Решение систем дифференциальных уравнений матричным способом
Матричная запись системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) с постоянными коэффициентами
Линейную однородную СОДУ с постоянными коэффициентами $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =a_{11} \cdot y_{1} +a_{12} \cdot y_{2} +\ldots +a_{1n} \cdot y_{n} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =a_{21} \cdot y_{1} +a_{22} \cdot y_{2} +\ldots +a_{2n} \cdot y_{n} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} =a_{n1} \cdot y_{1} +a_{n2} \cdot y_{2} +\ldots +a_{nn} \cdot y_{n} } \end{array}\right. $,
где $y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right),\; \ldots ,\; y_{n} \left(x\right)$ — искомые функции независимой переменной $x$, коэффициенты $a_{jk} ,\; 1\le j,k\le n$ — заданные действительные числа представим в матричной записи:
- матрица искомых функций $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} \left(x\right)} \\ {y_{2} \left(x\right)} \\ {\ldots } \\ {y_{n} \left(x\right)} \end{array}\right)$;
- матрица производных решений $\frac{dY}{dx} =\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} } \\ {\ldots } \\ {\frac{dy_{n} }{dx} } \end{array}\right)$;
- матрица коэффициентов СОДУ $A=\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} } \end{array}\right)$.
Теперь на основе правила умножения матриц данную СОДУ можно записать в виде матричного уравнения $\frac{dY}{dx} =A\cdot Y$.
Общий метод решения СОДУ с постоянными коэффициентами
Пусть имеется матрица некоторых чисел $\alpha =\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.
Решение СОДУ отыскивается в следующем виде: $y_{1} =\alpha _{1} \cdot e^{k\cdot x} $, $y_{2} =\alpha _{2} \cdot e^{k\cdot x} $, \dots , $y_{n} =\alpha _{n} \cdot e^{k\cdot x} $. В матричной форме: $Y=\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=e^{k\cdot x} \cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)$.
Отсюда получаем:
Теперь матричному уравнению данной СОДУ можно придать вид:
Полученное уравнение можно представить так:
Последнее равенство показывает, что вектор $\alpha $ с помощью матрицы $A$ преобразуется в параллельный ему вектор $k\cdot \alpha $. Это значит, что вектор $\alpha $ является собственным вектором матрицы $A$, соответствующий собственному значению $k$.
Число $k$ можно определить из уравнения$\left|\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right|=0$.
Это уравнение называется характеристическим.
Пусть все корни $k_{1} ,k_{2} ,\ldots ,k_{n} $ характеристического уравнения различны. Для каждого значения $k_{i} $ из системы $\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} -k} & {a_{12} } & {\ldots } & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} -k} & {\ldots } & {a_{2n} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {a_{n1} } & {a_{n2} } & {\ldots } & {a_{nn} -k} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1} } \\ {\alpha _{2} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n} } \end{array}\right)=0$ может быть определена матрица значений $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(i\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(i\right)} } \\ {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(i\right)} } \end{array}\right)$.
Одно из значений в этой матрице выбирают произвольно.
Окончательно, решение данной системы в матричной форме записывается следующим образом:
$\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \\ {\ldots } \\ {y_{n} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \\ {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } & {\ldots } \\ {\alpha _{n}^{\left(1\right)} } & {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } & {\ldots } & {\alpha _{2}^{\left(n\right)} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{k_{1} \cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{k_{2} \cdot x} } \\ {\ldots } \\ {C_{n} \cdot e^{k_{n} \cdot x} } \end{array}\right)$,
где $C_{i} $ — произвольные постоянные.
Задача
Решить систему ДУ $\left\{\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dx} =5\cdot y_{1} +4y_{2} } \\ {\frac{dy_{2} }{dx} =4\cdot y_{1} +5\cdot y_{2} } \end{array}\right. $.
Записываем матрицу системы: $A=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)$.
В матричной форме данная СОДУ записывается так: $\left(\begin{array}{c} {\frac{dy_{1} }{dt} } \\ {\frac{dy_{2} }{dt} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {5} & {4} \\ {4} & {5} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)$.
Получаем характеристическое уравнение:
$\left|\begin{array}{cc} {5-k} & {4} \\ {4} & {5-k} \end{array}\right|=0$, то есть $k^{2} -10\cdot k+9=0$.
Корни характеристического уравнения: $k_{1} =1$, $k_{2} =9$.
Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{1} =1$:
\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{1} } & {4} \\ {4} & {5-k_{1} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(1\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(1\right)} } \end{array}\right)=0,\]то есть $\left(5-1\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(1\right)} +\left(5-1\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(1\right)} =0$.
Положив $\alpha _{1}^{\left(1\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(1\right)} =-1$.
Составляем систему для вычисления $\left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)$ при $k_{2} =9$:
\[\left(\begin{array}{cc} {5-k_{2} } & {4} \\ {4} & {5-k_{2} } \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {\alpha _{1}^{\left(2\right)} } \\ {\alpha _{2}^{\left(2\right)} } \end{array}\right)=0, \]то есть $\left(5-9\right)\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +4\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$, $4\cdot \alpha _{1}^{\left(2\right)} +\left(5-9\right)\cdot \alpha _{2}^{\left(2\right)} =0$.
Положив $\alpha _{1}^{\left(2\right)} =1$, получаем $\alpha _{2}^{\left(2\right)} =1$.
Получаем решение СОДУ в матричной форме:
\[\left(\begin{array}{c} {y_{1} } \\ {y_{2} } \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-1} & {1} \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} {C_{1} \cdot e^{1\cdot x} } \\ {C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right).\]В обычной форме решение СОДУ имеет вид: $\left\{\begin{array}{c} {y_{1} =C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \\ {y_{2} =-C_{1} \cdot e^{1\cdot x} +C_{2} \cdot e^{9\cdot x} } \end{array}\right. $.
spravochnick.ru
Матрицы для решения уравнений — Справочник химика 21
В случае нелинейной системы дифференциальных уравнений для решения уравнения (7.9) можно воспользоваться методом Ньютона—Рафсона, (см. формулу (7.7)). Для этого найдем матрицу частных производных дО (Х»)/ЗХ [c.272]При решении некоторых задач химии и химической технологии, например, таких, которые сводятся к решению систем линейных дифференциальных уравнений или к решению уравнений статистической физики, используются понятия собственных чисел и собственных векторов матриц. [c.276]
ЦВМ с оперативной памятью 32 10 кодов ограничивают число N примерно 1,5-10 , поскольку обычно несколько тысяч кодов требуется для оставшихся в памяти машины программ и подпрограмм алгоритмизации процесса решения. Если (размер матрицы системы уравнений математической модели ХТС) больше, чем объем оперативного запоминающего устройства (ОЗУ) машины, то необходимо использовать внешнее запоминающее устройство (ВЗУ) — барабаны, ленты, диски и др. При этом возникают существенные проблемы организации обмена информацией. между ОЗУ и ВЗУ, связанные с разделением времени обмена, накоплением информации на буферных каскадах и т. п. При применении ВЗУ можно решать задачи с плотными матрицами до N = 10. [c.73]
Основной задачей при использовании формул Эйлера, Рунге— Кутта и т. д. для решения системы (7.288) является выбор шага интегрирования, или фактора релаксации. При малых значениях последнего сходимость решения монотонная, но медленная. В случае же больших значений л возможно появление колебательности и даже расходимости решения. Система уравнений баланса является жесткой, т. е. имеет сильно различающиеся по абсолютной величине собственные значения. Поэтому ее решение существенно зависит от величины шага интегрирования. Очевидно, должно существовать оптимальное значение фактора релаксации, величина которого определяется собственными значениями матрицы системы уравнений и в конечном итоге количеством и концентрацией компонентов на тарелке. При расчете по формулам (7.288) фактор релаксации определяется через собственные зна- [c.367]
Если, матрица У Х) известна, то решение уравнения ( 111.44) с произвольными граничными условиями С (0) = можно записать в виде [c.338]
Рассмотрим различные случаи решения уравнения (11,102). Случай 1. Ранг матрицы [А ] =т, т. е. m I. Решение системы (II, 102) имеет вид [c.108]
В общем случае матрица Ч имеет все ненулевые элементы, поэтому непосредственное решение уравнения (7.232) является сложной задачей, однако если привести ее к диагональному виду, то становится возможным получение аналитического приближения для расчета коэффициентов [г). Из теории матриц известно, что для любой квадратной матрицы, не имеющей кратных собственных значений, найдется невырожденная матрица Г, которая приводит исходную к диагональному виду, т. е. всегда можно найти такую матрицу Т, что
Аналитический метод определения элементов операционных матриц технологических операторов ХТС основан на получении аналитических решений уравнений математической модели ТО. [c.89]
В методах второй группы по каждому из компонентов исходной смеси записывается система уравнений и решение осуществляется матричными методами. Поскольку начальное приближение выбирается произвольно, то после выполнения очередной операции производится коррекция искомых переменных. Методы второй группы находят все более широкое применение, так как при этом проявляется меньшая склонность к накоплению ошибок округления и соответственно большая устойчивость вычислительных схем при расчете колонн с несколькими вводами питания и боковыми отборами. К тому же при расчете комплекса колонн снимается проблема задания топологии системы, так как все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений баланса. [c.78]
Дальнейшим шагом для нахождения этого стационарного значения является решение уравнений ( 1,16), ( 1,18) и ( 1,19) относительно x и г/5 «> через управляемые переменные Затем полученное выражение используют для записи матриц и в виде функций параметров Далее решают уравнения ( 1,31) как системы совместных уравнений относительно составляющих векторов Этот метод представляет собой точную аналогию прямого приближения к максимуму и также включает совместные изменения переменных, в данном случав для удовлетворения условий уравнений ( 1,31). [c.309]
Современные методы решения задач разделения основываются на одновременном решении всех линеаризованных уравнений математического описания вследствие малой склонности этих методов к накоплению ошибок округления. К тому же при расчете взаимосвязанных систем снимается проблема задания топологии системы — все связи между колоннами отражены соответствующими коэффициентами в матрице системы уравнений математического описания. Следует при этом отметить, что матрицы коэффициентов, описывающих систему колонн, являются неплотными и применение специальных методов хранения данных позволяет свести к минимуму объем занимаемой памяти. Поэтому разработка эффективной процедуры решения задачи линеаризации системы взаимосвязанных колонн разделения является актуальной.
Таким образом, нахождение производных минимизируемой функции дЗ/дХ требует решения векторно-матричных уравнений и выполнения операции по обращению матрицы. Для современных адсорбционных установок с разветвленной многоузловой технологической схемой и большим числом балансовых уравнений аналитическое решение уравнений (3.1.21) и (3.1.23) может представить значительные трудности. Причем наибольшая сложность заключается в определении матрицы частных производных дУ/дХ. [c.137]
Как следует из формул (14—6), программа метода наименьших квадратов состоит из последовательности команд для определения коэффициентов матрицы системы уравнений и решения полученной системы. В стандартной программе для решения системы уравнений используется микропрограммная команда решения системы (РС) [47]. [c.443]
Ироизводные дXj дQn можно получить, дифференцируя по 9 уравнения материального баланса (1) и решая затем полученную систему линейных уравнений относительно дXj дQJ Если итерационная процедура сошлась и решение уравнения (6) найдено, то стандартные отклонения и ковариации элементов вектора 9 определяются с помощью дисперсионной матрицы [c.132]
Резкое расширение в последнее время интереса к соединениям тяжелых элементов ставит неотъемлемой задачей учет релятивизма. Наиболее совершенные релятивистские методы основываются на релятивистском аналоге уравнения Шредингера — уравнении Дирака. Главное отличие этих уравнений заключается в том, что оператор релятивистской одноэлектронной кинетической энергии, учитывая зависимость массы электрона от его скорости, совершенно отличается от соответствующего нерелятивистского оператора. При этом гамильтониан Дирака содержи
www.chem21.info
Как решать матричное уравнение 🚩 матричное уравнение онлайн 🚩 Математика
Вам понадобится
- — ручка;
- — бумага.
Умножение матрицы А на В определено в случае равенства числа столбцов А числу строк В. Операция умножения обозначается как и обычное арифметическое действие – знаком «×» или просто АВ. Если С=АВ, то ее элементы будут перемножаться по следующему правилу (см. рис.1.):
Для каждой невырожденной квадратной матрицы А (определитель |A| не равен нулю) существует единственная обратная матрица, обозначаемая А^-1,
такая, что А^-1×А=А А^(-1)=Е.
Матрица Е называется единичной, она состоит из единиц на главной диагонали, остальное элементы – нули. А^(-1) вычисляется по следующему правилу (см. рис.2.):
Здесь Аij – алгебраическое дополнение соответствующего элемента определителя матрицы А. Аij получают удалением из определителя |A| i-строки и j-столбца, на пересечении которых лежит а(ij), и умножением вновь полученного определителя на (-1)^(i+j).Фактически присоединенная матрица – это транспонированная матрица из алгебраических дополнений элементов матрицы А. Транспонирование – это замена столбцов матрицы на строки (и наоборот). А транспонированная обозначается А^Т.
Пример 1. Найти обратную матрицу для A^(-1) (см. рис.3).
Матричные уравнения исторически появились в связи с необходимостью получения компактных алгоритмов решения систем линейных уравнений. Вид такой системы (см. рис.4.)
Если ввести понятие матрицы коэффициентов этой системы A=(a(ij)), i=1,2,…,n; j=1,2,…,n матрицы-столбца переменных Х=(x1, x2,…,xn)^T и матрицы столбца правых частей B=(b1, b2,…,bn)^Т, то компактно в матричной форме система уравнений запишется в виде АХ=В. Дальнейшее решение состоит в умножении этого уравнения на обратную матрицу А^(-1) слева. Получаем (АА^(-1))Х=А^(-1)В, ЕХ=А^(-1)В, Х=А^(-1)В.
Пример 2. Используя матрицу коэффициентов А предыдущего примера №1, найти решение матричного уравнения, в котором В= (6, 12, 0)^T. Тогда Х=А^(-1)В. А^(-1) уже найдено в предыдущем примере (см. рис.5).
Или х1=6, х2=0 , х3=0.
В предложенной выше системе АХ=В матрицы Х и В могут быть не только матрицами-столбцами, но и имеющими большую размерность. Например, (см. рис.6)
www.kakprosto.ru
Глава 4. Матрицы и дифференциальные уравнения
Теория матриц является эффективным средством исследования и решения дифференциальных уравнений. Среди них наиболее простыми являются линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, к которым приводятся многие задачи физики и техники. Здесь рассматриваются только такие уравнения, и для краткости будем называть их просто дифференциальными уравнениями. Дифференциальное уравнение первого порядка, относительно неизвестной функции имеет вид
,
где – постоянный коэффициент; – непрерывная функция времени, определенная на некотором интервале . Решением уравнения является функция , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество. При уравнение называется однородным и его общее решение выражается как , где – произвольная постоянная. Общее решение исходного неоднородного уравнения ( ) выражается формулой
.
Это решение представляет собой сумму общего решения однородного и частного решения неоднородного дифференциальных уравнений. Оно удовлетворяет начальному условию при , т. е.
.
Переходя к системам дифференциальных уравнений, рассмотрим их представление в нормальной форме:
,
к которой, как известно, можно привести любую систему линейных дифференциальных уравнений. В матричной записи эта система представляется одним уравнением
,
где – вектор (столбец) неизвестных функций ; – вектор (столбец) задающих функций и – квадратная матрица постоянных коэффициентов :
; ; .
Задачу об отыскании решения системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным значениям скаляра и вектора , называют задачей Коши. По аналогии с дифференциальным уравнением первого порядка можно записать искомое решение для вектора неизвестных функций в виде: .
Необходимо установить допустимость такого представления решения, а также выяснить смысл и способы определения входящей в него матрицы .
В матричной форме нормальная однородная система дифференциальных уравнений ( ) имеет вид: . Будем искать ее решение в виде где вектор (столбец) произвольных постоянных. Подставляя в исходное уравнение, получаем или после сокращения на скаляр и перенесения в левую часть равенства: . Заметим, что сокращать на вектор нельзя, так как операция деления на вектор в общем случае не имеет смысла. Вынося за скобки вектор , необходимо умножить предварительно на единичную матрицу . Уравнение имеет нетривиальные решения при условии, что определитель матрицы обращается в нуль, т. е. или
.
Так как порядок матрицы равен , то является многочленом -й степени относительно , т. е. . Корни уравнения (нули многочлена ), число которых равно , дадут значения при которых исходная система имеет нетривиальные решения. Рассмотрим наиболее простой случай, когда все корни уравнения простые (попарно различные). Тогда при имеем однородное уравнение , из которого можно определить вектор .Таким образом, решение нормальной системы дифференциальных уравнений, соответствующее корню , будет . Всего получим таких решений, соответствующих корням .
Для любой квадратной матрицы по установившейся терминологии называется характеристической матрицей, а – характеристическим уравнением. Корни уравнения называются собственными значениями (характеристическими числами), а векторы собственными векторами матрицы . Совокупность собственных значений называется спектром матрицы .
Множество всех решений однородной системы дифференциальных уравнений образует -мерное линейное пространство с базисом . Общее решение имеет следующий вид:
.
Это выражение может быть представлено в матричной форме
.
В свою очередь матрица выражается следующим образом
.
Здесь через обозначена матрица -го порядка, называемая модальной и состоящая из столбцов , а элементами диагональной матрицы являются экспоненциальные функции .
Итак, решение нормальной однородной системы линейных дифференциальных уравнений представляется в виде .
При матрица равна единичной матрице, следовательно, начальное условие , откуда . Подставляя это значение в общее решение, получаем . Матрица -го порядка называется фундаментальной матрицей. Ее вычисление сводится к определению собственных значений и собственных векторов матрицы системы дифференциальных уравнений.
Рассмотрим в качестве примера однородную систему дифференциальных уравнений:
.
Для этой системы
; .
Поскольку для вычисления необходимы алгебраические дополнения какой-либо строки матрицы , то определитель этой матрицы удобно получать разложением по элементам той же строки.
Алгебраические дополнения элементов первой строки:
;
;
.
Характеристический многочлен и собственные значения:
;
; ; .
Собственные векторы : ; ; .
Принимая (эти значения произвольны и выбираются по соображениям удобства), получаем модальную матрицу, а также обратную к ней:
;
Фундаментальная матрица
,
что после перемножения матриц приводит к следующему результату
.
Таким образом, в соответствии с соотношением общее решение рассматриваемой однородной системы дифференциальных уравнений:
,
где элементы вектора , равные начальным значениям соответствующих переменных при .
Выясним характер фундаментальной матрицы . Подставляя решение в однородное дифференциальное уравнение , получаем тождества:
; .
Так как в этих тождествах – вектор начальных значений не зависящий от времени, то , т. е. – это такая матрица, производная которой по времени равна произведению матрицы на саму матрицу. Аналогичными свойствами обладает единственная скалярная функция , поэтому по аналогии можно записать следующие соотношения:
.
Через экспоненциальную функцию выражаются также другие функции от матриц:
Следует иметь в виду, что , а соотношение имеет смысл только в случаях, когда и – перестановочные матрицы.
Решение неоднородной системы дифференциальных уравнений может быть записано в матричной форме , где – векторная функция времени, подлежащая определению. Подставляя выражение для и ее производной в исходное уравнение, имеем:
или после очевидных упрощений
.
При начальных условиях начальное значение искомой функции . Интегрированием получаем
.
Используя это выражение, находим решение неоднородного уравнения, удовлетворяющее начальному условию :
,
которое называется формулой Коши. Его можно рассматривать как сумму решения соответствующего однородного уравнения (при ) и решения неоднородного уравнения при нулевых начальных условиях ( ).
Пусть дана неоднородная система дифференциальных уравнений в нормальной форме:
.
Для этой системы:
; ; ;
;
.
Полагая для удобства , находим модальную матрицу и обратную к ней матрицу :
,
после чего определяется фундаментальная матрица:
.
Решение задачи Коши для однородной системы:
.
Найдем интеграл в выражении для частного решения неоднородной системы при :
Частное решение неоднородной системы:
.
Таким образом, решение неоднородной системы, удовлетворяющей начальным условиям , запишется следующим образом:
.
Контрольные вопросы к лекции 12
12-1. Как записывается система уравнений в матричном виде?
12-2. Как решается матричное уравнение ?
12-3. Что представляет собой определитель матрицы?
12-4. Как вычисляется определитель второго порядка?
12-5. Как вычисляется определитель третьего порядка?
12-6. В чем состоит свойство антисимметрии определителя?
12-7. В каком случае определитель равен нулю?
12-8. Как изменяется определитель матрицы -го порядка при умножении ее на скаляр?
12-9. Как вычисляется алгебраическое дополнение?
12-10. Как вычисляется обратная матрица?
12-11. Опишите алгоритм вычисления обратной матрицы методом исключения.
12-12. Какие матрицы называются особенными?
12-13. Для каких матриц существуют обратные матрицы?
12-14. Какая матрица называется инволютивной?
12-15. Что называется рангом матрицы?
12-16. Что называется дефектом матрицы?
12-17. Какая система уравнений называется совместной?
12-18. В чем состоит суть теоремы Кронекера – Капелли?
12-19. Какая система уравнений называется неопределенной?
12-20. Опишите алгоритм Гаусса для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?
12-21. Опишите алгоритм Гаусса – Жордана для решения неоднородных систем линейных уравнений -го порядка?
12-22. Какая система уравнений называется однородной?
12-23. Как определяется характеристическая матрица для квадратной матрицы ?
12-24. Как определяется характеристическое уравнение?
12-25. Что называется характеристическими числами квадратной матрицы ?
12-26. Что называется спектром квадратной матрицы ?
12-27. Какая матрица называется модальной?
12-28. Какая матрица называется фундаментальной?
12-29. Что представляет собой решение неоднородного дифференциального уравнения в форме Коши?
Похожие статьи:
poznayka.org