Онлайн калькулятор найти проекцию точки на прямую – Проекция точки на прямую онлайн

Проекция точки на прямую онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Пусть в двухмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀

) и прямая L:

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить прямую L₁, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение прямых L и L₁(точка M₁)

Уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B) нормальный вектор прямой L₁.

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L₁ была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L₁, поэтому в качестве нормального вектора прямой

L₁ достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L₁, представленной уравнением (2) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения прямых L и L₁, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M₁(x₁, y₁).

Найдем точку пересечения прямых L и L₁ другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

Подставим значения x и y в (4):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L₁(4). Следовательно, подставляя значение

t’ в (5) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’.

Пример 1. Найти проекцию точки M₀(1, 3) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (6) имеет вид:

Т.е. m=4, p=5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x’=2, y’=-3. Подставим значения m, p, x₀, y₀, x’, y’ в (5′):

Подставляя значение t в (5), получим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(1, 3) на прямую (6) является точка:

 

2. Пусть в трехмерном пространстве задана точка M₀(x₀, y₀, z₀) и прямая

L:

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем проекцию точки M₀ на прямую (7)(Рис.2).

Нахождение проекцию точки на прямую L содержит следующие шаги:

• построить плоскость α, проходящую через точку M₀ и перпендикулярную прямой L,
• найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M₁)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) имеет следующий вид:

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой

L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (8) можно записать так:

Откроем скобки

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M₀ на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (7):

Подставим значения x и y в (9):

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (9). Следовательно, подставляя значение t’ в (10) получим координаты проекции точки M₀ на прямую L:

где x₁=mt’+x’, y₁=pt’+y’, z₁=lt’+z’.

Пример 2. Найти проекцию точки M₀(3, −1, −2) на прямую

Решение.

Направляющий вектор прямой (11) имеет вид:

Т.е. m

=2, p=3, l=−4. Из уравнения прямой (11) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(2, 1, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (11) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=2, y’=1, z’=1. Подставим значения m, p, l x₀, y₀, z₀ x’, y’, z’ в (10′):

Подставляя значение t=t’ в (10), получим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(3, −1, −2) на прямую (11) является точка:

matworld.ru

Проекция точки на плоскость онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения

Для нахождения проекции точки M₀ на плоскость α, необходимо:

• построить прямую L, проходящую через точку M₀ и ортогональной плоскости α.
• найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).

Общее уравнение плоскости имеет вид:

где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку

M₀(x₀, y₀, z₀) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M₀(x₀, y₀, z₀) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:

Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее

Выразим переменные x, y, z через рараметр t.

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t

.

Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M₁ точки M₀ на плоскость (1).

Пример 1.Найти проекцию M₁ точки M₀(4, -3, 2) на плоскость

Решение.

Нормальный вектор плоскости имеет вид:

т.е. A=5, B=1, C=−8.

Координаты точки M₀: x₀=4, y₀=−3, z₀=2.

Подставляя координаты точки M₀ и нормального вектора плоскости в (5), получим:

Из выражений (7) находим:

Ответ:

Проекцией точки M₀(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:

matworld.ru

Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.

Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:

В задаче известны: координаты трех точек лежащих на плоскости.координаты вектора нормали и точки лежащей на плоскости.

Введите данные:

Уравнение плоскости.

Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки

В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:

• Если заданы координаты трех точек A(

  x

  ₁,

  y

  ₁,

  z

  ₁), B(

  x

  ₂,

  y

  ₂,

  z

  ₂) и C(

  x

  ₃,

  y

  ₃,

  z

  ₃), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле

  x  —  x 1		y  —  y 1		z  —  z 1	= 0
  x 2 —  x 1		y 2 —  y 1		z 2 —  z 1
  x 3 —  x 1		y 3 —  y 1		z 3 —  z 1

  
  
• Если заданы координаты точки A(

  x

  ₁,

  y

  ₁,

  z

  ₁) лежащей на плоскости и вектор нормали

  n

  = {A; B; C} то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле A(

  x

  —

  x

  ₁) + B(

  y

  —

  y

  ₁) + C(

  z

  —

  z

  ₁) = 0

Подробная информацию об уравнении плоскости.

o-math.com

Координаты проекции точки на плоскость и на прямую.Расстояние от точки до плоскости и до прямой.

Координаты проекции точки на плоскость.

Плоскость ABC задана координатами трёх её точек

Задана точка

Точка M является проекцией точки S на плоскость ABC:

Найти координаты точки M

Координаты векторов

По условию, так как прямые AB и AC не параллельны, векторное произведение векторов

Равно нулю смешанное произведение векторов

Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, перпендикулярна этой плоскости

Равны нулю скалярные произведения:

Получаем систему из трёх уравнений с тремя неизвестными xm, ym, zm:

Введём обозначения

Определитель этой системы отличен от нуля:

Система имеет единственное решение:

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между точкой S и плоскостью ABC может быть найдено по формуле:

Расстояние между точкой S и плоскостью ABC может быть найдено вторым способом, как высота параллелепипеда, сторонами которого являются [AB] и [AC], а боковым ребром является [AS].

Векторное произведение векторов AB и AC имеет координаты:

Модуль векторного произведения векторов AB и AC:

Модуль смешанного произведения векторов AS, AB, AC:

Расстояние между точкой S и плоскостью ABC может быть найдено по формуле:

Координаты проекции точки на прямую.

Прямая AB задана координатами двух её точек

Задана точка

Точка K является проекцией точки S на прямую AB.

Найти координаты точки K

Для нахождения координат точки K используем условия:

1. Векторы AK и AB – коллинеарны, их координаты пропорциональны;
2. Векторы SK и AB ортогональны, и их скалярное произведение равно нулю ;

Из первого уравнения

Подставляя xk, yk, zk во второе уравнение, находим t:

Координаты проекции точки S на прямую AB, то есть координаты точки K(xk, yk, zk):

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено по формуле:

Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено вторым способом, как высота параллелограмма, сторонами которого являются [AB] и [AS].

Векторное произведение векторов AB и AS имеет координаты:

Модуль векторного произведения векторов AB и AS:

Модуль вектора AB:

Расстояние между точкой S и прямой AB может быть найдено по формуле:

Программа «Координаты проекции точки на плоскость, на прямую.
Расстояние от точки до плосоксти, до прямой».

Программа «Координаты проекции точки на плоскость, на прямую.
Расстояние от точки до плосоксти, до прямой».

Версия от 15 декабря 2012 года.

Выдаётся точное значение координат проекции точки на плосокость или прямую в виде несократимой рациональной дроби c/r.
Выдаётся точное значение расстояния от в виде c*sqrt(p)/r

Дробь c/r является несократимой рациональной дробью, а подкоренное выражение p не содержит в качестве своих делителей квадраты натуральных чисел.

Результат можно вывести в файл.

Для перевода курсора в следующее поле и вычисления результата используйте клавишу Enter.

Вычисление расстояния между скрещивающимися прямыми.

На главную страницу.

ateist.spb.ru

No related posts.