Первообразная арксинуса – Интеграл от арксинуса, формула и примеры

Содержание

Mathway | Популярные задачи

1 Найти производную — d/dx квадратный корень x
2 Найти производную — d/dx натуральный логарифм x
3 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
4 Найти производную — d/dx e^x
5 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
6 Найти производную — d/dx 1/x
7 Найти производную — d/dx x^2
8 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
9 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
10 Найти производную — d/dx sin(x)^2
11 Найти производную — d/dx sec(x)
12 Вычислить интеграл e^x относительно x
13 Вычислить интеграл x^2 относительно x
14 Вычислить интеграл квадратного корня x по x
15 Вычислить натуральный логарифм 1
16 Вычислить e^0
17 Вычислить sin(0)
18 Найти производную — d/dx cos(x)^2
19 Вычислить интеграл 1/x относительно x
20 Вычислить cos(0)
21 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
22 Найти производную — d/dx x^3
23 Найти производную — d/dx sec(x)^2
24 Найти производную — d/dx 1/(x^2)
25 Вычислить интеграл arcsin(x) относительно x
26 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
27 Вычислить интеграл sec(x)^2 относительно x
28 Найти производную — d/dx e^(x^2)
29 Вычислить интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x
30 Найти производную — d/dx sin(2x)
31 Вычислить интеграл натурального логарифма x по x
32 Найти производную — d/dx tan(x)^2
33 Вычислить интеграл e^(2x) относительно x
34 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
35 Найти производную — d/dx 2^x
36 График натуральный логарифм a
37 Вычислить e^1
38 Вычислить интеграл 1/(x^2) относительно x
39 Вычислить натуральный логарифм 0
40 Найти производную — d/dx cos(2x)
41 Найти производную — d/dx xe^x
42 Вычислить интеграл 1/x относительно x
43 Вычислить интеграл 2x относительно x
44 Найти производную — d/dx ( натуральный логарифм x)^2
45 Найти производную — d/dx натуральный логарифм (x)^2
46 Найти производную — d/dx 3x^2
47 Вычислить натуральный логарифм 2
48 Вычислить интеграл xe^(2x) относительно x
49 Найти производную — d/dx 2e^x
50 Найти производную — d/dx натуральный логарифм 2x
51 Найти производную — d/dx -sin(x)
52 Вычислить tan(0)
53 Найти производную — d/dx 4x^2-x+5
54 Найти производную — d/dx y=16 корень четвертой степени 4x^4+4
55 Найти производную — d/dx 2x^2
56 Вычислить интеграл e^(3x) относительно x
57 Вычислить интеграл cos(2x) относительно x
58 Вычислить интеграл cos(x)^2 относительно x
59 Найти производную — d/dx 1/( квадратный корень x)
60 Вычислить интеграл e^(x^2) относительно x
61 Вычислить sec(0)
62 Вычислить e^infinity
63 Вычислить 2^4
64 Найти производную — d/dx x/2
65 Вычислить 4^3
66 Найти производную — d/dx -cos(x)
67 Найти производную — d/dx sin(3x)
68 Вычислить натуральный логарифм 1/e
69 Вычислить интеграл x^2 относительно x
70 Упростить 1/( кубический корень от x^4)
71 Найти производную — d/dx 1/(x^3)
72 Вычислить интеграл e^x относительно x
73 Вычислить интеграл tan(x)^2 относительно x
74 Вычислить интеграл 1 относительно x
75 Найти производную — d/dx x^x
76 Найти производную — d/dx x натуральный логарифм x
77 Вычислить интеграл sin(x)^2 относительно x
78 Найти производную — d/dx x^4
79 Вычислить предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3
80 Вычислить интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x
81 Найти производную — d/dx f(x) = square root of x
82 Найти производную — d/dx x^2sin(x)
83 Вычислить интеграл sin(2x) относительно x
84 Найти производную — d/dx 3e^x
85 Вычислить интеграл xe^x относительно x
86 Найти производную — d/dx y=x^2
87 Найти производную — d/dx квадратный корень x^2+1
88 Найти производную — d/dx sin(x^2)
89 Вычислить интеграл e^(-2x) относительно x
90 Вычислить интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x
91 Вычислить 2^5
92 Найти производную — d/dx e^2
93 Найти производную — d/dx x^2+1
94 Вычислить интеграл sin(x) относительно x
95 Вычислить 2^3
96 Найти производную — d/dx arcsin(x)
97 Вычислить предел (sin(x))/x, если x стремится к 0
98 Вычислить e^2
99 Вычислить интеграл e^(-x) относительно x
100 Вычислить интеграл 1/x относительно x

www.mathway.com

Таблица первообразных («интегралов»). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.

Интеграл степенной функции.

Интеграл степенной функции.

Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала.

 
   

Интеграл экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненты, где a-постоянное число.

Интеграл сложной экспоненциальной функции.

Интеграл экспоненциальной функции.

   

 

Интеграл, равняющийся натуральному логарифму.

 

Интеграл : «Длинный логарифм».

 

 

Интеграл : «Длинный логарифм».

 

Интеграл : «Высокий логарифм».

Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала
(константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать),
в итоге схож с интегралом, равным натуральному логарифму.

 

Интеграл : «Высокий логарифм».

 
   

Интеграл косинуса.

Интеграл синуса.

Интеграл, равный тангенсу.

Интеграл, равный котангенсу.

   

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу.

Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу.

 

 

Интеграл равный косекансу.

 

Интеграл, равный секансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арккосекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

Интеграл, равный арксекансу.

   

Интеграл, равный гиперболическому синусу.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx
— гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx
— гиперболический синус в ангийской версии.

Интеграл, равный гиперболическому тангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому котангенсу.

Интеграл, равный гиперболическому секансу.

Интеграл, равный гиперболическому косекансу.

tehtab.ru

Методы интегрирования тригонометрических функций

Основные тригонометрические формулы

Ниже приведены некоторые тригонометрические формулы, которые могут понадобится при интегрировании тригонометрических функций.

sin2a + cos2 a = 1






sin (a+b) = sin a cos b + cos a sin b
cos (a+b) = cos a cos b – sin a sin b
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2 a – sin2 a = 2 cos2 a – 1 = 1 – 2 sin2 a


Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций

Здесь мы рассмотрим стандартные подстановки, с помощью которых, в большинстве случаев, выполняется интегрирование тригонометрических функций.

Подстановка t = sin x

Преобразование выполняется по формулам:

cos x dx = dt;
sin x = t;   cos2 x = 1 – t2;
;  

Подстановка t = cos x

sin x dx = – dt;
cos x = t;   sin2 x = 1 – t2;
;  

Подстановка t = tg x

;   ;
tg x = t;   ;
;   .

Подстановка t = ctg x

;   ;
ctg x = t;   ;
;   .

Подстановка t = tg (x/2)

;
;
;
;   ;
;   .

Интегрирование обратных тригонометрических функций

Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции
arcsin φ, arctg φ, и т.д., где φ – некоторая алгебраическая функция от x, нередко интегрируются по частям, полагая u = arcsin φ, u = arctg φ, и т.д.

Примеры таких интегралов:
, , .
Подробнее >>>

Стандартные методы интегрирования тригонометрических функций

Общий подход

Вначале, если это необходимо, подынтегральное выражение нужно преобразовать, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который совпадал бы с переменной интегрирования.

Например, если подынтегральное выражение зависит от sin(x+a) и cos(x+b), то следует выполнить преобразование:

cos (x+b) = cos (x+a – (a–b) ) = cos (x+a) cos (b–a) + sin ( x+a ) sin (b–a).
После чего сделать замену z = x+a. В результате, тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z.

Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающим с переменной интегрирования (допустим это z), то есть подынтегральное выражение состоит только из функций типа sin z, cos z, tg z, ctg z, то нужно сделать подстановку
.
Такая подстановка приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (если есть корни) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.

Однако, часто можно найти другие методы, которые позволяют вычислить интеграл более коротким способом, основываясь на специфике подынтегрального выражения. Ниже дано изложение основных таких методов.

Методы интегрирования рациональных функций от sin x и cos x

Рациональные функции от sin x и cos x – это функции, образованные из sin x, cos x и любых постоянных с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целочисленную степень. Они обозначаются так: R(sin x, cos x). Сюда также могут входить тангенсы и котангенсы, поскольку они образованы делением синуса на косинус и наоборот.
Интегралы от рациональных функций имеют вид:
.

Методы интегрировании рациональных тригонометрических функций следующие.
  1)   Подстановка     всегда приводит к интегралу от рациональной дроби. Однако, в некоторых случаях, существуют подстановки (они представлены ниже), которые приводят к более коротким вычислениям.
  2)   Если R(sin x, cos x) умножается на   –1 при замене cos x → – cos x, то выполняется подстановка t = sin x.

  3)   Если R(sin x, cos x) умножается на   –1 при замене sin x → – sin x, то выполняется подстановка t = cos x.
  4)   Если R(sin x, cos x) не меняется как при одновременной замене cos x → – cos x, и sin x → – sin x, то применяется подстановка t = tg x или t = ctg x.

Примеры:
, , .
Подробнее >>>

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Интегралы вида

являются интегралами от рациональных тригонометрических функций. Поэтому к ним можно применить методы, изложенные в предыдущем разделе. Ниже рассмотрены методы, основанные на специфике таких интегралов.

Если m и n – рациональные числа, то одной из подстановок t = sin x или t = cos x интеграл сводится к интегралу от дифференциального бинома.

Если m и n – целые числа, то интегрирование выполняется с помощью формул приведения:

;
;
;
.

Пример:
.
Подробнее >>>

Интегралы от произведения многочлена и синуса или косинуса

Интегралы вида:
,   ,
где P(x) – многочлен от x, интегрируются по частям. При этом получаются следующие формулы:

;
.

Примеры:
, .
Подробнее >>>

Интегралы от произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса

Интегралы вида:
,   ,
где P(x) – многочлен от x, интегрируются с помощью формулы Эйлера
eiax = cos ax + isin ax (где i2 = –1).
Для этого методом, изложенном в предыдущем пункте, вычисляют интеграл
.
Выделив из результата действительную и мнимую часть, получают исходные интегралы.

Пример:
.
Подробнее >>>

Нестандартные методы интегрирования тригонометрических функций

Ниже приведены ряд нестандартных методов, которые позволяют выполнить или упростить интегрирование тригонометрических функций.

Зависимость от (a sin x + b cos x)

Если подынтегральное выражение зависит только от a sin x + b cos x, то полезно применить формулу:
,
где .

Например

Разложение дроби из синусов и косинусов на более простые дроби

Рассмотрим интеграл
.
Наиболее простой способ интегрирования заключается в разложении дроби на более простые, применяя преобразование:
sin(a – b) = sin(x + a – (x + b) ) = sin(x+a) cos(x+b) – cos(x+a) sin(x+b)

Интегрирование дробей первой степени

При вычислении интеграла
,
удобно выделить целую часть дроби и производную знаменателя
a1sin x + b1cos x = A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .
Постоянные A и B находятся из сравнения левой и правой частей.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:

1cov-edu.ru

Первообразные. Просветите , как находить первообразные функций? Не могу понять… Есть формулы или что?

Да. В таблице интегралов.

Есть таблица интегралов, где для многих функций уже найдены первообразные. Обычно данную в задаче функцию нужно путём всяческих извратов свести к одной из функций в этой таблице. В общем виде эта задача не решается, первообразную заданной от балды функции найти часто невозможно.

Как сделали? Взяли производную, например, от логарифма — получили функцию, первообразная которой — логарифм, внесли в таблицу. Взяли производную от арксинуса — получили функцию, первообразная которой арксинус. И. т. д. Получили таблицу. когда перебрали все элементарные функции. Надо взять интеграл от сложной функции. Стараются разбить её на слагаемые — каждое слагаемое есть отдельный интеграл. Затем в каждом интеграле стараются найти такие функции, которые при подстановке в интеграл делают его как можно короче и проще. Получили коротенький интеграл. Теперь смотрим на какую из функций таблицы похож интеграл или к какой можно его свести элементарными алгебраическими действиями или опять заменами переменной. Привели к табличной функции — всё ответ готов.

Проще застрелиться.

touch.otvet.mail.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *