Основные методы вычисления пределов — Мегаобучалка
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:
Готово.
Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
Пример с бесконечностью:
Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности.
А что в это время происходит с функцией ?
, , , …
Итак: если, то функция стремится к минус бесконечности:
Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функциюбесконечность и получаем ответ.
Еще один пример с бесконечностью:
Опять начинаем увеличивать до бесконечности, и смотрим на поведение функции:
Вывод: прифункция неограниченно возрастает
И еще серия примеров:
Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов:
, , , , , , , , ,
Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться.
В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , .
Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет.
Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.
Что нужно запомнить и понять из вышесказанного?
Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию.
2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как, , и т.д.
Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с очень интересными случаями, когда предела функции вообще не существует!
На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов.
6.1.1. Пределы с неопределенностью видаи метод их решения
Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда
Пример 1
Вычислить предел
Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.
Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени:
Старшая степень в числителе равна двум.
Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени:
.
Старшая степень знаменателя равна двум.
Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке.
Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенностьнеобходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на
Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность.
megaobuchalka.ru
Примеры вычисления пределов с подробным объяснением — МегаЛекции
Понятие предела функции
Сначала разберёмся, чем числовая последовательность отличается от функции.
Рассмотрим числовую последовательность, заданную своей формулой и функцию, заданную алгебраически:
| Числовая последовательность | Числовая функция |
— для числовой последовательности
— для функции переменная , где — множество действительных чисел. Это все числа, которые можно отобразить на числовой прямой, другими словами .
Имея алгебраическое выражение функции можно определить будет ли функция возрастающей, убывающей или периодической.
Функция будет возрастающей, если с увеличением значения , значение функции возрастает.
Например, функция будет возрастающей, так как :
Функция будет убывающей, если с увеличением значения , значение функции уменьшается.
Например, функция будет убывающей, так как :
Функция будет периодической, если для , значение функции повторяются.
Например, функция будет периодической, с периодом , так как:
Определение предела функции
Если функция убывает или возрастает, то она стремится к конечному значению, которое называется пределом функции.
Определение: Число А называется пределом функции при стремлении .
Запись предела функции
Теоремы о пределах
Т1. Предел постоянного числа равен этому числу
Т2. Постоянное число можно вынести за знак предела
Т3. Предел суммы (разности) равен сумме (разности) пределов
Т4. Предел произведения равен произведению пределов
Т5. Предел отношения равен отношению пределов
Т6. Предел степени с натуральным показателем равен степени самого предела
Примеры вычисления пределов с подробным объяснением
При вычислении пределов сначала нужно применить теоремы, а затем уже подставить число, к которому стремится .
В примере №2 мы встречаем произведение числа «3» на «минус бесконечность». Нужно запомнить, что если умножить или разделить на число, то получим всё равно . Если к прибавить (вычесть) число, то так же получим .
В примере №5 нельзя буквально считать, что мы делим на нуль. Нужно помнить, что только стремится к нулю, но не равен ему. Это значит, что мы делим число «3» на число очень малой величины (близкое к нулю). При этом, чем оно меньше, тем результат деления больше (т.е. приближается к бесконечности). Не забываем про «минус» перед дробью.
В примере №6 наоборот, мы должны разделит число «3» на бесконечно большое число (т.е., разделить на бесконечность). И чем больше делитель, тем ближе результат деления к нулю.
В примере №8 мы встречаем степень «плюс-минус бесконечности». Чётная и нечётная степень действует только на знаки «плюс и минус» по известному правилу: чётная степень убирает знак «минус»; нечётная степень сохраняет знак «минус». А степень бесконечности равна бесконечности.
Рассмотрим пример с нечётной степенью:
Для вычисления предела тригонометрических функций используем таблицу их значений.
Числовой множитель аргумента функции не выносится за знак предела.
Если в таблице значений для стоит прочерк, то данные функции нужно выразить через синус и косинус по формулам
Например, для функции . В таблице значений для тангенса стоит прочерк (т.е. тангенс такого значения не существует). Поэтому при вычислении предела нужно тангенс выразить через синус и косинус. Постоянный множитель «7» выносим перед знаком предела. Числовой множитель аргумента — число «3» оставляем на месте.
В примере №12 встречаются в одном пределе и число, и переменная , и тригонометрическая функция. В таких примерах для тригонометрической функции находим значение в таблице, а для переменной подставляем вместо число 3,14 (это приближённое значение).
Самостоятельная работа №1 «Предел функции»
Таблица значений тригонометрических функций
Рекомендуемые страницы:
Воспользуйтесь поиском по сайту:
megalektsii.ru
Примеры решения: Предел функции
Теория Предел функцииПример 1. Найти предел
Решение. Предел знаминателя равен нулю. Подстановка числа х=1 под знак предела призводит к неопределенности вида . Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на :
Пример 2. Найти предел
Решение. Имеем определенность вида . В подобных ситуациях следует числитель и знаменатиль разделить на наивысшую степень х
Пример 3. Найти предел
Решение.
Пример 4. Найти предел
Решение. Согласно формуле тригонометрии . Поскольку при эквивалентно , и эквивалентно эквивалентно , тогда
anet.lectra.me