Парабола онлайн – Построение графиков функций онлайн

Парабола

Определение параболы. Параболой называется множество всех точек плоскости, таких, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от точки, называемой фокусом, и от прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

Каноническое уравнение параболы имеет вид:

,

где число p, называемое параметром параболы, есть расстояние от фокуса до директрисы.

На чертеже линия параболы — бордового цвета, директриса — ярко-красного цвета, расстояния от точки до фокуса и директрисы — оранжевого.

В математическом анализе принята другая запись уравнения параболы:

y = ax²,

то есть ось параболы выбрана за ось координат. Можно заметить, что ax

² — это квадратный трёхчлен ax² + bx + c, в котором b = 0 и c = 0. График любого квадратного трёхчлена, то есть левой части квадратного уравнения, будет параболой.

Фокус параболы имеет координаты

Директриса параболы определяется уравнением .

Расстояние r от любой точки параболы до фокуса определяется формулой .

Для каждой из точек параболы расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Пример 1. Определить координаты фокуса параболы

Решение. Число p расстояние от фокуса параболы до её директрисы. Начало координат в данном случае — в роли любой точки, расстояния от которой от фокуса до директрисы равны. Находим p:

Находим координаты фокуса параболы:

Пример 2. Составить уравнение директрисы параболы

Решение. Находим p:

Получаем уравнение директрисы параболы:

Пример 3. Составить уравнение параболы, если расстояние от фокуса до директрисы равно 2.

Решение. Параметр p — это и есть данное расстояние от фокуса до директрисы. Подставляем и получаем:

Траектория камня, брошенного под углом к горизонту, летящего футбольного мяча или артиллерийского снаряда будет параболой (при отсутствии сопротивления воздуха). Зона достижимости для пущенных камней вновь будет параболой. В данном случае речь идёт об огибающей кривой траекторий камней, выпущенных из данной точки под разными углами, но с одной и той же начальной скоростью.

Парабола обладает следующим оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения (фигур, получающихся при вращении параболы вокруг оси). Пучок параллельных лучей, двигающийся вдоль оси параболы, отражаясь, собирается в её фокусе.

Поделиться с друзьями

Другие материалы по теме Кривые второго порядка

function-x.ru

Решение высшей математики онлайн


‹— Назад В школьном курсе математики достаточно подробно изучалась парабола, которая, по определению, являлась графиком квадратного трехчлена. Здесь мы дадим другое (геометрическое) определение параболы.

        Определение 12.7   Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.         

Чтобы получить уравнение кривой, соответствующей этому определению, введем подходящую систему координат. Для этого из фокуса опустим перпендикуляр на директрису . Начало координат расположим на середине отрезка , ось направим вдоль отрезка так, чтобы ее направление совпадало с направлением вектора . Ось проведем перпендикулярно оси (рис. 12.15).

Рис.12.15.        Теорема 12.4   Пусть расстояние между фокусом и директрисой параболы равно . Тогда в выбранной системе координат парабола имеет уравнение
(12.10)

        Доказательство.     В выбранной системе координат фокусом параболы служит точка , а директриса имеет уравнение (рис. 12.15).

Пусть  — текущая точка параболы. Тогда по формуле (10.4) для плоского случая находим

Расстоянием от точки до директрисы служит длина перпендикуляра , опущенного на директрису из точки . Из рисунка 12.15 очевидно, что . Тогда по определению параболы , то есть Возведем обе части последнего уравнения в квадрат: откуда После приведения подобных членов получим уравнение (12.10).     

Уравнение (12.10) называется каноническим уравнением параболы.

        Предложение 12.4   Парабола обладает осью симметрии. Если парабола задана каноническим уравнением, то ось симметрии совпадает с осью .
        Доказательство.     Проводится так же, как и доказательство  (предложения 12.1).     

Точка пересечения оси симметрии с параболой называется вершиной параболы.

Если переобозначить переменные , , то уравнение (12.10) можно записать в виде

который совпадает с обычным уравнением параболы в школьном курсе математики. Поэтому параболу нарисуем без дополнительных исследований (рис. 12.16).

Рис.12.16.Парабола        Пример 12.6   Постройте параболу . Найдите ее фокус и директрису.

Решение. Уравнение является каноническим уравнением параболы, , . Осью параболы служит ось , вершина находится в начале координат, ветви параболы направлены вдоль оси . Для построения найдем несколько точек параболы. Для этого придаем значения переменному и находим значения . Возьмем точки , , . Учитывая симметрию относительно оси , рисуем кривую (рис. 12.17)

Рис.12.17.Парабола, заданная уравнением

Фокус лежит на оси на расстоянии от вершины, то есть имеет координаты . Директриса имеет уравнение , то есть .         

Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света (рис. 12.18). Свойство сформулируем опять без доказательства.

Рис.12.18.Отражение светового луча от параболы

Это свойство означает, что луч света, вышедший из фокуса , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

mathserfer.narod.ru

каноническое уравнение параболы — 16 Августа 2013 — Примеры решений задач

Фокус параболы, директриса параболы, параметром параболы, эксцентриситет параболы

Определение. Парабола есть геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние от некоторой фиксированной точки, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой прямой, называемой директрисой (директриса не проходит через фокус).

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через точку фокуса F перпендикулярно директрисе L, начало координат расположим в середине отрезка FN (рис. 11).

Расстояние между фокусом F и директрисой L обозначим р. Значение р называют параметром параболы.

Пусть M(x, y) — текущая точка параболы, тогда, по определению параболы имеем или отсюда получаем

Уравнение (41) называют каноническим уравнением параболы.

Вершина параболы находится в начале координат, и кривая симметрична относительно оси Ох (рис. 11).

Замечание. Если для эллипса и гиперболы обозначим через r расстояние от текущей точки кривой до какого-либо фокуса, а через d — расстояние от этой точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то оказывается, что

Для параболы же , что следует из ее определения.

Т.о., для рассмотренных кривых второго порядка эллипса, гиперболы, параболы имеет место фокально-директориальное свойство: отношение расстояния текущей точки кривой до фокуса к расстоянию до односторонней с этим фокусом директрисы равно эксцентриситету кривой, т.е.

Канонические уравнения (38), (40), (41) эллипса, гиперболы, параболы получены при специальном выборе начала координат и направления осей координат, поэтому они просты и удобны для анализа. Оказывается, что в общем случае уравнения этих кривых представляют собой уравнения типа (34). Но эти уравнения всегда можно привести к каноническому виду, осуществляя преобразования системы координат.

www.reshim.su

Нелинейная регрессия. Парабола второго порядка

   
Исходные данные Xi=Yi
По заданным параметрам рассчитана эмпирическое уравнение регрессии
Регрессионная формула

Понятие регрессии

Зависимость между переменными величинами X и У может быть описана разными способами. В частности, любую форму связи можно выразить уравнением общего вида у=  f(х), где у рассматривают в качестве зависимой переменной, или функции от другой — независимой переменной величины х, называемой аргументом. Соответствие между аргументом и функцией может быть задано таблицей, формулой, графиком и т. д. Изменение функции в зависимости от изменений одного или нескольких аргументов называется регрессией.

Термин «регрессия» (от лат. regressio — движение назад) ввел  Ф. Гальтон, изучавший наследование количественных признаков. Он обнаружил. что потомство высокорослых и низкорослых родителей возвращается (регрессирует) на 1/3 в сторону среднего уровня этого признака в данной популяции. С дальнейшем развитием науки, этот термин утратил свое буквальное значение и стал применяться для обозначения и корреляционной зависимости между переменными величинами Y и X.

 

Различных форм и видов корреляционных связей много. Задача  исследователя сводится к тому, чтобы в каждом конкретном случае выявить форму связи и выразить ее соответствующим корреляционным уравнением, что позволяет предвидеть возможные изменения одного признака Y на основании известных изменений другого X, связанного с первым корреляционно.

 

Уравнение параболы второго рода

 

Иногда связи, между переменными Y и X можно выразить через формулу параболы

 

 

где a,b,c — неизвестные коэффициенты которые и надо найти, при известных  измерениях  Y и X

 

 

 

можно решать матричным способом, но есть уже рассчитанные формулы, которыми мы и воспользуемся

 

 

 

 

 

 

n — число членов ряда регресии

y — значения переменной Y

x — значения переменной X

 

Если вы будете пользоваться этим ботом  через XMPP клиента,  то синаксис такой

regress ряд X;ряд Y;2

где 2 — показывает что регрессию  рассчитываем как нелинейную в виде параболы второго порядка

 

Что ж, пора проверить наши расчеты.

 

Итак есть таблица 

X Y
1 18.2
2 20.1
3 23.4
4 24.6
5 25.6
6 25.9
7 23.6
8 22.7
9 19.2

 

надо определить коэффиценты a, b, c

 

Не смотря на то, что есть функция regress для пользователей XMPP клиентов , нам удобнее вводить данные через WEB интерфейс.

 

В результате получим ответ

 

Исходные данные Xi=Yi

1=18.2 2=20.1 3=23.4 4=24.6 5=25.6 6=25.9 7=23.6 8=22.7 9=19.2

По заданным параметрам рассчитана эмпирическое уравнение регрессии

 

Удачных расчетов!

  • Нелинейная регрессия. Парабола третьего порядка >>

abakbot.ru

Нелинейная регрессия. Парабола третьего порядка

Исходные данные Xi=Yi
По заданным параметрам рассчитана эмпирическое уравнение регрессии
Регрессионная формула
Как мы уже заметили в предыдущй статье, данные, которые мы получаем в результатае наблюдений за какими то процессами, можно с достаточно низкой погрешностью представить в виде какой либо кривой.  В этой статье мы рассмотрим регрессионный анализ, выражаемый параболой третьего порядка.

 

 

 

где a,b,c,d- неизвестные коэффициенты которые и надо найти, при известных  измерениях  Y и X

 

 

 

можно решать матричным способом, но есть уже рассчитанные формулы, которыми мы и воспользуемся

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

n — число членов ряда регресии

y — значения переменной Y

x — значения переменной X

 

 

Если вы будете пользоваться этим ботом  через XMPP клиента,  то синаксис такой

regress ряд X;ряд Y;2

где 2 — показывает что регрессию  рассчитываем как нелинейную в виде параболы второго порядка

 

Что ж, пора проверить наши расчеты.

 

Итак есть таблица 

X Y
5 78.0
6 76.1
7 73.6
8 72.9
9 70.8
10 69.4
11 69.3
12 69.0
13 69.1

 

надо определить коэффиценты a, b, c,d

 

Не смотря на то, что есть функция regress для пользователей XMPP клиентов , нам удобнее вводить данные через WEB интерфейс.

 

В результате получим ответ

 

Удачных расчетов!

  • Расчет парной корреляции и корреляции по Спирмену >>

abakbot.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.