Представить в виде дроби онлайн – Непрерывные (цепные) дроби онлайн

Непрерывные (цепные) дроби онлайн

Цепные (непрерывные) дроби − теория примеры и решения

Цепной (или непрерывной) дробью называется выражение вида

где a₀− целое число, а a₁,a₂,…− целые положительные числа. Числа a₀, a₁, a₂,…−называются элементами цепной дроби.

Цепная дробь может быть конечным или бесконечным. Число может быть представлено конечной цепной дробью тогда и только тогда, когда оно рационально. Ирациональные числа представляются в виде бесконечной цепной дроби.

Алгоритм разложения вещественного числа на цепную дробь имеет следующий вид:

Если на i-ом шаге x_i=0, то процесс останавливается. Цепная дробь принимает вид:

Пример 1. Построить цепную дробь для числа 25/11.

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₀ и x₀, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₁ и x₁, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₂ и x₂, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₃ и x₃, соответственно:

Дробная часть равна нулю. Процедуру останавливаем.

Непрерывная (цепная) дробь имеет вид:

Таким образом исходный дробь можно представить в виде следующей цепной дроби:

Пример 2. Построить цепную дробь для числа -7.56.

Преобразуем дробь в смешанное число:

Представим число в виде суммы целой и дробной частей и обозначим через a₀ и x₀, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₁ и x₁, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₂ и x₂, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Преобразуем дробь в смешанное число:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₃ и x₃, соответственно:

Перевернем дробную часть:

Отделим целую и дробную части и обозначим через a₄ и x₄, соответственно:

Дробная часть равна нулю. Процедуру останавливаем.

Непрерывная (цепная) дробь имеет вид:

Таким образом исходный дробь можно представить в виде следующей цепной дроби:

matworld.ru

Преобразование обыкновенных и десятичных дробей | LAMPA

Что вы узнаете

• Как перевести десятичную дробь в обыкновенную?
• Как перевести обыкновенную дробь в десятичную?

Преобразование десятичной дроби в обыкновенную

Если вам нужно сложить или умножить обыкновенную дробь и десятичную, обязательно преобразуйте десятичную дробь в обыкновенную. Сделать это очень просто.

Конечную десятичную дробь a0,a1a2…ana_0,a_1a_2…a_na0​,a1​a2​…an​ (aia_iai​ — это цифры) можно представить в виде обыкновенной дроби a0a1a2…an10n\frac{a_0a_1a_2…a_n}{10^n}10na0​a1​a2​…an​​ или в виде смешанной a0a1a2…an10na_0\frac{a_1a_2…a_n}{10^n}a0​10na1​a2​…an​​.

Например:

1,63=163100=1631001,63=\frac{163}{100}=1 \frac{63}{100}1,63=100163​=110063​.

Если получившийся числитель делится на 222 или 555, то дробь можно сократить.

Например:

1,5=1510=321,5=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}1,5=1015​=23​.

Соответствие некоторых десятичных дробей обыкновенным нужно просто помнить:

0,25=140,25=\frac{1}{4}0,25=41​,

0,5=120,5=\frac{1}{2}0,5=21​,

0,125=180,125=\frac{1}{8}0,125=81​,

0,2=150,2=\frac{1}{5}0,2=51​ и т.д.

Преобразование обыкновенной дроби в десятичную

Можно выполнить и обратное преобразование. Правда, далеко не любую обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную дробь.

В задачах первой части ЕГЭ ответ необходимо записать в виде десятичной дроби. Поэтому важно научиться быстро и без ошибок преобразовывать обыкновенные дроби в десятичные.

Самый бесхитростный способ получить из обыкновенной дроби десятичную — поделить в столбик.

Такой способ, тем не менее, не позволит быстро выяснить, можно ли вообще представить дробь в виде конечной десятичной дроби. Например, можно безуспешно делить в столбик 777 на 242424 и получать все новые цифры (а может быть, где-то раньше была ошибка и на самом деле вы делили зря, а правильный ответ — 725=28100=0,28\frac{7}{25}=\frac{28}{100}=0,28257​=10028​=0,28).

Поэтому мы опишем способ, на первый взгляд более сложный, который сэкономит вам кучу времени на экзамене или контрольной.

Итак, какие дроби можно представить в виде конечной десятичной? Дробь a10k\frac{a}{10^k}10ka​, где aaa — любое целое число, — можно.

Например, 7100=0,07\frac{7}{100}=0,071007​=0,07,

123451000=12,345\frac{12345}{1000}=12,345100012345​=12,345.

К десятичной дроби можно привести и такие дроби, как 12=0,5\frac{1}{2}=0,521​=0,5, \,\,25=0,4\frac{2}{5}=0,452​=0,4 или 38=0,375\frac{3}{8}=0,37583​=0,375.

Сформулируем критерий того, что обыкновенную дробь можно преобразовать в конечную десятичную.

Обыкновенную дробь ab\frac{a}{b}ba​ или смешанную дробь cabc \frac{a}{b}cba​ можно преобразовать в конечную десятичную дробь, если после сокращения среди простых делителей bbb есть только 222 и/или 555.

Дроби 12\frac{1}{2}21​ и 1781 \frac{7}{8}187​ явно удовлетворяют этому условию, потому что их знаменатели – степени числа 222. Также ему удовлетворяет, например, дробь 624\frac{6}{24}246​, поскольку она равна 14\frac{1}{4}41​, а знаменатель 444 тоже степень числа 222.

Число, среди простых делителей которого есть только 222 и 555, легко распознать. Первые несколько цифр такого числа всегда образуют степень двойки или степень пятерки, а все остальные цифры (если они есть) — нули.

Например 444, \,\,128000128000128000 и 250025002500 удовлетворяют такому свойству, а 125001125001125001 или 303030 — нет.

Чтобы пользоваться этим свойством, запомните наизусть первые несколько степеней двойки и пятерки:

21=22^1=221=2 22=42^2=422=4 23=82^3=823=8 24=162^4=1624=16 25=322^5=3225=32 26=642^6=6426=64 27=1282^7=12827=128 28=2562^8=25628=256 29=5122^9=51229=512 210=10242^{10}=1024210=1024

51=55^1=551=5 52=255^2=2552=25 53=1255^3=12553=125 54=6255^4=62554=625 55=31255^5=312555=3125

lampa.io

Непрерывные, цепные дроби онлайн

Рассчитываем элементы непрерывной дроби для числа

Полученный результат. Непрерывная дробь

Калькулятор для вычисления элементов цепной дроби

Цепная или непрерывная дробь — это дробь которую можно отобразить в виде

Цепочку из элементов a0,a1,a2,a3 и т.д. чаще всего представляют в виде строки [a0,a1,a2,a3,a4…..an]

Как пример  покажем как можно представиь дробь  52/111 в виде цепной дроби

Применение цепных дробей достаточно велико.

Мы можем с помощью них находить приближенные значения иррациональных чисел.

Непрерывная дробь иррационального квадратного корня всегда имеет вид

Таким образом мы можем утверждать что цепная дробь периодическая.

Мы можем сокращать дроби и в идеальном случае создавать калькулятор дробных чисел, не обращая внимания на то, какие числа в выражении будут фигурировать.

Для любознательных и юных математиков, покажется очень интересным материал позволяющим по элементам непрервыной, цепной дроби (в том числе и комплексной) получать результирующую  дробь(Результат по комплексной цепной дроби). Анализ таких цепей при разных начальных условиях, дает широкую возможность оценить свои силы и возможности понимания этой части такой науки как арифметика.

 

Для тех пользователей кто попал сюда в поисках вычисления дробных выражений то Вам вот на этот ресурс Калькулятор правильных и неправильных дробей

Синтаксис 

Для пользователей JAbber клиентов  cd <выражение>

Выражение может быть как числом так и формулой в формате php

Примеры

Пример:

Представить обычную дробь 11/8 в виде цепной

Пишем в запросе 

cd 11/8

и получаем

Была задана формула 11/8
Результат вычисления 1.375
Цепная дробь конечна и имеет 4 элементов
Цепная дробь имеет следующие элементы
[1 ;2 ;1 ;2]

 

Пример2.

Посчитать выражение

 

12*(12/17+11/13) -2.4

 

так в запросе и пишем

 

cd 12*(12/17+11/13) -2.4

 

И получаем ответ

 

Была задана формула 12*(12/17+11/13)-2.4

Результат вычисления 16.22443438914

Цепная дробь конечна и имеет 6 элементов

Цепная дробь имеет следующие элементы

[16 ;4 ;2 ;5 ;7 ;3]

Точное значение выраженное через дроби

Числитель 17928

Знаменатель 1105

 

Пример3

 

Пишем cd 62345346/786786

 

ответ

 

Была задана формула 62345346/786786

Результат вычисления 79.240538087866

Цепная дробь конечна и имеет 11 элементов

Цепная дробь имеет следующие элементы

[79 ;4 ;6 ;2 ;1 ;4 ;2 ;1 ;3 ;4]

Точное значение выраженное через дроби

Числитель 1484413

Знаменатель 18733

 

Решение 1484413/18733

 

• НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF) >>

abakbot.ru

Преобразование десятичных чисел в цепные дроби: онлайн калькулятор

Цепные или непрерывные дроби — интересная запись дробных чисел, которая позволяет изобразить действительное число с достаточной точностью. Цепные дробные числа нашли широкое применение в математике, поэтому вам может понадобиться калькулятор, который быстро приведет десятичную или обыкновенную дробь в непрерывную.

Историческая справка

Теоретическая база записи рациональных чисел в элегантном виде была заложена в далеком 1572 году римским математики Бомбелли, а современная форма записи была предложена в 1613 году его соотечественником Катальди. Позднее Эйлер обобщил разрозненные концепции в единую теорию и использовал ее при решении производных, разложении функций и представлении бесконечных произведений.

Смысл математического выражения

Вместо обыкновенной дроби, у которой есть числитель и знаменатель, рациональное число можно представить в виде цепной дроби. Непрерывное дробное число — это многоэтажная дробь. У такого соотношения в каждом знаменателе содержится рациональное число, в знаменателе которого также есть дробь. Для приведения обыкновенного соотношения к цепному виду достаточно повторять действие по вычленению целой части, а затем представлению остатка в обратном виде. Звучит запутанно, поэтому давайте попробуем на практике.

Алгоритм приведения к цепному виду

Давайте сделаем цепным рациональное число 25/17. Для этого нам нужно вычленить целую часть:

25/17 = 1 + 8/17

Теперь представим 8/17 в обратном виде как 1 / 17/8. Повторим операцию по вычленению целой части:

17/8 = 2 + 1/8

Представим число 1/8 в обратном виде как 1 / 8/1. Выделение целой части не требуется, так как 8 — целое число. На этом преобразование окончено. Для удобства записи цепные соотношения записываются не как многоэтажная дробь, а в виде вектора полученных целых коэффициентов. Таким образом, 25/17 преобразовывается в [1; 2, 8].

Преимущества цепных дробей

Зная непрерывную дробь, мы можем опередить действительное число с более высокой точностью, чем при использовании обыкновенных или десятичных соотношений. Главное преимущество такой формы записи перед десятичной состоит в отсутствии связей непрерывных дробей с какими-либо системами исчисления. К примеру, иррациональность числа выражается бесконечной цепной дробью. Помимо этого, периодичность бесконечной дроби демонстрирует факт, что число характеризуется квадратичной иррациональностью. В сравнении с десятичной записью иррациональных чисел непрерывные дроби отличаются высокой точностью.

Применение цепных дробей

Главный недостаток непрерывных дробных чисел — это отсутствие каких-либо правил выполнения арифметических действий с ними, поэтому широкого распространения они не получили. Несмотря на низкую популярность, цепные дроби применяются в алгоритме Евклида — алгоритме отделения и аппроксимации вещественных корней с целыми коэффициентами.

Одним из исторических примеров использования цепных дробей можно назвать создание одного из первых механических планетариев. В 1682 году нидерландский механик Христиан Гюйгенс построил зубчатый механизм, при расчете которого он применил теорию непрерывных дробей. Такой расчет позволил создать планетарий, который отображал взаимное движение планет с максимальной точностью.

Преобразование рациональных чисел в цепные дроби

Наш онлайн-калькулятор позволяет преобразовать любую десятичную или обыкновенную дробь в непрерывную. Для этого вам потребуется выбрать тип записи числа и ввести его значение. Калькулятор мгновенно рассчитает результат и представит его в виде вектора целых коэффициентов. Рассмотрим небольшой пример.

Пример из реальной жизни

Разложения числа Пи

Разложение дроби 25/17 вручную заняло пару минут и в результате мы получили всего 3 коэффициента. Число Пи — иррациональное бесконечное число, и мы можем представить его в виде бесконечной цепной дроби. Возьмем из Википедии первые 20 знаков Пи после запятой 3,1415926535 8979323846 и введем его в поле калькулятора «Десятичная дробь». Мы получим мгновенный результат в виде:

[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 4, 2, 3, 1, 12, 5, 1, 5, 20, 1, 11, 1, 1, 1, 2]

Вы можете разложить любое число в цепную дробь, и чем больше коэффициентов она содержит, тем точнее представление действительного числа.

Заключение

Цепные дроби — элегантный способ представить любое действительное число как можно точнее. Данная теория не получила слишком широкого распространения в современной науке, однако в математических гимназиях до сих пор преподают цепные дроби как один из интересных методов работы с числами. Используйте наш калькулятор для приведения чисел к непрерывному виду.

bbf.ru

Непрерывные, цепные дроби онлайн

Рассчитываем элементы непрерывной дроби для числа

Полученный результат. Непрерывная дробь

Калькулятор для вычисления элементов цепной дроби

Цепная или непрерывная дробь — это дробь которую можно отобразить в виде

Цепочку из элементов a0,a1,a2,a3 и т.д. чаще всего представляют в виде строки [a0,a1,a2,a3,a4…..an]

Как пример  покажем как можно представиь дробь  52/111 в виде цепной дроби

Применение цепных дробей достаточно велико.

Мы можем с помощью них находить приближенные значения иррациональных чисел.

Непрерывная дробь иррационального квадратного корня всегда имеет вид

Таким образом мы можем утверждать что цепная дробь периодическая.

Мы можем сокращать дроби и в идеальном случае создавать калькулятор дробных чисел, не обращая внимания на то, какие числа в выражении будут фигурировать.

Для любознательных и юных математиков, покажется очень интересным материал позволяющим по элементам непрервыной, цепной дроби (в том числе и комплексной) получать результирующую  дробь(Результат по комплексной цепной дроби). Анализ таких цепей при разных начальных условиях, дает широкую возможность оценить свои силы и возможности понимания этой части такой науки как арифметика.

 

Для тех пользователей кто попал сюда в поисках вычисления дробных выражений то Вам вот на этот ресурс Калькулятор правильных и неправильных дробей

Синтаксис 

Для пользователей JAbber клиентов  cd <выражение>

Выражение может быть как числом так и формулой в формате php

Примеры

Пример:

Представить обычную дробь 11/8 в виде цепной

Пишем в запросе 

cd 11/8

и получаем

Была задана формула 11/8
Результат вычисления 1.375
Цепная дробь конечна и имеет 4 элементов
Цепная дробь имеет следующие элементы
[1 ;2 ;1 ;2]

 

Пример2.

Посчитать выражение

 

12*(12/17+11/13) -2.4

 

так в запросе и пишем

 

cd 12*(12/17+11/13) -2.4

 

И получаем ответ

 

Была задана формула 12*(12/17+11/13)-2.4

Результат вычисления 16.22443438914

Цепная дробь конечна и имеет 6 элементов

Цепная дробь имеет следующие элементы

[16 ;4 ;2 ;5 ;7 ;3]

Точное значение выраженное через дроби

Числитель 17928

Знаменатель 1105

 

Пример3

 

Пишем cd 62345346/786786

 

ответ

 

Была задана формула 62345346/786786

Результат вычисления 79.240538087866

Цепная дробь конечна и имеет 11 элементов

Цепная дробь имеет следующие элементы

[79 ;4 ;6 ;2 ;1 ;4 ;2 ;1 ;3 ;4]

Точное значение выраженное через дроби

Числитель 1484413

Знаменатель 18733

 

Решение 1484413/18733

 

• НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF) >>

abakbot.ru

Непрерывные, цепные дроби онлайн

Рассчитываем элементы непрерывной дроби для числа

Полученный результат. Непрерывная дробь

Калькулятор для вычисления элементов цепной дроби

Цепная или непрерывная дробь — это дробь которую можно отобразить в виде

Цепочку из элементов a0,a1,a2,a3 и т.д. чаще всего представляют в виде строки [a0,a1,a2,a3,a4…..an]

Как пример  покажем как можно представиь дробь  52/111 в виде цепной дроби

Применение цепных дробей достаточно велико.

Мы можем с помощью них находить приближенные значения иррациональных чисел.

Непрерывная дробь иррационального квадратного корня всегда имеет вид

Таким образом мы можем утверждать что цепная дробь периодическая.

Мы можем сокращать дроби и в идеальном случае создавать калькулятор дробных чисел, не обращая внимания на то, какие числа в выражении будут фигурировать.

Для любознательных и юных математиков, покажется очень интересным материал позволяющим по элементам непрервыной, цепной дроби (в том числе и комплексной) получать результирующую  дробь(Результат по комплексной цепной дроби). Анализ таких цепей при разных начальных условиях, дает широкую возможность оценить свои силы и возможности понимания этой части такой науки как арифметика.

 

Для тех пользователей кто попал сюда в поисках вычисления дробных выражений то Вам вот на этот ресурс Калькулятор правильных и неправильных дробей

Синтаксис 

Для пользователей JAbber клиентов  cd <выражение>

Выражение может быть как числом так и формулой в формате php

Примеры

Пример:

Представить обычную дробь 11/8 в виде цепной

Пишем в запросе 

cd 11/8

и получаем

Была задана формула 11/8
Результат вычисления 1.375
Цепная дробь конечна и имеет 4 элементов
Цепная дробь имеет следующие элементы
[1 ;2 ;1 ;2]

 

Пример2.

Посчитать выражение

 

12*(12/17+11/13) -2.4

 

так в запросе и пишем

 

cd 12*(12/17+11/13) -2.4

 

И получаем ответ

 

Была задана формула 12*(12/17+11/13)-2.4

Результат вычисления 16.22443438914

Цепная дробь конечна и имеет 6 элементов

Цепная дробь имеет следующие элементы

[16 ;4 ;2 ;5 ;7 ;3]

Точное значение выраженное через дроби

Числитель 17928

Знаменатель 1105

 

Пример3

 

Пишем cd 62345346/786786

 

ответ

 

Была задана формула 62345346/786786

Результат вычисления 79.240538087866

Цепная дробь конечна и имеет 11 элементов

Цепная дробь имеет следующие элементы

[79 ;4 ;6 ;2 ;1 ;4 ;2 ;1 ;3 ;4]

Точное значение выраженное через дроби

Числитель 1484413

Знаменатель 18733

 

Решение 1484413/18733

 

abakbot.ru