Жордан-Гаусс калькулятор | chessmsv
Применяется для решения системы линейных уравнений, нахождения обратной матрицы, нахождения ранга матрицы, симплекс-метода задачи линейного программировани, метода искусственного базиса, теории матричных игр и т.д. Например для решения системы уравнений
надо ввести подготовленную матрицу с количеством строк 2 и столбцов 3 (сначала надо ввести размерность подготовленной матрицы и нажать кнопку «Готово»).
В появившуюся таблицу надо ввести коэффициенты (числа) системы и нажать кнопку «Готово» . Появится новая новая таблица введенных чисел. Надо мышкой выделить ключевой элемент (становится красным) и нажать кнопку «Ключевой элемент выделен мышкой». Появится кнопка «Преобразовать». При нажатии внизу появится преобразованная по Жордану-Гауссу новая таблица
Для продолжения преобразований нажмите кнопку «Новое преобразование (эта таблица становится основной)». Основная таблица заменится на преобразованную. Выделяете новый ключевой элемент и делаете новое преобразование. Для этого примера выбираете элемент
и нажимаете кнопку «Преобразовать».
Получаем таблицу
с ответом. x=2, y=1. При необходимости все таблицы сохраняете на свой файл средствами Windows
(Выделить, копировать, вставить), например на Word.
Для задачи линейного программирования
подготовленная матрица имеет вид (3 строки, 5 столбцов)
| 5 | 2 | 1 | 1 | 0 |
| 3 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | -6 | -7 | 0 | 0 |
chessmsv.ru
Решение уравнений методом жордана гаусса. Решение системы линейных уравнений методом гаусса-жордана
Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого
Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе…Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь.
На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жо рдан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований?
…да, такое бывает только по любви =)
Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жо рдана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке:
Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя .
Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований .
Не мудрствуя лукаво:
Пример 1
Решить систему методом Гаусса-Жордана
Решение : это первое задание урока Метод Гаусса для чайников , где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду:
Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: ,
а потом ещё один ноль вот здесь: .
Идеальный с точки зрения простоты случай:
(6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку.
(7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2.
Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы:
Ответ :
Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу.
Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями:
Пример 2
Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана.
Решение : первая часть задания хорошо знакома:
(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5.
(2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3.
(3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7
(4) Третью строку разделили на 2.
Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду .
Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона:
Находим наиме
offlink.ru
Как решить линейное уравнение методом Гаусса онлайн
Карл Фридрих Гаусс — немецкий математик, механик, физик, астроном и геодезист. Он считается одним из величайших математиков всех времён, «королём математиков». И даже избирался иностранным почетным членом Петербургской академии наук. Для творчества Гаусса характерна органическая связь между теоретической и прикладной математикой, широта проблематики. Труды Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, математической физики, теории электричества и магнетизма, геодезии и многих разделов астрономии. Метод Гаусса является самым действующим способом решения систем линейных уравнений, поскольку ни метод Крамера, ни матричный метод не работают в условиях, когда система имеет бесконечное количество решений или несовместна. Однако последовательное исключение неизвестных, что и заложено в основу метода Гаусса, приведет к решению любых линейных систем.
Так же читайте нашу статью «Решить логарифмическое уравнение онлайн решателем»
Решим следующую систему линейных уравнений методом Гаусса:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2_x4=1\\ 2x_1-x2-2x_3-3x_4=2\\ 3×1+2x_2-x_3+2x_4=-5\\ 2x_1-3x_2+2x_3+x_4=11 \end{matrix}\right.\]
Сделаем расширенную матрицу:
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 2&-1&-2&-3\\ 3&2&-1&2\\ -2&-3&2&1 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Используя 2 уравнение, избавимся от переменной \[x_2\] в последующих уравнениях:
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&-5&-8&1\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\]
Выполним исключение переменной \[x_2\] из 3 и 4 уравнений. К 3 строке добавим 2, умноженную на \[\frac{1}{4}, \] а к \[4 — 2,\] умноженную на \[\frac{7}{1}. \]
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&-4&-10&8\\ 0&-7&-4&5 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\]
Теперь с помощью третьего уравнения исключим переменную \[x_3\] из четвёртого уравнения. Для этого к четвёртой строке прибавим третью, умноженную на \[-\frac{18}{18}=-1.\] Получаем расширенную матрицу трапециевидной формы.
\[\begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&-18&54 \end{pmatrix}\sim \\ \sim \begin{pmatrix} 1&2&3&-2\\ 0&1&-2&7\\ 0&0&-18&36\\ 0&0&0&18 \end{pmatrix}\]
Заданная система эквивалентна, таким образом, следующей:
\[\left\{\begin{matrix} x_1+2x_2+3x_3-2x_4=1\\ x_2-2x_3+7x_4=-8\\ -18x_3+36x_4=-40\\ 18x_4-7 \end{matrix}\right.\]
Основываясь на полученных данных, делаем вывод, что полученная и данная системы — совместны и определённы. Искомое решение находим «с конца». Из четвёртого уравнения имеем\[x_4=-\frac{7}{18}.\]
Это значение подставляем в третье уравнение системы и получаем
\[-18x_3+36(-\frac{7}{18})=-40,\]
откуда
\[x_3=\frac{13}{9}.\]
Далее, подставляем значения \[x_3\] и \[x_4\] во второе уравнение системы:
\[x_2=2\frac{13}{9}+7(-\frac{7}{18})-8,\]
т.е.
\[x_2=-\frac{43}{18}.\]
Наконец, подстановка значений \[x_2, x_3, x_4\] в первое уравнение даёт:
\[x_1+2(-\frac{43}{18})+3(\frac{13}{9})-2(-\frac{7}{18})=1,\]
Получаем:
\[x_1=\frac {2}{3}.\]
Ответ:
\[(x_1=\frac {2}{3}, x_2=-\frac{43}{18}, x_3=\frac{13}{9}, x_4=-\frac{7}{18}).\]
Где можно решить линейные уравнения методом Гаусса онлайн?
www.pocketteacher.ru