Ранг матрицы и способы его вычисления
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличных от нуля миноров. Его обозначают через или .
СВОЙСТВА РАНГА МАТРИЦЫ
1. Ранг матрицы равен нулю только для нулевой матрицы. В других случаях ранг матрицы равен некоторому положительном числу.
2. Ранг прямоугольной матрицы не превышает меньшего из двух чисел и т.е. .
3. Для квадратной матрицы -го порядка только тогда, когда матрица невырожденная.
4. В случае квадратной матрицы если то определитель матрицы равен нулю.
При нахождении ранга матрицы, как правило, нужно вычислять большое количество определителей. Чтобы облегчить задачу студентам давным-давно найдены элементарные преобразования с помощью которых можно слегка поменяв вид матрицы без вычисления определителей посчитать ранг.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦЫ
1. Транспонирование, т.е. замена каждой строки столбцом с тем же номером и наоборот.
2. Перестановка двух строк или двух столбцов.
3. Умножение всех элементов строки или столбца на любое число не равное нулю.
4. Добавление всех элементов строки или столбца соответствующих элементов параллельного ряда, умноженного на одно и то же число.
Матрицы, полученные одна из второй элементарными преобразованиями называются эквивалентными. Эквивалентные матрицы не равны друг другу, но при элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется. Если матрицы и эквивалентны то это записывается так:
Рассмотрим два основных метода нахождения ранга матрицы.
Первый метод –- метод окантовки — заключается в следующем:
Если все миноры 1-го порядка, т.е. элементы матрицы равны нулю, то .
Если хоть один из миноров 1-го порядка не равен нулю, а все миноры 2-го порядка равны нулю то .
Если минор 2-го порядка отличен от нуля то исследуем миноры 3-го порядка. Таким образом находят минор -го порядка и проверяют, не равны ли нулю миноры -го порядка.
Если все миноры -го порядка равны нулю, то ранг матрицы равен числу . Такие миноры -го порядка, как правило, находят путем «окантовки» минора -го порядка.
Второй метод определения ранга матрицы заключается в применении элементарных преобразований матрицы при возведении ее к диагональному виду. Ранг такой матрицы равно числу отличных от нуля диагональных элементов.
Рассмотрим примеры применения каждого метода.
—————————————————
Пример 1.
Задание. Найти ранг матрицы методом окантовки.
Решение. Матрица содержит ненулевые элементы миноры 1-го порядка, следовательно ее ранг может быть равен единице. Согласно правила ранг матрицы не превышает трем . Минор 2-го порядка
равен нулю, но следующий минор
отличен от нуля. Окантовывая минор второго порядка проверим третий: для этого разложим его по третьей колонке
Рассмотрим минор четвертого порядка, окантовывает настоящее
Он равен нулю, поскольку последняя строка нулевой. Остается вычислить еще один минор
Искомый ранг матрицы равен четырем (). На примере можно видеть, что выбор окантовки не всегда можно удачно выбрать и нужно числить большое количество миноров.
—————————————————
Пример 2.
Задание. Найти ранг матрицы .
Решение.
1.Переставим четвертый столбец на первое место, а все остальные сместим вправо.
2. Превратим в ноль все элементы в первой строке после . Для этого к столбцам добавим первый умноженный на соответственно.
3. Третий столбец поделим на . К четвертого и пятого столбцов добавим третий, умноженный на .
4. До пятого столбца добавим четвертый, умноженный на .
5. Переставим третий и четвертый столбцы на второе и третье места, а второй столбец на место четвертого.
В исходной матрицы вычеркнут последний столбец с нулевыми элементами
Ранг эквивалентной матрицы равен четырем, а следовательно и . Можно заметить, что матрицы в первом и втором примерах эквивалентные между собой (имеют одинаковые ранги).
—————————————————————
yukhym.com
Как найти ранг матрицы | UpByte.Net
Задача. Найти ранг матрицы \(A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right)\).Решение. Вычеркивая строки и столбцы в прямоугольной матрице, можно получить квадратную матрицу. Определитель такой матрицы – минор исходной матрицы. Наибольший порядок \(r\) минора матрицы не равного нулю – ранг матрицы. Нахождения ранга — поиск наибольшей квадратной матрицы с не нулевым определителем, получаемой из исходной вычеркиванием столбцов и строк. Алгоритм решения. Рассмотрим все миноры третьего порядка, вычеркивая по одному столбцу в исходной матрице:
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\)
\(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{23}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{22}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{24}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{23}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{33}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{32}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{34}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{32}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{13}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{23}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{22}}}&{{a_{23}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{14}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{24}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{23}}} \end{array}} \right|\), \(\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}} \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right|\).
На практике, часто удается сразу (не перебирая все) выбрать один минор отличный от нуля. Тогда ранг \(r = 2\). Если же все миноры второго порядка окажутся нулевыми, то рассматривают все миноры первого порядка – элементы исходной матрицы. Достаточно найти ненулевой элемент и сделать вывод, что ранг \(r = 1\).
Ответ. Возможен один из трех вариантов ответа : \(r = 3\), \(r = 2\), \(r = 1\).
upbyte.net
Как найти ранг матрицы 🚩 главный минор матрицы 🚩 Математика
Автор КакПросто!
Рангом матрицы S называют наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Минорами являются определители квадратной матрицы, которая получается из исходной путем выбора произвольных строк и столбцов. Обозначается ранг Rg S, а его вычисление можно выполнить с помощью проведения элементарных преобразований над заданной матрицей или методом окаймления ее миноров.
Статьи по теме:
Инструкция
Запишите заданную матрицу S и определите ее наибольший порядок. Если количество столбцов m матрицы меньше 4, имеет смысл находить ранг матрицы с помощью определения ее миноров. Согласно определению, ранг будет равен самому большому минору, отличному от нуля. Минором 1 порядка исходной матрицы является любой ее элемент. Если хоть один из них отличен от нуля (то есть матрица не является нулевой), следует перейти к рассмотрению миноров следующего порядка. Вычислите миноры 2 порядка матрицы, последовательно выбирая из исходной по 2 строки и 2 столбца. Запишите полученную квадратную матрицу 2х2 и вычислите ее определитель по формуле D = а11*а22 – а12*а21, где аij – элементы выбранной матрицы. Если D=0, вычислите следующий минор, выбрав другую матрицу 2х2 из строк и столбцов исходной. Продолжайте аналогичным образом рассматривать все миноры 2 порядка до тех пор, пока не встретится ненулевой определитель. В этом случае переходите к нахождению миноров 3 порядка. Если все рассмотренные миноры 2 порядка равны нулю, поиск ранга завершается. Ранг матрицы Rg S будет равен последнему порядку ненулевого минора, то есть в этом случае Rg S = 1.Вычислите миноры 3 порядка для исходной матрицы, выбирая уже по 3 строки и 3 столбца для вычисления определителя квадратной матрицы. Определитель D матрицы 3х3 находится по правилу треугольника D = c11* c22*c33 + c13* c21*c32 + c12* c23*c31 — c21* c12*c33 — c13* c22*c31 — c11* c32*c23, где сij – элементы выбранной матрицы. Аналогичным образом при D=0 вычисляйте остальные миноры 3х3, пока не встретится хотя бы один ненулевой детерминант. Если все найденные определители равны нулю, ранг матрицы в данном случае равен 2 (Rg S = 2), то есть порядку предыдущего ненулевого минора. При определении D, отличного от нуля, переходите к рассмотрению миноров следующего 4 порядка. Если на определенном этапе достигнут предельный порядок m исходной матрицы, следовательно, ее ранг будет равен этому порядку: Rg S = m.
Видео по теме
Обратите внимание
Ранг нулевой матрицы, т.е. полностью состоящей из нулевых элементов, считается равным нулю.
www.kakprosto.ru
Как найти ранг матрицы
Рангом матрицы S называют наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Минорами являются определители квадратной матрицы, которая получается из исходной путем выбора произвольных строк и столбцов. Обозначается ранг Rg S, а его вычисление можно выполнить с помощью проведения элементарных преобразований над заданной матрицей или методом окаймления ее миноров.Инструкция
- Запишите заданную матрицу S и определите ее наибольший порядок. Если количество столбцов m матрицы меньше 4, имеет смысл находить ранг матрицы с помощью определения ее миноров. Согласно определению, ранг будет равен самому большому минору, отличному от нуля.
- Минором 1 порядка исходной матрицы является любой ее элемент. Если хоть один из них отличен от нуля (то есть матрица не является нулевой), следует перейти к рассмотрению миноров следующего порядка.
- Вычислите миноры 2 порядка матрицы, последовательно выбирая из исходной по 2 строки и 2 столбца. Запишите полученную квадратную матрицу 2х2 и вычислите ее определитель по формуле D = а11*а22 – а12*а21, где аij – элементы выбранной матрицы. Если D=0, вычислите следующий минор, выбрав другую матрицу 2х2 из строк и столбцов исходной. Продолжайте аналогичным образом рассматривать все миноры 2 порядка до тех пор, пока не встретится ненулевой определитель. В этом случае переходите к нахождению миноров 3 порядка. Если все рассмотренные миноры 2 порядка равны нулю, поиск ранга завершается. Ранг матрицы Rg S будет равен последнему порядку ненулевого минора, то есть в этом случае Rg S = 1.
- Вычислите миноры 3 порядка для исходной матрицы, выбирая уже по 3 строки и 3 столбца для вычисления определителя квадратной матрицы. Определитель D матрицы 3х3 находится по правилу треугольника D = c11* c22*c33 + c13* c21*c32 + c12* c23*c31 — c21* c12*c33 — c13* c22*c31 — c11* c32*c23, где сij – элементы выбранной матрицы. Аналогичным образом при D=0 вычисляйте остальные миноры 3х3, пока не встретится хотя бы один ненулевой детерминант. Если все найденные определители равны нулю, ранг матрицы в данном случае равен 2 (Rg S = 2), то есть порядку предыдущего ненулевого минора. При определении D, отличного от нуля, переходите к рассмотрению миноров следующего 4 порядка. Если на определенном этапе достигнут предельный порядок m исходной матрицы, следовательно, ее ранг будет равен этому порядку: Rg S = m.
completerepair.ru