Дробно-рациональные уравнения. Алгоритм решения
Проще говоря, это уравнения, в которых есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.
Например:
\(\frac{9x^2-1}{3x}\)\(=0\)
\(\frac{1}{2x}+\frac{x}{x+1}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{6}{x+1}=\frac{x^2-5x}{x+1}\)
Пример не дробно-рациональных уравнений:
\(\frac{9x^2-1}{3}\)\(=0\)
\(\frac{x}{2}\)\(+8x^2=6\)
Как решаются дробно-рациональные уравнения?
Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.
Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:
-
Выпишите и «решите» ОДЗ.
-
Найдите общий знаменатель дробей.
-
Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
-
Запишите уравнение, не раскрывая скобок.
-
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.
-
Решите полученное уравнение.
Проверьте найденные корни с ОДЗ.
-
Запишите в ответ корни, которые прошли проверку в п.7.
Алгоритм не заучивайте, 3-5 решенных уравнений – и он запомнится сам.
Пример. Решите дробно-рациональное уравнение \(\frac{x}{x-2} — \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\)
Решение:
|
\(\frac{x}{x-2} — \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\) ОДЗ: \(x-2≠0⇔x≠2\) |
Сначала записываем и «решаем» ОДЗ. |
|
|
\(\frac{x}{x-2} — \frac{7}{x+2}=\frac{8}{x^2-4}\) |
По формуле сокращенного умножения: \(x^2-4=(x-2)(x+2)\). Значит, общий знаменатель дробей будет \((x-2)(x+2)\). Умножаем каждый член уравнения на \((x-2)(x+2)\). |
|
|
\(\frac{x(x-2)(x+2)}{x-2} — \frac{7(x-2)(x+2)}{x+2}=\frac{8(x-2)(x+2)}{(x-2)(x+2)}\) |
Сокращаем то, что можно и записываем получившееся уравнение. |
|
|
\(x(x+2)-7(x-2)=8\) |
Раскрываем скобки |
|
|
\(x^2+2x-7x+14=8\) |
|
Приводим подобные слагаемые |
|
\(x^2-5x+6=0\) |
|
Решаем полученное квадратное уравнение. |
|
\(x_1=2;\) \(x_2=3\) |
|
Согласуем корни с ОДЗ. Замечаем, что по ОДЗ \(x≠2\). Значит первый корень — посторонний. В ответ записываем только второй. |
Ответ: \(3\).
Пример. Найдите корни дробно-рационального уравнения \(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\)
Решение:
|
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{x^2+7x+10}\)\(=0\) ОДЗ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) |
Записываем и «решаем» ОДЗ. Раскладываем квадратный трехчлен \(x^2+7x+10\) на множители по формуле: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). |
|
|
\(\frac{x}{x+2} + \frac{x+1}{x+5}-\frac{7-x}{(x+2)(x+5)}\)\(=0\) |
Очевидно, общий знаменатель дробей: \((x+2)(x+5)\). Умножаем на него всё уравнение. |
|
|
\(\frac{x(x+2)(x+5)}{x+2} + \frac{(x+1)(x+2)(x+5)}{x+5}-\) |
Сокращаем дроби |
|
|
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\) |
Раскрываем скобки |
|
|
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\) |
|
Приводим подобные слагаемые |
|
\(2x^2+9x-5=0\) |
|
Находим корни уравнения |
|
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac{1}{2}.\) |
|
Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень. |
Ответ: \(\frac{1}{2}\).
Смотрите также:
Дробно-рациональные неравенства
cos-cos.ru
Как решать квадратные уравнения? Дискриминант. — МегаЛекции
Поработаем с квадратными уравнениями. Это очень популярные уравнения! В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так:
Например:
Здесь а =1; b = 3; c = -4
Или:
Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2
Или:
Здесь а =-3; b = 6; c = -18
Ну, вы поняли…
Как решать квадратные уравнения? Если перед вами квадратное уравнение именно в таком виде, дальше уже всё просто. Вспоминаем волшебное слово дискриминант. Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении. Итак, формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так:
Выражение под знаком корня – и есть тот самый дискриминант. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с. Т.е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с
в это формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, для первого уравнения а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем:Пример практически решён:
Вот и всё.
Какие случаи возможны при использовании этой формулы? Всего три случая.
1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения.
2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас одно решение. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но это играет роль в неравенствах, там мы поподробнее вопрос изучим.
3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет.
Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же…
Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений
Предположим, надо вот такой примерчик решить:
Здесь a = -6; b = -5; c = -1
Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются.
Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками:
Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок!
Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант мы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо. Умеете правильно определять a, b и с. Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?
Однако частенько квадратные уравнения выглядят слегка иначе. Например, вот так:
Или так:
Это неполные квадратные уравнения. Их тоже можно решать через дискриминант. Надо только правильно сообразить, чему здесь равняются a, b и с.
Сообразили? В первом примере a = 1; b = -4; а c? Его вообще нет! Ну да, правильно. В математике это означает, что c = 0! Вот и всё. Подставляем в формулу ноль вместо c, и всё у нас получится. Аналогично и со вторым примером. Только ноль у нас здесь не
Но неполные квадратные уравнения можно решать гораздо проще. Безо всякого дискриминанта. Рассмотрим первое неполное уравнение. Что там можно сделать в левой части? Можно икс вынести за скобки! Давайте вынесем.
И что из этого? А то, что произведение равняется нулю тогда, и только тогда, когда какой-нибудь из множителей равняется нулю! Не верите? Хорошо, придумайте тогда два ненулевых числа, которые при перемножении ноль дадут!
Не получается? То-то…
Следовательно, можно уверенно записать: х = 0, или х = 4
Всё. Это и будут корни нашего уравнения. Оба подходят. При подстановке любого из них в исходное уравнение, мы получим верное тождество 0 = 0. Как видите, решение куда проще, чем через дискриминант.
Второе уравнение тоже можно решить просто. Переносим 9 в правую часть. Получим:
Остаётся корень извлечь из 9, и всё. Получится:
Тоже два корня. х = +3 и х = -3.
Так решаются все неполные квадратные уравнения. Либо с помощью вынесения икса за скобки, либо простым переносом числа вправо с последующим извлечением корня.
Спутать эти приёмы крайне сложно. Просто потому, что в первом случае вам придется корень из икса извлекать, что как-то непонятно, а во втором случае выносить за скобки нечего…
А теперь примите к сведению практические приёмы, которые резко снижают количество ошибок. Тех самых, что из-за невнимательности.… За которые потом бывает больно и обидно…
Приём первый. Не ленитесь перед решением квадратного уравнения привести его к стандартному виду. Что это означает?
Допустим, после всяких преобразований вы получили вот такое уравнение:
Не бросайтесь писать формулу корней! Почти наверняка, вы перепутаете коэффициенты a, b и с. Постройте пример правильно. Сначала икс в квадрате, потом без квадрата, потом свободный член. Вот так:
И опять не бросайтесь! Минус перед иксом в квадрате может здорово вас огорчить. Забыть его легко… Избавьтесь от минуса. Как? Да как учили в предыдущей теме! Надо умножить всё уравнение на -1. Получим:
А вот теперь можно смело записывать формулу для корней, считать дискриминант и дорешивать пример. Дорешайте самостоятельно. У вас должны получиться корни 2 и -1.
Приём второй. Проверяйте корни! По теореме Виета. Не пугайтесь, я всё объясню! Проверяем последнее уравнение. Т.е. то, по которому мы записывали формулу корней. Если (как в этом примере) коэффициент а = 1, проверить корни легко. Достаточно их перемножить. Должен получиться свободный член, т.е. в нашем случае -2. Обратите внимание, не 2, а -2! Свободный член со своим знаком. Если не получилось – значит уже где-то накосячили. Ищите ошибку. Если получилось — надо сложить корни. Последняя и окончательная проверка. Должен получиться коэффициент b с противоположным знаком. В нашем случае -1+2 = +1. А коэффициент b, который перед иксом, равен -1. Значит, всё верно!
Жаль, что это так просто только для примеров, где икс в квадрате чистый, с коэффициентом а = 1. Но хоть в таких уравнениях проверяйте! Всё меньше ошибок будет.
Приём третий. Если в вашем уравнении есть дробные коэффициенты, — избавьтесь от дробей! Домножьте уравнение на общий знаменатель, как описано в предыдущем разделе. При работе с дробями ошибки, почему-то так и лезут…
Кстати, я обещал злой пример с кучей минусов упростить. Пожалуйста! Вот он.
Чтобы не путаться в минусах, домножаем уравнение на -1. Получаем:
Вот и всё! Решать – одно удовольствие!
Итак, подытожим тему.
Практические советы:
1. Перед решением приводим квадратное уравнение к стандартному виду, выстраиваем его правильно
2. Если перед иксом в квадрате стоит отрицательный коэффициент, ликвидируем его умножением всего уравнения на -1.
3. Если коэффициенты дробные – ликвидируем дроби умножением всего уравнения на соответствующий множитель.
4. Если икс в квадрате – чистый, коэффициент при нём равен единице, решение можно легко проверить по теореме Виета. Делайте это!
Дробные уравнения. ОДЗ.
Продолжаем осваивать уравнения. Мы уже в курсе, как работать с линейными уравнениями и квадратными. Остался последний вид – дробные уравнения. Или их ещё называют гораздо солиднее – дробные рациональные уравнения. Это одно и то же.
Дробные уравнения.
Как ясно из названия, в этих уравнениях обязательно присутствуют дроби. Но не просто дроби, а дроби, у которых есть неизвестное в знаменателе. Хотя бы в одном. Например:
Или:
Напомню, если в знаменателях только числа, это линейные уравнения.
Как решать дробные уравнения? Прежде всего – избавиться от дробей! После этого уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы знаем, что делать… В некоторых случаях оно может превратиться в тождество, типа 5=5 или неверное выражение, типа 7=2. Но это редко случается. Ниже я про это упомяну.
Но как избавиться от дробей!? Очень просто. Применяя всё те же тождественные преобразования.
Нам надо умножить всё уравнение на одно и то же выражение. Так, чтобы все знаменатели посокращались! Всё сразу станет проще. Поясняю на примере. Пусть нам требуется решить уравнение:
Как учили в младших классах? Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как страшный сон! Так нужно делать, когда вы складываете или вычитаете дробные выражения. Или работаете с неравенствами. А в уравнениях мы сразу умножаем обе части на выражение, которое даст нам возможность сократить все знаменатели (т.е., в сущности, на общий знаменатель). И какое же это выражение?
В левой части для сокращения знаменателя требуется умножение на х+2 . А в правой требуется умножение на 2. Значит, уравнение надо умножать на 2(х+2). Умножаем:
Это обычное умножение дробей, но распишу подробно:
Обратите внимание, я пока не раскрываю скобку (х + 2)! Так, целиком, её и пишу:
В левой части сокращается целиком (х+2), а в правой 2. Что и требовалось! После сокращения получаем линейное уравнение:
А это уравнение уже решит всякий! х = 2.
Решим ещё один пример, чуть посложнее:
Если вспомнить, что 3 = 3/1, а 2х = 2х/1, можно записать:
И опять избавляемся от того, что нам не очень нравится – от дробей.
Видим, что для сокращения знаменателя с иксом, надо умножить дробь на (х – 2). А единицы нам не помеха. Ну и умножаем. Всю левую часть и всю правую часть:
Опять скобки (х – 2) я не раскрываю. Работаю со скобкой в целом, как будто это одно число! Так надо делать всегда, иначе ничего не сократится.
С чувством глубокого удовлетворения сокращаем (х – 2) и получаем уравнение безо всяких дробей, в линеечку!
А вот теперь уже раскрываем скобки:
Приводим подобные, переносим всё в левую часть и получаем:
Классическое квадратное уравнение. Но минус впереди – нехорош. От него можно всегда избавиться, умножением или делением на -1. Но если присмотреться к примеру, можно заметить, что лучше всего это уравнение разделить на -2! Одним махом и минус исчезнет, и коэффициенты посимпатичнее станут! Делим на -2. В левой части – почленно, а в правой – просто ноль делим на -2, ноль и получим:
Решаем через дискриминант и проверяем по теореме Виета. Получаем х = 1 и х = 3. Два корня.
Как видим, в первом случае уравнение после преобразования стало линейным, а здесь – квадратным. Бывает так, что после избавления от дробей, все иксы сокращаются. Остаётся что-нибудь, типа 5=5. Это означает, что икс может быть любым. Каким бы он не был, всё равно сократится. И получится чистая правда, 5=5. Но, после избавления от дробей, может получиться и совсем неправда, типа 2=7. А это означает, что решений нет! При любом иксе получается неправда.
Осознали главный способ решения дробных уравнений? Он прост и логичен. Мы меняем исходное выражение так, чтобы исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это – дроби. Точно так же мы будем поступать и со всякими сложными примерами с логарифмами, синусами и прочими ужасами. Мы всегда будем от всего этого избавляться.
Однако менять исходное выражение в нужную нам сторону надо по правилам, да… Освоение которых и есть подготовка к ЕГЭ по математике. Вот и осваиваем.
Сейчас мы с вами научимся обходить одну из главных засад на ЕГЭ! Но для начала посмотрим, попадаете вы в неё, или нет?
Разберём простой пример:
Дело уже знакомое, умножаем обе части на (х – 2), получаем:
Напоминаю, со скобками (х – 2) работаем как с одним, цельным выражением!
Здесь я уже не писал единичку в знаменателях, несолидно… И скобки в знаменателях рисовать не стал, там кроме х – 2 ничего нет, можно и не рисовать. Сокращаем:
Раскрываем скобки, переносим всё влево, приводим подобные:
Решаем, проверяем, получаем два корня. х = 2 и х = 3. Отлично.
Предположим в задании сказано записать корень, или их сумму, если корней больше одного. Что писать будем?
Если решите, что ответ 5, – вы попали в засаду. И задание вам не засчитают. Зря трудились… Правильный ответ 3.
В чём дело?! А вы попробуйте проверку сделать. Подставить значения неизвестного в исходный пример. И если при х = 3 у нас всё чудненько срастётся, получим 9 = 9, то при х = 2 получится деление на ноль! Чего делать нельзя категорически. Значит х = 2 решением не является, и в ответе никак не учитывается. Это так называемый посторонний или лишний корень. Мы его просто отбрасываем. Окончательный корень один. х = 3.
Как так?! – слышу возмущённые возгласы. Нас учили, что уравнение можно умножать на выражение! Это тождественное преобразование!
Да, тождественное. При маленьком условии – выражение, на которое умножаем (делим) – отлично от нуля. А х – 2 при х = 2 равно нулю! Так что всё честно.
И что теперь делать?! Не умножать на выражение? Каждый раз проверку делать? Опять непонятно!
Спокойно! Без паники!
В этой тяжелой ситуации нас спасут три магических буквы. Я знаю, о чем вы подумали. Правильно! Это ОДЗ. Область Допустимых Значений.
Рекомендуемые страницы:
Воспользуйтесь поиском по сайту:
megalektsii.ru
Дробные рациональные уравнения — РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СВОДЯЩИХСЯ К КВАДРАТНЫМ — УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА — АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
Раздел II. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА
§7. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, СВОДЯЩИХСЯ К КВАДРАТНЫМ.
1. Дробные рациональные уравнения.
При решении дробного рационального уравнения можно использовать различные способы. Рассмотрим два из них.
Первый способ заключается в использовании условия равенства дроби нулю: дробь a/b равна нулю тогда и только тогда, когда а = 0 и b ≠ 0.
Пример 1. Решите уравнение
Решения. Разложим на множители знаменатели дробей и перенесем дробь из правой части уравнения в левую
Давайте приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю.
Последнее уравнение равносильно системе:
Отсюда получим
Пример 2. Решите уравнение
Решения. Разложим на множители знаменатели дробей.
Домножимо обе части уравнения на общий знаменатель дробей — выражение х(х — 2)(х + 2) при условии, что он не равен нулю. Имеем:
Если х = 3, то х(х — 2)(х + 2) ≠ 0, следовательно, х = 3 — корень исходного уровня. Если же х = -2 , то х(х — 2)(х + 2) = 0, поэтому х = -2 — не является корнем уравнения.
Следовательно, х = 3 — единственный корень начального уровня.
na-uroke.in.ua
Дробные рациональные уравнения — Квадратные корни — Математика — Алгебра
Дробные рациональные уравнения
Дробное рациональное уравнение — это уравнение, в котором левая или правая часть или обе — дробные выражения. Для его решения целесообразно действовать следующим образом:1) перенести все слагаемые в одну сторону;
2) свести их к общему знаменателю;
3) полученного уравнения вида (где a и b — некоторые целые выражения) применить условие равенства дроби нулю;
4) найти корни числителя;
5) проверить, не равен знаменатель нулю при этих значениях неизвестного;
6) записать ответ.
Пример
,
,
,
,
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:
; ; .
, .
Если , то .
Если , то .
Ответ: .
До дробных рациональных уравнений приводит большое количество задач на движение и совместную работу.
Примеры
Задача 1 (на движение). Теплоход прошел по течению реки 150 км и вернулся обратно, затратив на весь путь 5,5 часа. Найдите скорость течения реки, если скорость теплохода в стоячей воде 55 км/ч.
Решение
| Движение | Скорость (км/ч) | Время (ч) | Расстояние (км) |
| По течению | 150 | ||
| Против течения | 150 |
Пусть скорость течения реки х км/ч. Тогда по течению теплоход двигался со скоростью км/ч и прошел 150 км за ч. Против течения теплоход двигался со скоростью км/ч и прошел 150 км за ч. По условию задачи на весь путь он потратил 5,5 ч.
Составим и решим уравнение:
,
,
,
,
,
; . Решение -5 не удовлетворяет условие задачи: скорость — число положительное.
Ответ: скорость течения 5 км/ч.
Задача 2 (на совместную работу). Две бригады, работая вместе, выполнили определенное задание за 4 дня. Сколько дней потребуется на выполнение этой работы каждой бригаде в отдельности, если первой бригаде для этого нужно на 6 дней меньше, чем второй?
Решения. (Сравните решение с задачей на совместную работу за 6-й класс.)
Пусть первая бригада может выполнить это задание за х дней. Тогда второй нужно дней. Это означает, что за один день первая бригада выполнит , а вторая — часть всего задания. По условию задачи, вместе они могут выполнить все задачи за 4 дня, т.е. в день две бригады, работая вместе, выполняют всего задания.
Составим и решим уравнение:
, ,
.
По теореме Виета: , . Корень не удовлетворяет условию задачи, потому что время — число положительное.
; .
Ответ: первой бригаде нужно 6 дней, второй — 12 дней.
na-uroke.in.ua
Методы решения квадратных и дробно-рациональных уравнений
Исследования методов решений квадратных и дробно рациональных уравнений
Выполнили:
Аббасов Руслан
Землянский Руслан
Голубцов Артур
Содержание
- Из истории
- Определение
- Классификация
- Способы решения
- Теорема Виета
- Проверка знаний
- Решение дробно рациональных уравнений
- Выдающаяся личность Виет
О математика. В веках овеяна ты славой, Светило всех земных светил. Тебя царицей величавой Недаром Гаусс окрестил. Строга, логична, величава, Стройна в полете, как стрела, Твоя немеркнущая слава В веках бессмертье обрела. Мы славим разум человека, Дела его волшебных рук, Надежду нынешнего века, Царицу всех земных наук. Поведать мы сегодня вам хотим Историю возникновения Того, что каждый школьник должен знать – Историю квадратных уравнений.
Из истории
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
Из истории
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Квадратным уравнением называется уравнение вида где a , b, c , d – заданные числа, x – переменная. Числа a, b, c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b второй коэффициент, с — свободный член.
КЛАССИФИКАЦИЯ
Полные: ax 2 + bx + c =0 ,
где коэффициенты b и с отличны от нуля ;
Неполные: ax 2 + bx =0, ax 2 + c =0 или ax 2 =0
т.е. хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю;
Приведенные: x 2 + bx + c =0 ,
т.е. уравнение, первый коэффициент которого равен единице (а=1).
СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ
- Решение полных квадратных уравнений
- Дискриминант
- Решение неполных квадратных уравнений
- Решение приведенного квадратного уравнения
- Графический метод решения квадратных уравнений
- Решение биквадратных уравнений
Решение полных квадратных уравнений
По формуле корней квадратного уравнения: a x 2 + b x + c =0 ,
Дискриминант
Дискриминант
при
квадратное уравнение имеет два корня
Дискриминант
при
квадратное уравнение имеет один корень
Дискриминант
при
квадратное уравнение не имеет корней
Формулы корней
Решение неполных квадратных уравнений
Если хотя бы один из коэффициентов c или b равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным квадратным уравнением .
1.Если c =0 и b =0 , то уравнение ax 2 =0 имеет один корень x =0 ;
2.Если c =0 , то уравнение ax 2 + bx =0 имеет два корня:
3.Если b =0 , то уравнение ax 2 + c =0
при не имеет корней,
при имеет два корня
Решение приведенного квадратного уравнения
3. По теореме обратной теореме Виета
x 2 + bx + c =0
х 1 +х 2 =- b,
x 1 ×x 2 =c .
1.По формуле корней квадратного уравнения
2. Метод выделения полного квадрата
Пример . x 2 +2x-3=0
x 2 +2x=3,
x 2 +2x+1=3+1
(x+1) 2 =4
x+1=2 или x+1=-2
x 1 =1 , x 2 =-3
Графический метод решения квадратных уравнений
Чтобы получить решение квадратного уравнения графическим способом Квадратное уравнение разделяют на две функции, линейную и квадратичную. А затем строят графики этих функций на одной координатной плоскости.
—
—
Квадратное уравнение
ах ^ 2 +bx+c=0
Разбивают на 2 части
y 1 =ax^2
y 2 =-(bx+c)
Графический метод решения квадратных уравнений
- Функция y1 это парабола. Функция y2 это прямая линия. Решением, корнями квадратного уравнения являются точки пересечения этих функций.
- При решении могут представиться три варианта:
- Функции имеют две точки пересечения — два корня квадратного уравнения действительны и различны между собой.
- Функции имеют одну точку пересечения — квадратное уравнение имеет только один действительный корень.
- Функции не имеют ни одной точки пересечения — тогда оба корня квадратного уравнения мнимые, комплексные числа.
Решение биквадратного уравнения
Определение : уравнение вида ax 4 + bx 2 + c =0 называют биквадратным .
- Определение : уравнение вида ax 4 + bx 2 + c =0 называют биквадратным .
- Определение : уравнение вида ax 4 + bx 2 + c =0 называют биквадратным .
Пример . 9 x 4 +5 x 2 -4=0
Обозначим x 2 = t . Тогда данное уравнение примет вид
9 t 2 +5 t -4=0
Откуда t 1 =9/4, t 2 =-1.
Уравнение x 2 =4/9 имеет корни x 1 =2/3, x 2 =-2/3 ,
а уравнение x 2 =-1 не имеет действительных корней.
Решение квадратных уравнений
Если все коэффициенты квадратного уравнения отличны от нуля, то находим дискриминант.
Если квадратное уравнение является приведенным, то можем его решить с помощью теоремы Виета.
Теорема Виета.
Если x 1 и х 2 – корни приведенного квадратного уравнения х 2 +рх+ q =0 , то х 1 +х 2 = — р , х 1 . х 2 = q .
Если коэффициент при квадрате переменной равен 1, то уравнение называется приведенным.
Решите?
1.
2.
3.
4.
5.
Проверим…
1.
так как получили число меньше нуля, следовательно, уравнение корней не имеет
Проверим…
2.
Проверим…
3.
Проверим…
4.
найдем дискриминант
так как дискриминант меньше нуля, следовательно, квадратное уравнение не имеет корней
Проверим…
5.
Решение дробно рациональных уравнений
- При решении уравнений, содержащих переменную в знаменателе дроби сначала нужно избавиться от дроби. Для этого находят наименьший общий знаменатель, и обе части уравнения умножают на этот знаменатель. Далее полученное выражение упрощают, и получается обыкновенное линейное или квадратное уравнение.
- Только нужно найти область допустимых значений выражения (ОДЗ). После того, как найдены корни уравнения, обязательно проверяем, входят ли они в ОДЗ.
- Вспомним два правила решения уравнений:
- 1) Если обе части уравнения разделить или умножить на одно и то же число, корни уравнения не изменятся.
- 2) Слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую с противоположным знаком .
Выдающаяся личность Виет
Франсуа Виет родился в 1540 году в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату. Получив юридическое образование, он в 19 лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. В 1571 году Виет переехал в Париж и там познакомился с математиком Пьером Рамусом. Благодаря своему таланту и, отчасти, благодаря браку своей бывшей ученицы с принцем де Роганом, Виет сделал блестящую карьеру и стал советником Генриха III, а после его смерти — Генриха IV. В последние годы жизни Виет занимал важные посты при дворе короля Франции. Умер он в Париже в самом начале семнадцатого столетия. Есть подозрения, что он был убит.
kopilkaurokov.ru
Решение рациональных уравнений.
В этой статье я покажу вам алгоритмы решения семи типов рациональных уравнений, которые с помощью замены переменных сводятся к квадратным. В большинстве случаев преобразования, которые приводят к замене, весьма нетривиальны, и самостоятельно о них догадаться достаточно трудно.
Для каждого типа уравнений я объясню, как в нем делать замену переменной, а затем в соответствующем видеоуроке покажу подробное решение.
У вас есть возможность продолжить решение уравнений самостоятельно, а затем сверить свое решение с видеоуроком.
Итак, начнем.
1. (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Заметим, что в левой части уравнения стоит произведение четырех скобок, а в правой — число.
1. Сгруппируем скобки по две так, чтобы сумма свободных членов была одинаковой.
2. Перемножим их.
3. Введем замену переменной.
В нашем уравнении сгруппируем первую скобку с третьей, а вторую с четвертой,так как (-1)+(-4)=(-7)+2:
В этом месте замена переменной становится очевидной:
Получаем уравнение
Ответ:
2.
Уравнение этого типа похоже на предыдущее с одним отличием: в правой части уравнения стоит произведение числа на . И решается оно совсем по-другому:
1. Группируем скобки по две так, чтобы произведение свободных членов было одинаковым.
2. Перемножаем каждую пару скобок.
3. Из каждого множителя выносим за скобку х.
4. Делим обе части уравнения на .
5. Вводим замену переменной.
В этом уравнении сгруппируем первую скобку с четвертой, а вторую с третьей, так как :
Заметим, что в каждой скобке коэффициент при и свободный член одинаковые. Вынесем из каждой скобки множитель :
Так как х=0 не является корнем исходного уравнения, разделим обе части уравнения на . Получим:
Теперь можем ввести замену переменной:
Получим уравнение:
Ответ:
3.
Заметим, что в знаменателях обоих дробей стоят квадратные трехчлены, у которых старший коэффициент и свободный член одинаковые. Вынесем, как и в уравнении второго типа х за скобку. Получим:
Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х:
Теперь можем ввести замену переменной:
Получим уравнение относительно переменной t:
Ответ:
4.
Заметим, что коэффициенты уравнения симметричны относительно центрального. Такое уравнение называется возвратным.
Чтобы его решить,
1. Разделим обе части уравнения на (Мы можем это сделать, так как х=0 не является корнем уравнения.) Получим:
2. Сгруппируем слагаемые таким образом:
3. В каждой группе вынесем за скобку общий множитель:
4. Введем замену:
5. Выразим через t выражение :
Отсюда
Получим уравнение относительно t:
Ответ:
5. Однородные уравнения.
Уравнения, имеющие структуру однородного, могут встретиться при решении показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений, поэтому ее нужно уметь распознавать.
Однородные уравнения имеют такую структуру:
В этом равенстве А, В и С — числа, а квадратиком и кружочком обозначены одинаковые выражения. То есть в левой части однородного уравнения стоит сумма одночленов, имеющих одинаковую степень ( в данном случае степень одночленов равна 2), и свободный член отсутствует.
Чтобы решить однородное уравнение, разделим обе части на
Или на
Или на
Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.
Пойдем первым путем. Получим уравнение:
Сократим дроби, получим:
Теперь мы вводим замену переменной:
И решаем квадратное уравнение относительно замены:
.
Решим уравнение:
При решении уравнения я обычно придерживаюсь такой тактики: нужно уменьшить количество различных выражений, в состав которых входит неизвестное (принцип «бритвы Оккама» — не нужно множить сущности без нужды), а для этого помогает разложить выражения с неизвестным на множители. Разложим выражение, стоящее в правой части уравнения на множители.
Перенесем все влево, получим:
Теперь мы видим, что перед нами однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на , предварительно проверив, что х=1 не является корнем исходного уравнения.
Теперь самое время ввести замену переменной:
Получим квадратное уравнение:
Ответ:
6.
Это уравнение имеет такую структуру:
Решается с помощью введения вот такой замены переменной:
В нашем уравнении ,тогда . Введем замену:
Теперь возведем каждую скобку в четвертую степень, используя треугольник Паскаля:
Упростим выражение и получим биквадратное уравнение относительно t:
Ответ: или
7.
Это уравнение имеет такую структуру:
Чтобы его решить, нужно в левой части уравнения выделить полный квадрат.
Чтобы выделить полный квдарат, нужно прибавить или вычесть удовоенное произведение. Тогда мы получим квадрат суммы ли разности. Для удачной замены переменной это имеет определяющее значение.
Начнем с нахождения удвоенного произведения. Именно оно будет ключиком для замены переменной. В нашем уравнении удвоенное произведение равно
Теперь прикинем, что нам удобнее иметь — квадрат суммы или разности. Рассмотрим, для начала сумму выражений:
Отлично! это выражении в точности равно удвоенному произведению. Тогда, чтобы в скобках получить квадрат суммы, нужно прибавить и вычесть удвоенное произведение:
[/pmath]
Введем замену:
Получим квадратное уравнение:
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
ege-ok.ru
Решение дробных рациональных уравнений
Для начала давайте вспомним определения целых, дробных и рациональных выражений.
Итак, целые выражения – это выражения, составленные из чисел и переменных, содержащие действия сложения, вычитания и умножения, а также деления на число, отличное от нуля.
Например:
В отличие от целых выражений, дробные выражения помимо действий сложения, вычитания и умножения, содержат деление на выражение с переменными.
Например:
Целые и дробные выражения называют рациональными. Вообще, рациональными выражениями называют выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.
До этого мы могли решить не любое рациональное уравнение, а только такое, которое в результате различных преобразований сводилось к линейному уравнению. Теперь же наши возможности стали гораздо шире: мы можем решить рациональное уравнение, которое сводится и к квадратному уравнению.
Давайте рассмотрим уравнения:
Заметим, что во всех этих уравнениях левая и правая части являются рациональными выражениями. Такие уравнения называют рациональными уравнениями.
Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.
Рациональное уравнение, в котором левая или правая часть является дробным выражением, называют дробным.
Возвращаясь к нашим уравнениям, видим, что первое уравнение является целым, а второе и третье – дробными рациональными.
Пример 1. Решить уравнение.
Пример 2. Решить уравнение.
Если среди найденных корней окажется такое число, при котором знаменатель дроби обращается в нуль, то такое число корнем уравнения быть не может, его называют посторонним корнем и в ответ не включают.
Пример 3. Решить уравнение.
Запишем алгоритм решения дробно рациональных уравнений. Чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо:
1) Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.
2) Найти общий знаменатель этих дробей.
3) Умножить все слагаемые данного уравнения на общий знаменатель.
4) Решить получившееся целое уравнение.
5) Из найденных корней исключить те, которые обращают в нуль общий знаменатель данного уравнения.
Задание 1: при каких значениях х равны значения выражений?
Задание 2: найти значение переменной х, при котором сумма дробей равна их произведению.
Итоги:
Уравнения, в которых в левой и правой частях записаны рациональные выражения, называют рациональными уравнениями.
Рациональное уравнение, в котором и левая и правая части являются целыми выражениями, называют целым.
Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называют дробным.
Чтобы решить дробно рациональное уравнение, надо:
1. Разложить все знаменатели дробей, входящих в уравнение, на множители.
2. Найти общий знаменатель этих дробей.
3. Умножить все слагаемые данного уравнения на общий знаменатель.
4. Решить получившееся целое уравнение.
Из найденных корней исключить те, которые обращают в нуль общий знаменатель данного уравнения.
videouroki.net