Решение логических уравнений онлайн
Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. В математике существуют определенные задачи, которые посвящены логике высказываний. Чтобы решить данного рода уравнения необходимо обладать неким багажом знаний: знания законов логики высказываний, знания таблиц истинности логических функций 1 или 2 переменных, методы преобразования логических выражений. Кроме того, необходимо знать следующие свойства логических операций: конъюнкции, дизъюнкции, инверсии, импликации и эквивалентности.
Любую логическую функцию от \[n\] переменных — \[F(x_1,x_2 \cdots x_n) \]можно задать таблицей истинности.
Так же читайте нашу статью «Решить уравнение определителя онлайн решателем»
Решим несколько логически уравнений:
\[\rightharpoondown X1\vee X2=1 \]
\[\rightharpoondown X2\vee X3=1\]
\[\rightharpoondown X3\vee X4=1 \]
\[\cdots\]
\[\rightharpoondown X9\vee X10=1\]
Начнем решение с \[Х1\] и определим какие значения данная переменная может принимать: 0 и 1. Далее рассмотрим каждое их вышеприведенных значений и посмотрим, какое может быть при этом \[Х2.\]
Как видно из таблицы наше логическое уравнение имеет 11 решений.
Где можно решить логическое уравнение онлайн?
Решить уравнение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.
www.pocketteacher.ru
Решаем 23 задачу вместе
Ввод данных для расчета:
Примеры работы (нажмите для расчета):
Задания взяты и проверены с сайта К. Полякова
(x1 + x2) * (x1 * x2 - x3) * (!x1 + y1) = 1 (x2 + x3) * (x2 * x3 - x4) * (!x2 + y2) = 1 (x3 + x4) * (x3 * x4 - x5) * (!x3 + y3) = 1 (x4 + x5) * (x4 * x5 - x6) * (!x4 + y4) = 1 (x5 + x6) * (x5 * x6 - x7) * (!x5 + y5) = 1 (x6 + x7) * (x6 * x7 - x8) * (!x6 + y6) = 1 (x7 + x8) * (!x7 + y7) = 1 !x8 + y8 = 1
(x1 * y1) = (!x2 + !y2) (x2 * y2) = (!x3 + !y3) (x3 * y3) = (!x4 + !y4) (x4 * y4) = (!x5 + !y5) (x5 * y5) = (!x6 + !y6)
(x1 * x2) + (x1 + x3) * (x1 + y1)=0 (x2 * x3) + (x2 + x4) * (x2 + y2)=1 (x3 * x4) + (x3 + x5) * (x3 + y3)=0 (x4 * x5) + (x4 + x6) * (x4 + y4)=1 (x5 * x6) + (x5 + x7) * (x5 + y5)=0 (x6 * x7) + (x6 + x8) * (x6 + y6)=1
(x1 - x2) * (x2 - x3) * (x3 - x4) = 1 (y1 - y2) * (y2 - y3) * (y3 - y4) = 1 (z1 - z2) * (z2 - z3) * (z3 - z4) = 1 x1 * y2 * z3 = 0
!(x1 = x2) * !(x1 = x3) * (x2 = x3) = 0 !(x3 = x4) * !(x3 = x5) * (x4 = x5) = 0 !(x5 = x6) * !(x5 = x7) * (x6 = x7) = 0 !(x7 = x8) * !(x7 = x9) * (x8 = x9) = 0
(x1 + y1) * ((x2 * y2) - (x1 * y1)) = 1 (x2 + y2) * ((x3 * y3) - (x2 * y2)) = 1 (x3 + y3) * ((x4 * y4) - (x3 * y3)) = 1 (x4 + y4) * ((x5 * y5) - (x4 * y4)) = 1 (x5 + y5) * ((x6 * y6) - (x5 * y5)) = 1 x6 + y6 = 1
(x1 - x2) * (x2 - x3) = 1 !x1 * y1 * z1 + x1 * !y1 * z1 + x1 * y1 * !z1 = 1 !x2 * y2 * z2 + x2 * !y2 * z2 + x2 * y2 * !z2 = 1 !x3 * y3 * z3 + x3 * !y3 * z3 + x3 * y3 * !z3 = 1
(x1 - x2) * (x3 - x4 - x5 - x6) = 0 (y1 - y2 - y3) * (y4 - y5 - y6) = 1 (x2 - y2) * (x3 - y3) = 1
www.kpolyakov.spb.ru
Решение систем логических уравнений
Решение систем логических уравнений.
Задачи, в которых нужно найти количество решений системы логических уравнений, с каждым годом становятся все разнообразнее, интереснее и сложнее. В настоящее время процент выполнения этого задания ниже 15%1 среди всех выпускников, сдававших ЕГЭ по информатике. Это значит, что данное задание до сих пор представляет сложность не только для учащихся, но и для учителей. Порой бывает сложно не только решить СЛУ нового типа, но и разобраться в уже готовом решении.
Конечно, нельзя выделить один универсальный способ, как решать СЛУ и применять его для всех заданий. Каждая система уравнений уникальна и для того, чтобы её решить необходимо сначала её проанализировать. Одна и та же СЛУ может иметь несколько решений, ваша задача решить её как можно проще и быстрее.
Мы разберём несколько систем логических уравнений, которые можно решить разными способами.
Первый способ: самый простой – «табличный». Он подходит для тех систем, где все уравнения однотипны, т.е. второе уравнение подобно первому, третье – второму и т.д. Каждое новое уравнение в системе должно содержать переменные, которые есть в предыдущем уравнении. Количество общих переменных не должно быть больше 2. Желательно, чтобы общие переменные имели одинаковые значения, т.е. были «парой». В противном случае, этот метод становится не эффективным и нужно решать СЛУ по-другому.
Пример 1. (демонстрационный вариант 2016 года)
(¬ (x1 ≡ y1)) ≡ (x2 ≡ y2)
(¬ (x2 ≡ y2)) ≡ (x3 ≡ y3)
…
(¬ (x8 ≡ y8)) ≡ (x9 ≡ y9)
Шаг 1. Найдём количество решений для первого уравнения.
Из уравнения видно, что если две соседних переменные не равны, то следующая пара переменных обязательно должна быть равной: (x i≠ yi)→(xi+1 = yi+1).
И наоборот, если первая пара переменных одинаковая, то следующая должна иметь разные значения: (xi= yi)→(xi+1 ≠ yi+1).
Исходя из этого правила, построим таблицу истинности для первого уравнения, в которую войдут только нужные нам строки (те, при которых функция истинна).
Таблица 1.
X1 | Y1 | X2 | Y2 | Пусть x1 и y1 имеют разные значения (0,1 или 1,0), тогда x2 и y2 будут одинаковы (0,0 или 1,1). Пусть x1 и y1 имеют одинаковые значения (0,0 или 1,1), тогда x2 и y2 будут разные (0,1 или 1,0). Итого, по первому уравнению мы имеем 8 наборов переменных. |
0 | 1 | 0 | 0 | |
0 | 1 | 1 | 1 | |
1 | 0 | 0 | 0 | |
1 | 0 | 1 | 1 | |
0 | 0 | 0 | 1 | |
0 | 0 | 1 | 0 | |
1 | 1 | 0 | 1 | |
1 | 1 | 1 | 0 |
Шаг 2. Найдём количество решений для второго уравнения.
Варианты решений второго уравнения будут точно такими же, как и для первого.
Таблица 2.
X2 | Y2 | X3 | Y3 | |
0 | 1 | 0 | 0 | |
0 | 1 | 1 | 1 | |
1 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
0 | 0 | 0 | 1 | |
0 | 0 | 1 | 0 | |
1 | 1 | 0 | 1 | |
1 | 1 | 1 | 0 |
Шаг 3. Добавьте во вторую таблицу два столбца для общих переменных: x1 и y1.
Таблица 3.
X1 | Y1 | X2 | Y2 | X3 | Y3 | Не обращая внимания на столбцы значений x3 и y3 вставьте значения для x1 и y1 , исходя из таблицы 1. Берем первую строку таблицы: x2=0, y2=1 Смотрим в таблице 1 чему будут равны переменные x1 и y1 : при x2=0, а y2=1, значения переменных x1 и y1 могут быть либо x1=0, y1=0, либо x1=1, y1=1. Если x2=1, а y2=0, то x1 и y1 также могут быть либо x1=0, y1=0, либо x1=1, y1=1. |
0 | 1 | 0 | 0 | |||
0 | 1 | 1 | 1 | |||
1 | 0 | 0 | 0 | |||
1 | 0 | 1 | 1 | |||
0 | 0 | 0 | 1 | |||
0 | 0 | 1 | 0 | |||
1 | 1 | 0 | 1 | |||
1 | 1 | 1 | 0 |
И так далее заполняем всю таблицу:
Таблица 4.
X1 | Y1 | X2 | Y2 | X3 | Y3 | Видно, что, после добавления второго уравнения, количество найденных решений увеличилось в два раза. Так как все уравнения в нашей системе однотипны, то каждое следующее уравнение также будет увеличивать количество решений в два раза. Всего в данной системе 8 уравнений. Итого: 8*2*2*2*2*2*2*2=1024 решения. Ответ: 1024 |
0 1 | 0 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
0 1 | 0 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
0 1 | 0 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
0 1 | 0 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
0 1 | 1 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
0 1 | 1 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
0 1 | 1 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
0 1 | 1 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Но такое простое решение подходит не для всех систем. Бывает, что даже для одного уравнения СЛУ трудно (невозможно) построить таблицу истинности, не говоря уже о том, чтобы объединить в таблице два уравнения.
Второй способ: замена выражений простыми переменными. Этот способ особенно эффективен, когда вы видите, что после замены можно получить логическую операцию – импликацию.
Пример 2.
(x1→x2)→(x3→x4) = 1
(x3→x4)→(x5→x6) = 1
(x5→x6)→(x7→x8) = 1
(x7→x8)→(x9→x10) = 1
Шаг 1. Введем замены:
Z1=(x1→x2)
Z2=(x3→x4)
Z3=(x5→x6)
Z4=(x7→x8)
Z5=(x9→x10)
Тогда система уравнений примет более простой вид:
Z1→Z2 = 1
Z2→Z3 = 1
Z3→Z4 = 1
Z4→Z5 = 1
Можно переписать СЛУ в виде одного уравнения:
(Z1→Z2)*(Z2→Z3)*(Z3→Z4)*(Z4→Z5) = 1
Как и СЛУ, это уравнение будет истинно только в том случае, когда каждый из множителей будет принимать значение ИСТИНА.
Шаг 2. Построим таблицу истинности для нашего уравнения, в которую войдут только те строки, при которых уравнение истинно.
Таблица 5.
Z1 ≤ | Z2 ≤ | Z3 ≤ | Z4 ≤ | Z5 | Внутри скобок – операция импликация между двумя соседними переменными: Zi→Zi+1 Импликация принимает значение истина, если первая переменная будет меньше или равна второй переменной. Это значит, что для того, чтобы всё уравнение (вся система) была истинна, необходимо и достаточно, чтобы Zi≤ Zi+1 |
0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
0 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Шаг 3. Для каждого из набора решений Z1-Z5 найдем количество решений x.
Возьмём первую строчку таблицы истинности: Z1 = 0, Z2 = 0, Z3 = 0, Z4 = 0, Z5 = 0
Z1=(x1→x2), Z2=(x3→x4), Z3=(x5→x6), Z4=(x7→x8), Z5=(x9→x10)
Следовательно, (x1→x2)=0 И (x3→x4)=0 И (x5→x6)=0 И (x7→x8)=0 И (x9→x10)=0
Импликация принимает значение ЛОЖЬ в одном единственном случае(1→0)
Значит, x1=1, x2=0, x3=1, x4=0, x5=1, x6=0, x7=1, x8=0, x9=1, x10=0. Итого 1 набор.
Таблица 6.
Z1-Z5 | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | x9 | x10 | |
00000 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | итого: 1 решение |
00001 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | возможно 3 варианта | итого: 3 решения | |
00011 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | возможно 3 варианта | возможно 3 варианта | итого: 9 решений | ||
00111 | 1 | 0 | 1 | 0 | возможно 3 варианта | Возможно 3 варианта | возможно 3 варианта | итого: 27 решений | |||
01111 | 1 | 0 | возможно 3 варианта | возможно 3 варианта | возможно 3 варианта | возможно 3 варианта | итого: 81 решение | ||||
11111 | возможно 3 варианта | возможно 3 варианта | возможно 3 варианта | возможно 3 варианта | возможно 3 варианта | итого: 243 решения | |||||
Общее количество решений: 1+3+9+27+81+243=364
Ответ: 364
Метод с заменой выражений очень хорош, но также не универсален. Есть такие СЛУ, где не подходит ни один из способов. Такие системы можно попытаться решить «целиком», не дробя на отдельные уравнения.
Третий способ: Анализ всей системы уравнений.
Пример 3.
((x1*x2)→x3)*((x4*x5)→x6)=1
((x4*x5)→x6)*((x7*x8)→x9)=1
((x7*x8)→x9)*((x10*x11)→x12)=1
Решение: табличный способ не эффективен, т.к. слишком много общих переменных (x1,x2,x3). Метод замены не эффективен, т.к. корневая операция – конъюнкция.
Перепишем систему в следующем виде:
((x1*x2)→x3)*((x4*x5)→x6)*((x7*x8)→x9)*((x10*x11)→x12)=1
Для того, чтобы все уравнение было истинно, необходимо и достаточно, чтобы каждый из множителей принимал значение ИСТИНА.
Найдём количество решений для первого множителя.
Таблица 7.
X1 | X2 | X3 | Если в результате операции x1*x2 была получена ЛОЖЬ, то x3 может принимать любое значение (0 или 1) Если в результате операции x1*x2 была получена ИСТИНА, то x3 может принимать только одно значение (1) Следовательно, всего мы получаем 7 вариантов решений (для первого множителя). |
0 | 1 | 0 1 | |
1 | 0 | 0 1 | |
0 | 0 | 0 1 | |
1 | 1 | 1 |
Всего таких множителей 4, каждый из которых даст 7 решений. Итого: 7*7*7*7=2401 набор.
Ответ: 2401
Литература
- К.Ю. Поляков, М.А. Ройтберг. Системы логических уравнений: решение с помощью битовых цепочек // Информатика, № 12, 2014, с. 4-12.
- Буртаева О.Н. Подготовка к ЕГЭ по информатике [Электронный ресурс] URL: http://distan-school.ru/info/?sub=1 (дата обращения 20.12.2015).
Аналитический отчет о результатах ЕГЭ-2015. Информатика и ИКТ. URL: http://www.fipi.ru/sites/default/files/document/1442163533/informatika_i_ikt.pdf (дата обращения 19.12.2015).
Понравилась разработка? Поддержите автора лайком 😉
new.teacherjournal.ru
Урок №6 Решение логических уравнений (10 класс)
2. Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению
Решение:
Упростим запись исходного выражения и предложенных вариантов:
Ответ: 4
3. Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:
Какое выражение соответствует F?
Решение:
Определим значения этих выражений при указанных значениях аргументов:
Ознакомление с темой урока, изложение нового материала (30 минут)
Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Решение логических уравнений». Изучив данную тему, вы узнаете основные способы решения логических уравнений, получите навыки решения этих уравнений путем использования языка алгебры логики и умения составления логического выражения по таблице истинности.
1. Решить логическое уравнение
(¬K M) → (¬L M N) =0
Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M и N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K=1, L=1, M=0, N=1.
Решение:
Преобразуем выражение (¬K M) → (¬L M N)
Выражение ложно, когда оба слагаемые ложны. Второе слагаемое равно 0, если M=0, N=0, L=1. В первом слагаемом K=0, так как М=0, а 
.
Ответ: 0100
2. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?
Решение: преобразуем выражение
(A+B)*(C+D)=1
A+B=1 и C+D=1
Ответ: 9
2 способ: составление таблицы истинности
3 способ: построение СДНФ – совершенной дизъюнктивной нормальной формы для функции – дизъюнкции полных правильных элементарных конъюнкций.Преобразуем исходное выражение, раскроем скобки для того, чтобы получить дизъюнкцию конъюнкций:
(A+B)*(C+D)=A*C+B*C+A*D+B*D=
Дополним конъюнкции до полных конъюнкций (произведение всех аргументов), раскроем скобки:
Учтем одинаковые конъюнкции:
В итоге получаем СДНФ, содержащую 9 конъюнкций. Следовательно, таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 9 строках из 24=16 наборов значений переменных.
Ответ: 9
3. Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?
Упростим выражение:
,
3 способ: построение СДНФ
Учтем одинаковые конъюнкции:
1
В итоге получаем СДНФ, содержащую 5 конъюнкций. Следовательно таблица истинности для данной функции имеет значение 1 на 5 строках из 24=16 наборов значений переменных.
Ответ: 5
Построение логического выражения по таблице истинности:
для каждой строки таблицы истинности, содержащей 1 составляем произведение аргументов, причем, переменные, равные 0, входят в произведение с отрицанием, а переменные, равные 1 – без отрицания. Искомое выражение F будет составляется из суммы полученных произведений. Затем, если возможно, это выражение необходимо упростить.
Пример: дана таблица истинности выражения. Построить логическое выражение.
Решение:3. Задание на дом (5 минут)
Решить уравнение:
Сколько решений имеет уравнение (в ответе укажите только число)?
По заданной таблице истинности составить логическое выражение и
упростить его.
b
c
F
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
infourok.ru