Найти частное решение дифференциального уравнения – ?

Найти частное решение дифференциального уравнения — 29 Декабря 2014

Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям:

y»=5y’+6y=(12x-7)exp(-x), y(0)=0, y'(0)=0

Решение получаем с помощью калькулятора решение дифференциального уравнения.

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 -5r + 6 = 0
D = (-5)2 — 4 • 1 • 6 = 1
,
Корни характеристического уравнения: r1 = 3, r2 = 2
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y1 = e3x, y2 = e2x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть: f(x) = (12x-7)•e-x
Поиск частного решения

.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида: R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение: y(x) = xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 12•x-7, Q(x) = 0, α = -1, β = 0.
Следовательно, число α + βi = -1 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:

Вычисляем производные:
y’ = A•e-x-(B+A•x)•e-x
y» = (B+A•x)•e-x-2•A•e-x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y» -5y’ + 6y = ((B+A•x)•e-x-2•A•e-x) -5(A•e-x-(B+A•x)•e-x) + 6((Ax + B)e
-x
) = (12x-7)•e-x или -7•A•e-x+12•B•e-x+12•A•x•e-x = (12x-7)•e-x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1: -7A + 12B = -7
x: 12A = 12
Решая ее, находим: A = 1;B = 0;
Частное решение имеет вид: y* = (x )e-x
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Найдем частное решение при условии: y(0) = 0, y'(0) = 0
Поскольку y(0) = c1+c2, то получаем первое уравнение: c1+c2 = 0
Находим первую производную: y’ = -x•e-x+e-x+2c2•e2x+3c1•e3x
Поскольку y'(0) = 1+2c2+3c1, то получаем второе уравнение: 1+2c2+3c1 = 0
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2 = 0
1+2c2+3c1 = 0
которую решаем методом исключения переменных.
c1 = -1, c2 = 1
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:
Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Решение линейных дифференциальных уравнений
Вместе с этой задачей решают также:
Пределы онлайн
Диф уравнения онлайн
Производная онлайн
Интегралы онлайн
Задачи по теории вероятностей
Математика онлайн

newsemestr.ucoz.ru

Решение задач по дифференциальным уравнениям и рядам

4. РЕШЕНИе ЗАДАЧ

4.1. Дифференциальные уравнения первого порядка
с разделяющимися переменными

Пример 1. Hайти общее решение уравнения  y¢cosx – (y + 1)sinx = 0.

Решение. Разделим переменные. Для этого умножим обе части уравнения на множитель , заменив y¢ на  Уравнение примет вид:  

Проинтегрируем почленно это уравнение, получим:

 

  ,

получили общий интеграл уравнения.

Пример 2. Найти частное решение уравнения:  если y = 3 при x = 1.

Решение. Перепишем уравнение в виде:  2ydy = (1 – 3x2)dx,  заменив y¢ на

Интегрируя обе части уравнения, получим:

     

– общий интеграл уравнения. Подставим начальные условия y = 3 при x = 1, получим:
9 = 1 – 1 + c, отсюда следует, что c = 9. Искомое частное решение имеет вид:

y2 = x – x3 + 9   или   x3 + y2 – x – 9 = 0.

4.2. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка

Пример. Проинтегрировать уравнение:   2x2dy = (x2 + y2

) dx .

Решение. Разделив обе части уравнения на x2dx, получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения :

   или      

Положим в нем , тогда y = ux, дифференцируем  получим уравнение с разделяющимися переменными:

      .

После разделения переменных получим уравнение с разделенными переменными:

.

Интегрируем     подставим   , получим:

       

Замечание. При разделении переменных мы делили на x и на (u – 1)2, что возможно лишь при x ¹ 0 и u ¹ 1. Непосредственной проверкой легко убедиться, что x = 0 и u = 1 т. е. y = x , являются также решениями данного уравнения, но они не входят в общий интеграл. Такие решения называются особыми.

4.3. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

Пример 1. Найти общее решение уравнения:   .

Решение. Поделим обе части данного уравнения на (1 + x2), получим:

– линейное уравнение. Решим его, применяя метод подстановки y = u×v, тогда  Подставим значения y и y¢ в данное уравнение:

,

сгруппируем члены:

.                                         (4.1)

Выберем функцию v так, чтобы выражение в скобках было равно нулю:

.

Тогда уравнение (4.1) запишем в виде системы уравнений:

.                                                    (4.2)

Найдем функцию v из первого уравнения системы:

,

разделим переменные:

.

Интегрируя, получаем:  ,  пусть   с1 = 1,   v = 1 + x2.

Подставим значение функции

v во второе уравнение системы (4.2):

   ,   ,   откуда   u = x + с.

Найденные функции u и v подставим в равенство y = u×v, получим:

y = (1 + x2)(x + с)

– общее решение данного уравнения.

Рассмотрим задачу, приводящую к дифференциальному уравнению.

Пример 2. Найти кривую, проходящую через точку M0(1, 4) и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение. Сделаем чертеж (рис. 4.1). Пусть M(x, y) – произвольная точка искомой кривой, AB – отрезок касательной к кривой в данной точке, заключенный между координатными осями. По условию задачи BM = MA. Если OP – абсцисса точки M, то DAMP ~ DABO  и

.

Но      , PA = OP,      поэтому      ,      т.е. OA = 2x, OB = 2y.

Угловой коэффициент касательной к кривой y = ¦(x) в точке M(x, y) выражается с помощью производной:

,   где   a = ÐBAК.

С другой стороны, так как

  и  ,

то

.

Следовательно,  – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные  ,  интегрируем:

   ,   .

Так как кривая должна проходить через точку M0(1, 4), то подставляя ее координаты в данное уравнение, находим: 1×4 = с, с = 4. Таким образом, искомая кривая определяется уравнением .

Пример 3. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, через 4 с скорость ее 1 м/с. Найти скорость движения лодки через 12 с после начала движения.

Решение. Согласно второму закону динамики дифференциальное уравнение движения имеет вид:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим:

интегрируем:

,      

Подставляя начальные условия: ,  находим:

;          с = 1,5.

Следовательно, . Значение k/m определим, подставляя второе начальное условие: t = 4,   v = 1,   . Отсюда следует:  Итак, получили частное решение данного уравнения:

.

Подставим в это равенство t = 12, окончательно получим:

.

4.4. Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка

Пример 1. Проинтегрировать уравнение: .

Решение. Интегрируем это уравнение последовательно два раза:

  

Пример 2. Найти общее решение уравнения:  

Решение. Это уравнение не содержит явно искомой функции y. Положив в уравнении y¢= zy² = z¢, получим линейное уравнение первого порядка относительно z(x):  .  Заменив z = uv,  z¢ = u¢v + uv¢, получим:

u¢v + uv¢ + uvtgx = sin2x, u¢v + u (v¢ + vtgx) = sin2x.

Это уравнение заменим системой уравнений:

.

Решаем первое уравнение системы:

      

интегрируем:  ,  с0 = 0,  откуда  или  Подставим найденное значение v во второе уравнение системы:  . Разделим переменные  интегрируем: , следовательно,   Возвращаясь к первоначальной переменной

y, получим:

.

Разделим переменные  ,  интегрируем:

   

получим общее решение данного уравнения:

Пример 3. Найти общее решение уравнения: 

Решение. Это дифференциальное уравнение не содержит в явном виде независимую переменную x. Положим y¢ = py² = p(dp/dy), подставим в данное уравнение:

Разделим переменные     или   ,  интегрируем:

   ,   .

А так как p = y¢, то получим y¢ = c1(3 + y) – уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим их:   интегрируем:

   ,   ,   .

Получили общее решение данного уравнения.

4.5. Линейные дифференциальные уравнения
второго порядка
с постоянными коэффициентами

Для нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения используется метод неопределенных коэффициентов. Частное решение линейного неоднородного уравнения для правых частей специального вида может быть найдено по виду правой части. Запишем в таблицу наиболее часто встречающиеся случаи (табл. 4.1).

Правая часть дифференциального уравнения

Корни характеристического
уравнения

Вид частного
решения

1)

где  – многочлен степени m.

а) Число 0 не является корнем характеристического уравнения

б) Число 0 является корнем характеристического уравнения кратности s

2)

а) Число a не является корнем характеристического уравнения

б) Число a является корнем характеристического уравнения кратности s

3)

а) Число biне является корнем характеристического уравнения

где .

б) Число bi является корнем характеристического уравнения

где .

Пример 1. Найти частное решение уравнения  , удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1,  y¢(0) = 0.

Решение. Запишем соответствующее однородное уравнение: , характеристическое уравнение имеет вид: , его корни  k2 = 2.

Общее решение однородного уравнения:

.

vunivere.ru

Неоднородные дифференциальные уравнения 2ого порядка

Определение и формулы неоднородных ДУ второго порядка

Нахождение решения однородного уравнения (2) можно посмотреть тут — решение дифференциальных уравнений второго порядка и линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка.

Методы нахождения частного решения неоднородных ДУ второго порядка

Существует несколько методов нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (1). Эти методы выбираются в зависимости от вида правой части – функции .

1) Если функция представляет собой многочлен n-ой степени

   

то частное решение уравнения (1) ищется в виде

   

Здесь – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами (которые подлежат определению), а s – кратность корня характеристического уравнения однородного уравнения (2) (или то есть количество корней характеристического уравнения, равных нулю).

Так как – частное решение уравнения (1), то коэффициенты, определяющие многочлен , можно найти методом неопределенных коэффициентов из равенства

   

использовав тот факт, что два многочлена равны, если равны коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной.

2) Если функция , стоящая в правой части уравнения (1), имеет вид

   

то есть представляет собой произведение многочлена степени n и экспоненты, то частное решение этого уравнения ищется в виде

   

где – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, а s – кратность корня в характеристическом уравнении соответствующего однородного уравнения (2) (или то есть количество корней характеристического уравнения, равных a). Коэффициенты многочлена определяются подстановкой частного решения в исходное уравнение (так как является решением, то оно должно удовлетворять уравнению). Таким образом, должно выполняться равенство (3).

3) Если правая часть неоднородного дифференциального уравнения (1) имеет вид:

   

то частное решение в этом случае ищем в виде:

   

Здесь s – число комплексно сопряженных пар корней характеристического уравнения – многочлены степени k с неизвестными коэффициентами. Коэффициенты этих многочленов определяются из равенства (3).

Если правая часть имеет отличную, от описанных выше, структуру, то для нахождение решения уравнения (1) применяют метод вариации произвольной постоянной:

1) находится общее решение соответствующего линейного однородного уравнения (2) в виде

   

где – линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения (2), – некоторые произвольные постоянные;

2) варьируются произвольные постоянные, то есть считается, что они являются функциями независимой переменной x:

   

А в качестве общего решения исходного дифференциального уравнения (1) рассматривается функция

   

Функции (точнее их производные ) являются решением системы

   

Тогда сами неизвестные функции находятся с помощью интегрирования.

ru.solverbook.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.