). Когда мы вычисляем \(НОК\) двух чисел, мы записываем их в круглых скобках \(НОК\)\((48;18).\) А если у нас очень большие числа, как нам тогда искать \(НОК\)? Для этого мы каждое число должны разложить на простые множители. Взять множители разложения большего числа и недостающие из второго и перемножить их.

НОК\((48;18)=2*3*4*2*3=144.\)

Давайте найдем \(НОК\) у \(7\) и \(9\). Раскладываем на простые множители:

\(7\) и \(17\) – это простые числа, так как они делятся на себя и на \(1\), то есть общий делитель у них \(1\). Два числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме числа \(1\). Как же нам в этом случае найти \(НОК\)? Применяем все те же правила. Берем простые множители из наибольшего числа и недостающие из второго и затем перемножаем их. \(НОК\) чисел \(17\) и \(7\) равен их произведению, то есть \(119\). Можно сформулировать простое правило для нахождения \(НОК\) у взаимно простых чисел:

Чтобы найти \(НОК\) у взаимно простых чисел, мы должны перемножить их. Легко, не так ли?

Задача 1. Найти \(НОК\)(840;140).

Раскладываем на простые множители:

Заметив, что множители в числе \(140\) повторяются, берем множители разложение большего числа: \(2*2*3*5*7*2=840.\)

Ответ: \(НОК\)\((840;140)=840.\)

Далее введем понятие наибольшего общего делителя, сокращенно \(НОД\). Для его нахождения нужно также разложить на простые сомножители и перемножить их общие цифры.

Задача 2. Найти \(НОД\)(840;140).

Решение. Выше можно посмотреть разложение этих чисел на простые множители.

Общие множители это 2*5*2*7=140.

Ответ: \(НОД\)(840;140)=140.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Наименьшее общее кратное (Вольфсон Г.И.). Видеоурок. Математика 6 Класс

На этом уроке вы узнаете, что такое наименьшее общее кратное, ознакомитесь с основным понятием НОК и несколькими его свойствами, рассмотрите примеры и решите задачи для лучшего понимания темы.

Для начала решим задачу.

Задача № 1

Один экскурсионный автобус совершает полную экскурсию по городу за 2 часа, а другой – за 3 часа, оба автобуса выехали из базы в 10 часов утра. В какое время автобусы впервые встретятся на базе (рис. 1)?

Рис. 1. Иллюстрация к задаче № 1

Решение

Выходит, что первый автобус бывает на базе каждые два часа, а второй – каждые три. Тогда нам нужно найти число, которое бы нацело делилось на 2 и 3. И таким числом будет 6, меньше числа не найти.

Ответ: автобусы встретятся через 6 часов, в 4 часа дня.

Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел и есть наименьшее натуральное число, которое делится на и без остатка.

Выходит, в случае нашей задачи наименьшим общим кратным для 2 и 3 было число 6, записывается это так:

, , ,

Приемлема и такая запись: .

1. НОК чисел всегда не меньше, чем данные числа.

2. .

3. Если делится нацело на , то .

Дано: числа 10, 12

Найти:

Решение

Разложим числа на множители

;

Найдем общие сомножители первого и второго числа, для данного случая это 2. Теперь выпишем множители для десяти и добавим к ним те, которые не являются общими для данных чисел, выйдет:

. Это и есть НОК.

Ответ:

interneturok.ru

Памятка. НОД и НОК

Признаки делимости натуральных чисел.

Числа, делящиеся без остатка на 2, называются четными.

Числа, которые не делятся без остатка на 2, называются нечетными.

Признак делимости на 2

Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится без остатка на 2.

Например, числа 60, 308, 84 делятся без остатка на 2, а числа 51, 85, 167 не делятся без остатка на 2.

Признак делимости на 3

Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.

Например, выясним, делится ли на 3 число 2772825. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 — делится на 3. Значит, число 2772825 делится на 3.

Признак делимости на 5

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Например, числа 15, 30, 1765, 475300 делятся без остатка на 5, а числа 17, 378, 9

1 не делятся.

Признак делимости на 9

Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Например, выясним, делится ли на 9 число 5402070. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 — не делится на 9. Значит, число 5402070 не делится на 9.

Признак делимости на 10

Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

Например, числа 40, 170, 14090 делятся без остатка на 10, а числа 17, 93, 14307 — не делятся.

Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;

3) найти произведение оставшихся множителей.

Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

36 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.

48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3

Остаются множители 2, 2 и 3.

3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.

НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.

Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:

1) разложить их на простые множители;

2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей.

Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.

1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.

75 = 3 · 5 · 5

60 = 2 · 2 · 3 · 3

2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · …

3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2

4. Найдем произведение получившихся множителей

НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.

infourok.ru

5 класс НОД и НОК (памятка ученику)

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 377

КИРОВСКОГО РАЙОНА САНКТ-ПЕТЕРБУРГА

Тема: «НОД и НОК.»

Памятка по математике

Для учеников 5 класса

Автор: Кудрявцева Лилия Викторовна

НОД и НОК

1, 3, 9 18, 27, 36, 45 …

НОД

НОК

Наибольший общий делитель (НОД) двух данных чисел a и b — это наибольшее число, на которое оба числа a и b делятся без остатка.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух и более натуральных чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из этих чисел.

I способ нахождения НОД

методом перебора делителей

1. Найти делители каждого числа;

2. Найти общие делители;

3. Выбрать наибольший общий делитель.

Найти НОД 10 и 15.

Д (10) = {1, 2, 5, 10}
Д (15) = {1, 3, 5, 15}

Д (10, 15) = {1, 5}
НОД (10; 15) = 5

I способ нахождения НОК

методом перебора кратных

1. Берем большее из чисел

2. Находим числа кратные выбранному (умножая выбранное число последовательно на 1, 2, 3, 4, 5 , и тд)

3. Каждое полученное кратное проверяем делится ли оно на оставшиеся число; первое такое кратное и есть НОК.

Найти НОК 18 и 24

24•1=24 (не делится на 18)

24•2=48 (не делится на 18)

24•3=72 — делится на 18

НОК (24, 18)=72

II способ нахождения НОД

через разложения на простые множители

1. Разложить числа на простые множители;

2. Подчеркнуть одинаковые простые множители в обоих числах;

3. Найти произведение одинаковых простых множителей и записать ответ.

Найти НОД 48 и 36.

НОД (48; 36) = 2 • 2 • 3 = 12

II способ нахождения НОК

через разложения на простые множители

1. Разложить на простые множители каждое число;

2. Выписать все множители из разложения одного любого числа;

3. Добавить к ним недостающие множители из разложения другого числа;

4. Найти произведение получившихся множителей.

Найти НОК 24 и 60.

60 = 2 • 2 • 3 • 5

24 = 2 • 2 • 2 • 3

НОК (24; 60) = 2 • 2 • 3 • 5 • 2 =120

Примечание 1: Если a и b взаимно простые* числа, то НОД(a,b)=1

Например: НОД(4,9)=1

Примечание 1: Если a и b взаимно простые* числа, то НОК(a,b)=a•b

Например: НОК(4, 9)=4•9=36

Примечание 2: Если a делится на b, то НОД(a,b)=b

Например: НОД(120, 60)=60

Примечание 2: Если a делится на b, то НОК(a,b)=a

Например: НОК(120, 60)=120

*Взаимно простые числа – это те, у которых нет общих простых делителей. (Например: 4 и 9)

Примечание 1: Простые числа (1,2,3,5,7,11,13,17 и т.д.) — взаимно просты

Примечание 2: Два соседних натуральных числа (например: 24 и 25) — взаимно просты

infourok.ru

НОК | математика-повторение

Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел. Пример. НОК(24, 42)=168. Это самое маленькое число, которое делится и на 24 и на 42.
Для нахождения НОК нескольких данных натуральных чисел надо: 1) разложить каждое из данных чисел на простые множители; 2) выписать разложение большего из чисел и умножить его на недостающие множители из разложений других чисел.
Наименьшее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

Пример 1. Найти НОК(35; 40).

Разложим числа 35 и 40 на простые множители.

35=5∙7, 40=2∙2∙2∙5 или 40=2³∙5

Берем разложение большего числа 40 и дополняем его недостающими множителями. НОК(35; 40)=2³∙5∙7=40∙7=280.

Ответ: НОК(35; 40)=280.

Пример 2. Найти НОК(45; 54).

Раскладываем числа 45 и 54 на простые множители.

45=3²∙5, 54=2∙3³.

Берем разложение числа 54 и умножаем на недостающие множители из разложения числа 45, т. е. на число 5.

НОК(45; 54)=2∙3³∙5=54∙5=270.

Ответ: НОК(45; 54)=270.

Пример 3. Найти НОК(75; 120; 150).

Разложим числа 75, 120 и 150 на простые множители.

75=3∙5², 120=2³∙3∙5, 150=2∙3∙5²

НОК(75; 120; 150)=2∙3∙5²∙2∙2=150∙4=600.

Ответ: НОК(75; 120; 150)=600.

www.mathematics-repetition.com

НОД и НОК (Тамаркова)

НОД, НОД

НОД — это наибольший общий делитель.

НОК — это наименьшее общее кратное.

Определения:

Наибольшим общим делителем чисел a и b называется наибольшее число, на которое a и b делятся без остатка.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n есть наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка

Способы нахождения НОД двух чисел:

1 способ (следует из определения): Метод полного перебора для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел.

Выписываем все делители числа а;
Выписываем все делители числа b;
Выбираем среди них общие делители;
Среди общих делителей выбираем самое большое число – это и есть НОД(a, b).

2 способ : Метод перебора делителей меньшего числа для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел.

Найти делители меньшего из данных чисел.
Найти, начиная с большего, тот из выписанных делителей, который является также делителем другого числа.
Записать найденное число – НОД.

3 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители.

Находим разложение чисел на простые множители.
Подчеркиваем общие числа.
Находим произведение подчеркнутых чисел у одного числа.
Записываем ответ.

4 способ: Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух натуральных чисел вычитанием.

Из большего числа вычитается меньшее.
Если получается 0, то числа равны друг другу и являются наибольшим общим делителем.
Если результат вычитания не равен 0, то большее число заменяется на результат вычитания.
Переход к пункту 1.

Способы нахождения НОК двух чисел:

1 способ: Метод перебора
1. Выписываем в строчку кратные для каждого из чисел, пока не найдётся кратное, одинаковое для обоих чисел.

2 способ; Метод нахождения наибольшего общего делителя (НОД) натуральных чисел с помощью разложения на множители

Разложить данные числа на простые множители.
Выписать в строчку множители, входящие в разложение самого большого из чисел, а под ним — разложение остальных чисел.
Подчеркнуть в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение бóльшего числа и добавить эти множители в разложение большего числа.
Полученное произведение записать в ответ.
Свойства наибольшего общего делителя:

НОД(a, b) = НОД(b, a)
НОД(a, b) = НОД(-a, b)
НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
НОД(a, 0) = |a|
НОД(a, к • a) = |a|, при любом к ∈ Z
НОД(a, НОД(b, с)) = НОД(НОД(a, b), c)

Свойства наименьшего общего кратного:

НОК(a, b) = НОК(b, a)
НОД(a, b) = НОД(-a, b)
НОД(a, b) = НОД(|a|,|b|)
НОК(a, НОК(b, с)) = НОК(НОК(a, b), c)

ya-znau.ru