Матрицы решение задач – Матрицы, примеры решений

Типовые примеры Действия над матрицами

Занятие № 1. Матрицы. Операции над матрицами.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

1. Что называется матрицей.

2. Какие две матрицы называются равными.

3. Какая матрица называется квадратной, диагональной, единичной.

4. Как выполнить операции сложения матриц и умножение матрицы на число.

5. Для каких матриц вводится операция умножения и правило ее выполнения.

6. Какие преобразования над матрицами являются элементарными.

7. Какую матрицу называют канонической.

Задача № 1. Даны матрицы

Найти матрицу D=(1)

Решение.По определению произведения матрица на число получаем:

Далее вычисляем выражение (1):

D=

Задача № 2. Найти произведение АВ двух квадратных матриц:

Решение.Обе матрицы являются квадратными матрицами 2-го порядка. Такие матрицы можно умножить, используя формулу

(2)

Формула (2) имеет следующий смысл: чтобы получить элемент матрицы С = АВ, стоящий на пересечении строки истолбца нужно взять сумму произведений элементов-ой строки матрицы А на соответствующие элементы-го столбца матрицы В.

В соответствии с формулой (2) найдем:

Следовательно, произведение С = АВ будет иметь вид:

Задача № 3.Найти произведение АВ и ВА матриц:

Решение.Согласно формуле (2),элементы матриц АВ и ВА будут иметь вид:

Вывод:Сравнивая матрицы АВ и ВА и пользуясь определением равенства матриц, делаем вывод, что АВВА, т. е. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Задача № 4(устно). Даны матрицыСуществуют ли произведения (в скобках даны правильные ответы): АВ (да), ВА (нет), АС (да), СА (нет), АВС (нет), АСВ (да), СВА (нет).

Задача № 5.Найти произведение АВ и ВА двух матриц вида:

Решение.Приведенные матрицы видаследовательно, существуют произведения АВ и ВА данных матриц, которые будут иметь вид:

Задача № 6. Найти произведение АВ матриц:

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения:

  1. Даны матрицы

Найти матрицу D=2А-4В+3С.

2. Найти произведения АВ и ВА квадратных матриц:

  1. Найти произведение матриц:

  1. Найти произведение матриц:

  1. Найти произведение матриц:

  1. Найти произведение матриц:

7. Найти произведение матриц:

8.Найти матрицу: В=6А2+8А, если.

9. Дана матрица .Найти все матрицы В, перестановочные с матрицей А.

10. Доказать, что если А - диагональная матрица и все элементы ее главной диагонали различны между собой, то любая матрица, перестановочная с А, тоже диагональная.

Занятие 2. Определители квадратных матриц и их вычисление. Обратная матрица.

Для усвоения практического материала нужно ответить на следующие теоретические вопросы:

  1. Что называется определителем n-го порядка? Правила вычисления приn=1,2,3.

  2. Свойства определителей.

  3. Какая матрица называется невырожденной?

  4. Какая матрица называется единичной?

  5. Какая матрица называется обратной по отношению к данной?

  6. Что является необходимым и достаточным условием для существования обратной матрицы?

  7. Сформулировать правило нахождения обратной матрицы.

  8. Ранг матрицы. Правила нахождения.

Типовые примеры Вычисление определителей

Задача № 1. Вычислить определитель:

а ) по правилу треугольника;

б) с помощью разложения по первой строке;

в) преобразованием, используя свойства определителей.

а)

б)

в)

Задача № 2. Найти минор и алгебраическое дополнение элементаa23 определителяи вычислить его разложением по элементам строки или столбца.

Решение.

М23; А23

Задача № 3.Вычислить определитель с помощью разложения по 2 строке:

Ответ:

Задача № 4.Решить уравнение

Решение.

Задача № 5.Вычислить определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца:

Ответ: 63.

studfiles.net

1.2. Типовые примеры, задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить определители:

а)б)

Решение:

а);

б)

Ответ: а)6; б)-6.

2. Решить уравнение

-+4=.

Решение:

Вычислим определители, входящие в уравнение. Имеем

=6-х; =2х-3; =2+12+60-12-6-20=36.

В результате этого уравнение принимает вид

или

.

Отсюда

.

Ответ: x = .

Задачи для самостоятельного решения

  1. Вычислить определители

1) ; 2); 3)

.

Ответ: 1)-4; 2)-287; 3)284.

  1. Вычислить определители при помощи разложения его по строке.

1); 2).

Ответ: 1)-1; 2)1.

  1. Вычислить определители, предварительно преобразовав их к треугольному виду.

1) ; 2); 3).

Ответ: 1)3; 2)12; 3)4.

  1. Вычислить определители четвертого порядка, преобразовав их так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и разложить полученные определители по элементам этого ряда

1)

; 2).

Ответ: 1)10; 2)-11.

5. Решить уравнение или неравенство

1) -+4=; 2)-

Ответ: 1)3,45; 2).

1.3 Варианты индивидуальных заданий

Задание 1.а),б) Вычислить указанные определители.

в) Вычислить определитель четвертого порядка, предварительно преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и разложить полученный определитель по элементам этого ряда.

Задание

а)

б)

в)

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

Задание 2. Решить уравнение или неравенство:

Задание

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Вариант 11

Вариант 12

Вариант 13

Вариант 14

Вариант 15

2. Матрицы

2.1. Определения, основные операции, свойства

В настоящее время матрицы широко используются для сокращенного представления систем алгебраических и дифференциальных уравнений. Хотя первые упоминания о них относятся еще к древнему Китаю, их систематическое использование начинается, пожалуй, с ХIХ века в связи с развитием теории решения систем линейных алгебраических уравнений.

Прямоугольная таблица А, действительных или комплексных чисел, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей порядка m на n. Размерность матрицы обозначается так: .В развернутом виде матрица А порядка выглядит следующим образом:

А= .

Если m=n, то матрица называется квадратной, в противном случае,– прямоугольной. В квадратной матрице элементы образуют ееглавную диагональ, элементы , -побочную.

Матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковую размерность и равные соответствующие элементы. Если в матрице все элементы равны нулю, то она называется нулевой. Ее иногда обозначают символом 0.Если в квадратной матрице элементы главной диагонали равны 1, а все остальные равны 0, то она называется единичной. Обычно она обозначатся символом Е, т.е.

Е= .

Если в квадратной матрице элементы симметрично расположенные относительно главной диагонали равны, т.е. , то она называетсясимметричной. Если в квадратной матрице элементы симметрично расположенные относительно главной диагонали противоположны, т.е. , то она называетсяантисимметричной. Если положить i = j, и переставить равные индексы, то из определения, очевидно, должно следовать , откуда. Таким образом, в антисимметричной матрице элементы главной диагонали равны нулю.

Опишем основные операции над матрицами.

Сложение (вычитание). Эта операция определена для матриц одинаковой размерности. При сложении (вычитании) матриц происходит сложение (вычитание) их соответствующих элементов. Т.е.

=.

Умножение на число. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо на это число умножить все её элементы. Т.е.

=.

Транспонирование. Для того чтобы транспонировать матрицу необходимо сформировать новую матрицу, она обозначается , столбцами которой являются соответствующие строки исходной.

Пусть, например, , тогда .

Обратим внимание на изменение размерности при транспонировании.

Так, если , то .

Произведение матриц. Эта операция обозначается или просто и определена для матриц, размерность которых удовлетворяет определенным условиям. А именно, число столбцов первого множителя, т.е. матрицы ,должно быть равно числу строк второго множителя, т.е. матрицы В. Пусть, например, ,.Обозначим через C результат произведения ,т.е С= . Тогда dimC= mxn , т.е. и i,j –й элемент матрицы C равен произведению i-ой строки матрицы A на j-й столбец матрицы B , т.е.

Проиллюстрируем перемножение матриц следующей схемой:

Замечание. Обратим внимание, что находить произведение матриц в обратном порядке не всегда можно из-за различных размерностей. Например, ,а .Произведение АВ определено, а произведение ВА не существует. Но даже в тех случаях, когда оба произведения существуют они не не всегда равны. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 1. Найти произведение АВ и ВА матриц:

,.

Решение:

Имеем

но

.

Ответ:;.

Матрица называется обратной к матрице ,если ,где - единичная матрица. Матрица обратная к данной, обычно, обозначается .Обратная матрица определена только для квадратных матриц.

Пусть ,обозначим через определитель, составленный из элементов матрицы .Тогда

,

где - алгебраические дополнения элементов матрицы , а матрица называется присоединённой. Заметим, что только те квадратные матрицы имеют обратные, определители которых отличны от нуля.

В заключение перечислим некоторые из свойств рассмотренных выше операций:

  1. ,переместительный закон.

  2. ,распределительный закон.

  3. ,сочетательный закон.

  4. ,распределительный закон для операции умножения на число.

  5. , также распределительный для умножения чисел на матрицу.

  6. .Смотри, в частности, приведенный выше пример.

  7. ,т.е. нулевая матрица играет роль нулевого элемента в матричном исчислении.

  8. ,т.е. матрица Е играет роль единицы в операциях над матрицами.

studfiles.net

Примеры решения задач

1. Найти линейную комбинацию матриц , где,.

Решение:

.

2. Пусть – матрица размерности 2x 3, – матрица размерности 3 х 3. Найти произведенияи(если это возможно).

Решение: Используем формулу (2.1):

Произведение не существует, так как число столбцов матрицыB не совпадает с числом строк матрицы A: .

3. Найти, если.

Решение: .

.

4. Найти значение матричного многочлена , если , .

Решение: .

.

5. Транспонировать матрицу .

Решение: Так как у матрицы A две строки и три столбца, то у матрицы будет три строки и два столбца:.

6. Дана матрица . Найти обратную матрицу.

Решение: Воспользуемся первым способом нахождения обратной матрицы, т.е. формулой (2.2). Вычисляем определитель матрицы A:

.

Так как , то матрицасуществует. Найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицыA:

; ;

; ;

; ;

;

;

.

Составим присоединенную матрицу: . Находим обратную матрицу, поделив каждый элемент присоединенной матрицы на определитель матрицы A. Получаем ответ:

.

7. Решить матричное уравнение: .

Решение: Запишем данное матричное уравнение в виде . Его решением является матрица (если существует матрица). Найдем определитель матрицыA: . Значит, обратная матрица существует, и исходное уравнение имеет (единственное) решение. Найдем обратную матрицу: , ; , . Найдем решение матричного уравнения:

.

8. Найти обратную к матрице , используя метод элементарных преобразований.

Решение: Припишем справа единичную матрицу

.

Разделив первую строку на три и обнулив элемент в первом столбце ниже тройки, получим

.

Умножив вторую строку на три и обнулив элемент во втором столбце выше , получим

.

Таким образом, .

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти линейную комбинацию матриц , где

.

2. Найти произведения матриц и (если они существуют), где

.

3. Проверить коммутируют ли матрицы

и .

4. Найти значение матричного многочлена , еслии.

5. Вычислить произведение при заданной матрице .

6. Привести к ступенчатому виду матрицу .

7. Найти произведения матриц и, где

.

8. Найти обратную матрицу к матрице .

Решить матричные уравнения:

9. ;

10. .

11. Найти линейную комбинацию матриц , где

.

12. Найти произведения матриц и (если они существуют), где

.

13. Проверить, коммутируют ли матрицы и .

14. Найти значение матричного многочлена , если .

15. Вычислить произведение при заданной матрице.

16. Привести к ступенчатому виду матрицу .

17. Найти произведения матриц и, если

.

18. Найти обратную матрицу к матрице .

Решить матричные уравнения:

19. ;

20. .

Ответы:

1) ; 2) ;3) Да; 4) ;5) ; 6) ;7) ;8) ;9) ;10) ;11) ; 12) ;13) Нет; 14) ;15) ; 16) ;17) ;18) ;19) ;20) .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 3

Решение систем линейных уравнений методом Крамера и Гаусса

1. Метод Крамера.

Система уравнений вида

(3.1)

называется системой m линейных уравнений с n неизвестными.

Коэффициенты этих уравнений записываются в виде матрицы А, называемой матрицей системы, а числа, стоящие в правой части системы, образуют столбец В, называемый столбцом свободных членов. Неизвестные системы так же записываются в столбец, называемый столбец неизвестных:

, ,

Используя произведение матриц, можно записать данную систему в матричном виде: .

Совокупность чисел называетсярешением системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел вместо неизвестных.

Системы, не имеющие решения, называются несовместными.

Системы, имеющие решения, называются совместными. Заметим, что система может иметь единственное решение, а может иметь бесконечно много решений.

Для нахождения единственного решения систем с одинаковым количеством уравнений и неизвестных есть метод, называемый метод Крамера.

Система n уравнений с n неизвестными

имеет единственное решение, если определитель матрицы системы отличен от нуля. Это решение находится по формулам Крамера:

, (3.2)

где  – определитель матрицы системы, а k – определитель матрицы, полученной из матрицы системы заменой k-го столбца столбцом свободных членов.

studfiles.net

1.3. Блочные матрицы | Решение задач по математике и другим предметам!!!

Матрица, имеющая более чем одну строку или столбец, прямыми, проведенными между строками и (или) столбцами, может быть разбита на блоки – подматрицы. Полученная таким образом матрица называется Блочной.

Например, матрица может быть разбита на блоки следующим образом:

Обозначим , В этих обозначениях матрица примет вид:

Любую матрицу, имеющую более чем одну строку или столбец, можно представить, и при этом не единственным образом, в блочной форме. Переход к такому виду матрицы иногда бывает полезным, так как сводит вычисления с матрицами больших размеров к вычислениям с матрицами меньших размеров.

Блочные матрицы одинакового размера и одинакового разбиения на блоки называются Конформными.

Операции над конформными матрицами целесообразно проводить над блоками матриц по правилам, приведенным в п.1.1.

Действия над блочными матрицами

1. Сложение.

Пусть и – конформные матрицы:

Тогда их сумма: .

2. Умножение на число

3. Умножение блочных матриц.

Выполнение условия согласованности в операции умножения для блочных матриц предполагает, что, если:

То .

Предположим, что все блоки и таковы, что число столбцов блока совпадает с числом строк блока . В частности, например, все блоки матриц и квадратные одного порядка. Тогда произведением матриц и называется матрица

,

Где

Пример 1. Найти , если , .

Решение. Введём обозначения: где , а

Поскольку правило согласованности умножения матриц выполняется, то

Ответ: .

Пример 2. Найти , если , .

Решение. Представим матрицы и в следующем виде:

Обозначим , тогда

Таким образом, .

Ответ:

Замечание. Безусловно, выполнить умножение матриц и в Примерах 1 и 2 можно и не представляя их в блочной форме. Примеры приведены для иллюстрации применения к умножению матриц метода разбиения их на блоки.

Блочная матрица где – квадратные матрицы, в общем случае различных порядков, а остальные блоки – нулевые матрицы, называется Квазидиагональной.

Можно доказать, что

1)

2)

Рассмотрим две квазидиагональные матрицы:

Где каждая пара и – квадратные матрицы одного порядка. Тогда их сумма и произведение определяются следующим образом:

Из правила произведения блочных матриц следует, что

Если – невырожденная матрица, то эта формула имеет место для любого целого .

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

С++. Задачи с решениями. Матрицы

int itmathrepetitor_ru()

{

       int** a;

    int n,m;

    cout<<"input n: ";

    cin>>n;

    cout<<"input m: ";

    cin>>m;

// www.itmathrepetitor.ru

    a=new int* [n];

 

    for (int i=0; i<n; i++)

      a[i]=new int [m+1];

 

    for (int i=0; i<n; i++)

      for (int j=0; j<m; j++)

        a[i][j]=-5+rand()%12;

 

    cout<<"Start matrix: "<<endl;

    for (int i=0; i<n; i++)

    {

      for (int j=0; j<m; j++)

        cout<<a[i][j]<<" ";

      cout<<endl;

    }

// www.itmathrepetitor.ru

    for (int j=0; j<m; j++)

    {

       int sum=0;

       for (int i=0; i<n; i++)

          sum+=a[i][j];        

       cout<<"sum = "<<sum<<endl;

       if (sum>0)

       {

          //удаление j столбца

          for (int k=j+1; k<m; k++)

          {

             for (int i=0; i<n; i++)

                a[i][k-1]=a[i][k];

          }

          m--;

          j--;

       }

    }

 

    for (int j=m-1; j>=0; j--)

    {

        for (int i=0; i<n; i++)

          a[i][j+1]=a[i][j];

    }

    m++;

 

    for (int i=0; i<n; i++)

    {

        int min=a[i][1];

        for (int j=1; j<m; j++)

          if (a[i][j]<min)

            min=a[i][j];

 

        a[i][0]=min;

    }

 

    cout<<"End matrix: "<<endl;

    for (int i=0; i<n; i++)

    {

      for (int j=0; j<m; j++)

        cout<<a[i][j]<<" ";

      cout<<endl;

    }

 

    for (int i=0; i<n; i++)

      delete [] a[i];

    delete [] a;

www.itmathrepetitor.ru

Примеры решения типовых задач по алгебре и геометрии

Задача 1. Данную систему записать в матричной форме и решить с помощью обратной матрицы:

(1)

Решение. Пусть А – матрица коэффициентов при неизвестных; Х – матрица-столбец неизвестных Х1, х2, х3 и Н – матрица-столбец из свободных членов:

Левую часть системы (1) можно записать в виде произведения матриц А. Х, а правую – в виде матрицы Н. Следовательно, имеем матричное уравнение

А. Х=Н. (2)

Если определитель матрицы А отличен от нуля, то матрица А имеет обратную матрицу А-1. Умножим обе части равенства (2) слева на матрицу А-1, получим

А-1.А. Х=А-1.Н.

Так как А-1.А=Е, где Е – единичная матрица, а Е. Н=Х, то

Х= А-1.Н. (3)

Формулу (3) называют матричной записью решения системы линейных уравнений. Чтобы воспользоваться формулой (3), необходимо сначала найти обратную матрицу А-1:

Определитель

Заменив (3) соответствующими матрицами, имеем

Откуда Х1=2, х2=4, х3=-1.

Задача 2. Решить методом Гаусса следующую систему линейных уравнений:

Решение. Исключим из последних двух уравнений Х1. Для этого умножим первое уравнение на -5 и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на -3 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему эквивалентную данной:

(1)

Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2 получим систему

(2)

Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) Х2. Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на -7 и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему

(3)

Откуда Х3=3, Х2=1 и Х1=-2.

Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, т. е. матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид

Умножим элементы первой строки матрицы на -5 и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на -3 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Разделив элементы второй строки на 2, получим

Элементы второй строки умножим на -7 и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.

Задача 3. Решить методом Гаусса систему уравнений

Решение. Составим расширенную матрицу системы:

Умножив элементы первой строки последовательно на -2, -4 и -5. Полученные результаты прибавим соответственно к элементам второй, третьей и четвертой строк. Получим матрицу

Элементы второй строки умножим на 6 и результаты прибавим к элементам третьей строки, затем элементы второй строки прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Элементы третьей строки разделим на -2 и затем элементы четвертой строки прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу

Теперь элементы третьей строки умножим на 13 и результаты прибавим к элементам четвертой строки. Получим матрицу

Следовательно, данную систему можно записать так:

Откуда Х4=0, Х3=2, Х2=-1 и Х1=3.

Матрицы, получаемые после соответствующих преобразований, являются эквивалентными. Их принято соединять знаком ~.

Задача 4. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна:

Решение. Пусть А – матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных. Она называется матрицей системы. Если к матрице А присоединить столбец свободных членов, то полученная матрица В называется расширенной матрицей системы.

При исследовании систем линейных уравнений пользуются теоремой Кронекера-Капелли: для того чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы. При этом если ранг матрицы А равен рангу матрицы В и равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Если же ранг матрицы А равен рангу матрицы В, но меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное число решений. Если ранг матрицы А меньше ранга матрицы В, то система несовместна и решения не существует.

Определим ранг матрицы системы:

Преобразуем матрицу А. Сумму элементов первых двух столбцов прибавим к соответствующим элементам третьего столбца:

Так как все элементы третьего столбца оказались равными нулю, то единственный минор третьего порядка, который имеет эта матрица, равен нулю. С другой стороны минор второго порядка . Следовательно, ранг матрицы А равен 2, т. е. R(A)=2. Определим теперь ранг расширенной матрицы В:

Преобразуем матрицу В. Сумму элементов первых двух столбцов прибавим к соответствующим элементам третьего столбца. Тогда все элементы третьего столбца будут равны нулю. Затем элементы первого столбца умножим на 2 и их сумму вычтем из соответствующих элементов четвертого столбца:

Так как в полученной матрице, которая эквивалентна расширенной матрице В, элементы двух последних столбцов равны нулю, то все миноры третьего порядка матрицы В равны нулю и, следовательно, ранг матрицы В не может быть равен трем. Таким образом, ранг матрицы В тоже равен 2, т. е. R(В)=2.

Итак, R(A)=R(В)=2, но заданная система содержит 3 неизвестных. Поэтому система имеет бесконечное число решений. Выбираем в качестве базисного минора , а в качестве базисных неизвестных Х1 и Х2. Составляем подсистему, состоящую из первых двух уравнений заданной системы (третье уравнение отбрасываем). Свободное неизвестное Х3 переносим в правую часть. Получаем

Решая последнюю систему относительно базисных неизвестных Х1 и Х2, находим Х1=3+х3, Х2=2+х3. Полученное решение называется общим. Если свободное неизвестное Х3 примет определенное значение, то можно найти соответствующие значения базисных неизвестных Х1 и Х2. Например, пусть Х3=-2, тогда Х1=1, Х2=0. Легко проверить, что эти решения удовлетворяют всем трем уравнениям заданной системы уравнений.

Задача 5. Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 3), В (16; -6), С (20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС И их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6)уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой CD.

Решение. 1. Расстояние D между точками A (X1; Y1) и B (X2; Y2) определяется по формуле

(1)

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

2. Уравнение прямой проходящей через точки А (X1; Y1) И B (X2; Y2), имеет вид

(2)

Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:

Решив последнее уравнение относительно Y, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:

3. Известно, что тангенс угла J между двумя прямыми, угловые коэффициенты, которых соответственно равны K1 И K2, вычисляется по формуле

(3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: KAB=-¾; KВС=5,5. Применяя (3), получим

4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид

(4)

Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как KAB=-¾, то KCD=. Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим

Чтобы найти длину высоты UD, определим сперва координаты точки D – точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему

Находим

По формуле (1) находим длину высоты CD:

5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:

(5)

Следовательно,

Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:

Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений

6. Так как искомая прямая параллельная стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент K=-¾, получим

Рис. 1. Рис. 2

7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка АМ. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:

Треугольник АВС, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат ХОY на рис. 1.

Задача 6. Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А (4;0) и до данной прямой Х=1 равно 2.

Решение. В системе координат XOy Построим точку А (4;0) и прямую х=1. Пусть М (X;Y) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр МВ на данную прямую Х=1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно В (1;Y) (рис. 2).

По условию задачи МА:МВ=2. Расстояния МА и МВ находим по формуле (1) задачи 1:

Возведя в квадрат левую и правую части, получим

Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось А=2, а мнимая .

Определим фокусы гиперболы. Дли гиперболы выполняется равенство . Следовательно, – фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка А (4;0) является правым фокусом гиперболы.

Определим эксцентриситет полученной гиперболы:

Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и . Следовательно, , или и – асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.

Задача 7. Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А (4;3) и прямой Y=1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.

Решение. Пусть М (х;у) – одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр МВ на данную прямую У=1 (рис. 3). Определяем координаты точки В. Очевидно, абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т. е. В (Х;1). По условию задачи МА=МВ. Следовательно, для любой точки М (Х;у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:

Или

Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке О’ (4;2). Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим Х-4=Х и У+2=Y; тогда уравнение параболы принимает вид: Y= ¼Х2(*).

Чтобы построить найденную кривую перенесем начало координат в точку О’ (4;2), построим новую систему координат ХО’Y оси которой соответственно параллельны осям Ох и ОY, и затем в этой новой системе построим параболу (*) (рис. 3).

Рис. 3. Рис. 4

Задача 8. Составить каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, если она проходит через точки А (-8;12), В (12;). Найти все точки пересечения этой гиперболы с окружностью с центром в начале координат, если эта окружность проходит через фокусы гиперболы.

Решение. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

По условию точки А и В лежат на гиперболе. Следовательно, координаты этих точек удовлетворяют уравнению (1). Подставив в уравнение (1) вместо текущих координат Х и У координаты точек А и В, получим систему двух уравнений относительно неизвестных А и B:

Решая систему, получаем: А2=16, B2=48.

Таким образом, уравнение искомой гиперболы . Определим фокусы этой гиперболы. Имеем С2=а2+B2=16+48=64; с=8; F1 (-8;0), F2 (8;0).

Уравнение окружности, проходящей через начало координат, имеет вид

Где R – радиус окружности.

Так как по условию окружность проходит через фокусы гиперболы, то R=C=8. Следовательно, - уравнение окружности. Чтобы найти точки пересечения гиперболы с окружностью, решим систему уравнений

В результате получим 4 точки пересечения: М1 (;6), М2 (-;6), М3 (-;-6), М4 (;-6) (рис. 4).

Задача 9. Даны координаты вершин пирамиды АВСD: А (2;1;0), В (3;-1;2), С (13;3;10), D (0;1;4). Требуется: 1) записать векторы в системе орт I, J, K и найти модули этих векторов; 2) найти угол между векторами ; 3) найти проекцию вектора на вектор ; 4) найти площадь грани АВС; 5) найти объем пирамиды АВСD.

Решение. 1. Произвольный вектор А может быть представлен в системе орт I, J, K следующей формулой:

(1)

Где Ах, ау, аZ – проекции вектора А на координатные оси Ох, Оу И ОZ, а I, J, и K – единичные векторы, направления которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оу И ОZ. Если даны точки М1 (Х1;у1;Z1) и М2 (Х2;у2;Z2), то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

(2)

Тогда

(3)

Подставив в (3) координаты точек А и В, получим вектор :

Аналогично, подставляя в (3) координаты точек А и С, находим

Подставив в (3) координаты точек А и D, находим вектор :

Если вектор А задан формулой (1), то его модуль вычисляется по формуле

(4)

Применяя (4), получим модули найденных векторов:

2. Косинус угла между двумя векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей. Находим скалярное произведение векторов и :

Модули этих векторов уже найдены: . Следовательно,

3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Обозначим векторное произведение вектора на вектор через вектор Р. Тогда, как известно, модуль вектора Р выражает собой площадь параллелограмма, построенного на векторах и , площадь грани АВС будет равна половине модуля вектора Р:

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных вектора, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение :

Следовательно, объем параллелепипеда равен 144 куб. ед., а объем заданной пирамиды АВСD равен 24 куб. ед.

Задача 10. Даны координаты четырех точек: А (0;-2;-1), В (2;4;-2), С (3;2;0) и М (-11;8;10). Требуется: 1) составить уравнение плоскости Q, проходящей через точки А, В и С; 2) составить канонические уравнения прямой, проходящий через точку М перпендикулярно плоскости Q и с координатными плоскостями ХОу, хОZ и УОZ; 4) найти расстояние от точки М до плоскости Q.

Решение. 1. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А (х1;у1;Z1), В (х2;у2;Z2), С (х3;у3Z3), имеет вид

(1)

Подставляя в (1) координаты точек А, В и С, получим:

Разложим определитель по элементам первой строки:

Сократив на 5, получим уравнение искомой плоскости Q:

(2)

2. Канонические уравнения прямой в пространстве имеют вид

(3)

Где Х0, у0, Z0 – координаты точки, через которую проходит прямая (3), а M, N, P – направляющие коэффициенты этой прямой. По условию прямая проходит через точку М (-11;8;10) и перпендикулярна плоскости Q. Следовательно, подставив в (3) координаты точки М и заменив числа M, N и P соответственно числами 2;-1;-2 [коэффициенты общего уравнения плоскости (2)], получим

(4)

3. Чтобы найти точки пересечения прямой (4) с плоскостью (2), запишем сначала уравнения прямой (4) в параметрическом виде. Пусть , где T – некоторый параметр. Тогда уравнения прямой можно записать так:

(5)

Подставляя (5) в (2), получим значение параметра T:

Подставив в (5) T=6, находим координаты точки Р пересечения прямой (4) с плоскостью (2):

Пусть Р1 – точка пересечения прямой (4) с координатной плоскостью ХОу; уравнение этой плоскости Z=0. При Z=0 из (5) получаем

Пусть Р2 – точка пересечения прямой (4) с плоскостью хОZ; получаем уравнение этой плоскости У=0. При У=0 из (5) получаем

Пусть Р3 – точка пересечения прямой (4) с плоскостью уОZ.

Уравнение этой плоскости Х=0. При Х=0 из (5) получаем

4. Так как точка М лежит на прямой (4), которая перпендикулярна плоскости Q и пересекается с ней в точке Р, то для нахождения расстояния от точки М до плоскости Q достаточно найти расстояние между точками М и Р:

Задача 11. Даны координаты трех точек: А (-5;2;-2), В (-1;4;-6), С (-4;1;-6). Требуется найти: 1) канонические уравнения прямой АВ; 2) уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно прямой АВ и точку пересечения этой плоскости с прямой АВ; 3) расстояние от точки С до прямой АВ.

Решение. 1. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки А (х1;у1;Z1) и В (х2;у2;Z2), имеют вид

(1)

Подставив в (1) координаты точек А и В, получим

2. Запишем уравнение плоскости в общем виде Ах+Ву+СZ+D=0. Если плоскость проходит через точку М (х0;у0; Z0), то уравнение пучка плоскостей имеет вид

Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой АВ, то А:В:С=2:1:-2. Заменив коэффициенты А, В, С, в уравнении пучка плоскостей соответственно числами 2, 1, -2 и подставляя координаты точки С (-4;1;-6), получим

Определим координаты точки пересечения плоскости (q) с прямой АВ. Для этого решим систему трех уравнений

Решая эту систему, находим Х=-3, У=3, Z=-4. Следовательно, плоскость и прямая пересекаются в точке Р (-3;3;-4).

3. Чтобы найти расстояние от точки С до прямой АВ, достаточно найти расстояние от точки С (-4;1;-6) до пересечения Р(-3;3;-4) (так как прямая перпендикулярна плоскости q).

Имеем

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

2.2.4. Примеры решения задач по теме «Ранг матрицы»

Задача 1.

Определить ранг матрицы

Указание

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А является ее определитель. Если ΔА не равен нулю, R(A) = 3; если ΔА = 0, R(A) < 3.

Решение

Единственным минором максимального (3-го) порядка для матрицы А явля-ется ее определитель. Если ΔА не равен нулю, R(A) = 3; если ΔА = 0, R(A) < 3.

Найдем ΔА разложением по первой строке:

Следовательно, R(A) < 3. Поскольку матрица А содержит ненулевые элементы, R(A) > 0. Значит, R(A) = 1 или R(A) = 2. Если найдется минор 2-го порядка, не равный нулю, то R(A) = 2.

Вычислим минор из элементов, стоящих на пересечении двух первых строк и двух первых столбцов:

Ответ: R(A) = 2.

Если найден минор K-го порядка, не равный нулю, то можно утверждать, что R(A) ≥ K. Если же выбранный минор K-го порядка равен нулю, то из этого еще не следует, что R(A) < K, так как могут найтись миноры того же порядка, не равные нулю.

Задача 2.

Определить ранг матрицы

Указание

Используя элементарные преобразования, приведите матрицу А к треугольному виду.

Решение

У матрицы А существуют миноры до 4-го порядка включительно, поэтому

R(A) ≤ 4. Разумеется, непосредственное вычисление всех миноров 4-го, 3-го и т. д. порядка потребовало бы слишком много времени. Поэтому, используя элементарные преобразования, приведем матрицу А к треугольному виду. Поменяем местами 1-ю и 2-ю строки, чтобы элемент А11 стал равным 1:

Прибавим к третьей строке первую, ко второй – удвоенную первую, к четвертой – первую, умноженную на 3. Тогда все элементы 1-го столбца, кроме А11, окажутся равными нулю:

Вычтем вторую строку полученной матрицы из третьей и четвертой строк:

И вычеркнем нулевые строки:

.

Итак, ранг матрицы А равен рангу полученной матрицы размера , т. е.

R(A) < 2. Минор

Следовательно, R(A) = 2.

Ответ: R(A) = 2.

Задача 3.

Определить ранг матрицы

Указание

Используя элементарные преобразования, приведите матрицу А к треугольному виду.

Решение

Отметим, что минор, составленный из элементов матрицы, стоящих на пересечении первых трех строк и первых трех столбцов, не равен нулю:

Поэтому ранг данной матрицы не меньше трех.

Приведем матрицу к треугольному виду:

Вычеркивание нулевых строк приводит к тому, что

Размер полученной матрицы , поэтому ее ранг не более трех. Поскольку минор 3-го порядка, не равный нулю, существует, ранг исходной матрицы равен 3.

Ответ: R(A) = 3.

Задача 4.

Найти значения L, при которых матрица

Имеет наименьший ранг.

Указание

Приведите матрицу А к треугольному виду и найдите значения L, при которых с помощью элементарных преобразований вторую строку можно сделать нулевой.

Решение

Переставим столбцы матрицы А:

И приведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований:

Теперь видно, что при L = 0 вторая строка матрицы становится нулевой, и после ее вычеркивания получаем:

Минор его порядок равен 2, следовательно, при L = 0 R(A) = 2.

Если L ≠ 0, то минор, составленный из последних трех столбцов, имеет вид:

Значит, при L ≠ 0 R(A) = 3.

Итак, наименьший ранг, равный 2, матрица А имеет при L= 0.

Ответ: L = 0.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *