Матрица в степени t – Возведение матрицы в степень | Мозган калькулятор онлайн

2 Операции над матрицами и их свойства

1)Здесь у первой матрицы три столбца, значит у второй должно быть три строчки. Алгоритм ровно тот же, что в предыдушем примере, только тут в каждой строчке три слагаемых, а не два.

2)Здесь у второй матрицы два столбца. Сначала проделываем алгоритм с первым столбцом, затем со вторым, и получаем матрицу «два на два».

3)Тут у второй матрицы столбец состоит из одного элемента, от транспонирования столбец не изменится. И складывать ничего не надо, так как в первой матрице всего один столбец. Проделываем алгоритм три раза и получаем матрицу «три на три».

Имеют место следующие свойства:

1.Если сумма B + C и произведение AB существуют, то A (B + C ) = AB + AC

2.Если произведение AB существует, то x (AB) = (xA) B = = A (xB).

3.Если произведения AB и BC существуют, то A (BC) = (AB) C .

Если произведение матриц AB существует, то произведение BA может не существовать. Если даже произведения AB и BA существуют, то они могут оказаться матрицами разных размеров.

Оба произведения AB и BA существуют и являются матрицами одинакового размера лишь в случае квадратных матриц A и B одного и того же порядка. Однако, даже в этом случае AB может не равняться BA.

Возведение в степень

Возведение матрицы в степень имеет смысл лишь для квадратных матриц (подумайте, почему?). Тогда целой положительной степенью m матрицы A является произведение m матриц, равных A. Так же, как и у чисел. Под нулевой степенью квадратной матрицы A понимается единичная матрица того же порядка что и A. Если позабыли, что такое единичная матрица, гляньте на рис. 3.

Так же, как и у чисел, имеют место следующие соотношения:

AmAk=Am+k(Am)k=Amk

Смотрите примеры у Белоусова на стр. 20.

Транспонирование матриц

Транспонирование -этопреобразование матрицы A в матрицу AT ,

при котором строки матрицы A записываются в столбцы AT с сохранением порядка. (рис. 8). Можно сказать по другому:

столбцы матрицы A записываются в строки матрицы AT с сохранением порядка. Обратите внимание, как при транспонировании меняется размер матрицы, то есть количество строк и столбцов. Также обратите внимание, что элементы на первой строке, первом столбце, и последней строке, последнем столбце остаются на месте.

Имеют место следующие свойства: (AT)T=A (транспонируй

studfiles.net

возведение матрицы в степень — ПриМат

1. Выполнить сложение матриц:
.
Для сложения матриц нам необходимо каждый элемент первой матрицы сложить с соответствующим элементом из второй:
.

Следует также отметить, что операция сложения матриц коммутативна и ассоциативна. Например, пусть даны матрицы , и . Тогда:

.

Покажем выполнение ассоциативности сложения матриц:

;
.
;
.

Как видим, .

2. Выполнить умножение матрицы на число:
.
Для умножения матрицы на число мы умножаем каждый элемент матрицы на данное число:
.

Операция умножения матрицы на число ассоциативна, то есть , . Покажем это на конкретном примере:
Пусть дана матрица и .
Тогда ;
.
;
.
Как видим, .

3. Вычислить произведение матриц:
.
Для удобства будем называть первую матрицу а вторую матрицу . Для начала убедимся, что произведение данных матриц возможно. Даны матрицы размерностей и , следовательно умножение возможно, так как количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй. Для вычисления первого элемента результирующей матрицы умножим каждый элемент первой строки матрицы на соответствующие элементы первого столбца матрицы . Полученные значения сложим. Данную последовательность действий можно проиллюстрировать следующим образом:

Получим следующее:
.
Далее вычисляем первый элемент второго столбца результирующей матрицы. Умножаем все элементы первой строки матрицы на соответствующие им элементы из второго столбца матрицы и складываем полученные значения:
.
Для вычисления первого элемента второй строки результирующей матрицы мы будем аналогично умножать элементы второй строки матрицы на элементы первого столбца матрицы , складывая результаты:

.
Оставшиеся элементы вычисляются аналогично:
.
Отметим, что произведение матриц в общем случае некоммутативно и покажем это на примере.
Пусть даны матрицы .
Тогда .
.
Как видим, .

4. Возвести матрицу в степень:
.
Для возведения в степень необходимо данную матрицу умножить саму на себя. Заметим, что возводить в степень можно только квадратные матрицы.
.

5. Транспонировать матрицу:
.
Для транспонирования матрицы достаточно записать строки столбцами, а столбцы строками:
.

Таблица лучших: Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

максимум из 9 баллов
Место Имя Записано Баллы Результат
Таблица загружается
Нет данных

Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц

Лимит времени: 0

Информация

Тест на тему «Действия над матрицами. Групповые свойства некоторых матриц».

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

Правильных ответов: 0 из 4

Ваше время:

Время вышло

Средний результат

 

 
Ваш результат

 

 
Ваш результат был записан в таблицу лидеров
  1. С ответом
  2. С отметкой о просмотре

Источники:
  1. Г. С. Белозеров. Конспект лекций.
  2. В. В. Воеводин «Линейная алгебра» (Издание второе, переработанное и дополненное, 1980г.), стр. 194-197.
  3. А. Г. Курош  «Курс высшей алгебры» (Издание девятое, 1968 г.), стр. 99-102.
  4. И. В. Проскуряков.   «Сборник задач по линейной алгебре» (1984 г.), стр. 112-115.

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Возведение матрицы в степень

Вы ввели следующие элементы массива
Заданная матрица
Матрица в заданной степени
Степенная комплексная матрица
   

 

квадратная матрица в целочисленной степени

Квадратную матрицу можно  возводить в целочисленную степень

Например матрица  следующего вида

умножив матрицу саму на себя четыре раза, получим результат 

Значение степени может быть от 2-х и выше.

У степенных матриц есть интересные свойства которые рассмотрим

Единичная матрица, то есть матрица у которой все значения равны нулю, кроме тех что стоят на главной диагонали(=1). 

в любой степени будет тоже являтся единичной матрицой.

матрица вида  

в кубической степени будет равна 

а в 7 степени  

 

Интересное свойство проявляется в матрице  

Взяв в степень 4, 8, 12 и так далее — мы получаем единичную матрицу  

А если же исходную матрицу брать в степени 2,6,10 и так далее то получаем «зеркальную» единичную матрицу 

Нечетные степени тоже интересно преобразовывают матрицу. Но это  мы рекомендуем самим увидеть и проанализировать.

Еще одна удивительная матрица это

Возводя её в любую степень получаем  исходную матрицу. Много ли таких уникальных матриц, и насколько много было бы любопытно узнать.

Синтаксис 

Jabber: step_m  матрица; степень матрицы

где,

Матрица — строка, содержащая элементы матрицы ( в том числе и комплексные) разделенная пробелами

элементом матрицы может быть произвоольное корректное математическое выражение, содержащее как вещественые так и мнимые числа.

Степень матрицы- целочисленное, положительное значение

Убедительная просьба: Если уж пишете мнимые единицы то обозначайте их знаком i (ай) а не j(джи). Будьте внимательнее в написании исходных данных!!.

Примеры 

Исходная  матрица       

Взяв эту матрицу в седьмой степени мы получим

Обратная матрица  исходной,  равна 


Удачных расчетов!! 

  • Возведение полинома (многочлена) в степень >>

abakbot.ru

Иллюстрированный самоучитель по MathCAD 11 › Матричные вычисления › Обратная матрица. Возведение матрицы в степень. [страница — 138] | Самоучители по математическим пакетам

Обратная матрица. Возведение матрицы в степень.

Поиск обратной матрицы возможен, если матрица квадратная и ее определитель не равен нулю (листинг 9.14). Произведение исходной матрицы на обратную по определению является единичной матрицей. Для ввода оператора поиска обратной матрицы нажмите кнопку Inverse (Обратная матрица) на панели инструментов Matrix (Матрица).

Листинг 9.14. Поиск обратной матрицы:

Возведение матрицы в степень

К квадратным матрицам можно формально применять операцию возведения в степень n. Для этого n должно быть целым числом. Результат данной операции приведен в табл. 9.1. Ввести оператор возведения матрицы м в степень n можно точно так же, как и для скалярной величины: нажав кнопку Raise to Power (Возвести в степень) на панели Calculator (Калькулятор) или нажав клавишу А. После появления местозаполнителя в него следует ввести значение степени n.

Таблица 9.1. Результаты возведения матрицы в степень.

n Mn
0 единичная матрица размерности матрицы M
1 сама матрица M
-1 M-1 – матрица, обратная м
2.3,… MM, (MM)M,…
-2, -3,… M-1 M-1, (M-1 M-1
)M-1, …

Некоторые примеры возведения матриц в степень приведены в листинге 9.15.

Листинг 9.15. Примеры возведения квадратной матрицы в целую степень:

samoychiteli.ru

Степени матриц и матричные экспоненты

Диагональная декомпозиция

Имея диагональную матрицу Λ, составленную из собственных значений λ матрицы А и матрицу V , составленную из соответствующих собственных векторов v, можно записать

AV = VΛ

Если матрица V несингулярная, на основании данного выражения получаем спектральное разложение матрицы А

А = VΛV-1

Неплохой пример использования спектрального разложения дает рассмотренная выше матрица коэффициентов линейного дифференциального уравнения. Ввод выражения

lambda = eig(A)

дает следующий вектор-столбец собственных значений(два из них являются комплексносопряженными)

lambda =

-3.0710 -2.4645 + 17.6008i -2.4645 — 17.6008i

Действительные части всех собственных значения являются отрицательными, что обеспечивает устойчивость процессов в системе. Ненулевые мнимые части комплексно-сопряженных собственных значений обуславливают колебательный характер переходных процессов.

При двух выходных аргументах, функция eig вычисляет также собственные векторы и выдает собственные значения в виде диагональной матрицы

.

 

[V,D] = eig(A)

 

V =

 

 

 

-0.8326

0.2003 — 0.1394i

0.2003 + 0.1394i

-0.3553 -0.2110 — 0.6447i

-0.2110 + 0.6447i

-0.4248

-0.6930

 

-0.6930

D =

 

 

 

-3.0710

0

 

0

0

-2.4645+17.6008i

0

0

0

-2.4645-17.6008i

Первый собственный вектор (первый столбец матрицы V) является действительным, а два других являются комплексно-сопряженными. Все три вектора являются нормализованными по длине, т.е. их Евклидова норма norm(v,2), равна единице.

Матрица V*D*inv(V), которая в более сжатой форме может быть записана как V*D/V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице А. Аналогично, inv(V)*A*V, или V\A*V, равна, в пределах погрешностей округления, матрице D.

studfiles.net

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *