Система линейных алгебраических уравнений. Виды систем. Матричная форма записи.
Содержание темы:
- Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.
- Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.
Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.
Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему
\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} & a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+\ldots+a_{1n}x_n=b_1;\\ & a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+\ldots+a_{2n}x_n=b_2;\\ & \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ & a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+\ldots+a_{mn}x_n=b_m. \end{aligned} \right. \end{equation}содержащую $m$ уравнений и $n$ неизвестных ($x_1,x_2,\ldots,x_n$). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.
Параметры $a_{ij}$ ($i=\overline{1,m}$, $j=\overline{1,n}$) называют
Если все свободные члены $b_i=0$ ($i=\overline{1,m}$), то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.
Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел ($\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n$), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных $x_1,x_2,\ldots,x_n$, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.
Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. $x_1=x_2=\ldots=x_n=0$.
Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.
Пример №1
Рассмотрим СЛАУ
\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=0. \\ \end {aligned} \right. \end{equation}Имеем систему линейных алгебраических уравнений, содержащую $3$ уравнения и $5$ неизвестных: $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$. Можно, сказать, что задана система $3\times 5$ линейных уравнений.
Коэффициентами системы (2) есть числа, стоящие перед неизвестными. Например, в первом уравнении эти числа таковы: $3,-4,1,7,-1$. Свободные члены системы представлены числами $11,-65,0$. Так как среди свободных членов есть хотя бы один, не равный нулю, то СЛАУ (2) является неоднородной.
Упорядоченная совокупность $(4;-11;5;-7;1)$ является решением данной СЛАУ. В этом несложно убедиться, если подставить $x_1=4; x_2=-11; x_3=5; x_4=-7; x_5=1$ в уравнения заданной системы:
\begin{aligned} & 3x_1-4x_2+x_3+7x_4-x_5=3\cdot4-4\cdot(-11)+5+7\cdot(-7)-1=11;\\ & 2x_1+10x_4-3x_5=2\cdot 4+10\cdot (-7)-3\cdot 1=-65;\\ & 3x_2+19x_3+8x_4-6x_5=3\cdot (-11)+19\cdot 5+8\cdot (-7)-6\cdot 1=0. \\ \end{aligned}Естественно, возникает вопрос том, является ли проверенное решение единственным. Вопрос о количестве решений СЛАУ будет затронут в соответствующей теме.
Пример №2
Рассмотрим СЛАУ
\begin{equation} \left \{ \begin{aligned} & 4x_1+2x_2-x_3=0;\\ & 10x_1-x_2=0;\\ & 5x_2+4x_3=0; \\ & 3x_1-x_3=0;\\ & 14x_1+25x_2+5x_3=0. \end{aligned} \right. \end{equation} Система (3) является СЛАУ, содержащей $5$ уравнений и $3$ неизвестных: $x_1,x_2,x_3$. Так как все свободные члены данной системы равны нулю, то СЛАУ (3) является однородной. Несложно проверить, что совокупность $(0;0;0)$ является решением данной СЛАУ. Подставляя $x_1=0, x_2=0,x_3=0$, например, в первое уравнение системы (3), получим верное равенство: $4x_1+2x_2-x_3=4\cdot 0+2\cdot 0-0=0$. Подстановка в иные уравнения делается аналогично.Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.
С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:
Матрица $A$ называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.
Матрица $\widetilde{A}$ называется расширенной матрицей системы. Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены $b_1,b_2,…,b_m$. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.
Матрица-столбец $B$ называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец $X$ – матрицей неизвестных.
Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: $A\cdot X=B$.
Примечание
Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков (см. пример №4).
Пример №3
Записать СЛАУ $ \left \{ \begin{aligned} & 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\\ & 4x_1-x_3=0;\\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. \end{aligned} \right. $ в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.
Решение
Имеем четыре неизвестных, которые в каждом уравнении следуют в таком порядке: $x_1,x_2,x_3,x_4$. Матрица неизвестных будет такой: $\left( \begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right)$.
Свободные члены данной системы выражены числами $-5,0,-11$, посему матрица свободных членов имеет вид: $B=\left( \begin{array} {c} -5 \\ 0 \\ -11 \end{array} \right)$.
Перейдем к составлению матрицы системы. В первую строку данной матрицы будут занесены коэффициенты первого уравнения: $2,3,-5,1$.
Во вторую строку запишем коэффициенты второго уравнения: $4,0,-1,0$. При этом следует учесть, что коэффициенты системы при переменных $x_2$ и $x_4$ во втором уравнении равны нулю (ибо эти переменные во втором уравнении отсутствуют).
В третью строку матрицы системы запишем коэффициенты третьего уравнения: $0,14,8,1$. Учитываем при этом равенство нулю коэффициента при переменной $x_1$(эта переменная отсутствует в третьем уравнении). Матрица системы будет иметь вид:
Чтобы была нагляднее взаимосвязь между матрицей системы и самой системой, я запишу рядом заданную СЛАУ и ее матрицу системы:
В матричной форме заданная СЛАУ будет иметь вид $A\cdot X=B$. В развернутой записи:
$$ \left( \begin{array} {cccc} 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} {c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right) = \left( \begin{array} {c} -5 \\ 0 \\ -11 \end{array} \right) $$Запишем расширенную матрицу системы. Для этого к матрице системы $ A=\left( \begin{array} {cccc} 2 & 3 & -5 & 1\\ 4 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 14 & 8 & 1 \end{array} \right) $ допишем столбец свободных членов (т.е. $-5,0,-11$). Получим: $\widetilde{A}=\left( \begin{array} {cccc|c} 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \\ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 \end{array} \right) $.
Пример №4
Записать СЛАУ $ \left \{\begin{aligned} & 3y+4a=17;\\ & 2a+4y+7c=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & 5a-c=-4. \end{aligned}\right.$ в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.
Решение
Как видите, порядок следования неизвестных в уравнениях данной СЛАУ различен. Например, во втором уравнении порядок таков: $a,y,c$, однако в третьем уравнении: $c,y,a$. Перед тем, как записывать СЛАУ в матричной форме, порядок следования переменных во всех уравнениях нужно сделать одинаковым.
Упорядочить переменные в уравнениях заданной СЛАУ можно разными способами (количество способов расставить три переменные составит $3!=6$). Я разберу два способа упорядочивания неизвестных.
Способ №1
Введём такой порядок: $c,y,a$. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке: $\left \{\begin{aligned} & 3y+4a=17;\\ & 7c+4y+2a=10;\\ & 8c+5y-9a=25; \\ & -c+5a=-4. \end{aligned}\right.$
Для наглядности я запишу СЛАУ в таком виде: $\left \{\begin{aligned} & 0\cdot c+3\cdot y+4\cdot a=17;\\ & 7\cdot c+4\cdot y+2\cdot a=10;\\ & 8\cdot c+5\cdot y-9\cdot a=25; \\ & -1\cdot c+0\cdot y+5\cdot a=-4. \end{aligned}\right.$
Матрица системы имеет вид: $ A=\left( \begin{array} {ccc} 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end{array} \right) $. Матрица свободных членов: $B=\left( \begin{array} {c} 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end{array} \right)$. При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: $X=\left( \begin{array} {c} c \\ y \\ a \end{array} \right)$. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: $A\cdot X=B$. В развёрнутом виде:
$$ \left( \begin{array} {ccc} 0 & 3 & 4 \\ 7 & 4 & 2\\ 8 & 5 & -9 \\ -1 & 0 & 5 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} {c} c \\ y \\ a \end{array} \right) = \left( \begin{array} {c} 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end{array} \right) $$Расширенная матрица системы такова: $\left( \begin{array} {ccc|c} 0 & 3 & 4 & 17 \\ 7 & 4 & 2 & 10\\ 8 & 5 & -9 & 25 \\ -1 & 0 & 5 & -4 \end{array} \right) $.
Способ №2
Введём такой порядок: $a,c,y$. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке: $\left \{ \begin{aligned} & 4a+3y=17;\\ & 2a+7c+4y=10;\\ & -9a+8c+5y=25; \\ & 5a-c=-4. \end{aligned}\right.$
Для наглядности я запишу СЛАУ в таком виде: $\left \{ \begin{aligned} & 4\cdot a+0\cdot c+3\cdot y=17;\\ & 2\cdot a+7\cdot c+4\cdot y=10;\\ & -9\cdot a+8\cdot c+5\cdot y=25; \\ & 5\cdot c-1\cdot c+0\cdot y=-4. \end{aligned}\right.$
Матрица системы имеет вид: $ A=\left( \begin{array} {ccc} 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end{array} \right)$. Матрица свободных членов: $B=\left( \begin{array} {c} 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end{array} \right)$. При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: $X=\left( \begin{array} {c} a \\ c \\ y \end{array} \right)$. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: $A\cdot X=B$. В развёрнутом виде:
$$ \left( \begin{array} {ccc} 4 & 0 & 3 \\ 2 & 7 & 4\\ -9 & 8 & 5 \\ 5 & -1 & 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} {c} a \\ c \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array} {c} 17 \\ 10 \\ 25 \\ -4 \end{array} \right) $$Расширенная матрица системы такова: $\left( \begin{array} {ccc|c} 4 & 0 & 3 & 17 \\ 2 & 7 & 4 & 10\\ -9 & 8 & 5 & 25 \\ 5 & -1 & 0 & -4 \end{array} \right) $.
Как видите, изменение порядка следования неизвестных равносильно перестановке столбцов матрицы системы. Но каким бы этот порядок расположения неизвестных ни был, он должен совпадать во всех уравнениях заданной СЛАУ.
math1.ru
Матричный метод решения системы линейных алгебраических уравнений
Уравнения вообще, линейные алгебраические уравнения и их системы, а также методы их решения занимают в математике, как теоретической, так и прикладной, особое место.
Это связано с тем обстоятельством, что подавляющее большинство физических, экономических, технических и даже педагогических задач могут быть описаны и решены с помощью разнообразных уравнений и их систем. В последнее время особую популярность среди исследователей, ученых и практиков приобрело математическое моделирование практически во всех предметных областях, что объясняется очевидными его преимуществами перед другими известными и апробированными методами исследования объектов различной природы, в частности, так называемых, сложных систем. Существует великое многообразие различных определений математической модели, данных учеными в разные времена, но на наш взгляд, самое удачное, это следующее утверждение. Математическая модель – это идея, выраженная уравнением. Таким образом, умение составлять и решать уравнения и их системы – неотъемлемая характеристика современного специалиста.
Для решения систем линейных алгебраических уравнений наиболее часто используются методы: Крамера, Жордана-Гаусса и матричный метод.
Матричный метод решения — метод решения с помощью обратной матрицы систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем.
Если выписать коэффициенты при неизвестных величинах xi в матрицу A, неизвестные величины собрать в вектор столбец X, а свободные члены в вектор столбец B, то систему линейных алгебраических уравнений можно записать в виде следующего матричного уравнения A · X = B, которое имеет единственное решение только тогда, когда определитель матрицы A не будет равен нулю. При этом решение системы уравнений можно найти следующим способом X = A-1 · B, где A-1 — обратная матрица.
Матричный метод решения состоит в следующем.
Пусть дана система линейных уравнений с nнеизвестными:
Её можно переписать в матричной форме: AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:
Умножим это матричное уравнение слева на A-1 — матрицу, обратную к матрице A: A-1 (AX) = A-1B
Так как A-1A = E, получаем X = A-1B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A: detA≠ 0.
Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть не нулевое) решение только если detA = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.
Пример решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.
Убедимся в том, что определитель матрицы, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линейных алгебраических уравнений не равен нулю.
Следующим шагом будет вычисление алгебраических дополнений для элементов матрицы, состоящей из коэффициентов при неизвестных. Они понадобятся для нахождения обратной матрицы.
Теперь найдём союзную матрицу и транспонируем её, потом подставим в формулу для нахождения обратной матрицы.
Подставляя переменные в формулу, получаем:
Найдем неизвестные. Для этого перемножим обратную матрицу и столбец свободных членов.
Итак, x=2; y=1; z=4.
Если у Вас есть вопросы или Вам нужна помощь в решении линейных уравнений или систем, записывайтесь на мои занятия. Буду рад Вам помочь.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
blog.tutoronline.ru
5.2. Матричный метод решения систем линейных уравнений
Пусть
дана система 
линейных уравнений с
неизвестными:
где
Будем
предполагать, что основная матрица 
невырожденная.
Тогда, по теореме 3.1,
существует обратная матрица
Помножив матричное уравнениена матрицу
слева, воспользовавшись определением
3.2, а также утверждением 8) теоремы 1.1,
получим формулу, на которой основан
матричный метод решения систем линейных
уравнений:
Замечание. Отметим, что матричный метод решения систем линейных уравнений в отличие от метода Гаусса имеет ограниченное применение: этим методом могут быть решены только такие системы линейных уравнений, у которых, во-первых, число неизвестных равно числу уравнений, а во-вторых, основная матрица невырожденная.
Пример. Решить систему линейных уравнений матричным методом.
Задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными где
Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку её определитель отличен от нуля:
Обратную
матрицу 
составим одним из методов, описанных в
пункте 3.
По формуле матричного метода решения систем линейных уравнений получим
5.3. Метод Крамера
Данный метод так же, как и матричный, применим только для систем линейных уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом уравнений. Метод Крамера основан на одноимённой теореме:
Теорема
5.2. Система 
линейных уравнений с
неизвестными
основная матрица которой невырожденная, имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам
где 
определитель
матрицы, полученной из основной матрицы
системы уравнений заменой её
го
столбца столбцом свободных членов.
Пример. Найдём решение системы линейных уравнений, рассмотренной в предыдущем примере, методом Крамера. Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку Вычислим определители
По формулам, представленным в теореме 5.2, вычислим значения неизвестных:
6. Исследование систем линейных уравнений.
Базисное решение
Исследовать систему линейных уравнений – означает определить, какой является эта система – совместной или несовместной, и в случае её совместности выяснить, определённая эта система или неопределённая.
Условие совместности системы линейных уравнений даёт следующая теорема
Теорема 6.1 (Кронекера–Капелли).
Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу её расширенной матрицы:
Для совместной системы линейных уравнений вопрос о её определённости или неопределённости решается с применением следующих теорем.
Теорема 6.2. Если ранг основной матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система является определённой
Теорема 6.3. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система является неопределённой.
Таким образом, из сформулированных теорем вытекает способ исследования систем линейных алгебраических уравнений. Пусть n – количество неизвестных, Тогда:
при
система несовместна;при
система совместна, причём, если,
система
определённая; если же,
система неопределённая.
система несовместна;
система совместна, причём, если,
система
определённая; если же,
система неопределённая.Определение 6.1. Базисным решением неопределённой системы линейных уравнений называют такое её решение, в котором все свободные неизвестные равны нулю.
Пример. Исследовать систему линейных уравнений. В случае неопределённости системы найти её базисное решение.
Вычислим
ранги основной 
и расширенной матриц
данной системы уравнений, для чего
приведём расширенную (а вместе с тем и
основную) матрицу системы к ступенчатому
виду:
Вторую
строку матрицы сложим с её первой
строкой, умноженной на 
третью строку – с первой строкой,
умноженной на
а четвёртую строку – с первой, умноженной
на
получим матрицу
К
третьей строке этой матрицы прибавим
вторую строку, умноженную на 
а к четвёртой строке – первую, умноженную
на
В результате получим матрицу
удаляя из которой третью и четвёртую строки получим ступенчатую матрицу
Таким образом, Следовательно, данная система линейных уравнений совместна, а поскольку величина ранга меньше числа неизвестных, система является неопределённой.Полученной в результате элементарных преобразований ступенчатой матрице соответствует система уравнений
Неизвестные 
и
являются главными, а неизвестные
и
свободными. Придавая свободным неизвестным
нулевые значения, получим базисное
решение данной системы линейных
уравнений:
studfiles.net
Сведение системы линейных уравнений к матрице.
Любую систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения.
Так система линейных уравнений
| a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 | |
| a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 | |
| ································ | |
| am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm |
состоящая из m линейных уравнений, содержащая n неизвестных величин, может быть записана в виде матричного уравнения:
Ax = b
где
A = a11a12…a1na21a22…a2n…………am1am2…amn; x = x1x2…xm; b = b1b2…bm
Матрица A — это матрица коэффициентов системы линейных уравнений, вектор-столбец x — вектор неизвестных, а вектор-столбец b — вектор значений системы линейных уравнений.
N.B. Если в i-той строке системы линейных уравнений отсутствует переменная xj, значит ее множитель равен нулю, то есть aij = 0.
Пример 1.
Записать в виде матричном виде систему линейных уравнений:| 4x1 + x2 — x3 — x4 = 3 | |
| -x1 + 3x3 — 2x4 = 5 | |
| 6x1 + 2x2 + 4x3 = 2 | |
| 2x2 — x3 + x4 = 0 |
Решение: Система линейных уравнений запишется с помощью матриц следующим образом:
ru.onlinemschool.com
Элементарные преобразования матрицы.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся:
1. Изменение порядка строк (столбцов).
2. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).
3. Умножение элементов любой строки (столбца) на одно число.
4. Прибавление к элементам любой строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно число.
Системы линейных алгебраических уравнений слу (Основные понятия и определения).
1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
2. Решением системы уравнений (1) называется совокупность чисел x1, x2, … , xn, обращающая каждое уравнение системы в тождество.
3. Система уравнений (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение; если система не имеет решений, она называется несовместной.
4. Система уравнений (1) называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если у нее более одного решения.
5. В результате элементарных преобразований система (1) преобразуется к равносильной ей системе (т.е. имеющей то же множество решений).
К элементарным преобразованиям систем линейных уравнений относятся:
1. Отбрасывание нулевых строк.
2. Изменение порядка строк.
3. Прибавление к элементам любой строки элементов другой строки, умноженных на одно число.
Методы решения систем линейных уравнений.
1) Метод обратной матрицы (матричный метод) решения систем n линейных уравнений с n неизвестными.
Системой n линейных уравнений с n неизвестными называется система уравнений вида:
Запишем систему (2) в матричном виде, для этого введем обозначения.
Матрица коэффициентов перед переменными:
X = ‒ матрица переменных.
В = ‒ матрица свободных членов.
Тогда система (2) примет вид:
A×X = B ‒ матричное уравнение.
Решив уравнение, получим:
X = A-1×B
Пример:
; ;
1) │А│= 15 + 8 ‒18 ‒9 ‒12 + 20 = 4 0 матрицаА-1 существует.
2) AT= ;
3)
à =
4) А-1 = × Ã =;
Х = А-1 × B
Ответ:
2) Правило Крамера решения систем n – линейных уравнений с n – неизвестными.
Рассмотрим систему 2 ‒ х линейных уравнений с 2 ‒ мя неизвестными:
Решим эту систему методом подстановки:
Из первого уравнения следует:
Подставив во второе уравнение, получим:
Подставляем значение в формулу для, получим:
=
Определитель Δ — определитель матрицы системы;
Δ x1 — определитель переменной x1;
Δ x2 — определитель переменной x2;
Формулы:
x 1 =;x 2 =;…,xn = ;Δ 0;
‒ называются формулами Крамера.
При нахождении определителей неизвестных х1, х2,…, хnзаменяется столбец коэффициентов при той переменной, определитель которой находят, на столбец свободных членов.
Пример: Решить систему уравнений методом Крамера
Решение:
Составим и вычислим сначала главный определитель этой системы:
Так как Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера:
где Δ 1, Δ 2, Δ 3 получаются из определителя Δ путем замены 1‒ го, 2 ‒ го или 3 ‒ го столбца, соответственно, на столбец свободных членов.
Таким образом:
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Рассмотрим систему:
Расширенной матрицей системы (1) называется матрица вида:
Метод Гаусса – это метод последовательного исключения неизвестных из уравнений системы, начиная со второго уравнения по m – тое уравнение.
При этом путем элементарных преобразований матрица системы приводится к треугольной (если m = n и определитель системы ≠ 0) или ступенчатой (если m < n) форме.
Затем, начиная с последнего по номеру уравнения, находятся все неизвестные.
Алгоритм метода Гаусса:
1) Составить расширенную матрицу системы, включающую столбец свободных членов.
2) Если а11 0, то первую строку делим на а11 и умножаем на (– a21) и прибавляем вторую строку. Аналогично дойти до m–той строки:
I стр. делим на а11 и умножаем на (– аm1) и прибавляем m – тую стр.
При этом из уравнений, начиная со второго по m – тое, исключится переменная x1.
3) На 3 ‒ м шаге вторая строка используется для аналогичных элементарных преобразований строк с 3 ‒ й по m – тую. При этом исключится переменная x2 , начиная с 3 ‒ й строки по m – тую, и т. д.
В результате этих преобразований система приведется к треугольной или ступенчатой форме (в случае треугольной формы под главной диагональю нули).
Приведение системы к треугольной или ступенчатой форме называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение неизвестных из полученной системы называется обратным ходом.
Пример:
Прямой ход. Приведём расширенную матрицу системы
с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду. Переставим первую и вторую строки матрицыAb, получим матрицу:
Сложим вторую строку полученной матрицы с первой, умноженной на (‒2), а её третью строку – с первой строкой, умноженной на (‒7). Получим матрицу
К третьей строке полученной матрицы прибавим вторую строку, умноженную на (‒3), в результате чего получим ступенчатую матрицу
Таким образом, мы привели данную систему уравнений к ступенчатому виду:
,
Обратный ход. Начиная с последнего уравнения полученной ступенчатой системы уравнений, последовательно найдём значения неизвестных:
studfiles.net
Лекция 6. Системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений. Лекция 6.
Системы линейных уравнений.
Основные понятия.
Система видa
называется системой — линейных уравнений снеизвестными.
Числа ,,называютсякоэффициентами системы.
Числа ,называютсясвободными членами системы, –переменными системы. Матрица
называется основной матрицей системы, а матрица
– расширенной матрицей системы. Матрицы — столбцы
и — соответственноматрицами свободных членов и неизвестных системы. Тогда в матричной форме систему уравнений можно записать в виде .Решением системы называется значений переменных, при подстановке которых, все уравнения системы обращаются в верные числовые равенства. Всякое решение системы можно представить в виде матрицы — столбца. Тогда справедливо матричное равенство.
Система уравнений называется совместной если она имеет хотя бы одно решение и несовместной если не имеет ни одного решения.
Решить систему линейных уравнений это значит выяснить совместна ли она и в случае совместности найти её общее решение.
Система называется однородной если все её свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, так как имеет решение
.
Теорема Кронекера – Копелли.
Ответ на вопрос существования решений линейных систем и их единственности позволяет получить следующий результат, который можно сформулировать в виде следующих утверждений относительно системы линейных уравнений снеизвестными
(1)
Теорема 2. Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной (.
Теорема 3. Если ранг основной матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.
Теорема 4. Если ранг основной матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений.
Правила решения систем.
Находят ранги основной и расширенной матрицы и если то система не совместна.
Если , то система совместна, в этом случае находят какой-нибудь базисный минор- того порядка и берут соответствующие ему- уравнений системы, отбрасывая остальные. Те переменные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются главными, остальныепеременных называют свободными. Выражения со свободными переменными переносят в правую часть.
3. Находят выражение главных переменных через свободные и получают общее решение системы.
4. Придавая свободным переменным произвольные значения получают все значения главных переменных.
Методы решения систем линейных уравнений.
Метод обратной матрицы.
Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем систему в матричном виде
,
где ,,.
Умножим обе части матричного уравнения слева на матрицу
.
Так как , то получаем, откуда получаем равенство для нахождения неизвестных
.
Пример 27. Методом обратной матрицы решить систему линейных уравнений
Решение. Обозначим через основную матрицу системы
.
Пусть , тогда решение найдем по формуле.
Вычислим .
Так как , тои система имеет единственное решение. Найдем все алгебраические дополнения
, ,
, ,
, ,
, ,
Таким образом
.
Сделаем проверку
.
Обратная матрица найдена верно. Отсюда по формуле , найдем матрицу переменных.
.
Сравнивая значения матриц, получим ответ: .
Метод Крамера.
Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными
причем , т. е. система имеет единственное решение. Запишем решение системы в матричном видеили
Отсюда
Обозначим
. . . . . . . . . . . . . . ,
Таким образом, получаем формулы для нахождения значений неизвестных, которые называются формулами Крамера.
Пример 28. Решить методом Крамера следующую систему линейных уравнений .
Решение. Найдем определитель основной матрицы системы
.
Так как , то, система имеет единственное решение.
Найдем остальные определители для формул Крамера
,
,
.
По формулам Крамера находим значения переменных
Ответ:
Метод Гаусса.
Метод заключается в последовательном исключении переменных.
Пусть дана система линейных уравнений снеизвестными.
Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов:
На первом этапе расширенная матрица системы приводится с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду
,
где , которой соответствует система
После этого переменные считаются свободными и в каждом уравнении переносятся в правую часть.
На втором этапе из последнего уравнения выражается переменная , полученное значение подставляется вуравнение. Из этого уравнения
выражается переменная . Этот процесс продолжается до первого уравнения. В результате получается выражение главных переменныхчерез свободные переменные.
Пример 29. Решить методом Гаусса следующую систему
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду
.
Так как больше числа неизвестных, то система совместна и имеет бесконечное множество решений. Запишем систему для ступенчатой матрицы
Определитель расширенной матрицы этой системы, составленный из трех первых столбцов не равен нулю, поэтому его считаем базисным. Переменные
, будут базисными а переменная – свободной. Перенесем ее во всех уравнениях в левую часть
Из последнего уравнения выражаем
Подставив это значение в предпоследнее второе уравнение, получим
откуда . Подставив значения переменныхив первое уравнение, найдем. Ответ запишем в следующем виде
Ответ:
32
studfiles.net
Система линейных алгебраических уравнений
Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи.
Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.
Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему
содержащую m уравнений и n неизвестных (x1,x2,…,xn). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.
Параметры aij называют коэффициентами, а bi – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «m×n система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит m уравнений и n неизвестных.
Если все свободные члены bi=0 то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.
Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел (α1,α2,…,αn), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных x1,x2,…,xn, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.
Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. x1=x2=…=xn=0.
Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.
Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.
С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:
Матрица A называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.
Матрица A˜ называется расширенной матрицей системы. Её получают добавлением к матрице системы столбца, содержащего свободные члены b1,b2,…,bm. Обычно этот столбец отделяют вертикальной чертой, – для наглядности.
Матрица-столбец B называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец X – матрицей неизвестных.
Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: A⋅X=B.
Примечание
Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков
Теорема Кронекера-Капелли. Исследование систем линейных уравнений на совместность.
Теорема Кронекера-Капелли
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, т.е. rangA=rangA˜.
Система называется совместной, если она имеет хоть одно решение. Теорема Кронекера-Капелли говорит вот о чём: если rangA=rangA˜, то решение есть; если rangA≠rangA˜, то данная СЛАУ не имеет решений (несовместна). Ответ на вопрос о количестве этих решений даёт следствие из теоремы Кронекера-Капелли. В формулировке следствия использована буква n, которая равна количеству переменных заданной СЛАУ.
Следствие из теоремы Кронекера-Капелли
Если rangA≠rangA˜, то СЛАУ несовместна (не имеет решений).
Если rangA=rangA˜<n, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
Если rangA=rangA˜=n, то СЛАУ является определённой (имеет ровно одно решение).
Заметьте, что сформулированная теорема и следствие из неё не указывают, как найти решение СЛАУ. С их помощью можно лишь выяснить, существуют эти решения нет, а если существуют – то сколько.
Методы решения СЛАУ
Метод Крамера
Метод Крамера предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода Крамера можно выразить в трёх пунктах:
Составить определитель матрицы системы (его называют также определителем системы), и убедиться, что он не равен нулю, т.е. Δ≠0.
Для каждой переменной xi необходимо составить определитель Δ Xi, полученный из определителя Δ заменой i-го столбца столбцом свободных членов заданной СЛАУ.
Найти значения неизвестных по формуле xi= Δ Xi /Δ
Решение систем линейных алгебраических уравнений с помощью обратной матрицы.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с помощью обратной матрицы (иногда этот способ именуют ещё матричным методом или методом обратной матрицы) требует предварительного ознакомления с таким понятием как матричная форма записи СЛАУ. Метод обратной матрицы предназначен для решения тех систем линейных алгебраических уравнений, у которых определитель матрицы системы отличен от нуля. Естественно, при этом подразумевается, что матрица системы квадратна (понятие определителя существует только для квадратных матриц). Суть метода обратной матрицы можно выразить в трёх пунктах:
Записать три матрицы: матрицу системы A, матрицу неизвестных X, матрицу свободных членов B.
Найти обратную матрицу A-1.
Используя равенство X=A-1⋅B получить решение заданной СЛАУ.
Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Метод Гаусса является одним из самых наглядных и простых способов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): как однородных, так и неоднородных. Коротко говоря, суть данного метода состоит в последовательном исключении неизвестных.
Преобразования, допустимые в методе Гаусса:
Смена мест двух строк;
Умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю.
Прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
Вычеркивание строки, все элементы которой равны нулю.
Вычеркивание повторяющихся строк.
Насчет последних двух пунктов: повторяющиеся строки можно вычёркивать на любом этапе решения методом Гаусса, – естественно, оставляя при этом одну из них. Например, если строки №2, №5, №6 повторяются, то можно оставить одну из них, – например, строку №5. При этом строки №2 и №6 будут удалены.
Нулевые строки убираются из расширенной матрицы системы по мере их появления.
studfiles.net