Признаки делимости таблица – Таблица по теме «Признаки делимости»

Содержание

Таблица по теме "Признаки делимости"

Признаки

Запомни

Пример

Признак делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 или является нулём.

  • 52 делится на 2. Последняя цифра 2 делится на 2 нацело (2 : 2 = 1).

  • 300 делится на 2. Последняя цифра 0.

  • 11 не делится на 2. Последняя цифра 1 не делится на 2.

Признак делимости на 4

Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

  • 548 делится на 4. Две последние цифры 48 делятся на 4 нацело (48 : 4 = 12).

  • 600 делится на 4. Две последние цифры нули.

  • 755 не делится на 4. Две последние цифры 55 не делятся на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

  • 1128 делится на 8. Три последние цифры 128 делятся на 8 нацело (128 : 8 = 16).

  • 7000 делится на 8. Три последние цифры нули.

  • 6755 не делится на 4. Три последние цифры 755 не делятся на 8.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3.

  • 153 делится на 3. Сумма всех его цифр: 1 + 5 + 3 = 9 делится на 3 (9 : 3 = 3).

  • 300 делится на 3. Сумма всех его цифр: 3 + 0 + 0 = 3 делится на 3 (3 : 3 = 1).

  • 11 не делится на 3. Сумма всех его цифр: 1 + 1 = 2 не делится на 3.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

  • 126 делится на 6. По признаку делимости на 2 оно делится на 2 (последняя цифра 6 делится на 2). По признаку делимости на 3 оно также делится на 3 (сумма цифр числа 1 + 2 + 6 = 9 делится на три). Это означает, что 126 делится на 6.

  • 801 не делится на 6. По признаку делимости на 2 оно не делится на 2.

  • 757 не делится на 6. По признаку делимости на 3 оно не делится на 3.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.

  • 486 делится на 9. Сумма всех его цифр: 4 + 8 + 6 = 18 делится на 9 (18 : 9 = 2).

  • 9198 делится на 9. Сумма всех его цифр: 9 + 1 + 9 + 8 = 27 делится на 9 (27 : 9 = 3).

  • 55 не делится на 9. Сумма всех его цифр: 5 + 5 = 10 не делится на 9.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра 5 или 0.

  • 155 делится на 5. Последняя цифра 5.

  • 800 делится на 5. Последняя цифра 0.

  • 61 не делится на 5. Последняя цифра 1.

Признак делимости на 25

Число делится на 25, если его две последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25.

  • 675 делится на 25. Две последние цифры образуют число 75, которое делится на 25. (75 : 25 = 3) Это означает, что 675 делится на 25.

  • 3900 делится на 25. Две последние цифры нули.

  • 345 не делится на 25. Две последние цифры образуют число 45, которое не делится на 25.

Признак делимости на 10,100 и 1000.

 10 делятся нацело только те числа, последняя цифра которых нуль.

На 100 делятся нацело только те числа, две последние цифры которых нули.

На 1000 делятся нацело только те числа, три последние цифры нули.

Чтобы было проще делить на 10, 100 и 1000, просто зачеркивайте одинаковое количество нулей в обоих числах.

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.

Итак, цифры которые стоят на нечетных местах — это 6 (стоит на первом месте) и 1 (стоит на третьим месте). Цифра, которая стоит на четном месте это 7 (стоит на втором месте). 6 + 1 = 7. Сумма цифр стоящих на нечетном месте равна сумме цифр на четном месте, значит 671 делится на 11.

Цифры которые стоят на нечетных местах — это 3 (стоит на первом месте) и 0 (стоит на третьим месте). Цифры, которые стоят на четном месте это 9 (стоит на втором месте) и 5 (стоит на четвертом месте) 3 + 0 ≠ 9 + 5 → 3 ≠ 14 Сумма цифр, стоящих на нечетном месте, не равна сумме цифр на четном месте, но суммы цифр отличаются ровно на 11. 14 − 3 = 11. Значит 3905 делится на 11.

infourok.ru

Признаки делимости чисел / Блог :: Бингоскул

  • Блог
  • Признаки делимости чисел

Признаки делимости натуральных чисел

Признаки делимости от 2 до 19 и 24, 25, 36 с примерами

 

Признаки делимости на 2

На 2 делятся все четные натуральные числа или последняя цифра должна быть четной - 0, 2, 4, 6, 8.

Например: 

24, 48, 94, 172, 1670, 67838.

Признаки делимости на 3

На 3 делятся все натуральные числа, сумма цифр которых кратна 3.

Например: 

16734, сумма цифр = 1+6+7+3+4=21;   21 : 3 = 7 — делится на 3

 

Признаки делимости на 4

На 4 делятся все натуральные числа, две последние цифры которых составляют нули или число, кратное 4.

Например:

1024 делится на 4, так как 24 делится на 4

Признаки делимости на 5

На 5 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 5 или 0.

Например: 

125 делится на 5, поскольку последняя цифра 5

 

Признаки делимости на 6

На 6 делятся те натуральные числа, которые делятся на 2 и на 3 одновременно (все четные числа, которые делятся на 3).

Например: 

126 делится 6, так как 126 - четное и сумма = 1 + 2 + 6 = 9 кратна 3

 

Признаки делимости на 7

На 7 делятся те натуральные числа, у которых результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на  7

Например: 

17948 делится на 7, 

1794 - (2 · 8) =  1778 большое число

177 - (8 · 2) = 161 повторяем снова

16 - (1 · 2) = 14

Признаки делимости на 8

Числа делятся на 8, если три его последние цифры делятся на 8.

Например: 

1568 делится на 8 — 568 кратно 8

 

Признаки делимости на 9

На 9 делятся те натуральные числа, сумма цифр которых кратна 9.

Например: 

1179 — сумма =1 + 1 + 7 + 9 = 18, делится на 9

 

Признаки делимости на 10

На 10 делятся все натуральные числа, оканчивающиеся на 0.

Например: 

1570 — делится на 10, последняя цифра 0

 

Признаки делимости на 11 

На 11 делятся только те натуральные числа, у которых сумма цифр, занимающих четные места, равна сумме цифр, занимающих нечетные места

Например: 

105787 делится на 11 — сумма 1 + 5 + 8 = 14  равна  0 + 7 + 7 = 14;

Признаки делимости на 12

Число делится на 12 тогда и только тогда, когда она делится на 3 и на 4 одновременно.

Например: 

168 — делится на 3 и 4, следовательно делится на 12 

 

Признаки делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13.

Например: 

221 делится на 13: 22 + 1· 4 = 26 кратно 13

 

Признаки делимости на 14

Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

 

Признаки делимости на 15

Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.
 

Признаки делимости на 16

Число делится не 16 только тогда, когда 4 последние цифры делятся на 16

Например: 

24576 делится 16, так как 4576:16 = 286

Признаки делимости на 17

Число делится на 17, если разность числа кроме последней цифры справа и последней цифры умноженную на пять кратно 17. 

Например: 

272 делится на 17,  27 - 2 · 5 = 17 кратно 17

 

Признаки делимости на 18

На 18 делятся те натуральные числа, которые четные и сумма цифр делится на 9.

Например: 

5508 — сумма = 5 + 5 + 0 + 8 = 18 кратна 9 и четное число, следовательно делится на 18

 

Признаки делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19

Например: 

646 — 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19

 

Признаки делимости на 24

Число, делится на 24, если сумма всех цифр данного числа делится на 3 и последние три цифры данного числа делится на 8.

Например: 

1512 делится на 24 — сумма 1 + 5 + 1 + 2 = 9 кратна 3 и 512 : 8 = 64

 

Признаки делимости на 25


На 25 делятся числа, если две последние цифры делятся на 25.

Например:

650  — 50 : 25 = 2

1475 — 75: 25 = 3

Признаки делимости на 36 

Число делится на 36, если 2-е последние цифры делятся на 4 и сумма цифр кратна 9.

Например: 

1620 — 20 : 4 = 5 и сумма 1 + 6 + 2 + 0 = 9 кратно 9

4860 — 60 : 4 = 15 и 4 + 8 + 6 + 0 = 18 кратно 9

 

 


Смотри также: Основные формулы по математике

Решай с разбором:

bingoschool.ru

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре «Резольвента» (Справочник по математике - Арифметика

Делимость натуральных чисел. Деление с остатком

      Определение 1. Говорят, что натуральное число   a   делится на натуральное число   b ,   если существует такое натуральное число   c,   что выполняется равенство

a = bc .

В противном случае говорят, что число   a   не делится начисло   b.

      Если число   a   больше, чем число   b,   и не делится на число   b,   то число   a   можно разделить на число   b   с остатком.

      Определение 2. Деление числа   a   на число   b   с остатком означает, что найдутся такие натуральные числа   c  и   r ,   что выполняются соотношения

a = bc + r,    r < b .

Число   b   называется делителем, число   c   – частным, а число   r   – остатком от деления   a   на   b .  

     Еще раз особо подчеркнем, что остаток   r   всегда меньше, чем делитель   b .

     Например, число   204   не делится на число   5 ,   но, разделив число   204   на   5   с остатком, получаем:

     Таким образом, частное от деления равно   40 ,   а остаток равен   4 .

     Определение 3. Числа, делящиеся на   2 ,   называют четными, а числа, которые не делятся на   2 ,   называют нечетными.

Признаки делимости

      Для того, чтобы быстро выяснить, делится ли одно натуральное число на другое, существуют признаки делимости.

Признак делимости наФормулировкаПример
2Число должно оканчиваться четной цифрой:
0 , 2 , 4 , 6 , 8
1258
3Сумма цифр числа должна делиться на   3745 ,
(7 + 4 + 5 = 15)
4Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   47924
5Число должно оканчиваться цифрой   0   или   5835
6Число должно делиться на   2   и на   3234 ,
(2 + 3 + 4 = 9)
7На   7   должно делиться
число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой
3626 ,
(362 – 12 = 350)
8Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   863024
9Сумма цифр должна делиться на   92574 ,
(2 + 5 + 7 + 4 = 18)
10Число должно оканчиваться   01690
11Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   111408 ,
(4 + 8 = 12 ;
1 + 0 = 1 ;
12 – 1 = 11)
13На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой299 ,
(29 + 36 = 65)
25Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   757975
50Число должно оканчиваться на   00   или   502957450
100Число должно оканчиваться на   00102300
1000Число должно оканчиваться на   0003217000
Признак делимости на 2

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться четной цифрой:
0 , 2 , 4 , 6 , 8

Пример:

1258

Признак делимости на 3

Формулировка признака:

Сумма цифр числа должна делиться на   3

Пример:

745 ,
(7 + 4 + 5 = 15)

Признак делимости на 4

Формулировка признака:

Число, образованное двумя последними цифрами, должно делиться на   4

Пример:

7924

Признак делимости на 5

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться цифрой   0   или   5

Пример:

835

Признак делимости на 6

Формулировка признака:

Число должно делиться на   2   и на   3

Пример:

234 ,
(2 + 3 + 4 = 9)

Признак делимости на 7

Формулировка признака:

На   7   должно делиться число, полученное вычитанием удвоенной последней цифры из исходного числа с отброшенной последней цифрой

Пример:

3626 ,
(362 – 12 = 350)

Признак делимости на 8

Формулировка признака:

Число, образованное тремя последними цифрами, должно делиться на   8

Пример:

63024

Признак делимости на 9

Формулировка признака:

Сумма цифр должна делиться на   9

Пример:

2574 ,
(2 + 5 + 7 + 4 = 18)

Признак делимости на 10

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться   0

Пример:

1690

Признак делимости на 11

Формулировка признака:

Сумма цифр, стоящих на четных местах, либо равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от нее на число, делящееся на   11

Пример:

1408 ,
(4 + 8 = 12 ;
1 + 0 = 1 ;
12 – 1 = 11)

Признак делимости на 13

Формулировка признака:

На   13   должно делиться число, полученное добавлением учетверенной последней цифры к исходному числу с отброшенной последней цифрой

Пример:

299 ,
(29 + 36 = 65)

Признак делимости на 25

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00 ,  25 ,  50   или   75

Пример:

7975

Признак делимости на 50

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00   или   50

Пример:

2957450

Признак делимости на 100

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   00

Пример:

102300

Признак делимости на 1000

Формулировка признака:

Число должно оканчиваться на   000

Пример:

3217000

      На нашем сайте можно также ознакомиться с разработанными преподавателями учебного центра «Резольвента» учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

    Приглашаем школьников (можно вместе с родителями) на бесплатное тестирование по математике, позволяющее выяснить, какие разделы математики и навыки в решении задач являются для ученика «проблемными».

Запись по телефону (495) 509-28-10

      Для школьников, желающих хорошо подготовиться и сдать ЕГЭ или ОГЭ по математике или русскому языку на высокий балл, учебный центр «Резольвента» проводит

      У нас также для школьников организованы

МОСКВА, СВАО, Учебный центр «РЕЗОЛЬВЕНТА»

www.resolventa.ru

Делимость чисел. Кратное. Делитель. НОК. НОД. Простые числа. Составные числа. Взаимно простые числа. Признаки делимости.





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Делимость чисел. Кратное. Делитель. НОК. НОД. Простые числа. Составные числа. Взаимно простые числа. Признаки делимости.

Делимость чисел. Кратное. Делитель. Наименьшее общее кратное (НОК). Наибольший общий делитель (НОД). Простые числа. Составные числа. Взаимно простые числа. Признаки делимости.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

dpva.ru

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ — ФОРМУЛЫ по МАТЕМАТИКЕ

Признак делимости на 2
Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 — (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 18

Число делится на 18 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 9.

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 5

Признак делимости на 21

Число делится на 21 тогда и только тогда, когда оно делится на 7 и на 3

Признак делимости на 22

Число делится на 22 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 11

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 24

Число делится на 24 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 8

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 26

Число делится на 26 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 13

Признак делимости на 28

Число делится на 28 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 7

Признак делимости на 30

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно делится на 10 и на 3

Признак делимости на 34

Число делится на 34 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 17

Признак делимости на 35

Число делится на 35 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 7

Признак делимости на 36

Число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 9

Признак делимости на 38

Число делится на 38 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 19

Признак делимости на 39

Число делится на 39 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 13

Признак делимости на 40

Число делится на 40 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 8

Признак делимости на 42

Число делится на 42 тогда и только тогда, когда оно делится на 6 и на 7

Признак делимости на 44

Число делится на 44 тогда и только тогда, когда оно делится на 4 и на 11

Признак делимости на 45

Число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится на 5 и на 9

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Призннак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 2n
Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 5n
Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень.

Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n — 1.

Признак делимости на 10n
Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10n+1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n + 1.

lyudmilanik.com.ua

Признаки делимости чисел | Социальная сеть работников образования

li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-1,lower-latin) ". "}#doc5735234 .lst-kix_list_3-2>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_8-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-3}#doc5735234 .lst-kix_list_8-6>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_8-6,decimal) ". "}#doc5735234 .lst-kix_list_1-2>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-2,lower-roman) ". "}#doc5735234 .lst-kix_list_1-5>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-5,lower-roman) ". "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-7 0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-6 0}#doc5735234 .lst-kix_list_8-2>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-2}#doc5735234 .lst-kix_list_6-3>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_6-7>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-7.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-7 0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-2 0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-1 0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-4 0}#doc5735234 .lst-kix_list_2-3>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_6-2>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_1-4>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-4,lower-latin) ". "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-5 0}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-1{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-2{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-3{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-4{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-0{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_5-7>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_8-5>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_8-5,lower-roman) ". "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-6{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-7{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_5-8{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-8{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-7{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-5}#doc5735234 .lst-kix_list_4-3>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-4{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-3{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_2-7>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-6{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-8>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-8,lower-roman) ". "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-0{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-6}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-2{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_7-1{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-4}#doc5735234 .lst-kix_list_3-3>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_1-0>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-0}#doc5735234 .lst-kix_list_3-6>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-3.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-3 0}#doc5735234 .lst-kix_list_5-2>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_1-3>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-3}#doc5735234 .lst-kix_list_6-4>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-5.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-5 0}#doc5735234 .lst-kix_list_6-1>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_6-8>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_7-2>li:before{content:"\0025a1 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-7{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_4-7>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-8{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-7{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-8{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-4>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_8-4,lower-latin) ". "}#doc5735234 .lst-kix_list_1-6>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-6,decimal) ". "}#doc5735234 .lst-kix_list_6-5>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_2-6>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-0{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-1{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-2{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-3{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-4{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_3-6{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_2-2>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-8 0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-2{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-4.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-4 0}#doc5735234 .lst-kix_list_7-7>li:before{content:"\0025a1 "}#doc5735234 .lst-kix_list_2-1>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-1{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-0{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_7-1>li:before{content:"\0025a1 "}#doc5735234 .lst-kix_list_4-8>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-6{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_5-5>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-5{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-4{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-3{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-7>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-7}#doc5735234 .lst-kix_list_2-8>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_1-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-1}#doc5735234 .lst-kix_list_3-7>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_2-0>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-2.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-2 0}#doc5735234 .lst-kix_list_6-6>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-0.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-0 11}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-3.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-3 0}#doc5735234 .lst-kix_list_1-8>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-8}#doc5735234 .lst-kix_list_7-0>li:before{content:"\0025a1 "}#doc5735234 .lst-kix_list_8-7>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-7}#doc5735234 .lst-kix_list_2-4>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_3-5>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_8-8>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-8}#doc5735234 .lst-kix_list_4-2>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-1{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-0{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-0>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_8-0,decimal) ". "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-3{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-1.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-1 0}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-2{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_4-6>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-4{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-7{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_5-3>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-6{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_4-1>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_4-5>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_6-8{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-0.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-0 0}#doc5735234 .lst-kix_list_3-0>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_7-6>li:before{content:"\0025a1 "}#doc5735234 .lst-kix_list_2-5>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_1-0>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-0,decimal) ". "}#doc5735234 .lst-kix_list_5-8>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-8.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_8-8 0}#doc5735234 .lst-kix_list_5-4>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_8-6>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-6}#doc5735234 ol.lst-kix_list_1-6.start{counter-reset:lst-ctn-kix_list_1-6 0}#doc5735234 .lst-kix_list_4-4>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_3-4>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_1-3>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-3,decimal) ". "}#doc5735234 .lst-kix_list_8-3>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_8-3,decimal) ". "}#doc5735234 .lst-kix_list_8-5>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-5}#doc5735234 .lst-kix_list_7-4>li:before{content:"\0025a1 "}#doc5735234 .lst-kix_list_8-1>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_8-1,lower-latin) ". "}#doc5735234 .lst-kix_list_8-0>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-0}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-0{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_5-0>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-1{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-8{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-2{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-7{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-3{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_6-0>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-6{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-4{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-5{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-6{list-style-type:none}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-7{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-2>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-2}#doc5735234 ol.lst-kix_list_8-8{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-1{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_7-5>li:before{content:"\0025a1 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-0{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-4{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_3-8>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_4-0>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-3{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_4-2{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-1>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_8-1}#doc5735234 .lst-kix_list_7-8>li:before{content:"\0025a1 "}#doc5735234 .lst-kix_list_5-6>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_1-4>li{counter-increment:lst-ctn-kix_list_1-4}#doc5735234 .lst-kix_list_3-1>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 .lst-kix_list_8-7>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_8-7,lower-latin) ". "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-4{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-2>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_8-2,lower-roman) ". "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-5{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-6{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_1-7>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_1-7,lower-latin) ". "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-7{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-0{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-1{list-style-type:none}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-2{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_8-8>li:before{content:"" counter(lst-ctn-kix_list_8-8,lower-roman) ". "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-3{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_5-1>li:before{content:"\002022 "}#doc5735234 ul.lst-kix_list_2-8{list-style-type:none}#doc5735234 .lst-kix_list_7-3>li:before{content:"\0025a1 "}#doc5735234 ol{margin:0;padding:0}#doc5735234 .c22{line-height:1.5;padding-top:14pt;widows:2;orphans:2;text-indent:35.4pt;text-align:justify;direction:ltr;padding-bottom:14pt}#doc5735234 .c0{line-height:1.0;padding-top:0pt;widows:2;orphans:2;text-indent:35.4pt;direction:ltr;padding-bottom:0pt}#doc5735234 .c27{line-height:1.0;padding-top:5pt;widows:2;orphans:2;direction:ltr;padding-bottom:5pt}#doc5735234 .c1{line-height:1.0;padding-top:0pt;widows:2;orphans:2;direction:ltr;padding-bottom:0pt}#doc5735234 .c14{vertical-align:baseline;color:#1e1e1e;font-size:14pt;font-family:"Verdana"}#doc5735234 .c11{vertical-align:baseline;font-size:12pt;font-family:"Times New Roman"}#doc5735234 .c4{vertical-align:baseline;font-size:14pt;font-family:"Times New Roman"}#doc5735234 .c12{vertical-align:baseline;font-size:22pt;font-family:"Times New Roman"}#doc5735234 .c25{max-width:467.7pt;background-color:#ffffff;padding:56.7pt 42.5pt 56.7pt 85pt}#doc5735234 .c2{height:11pt;text-align:center}#doc5735234 .c5{font-style:italic;font-weight:bold}#doc5735234 .c8{text-indent:-36pt;margin-left:36pt}#doc5735234 .c13{list-style-position:inside;margin-left:0pt}#doc5735234 .c3{margin:0;padding:0}#doc5735234 .c20{text-indent:9pt}#doc5735234 .c24{text-indent:18pt}#doc5735234 .c7{font-weight:bold}#doc5735234 .c17{text-decoration:underline}#doc5735234 .c6{color:#000000}#doc5735234 .c10{height:11pt}#doc5735234 .c23{font-weight:normal}#doc5735234 .c26{margin-left:36pt}#doc5735234 .c21{text-indent:36pt}#doc5735234 .c15{text-align:right}#doc5735234 .c9{font-style:italic}#doc5735234 .c16{color:#1e1e1e}#doc5735234 .c18{text-align:center}#doc5735234 .c19{text-indent:27pt}#doc5735234 .title{widows:2;padding-top:24pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:36pt;font-family:"Arial";font-weight:bold;padding-bottom:6pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 .subtitle{widows:2;padding-top:18pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#666666;font-style:italic;font-size:24pt;font-family:"Georgia";padding-bottom:4pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 li{color:#000000;font-size:11pt;font-family:"Arial"}#doc5735234 p{color:#000000;font-size:11pt;margin:0;font-family:"Arial"}#doc5735234 h2{widows:2;padding-top:24pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:24pt;font-family:"Arial";font-weight:bold;padding-bottom:6pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 h3{widows:2;padding-top:18pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:18pt;font-family:"Arial";font-weight:bold;padding-bottom:4pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 h4{widows:2;padding-top:14pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:14pt;font-family:"Arial";font-weight:bold;padding-bottom:4pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 h5{widows:2;padding-top:12pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:12pt;font-family:"Arial";font-weight:bold;padding-bottom:2pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 h5{widows:2;padding-top:11pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:11pt;font-family:"Arial";font-weight:bold;padding-bottom:2pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 h6{widows:2;padding-top:10pt;line-height:1.15;orphans:2;text-align:left;color:#000000;font-size:10pt;font-family:"Arial";font-weight:bold;padding-bottom:2pt;page-break-after:avoid}#doc5735234 ]]>

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №18»

ЭМР Саратовской области

Исследовательский проект

на тему:

«Признаки делимости чисел».

Автор работы: ученики 6 а класса

Руководитель: Пастухова Наталья Алексеевна,

учитель математики

Г. Энгельс 2014 г.

Автор проекта

Учащиеся 6а класса

Предмет исследования

Признаки делимости чисел.

Краткая аннотация проекта

Данный проект предназначен для  обобщения, расширения и систематизации знаний по теме «Признаки делимости» в курсе математики 6 класса, учебник Н.Я. Виленкина. Время проведения проекта 1 – 4 четверть.

Основополагающий вопрос проекта

Как узнать, не выполняя деления, делится ли число на 4, 25, 11?

Задачи проекта

1. Изучить историю математики  о делимости чисел.

2. Узнать признаки делимости на натуральные чисел от 2 до 25.

3. Изучить свойства делимости чисел.

4. Исследовать применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.

Гипотеза: признаки делимости способствуют эффективному и рациональному решению задач.

Введение.

Мы заинтересовался историей делимости чисел.

Кто из древних учёных занимался делимостью чисел?  Кто такой Эратосфен? Что такое  решето Эратосфена? Что собой представляет таблица простых чисел? Есть ли последнее простое число?

На уроках математики мы изучали основные признаки делимости чисел на 2,3,5, 9 и на 10. Но оказывается,  признаков делимости гораздо больше. Есть признаки делимости на 4, 8,11,13,7 и другие числа.  Неоценимо значение признаков делимости для развития умений устного счета, а также при решении цифровых головоломок и некоторых практических задач.

Старинная восточная притча:

Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям 19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.

- О, мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему – пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты, о, достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?

- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите домой.

Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5. Старший брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд остался (10+5+4=19). Раздосадованные, братья вернулись к мудрецу и пожаловались:

- О, мудрец, опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.

- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите домой.

1. Из истории математики о делимости чисел

Делимость – это  способность одного числа делиться на другое без остатка. Признаки делимости  были широко известны в эпоху Возрождения, поскольку, пользуясь ими, можно было приводить дроби с большими числителями и знаменателями к несократимому виду.

                                 

     

  ЭРАТОСФЕН (около 275–194 до н.э.), один из самых разносторонних ученых античности. Эратосфен занимался самыми различными вопросами - ему принадлежат интересные исследования в области математики, астрономии и других наук. Трактаты Эратосфена были посвящены решению геометрических и арифметических задач.

Самым знаменитым математическим открытием Эратосфена стало так называемое  «решето», с помощью которого находятся простые числа.

Делитель – это число, которое делит данное число без остатка.   Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными (или сложными) числами. Простых чисел – бесконечное множество. Наименьшим простым числом является 2, это единственное чётное простое число. Все остальные простые числа следует искать среди нечётных чисел, но, разумеется, далеко не всякое нечётное число является простым. Так, например, нечётные числа 3, 5, 7, 11, 13 простые, а такие нечётные числа как 9, 15, 21 -  составные, 9 имеет 3 делителя, число 15 – 4 делителя и т.д. Любое составное число можно разлагать на сомножители до тех пор, пока оно не распадётся на одни только простые числа. Простые числа являются как бы первичными элементами, из которых составляются все числа.

В математике Эратосфена интересовал как раз вопрос о том, как найти все простые числа среди натуральных чисел от 1 до N.  Эратосфен считал 1 простым числом. Математики считают 1 числом особого вида, которое не относится ни к простым, ни к составным числам. Эратосфен придумал для этого следующий способ. Сначала вычеркивают все числа, делящиеся на 2 (исключая само число 2). Потом берут первое из оставшихся чисел (а именно 3). Ясно, что это число - простое. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 3. Первым оставшимся числом будет 5. Вычеркивают все идущие после него числа, делящиеся на 5, и т.д. Числа, которые уцелеют после всех вычеркиваний, и являются простыми. Так как во времена Эратосфена писали на восковых табличках и не вычеркивали, а "выкалывали" цифры, то табличка после описанного процесса напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена для нахождения простых чисел получил название "решето Эратосфена".

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Б. Паскаль.
БЛЕЗ ПАСКАЛЬ (Blaise Pascal) (1623–1662), французский религиозный мыслитель, математик и физик, один из величайших умов 17 столетия. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов, изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые точно определил и применил для доказательства метод математической индукции.

Признак делимости Паскаля. 

Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа а на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число. Например: число 2814 делится на 7, так как 2*6 + 8*2 + 1*3 + 4 = 35 делится на 7. (Здесь 6-остаток отделения 1000 на 7, 2- остаток от деления 100 на 7 и 3- остаток от деления 10 на 7).

2. Признаки делимости

  Признак делимости на  2.

Число делится на 2 в том и, только в том случае, если его последняя цифра чётная.          

Пример: 124, 200, 152, 68, 406.

Признак делимости на 3.

Число делится на 2 в том и, только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.

Пример: 144 на 3, т.к. 1+4+4 =9 делится на 3.

Признак делимости на 4.

Число делится на 4 в том и только в том случае, если две его последние цифры образуют двузначное число, делящееся на 4.        

Пример: 724 делится на 4, т.к. 24 делится на 4.

Признак делимости на 5.

Число делится на 5 в том и только в том случае, если оно оканчивается на 0 или на 5.

Пример: 720,  655 делятся на 5.

Признак делимости на 6.

Число делится на 6 в том и только в том случае, если оно чётное и делится на 3.

Пример: 720 делится и на 2 и на 3. 

Признак делимости на 7.
     Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков делится на 7.

Пример: 259 делится на 7, т. к. 25 — (2 * 9) = 7 делится на 7.

  Признак делимости на 8.

Число делится на 8 в  том и только в том случае, если его последние три цифры образуют число, делящееся на 8.

 Пример: 6136 делится на 8, т.к. 136 делится на 8.

Признак делимости на 9.

Число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Пример: 6102 делится на 9, т.к. 6+1+0+2 = 9 делится на 9.

Признак делимости  на  10.

Число делится на 10 в том  и только в том случае, если оно оканчивается  на 0.

Пример: 720 делится на 10.

Признак делимости  на  11.  

Число делится на 11 тогда и только тогда, если модуль разности суммы цифр, стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Пример: 100397 делится на 11, т.к. .

1+0+9=10; 0+3+7=10; =0 (нумерация идет слева направо).

Можно проверить делимость числа на 11 другим способом:

испытуемое число разбивают справа налево на группы по две цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.

Пример:15235 делится на 11, т.к. разбивая на группы и складывая их: 1+52+35=88 делится на 11.

 Признак делимости на 12.  

Число  делится на 12 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 4.

Пример: 720 делится на 12, т.к. число делится и на 3, и на 4.

Признак делимости на 13.
Число делится на 13 тогда:

- когда сумма числа десятков с учетверенным числом единиц делится на 13.

Пример: 845 делится на 13, так как на 13 делятся   84+ 5*4 = 104 и 10+4*4=26.

- когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13.

 Пример: 845 делится на 13, так как на 13 делятся 84-9*5=39.

Признак делимости на 14.

Число  делится на 14 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 2, и на 7.

Пример: 420 делится на 14, т.к. число делится и на 2, и на 7.

Признак делимости на 15.

Число  делится на 15 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 5.

Пример: 420 делится на 15, т.к. число делится и на 2, и на 5.

Признак делимости на 17.

Число делится на 17 тогда:

- когда модуль разности числа десятков и пятикратного числа единиц делится на 17.

Пример: 221 делится на 17, так как делится на 17.

- когда модуль суммы числа десятков и двенадцатикратного числа единиц делится на 17.

Пример:  221 делится на 17, так как делится на 17.

Признак делимости на 18.

Число  делится на 18 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 2, и на 9.

Пример: 432 делится на 18, т.к. число делится и на 2, и на 9.

Признак делимости на 19.

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.

Пример: 646 делится на 19, так как на 19 делятся и

Признак делимости на 20.

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Пример: 640 делится на 20, т.к. 40 делится на 20.

Признак делимости на 21.

Число  делится на 21 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 7.

Пример: 231 делится на 21, т.к. число делится и на 3, и на 7.

Признак делимости на 22.

Число  делится на 22 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 2, и на 11.

Пример: 352 делится на 22, т.к. число делится и на 2, и на 11.

Признак делимости на 23.

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23.

Пример: 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и
        Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с семикратным числом единиц, делится на 23.    

         Пример: 391 делится на 23, так как  делится на 23.
        Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с семикратным числом десятков и утроенным числом единиц, делится на 23.

 Пример: 391 делится на 23, так как  делится на 23.

Признак делимости на 24.

Число  делится на 24 в  том  и только в том случае, если  оно делится одновременно и на 3, и на 8.

Пример:  8136 делится на 24, т.к. число делится и на 3, и на 8.

Признак делимости на 25.

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Пример: 175делится на 25, т.к. 75 делится на 25.

3. Свойства делимости чисел.

При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением натуральных чисел

  • Одно из п последовательных натуральных  чисел делится на п;

Пример: 3; 4; 5; 6; 7   – 5 последовательных натуральных чисел, 5 делится на 5.

  • Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;

Пример: 10; 12   - 2 последовательных четных числа,    12 делится на 4.

  • Произведение трех последовательных натуральных  чисел делится на 6;

Пример:   5*6*7=210          210 делится на 6, т.к. 210 делится на 2 и на 3.

  • Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

Пример: 4*6=24        24 делится на 8.

  • Свойство 1. Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

Пример: 66 + 121= 187 делится на 11, т.к. 66 и 121 делятся на 11.

  •  Свойство 2. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.

Пример:  1125 – 75 =1050 делится на 25, т.к. 1125  и 75 делятся на 25

  • Свойства 3. Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и все произведение делится на это число.

Пример: 21*5*9 = 945делится на 7, т.к. 21 делится на 7.

  • Свойство 4. Если некоторое целое число делится на другое, а это другое – на третье, то и первое число делится на третье.

Пример: 171 делится на 57, а 57 делится на 19, значит 171 делится на 19.

4. Применение признаков делимости при решении цифровых головоломок и практических задач.

Задача № 1.

Туристическое агентство «Дуремар» предложило Карабасу три путевки «в страну Дураков» - две взрослые и одну детскую за 3543 золотые монеты. Известно, что детская путевка на 500 золотых монет дешевле. Каким образом Карабас смог понять, что его обманывают?

Решение.

3543+500= 4043, но 4043 не делится на 3.

Задача № 2

Семеро друзей. У одного гражданина было 7 друзей.

Первый посещал его каждый вечер, второй - каждый второй вечер, третий - каждый третий вечер, четвертый – каждый четвертый вечер и так до седьмого друга, который являлся каждый седьмой вечер.

Часто ли случалось, что все семеро друзей встречались у хозяина в один и тот же вечер?

Решение.

 Решается с использованием признаков делимости на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7. НОД (2, 3, 4, 5, 6, 7) = 420

Ответ: 1 раз в 420 дней.

Задача № 3

Напишите какое-нибудь девятизначное число, в котором нет повторяющихся цифр (все цифры разные) и которое делится без остатка на 11. Напишите наибольшее из таких чисел. Напишите наименьшее из таких чисел.

Решение.

Используем  признак делимости на 11.

Ответ: 987652413; 102347586

Задача № 4

Ваня задумал простое трехзначное число, все цифры которого различны. На какую цифру оно может заканчиваться, если его последняя цифра равна сумме первых двух. Приведите примеры таких чисел.

Решение

Только на 7.

Ответ 167, 257, 347, 527.

Задача № 5

Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны и которое делится на 2, 5, 9, 11.

Ответ: 8910.

Задача № 6.

Катя утверждает, что она придумала признак делимости на 81: «Если сумма цифр числа делится на 81, то и само это число делится на 81.» Верно ли Катино утверждение? Если да, то докажите его. Если нет, приведите пример опровергающий пример Кати.

Ответ: опровергающий пример 9999999918.

Задача № 7.

Произведение цифр трехзначного числа равно 135. Какова сумма цифр этого числа?

Решение.

Число 135 делится на 5, 3, 9, значит число состоит из этих цифр, сумма этих цифр равна 17.

Ответ: 17.

Задача №8

Петин счет в банке содержит 500 долларов. Банк разрешает совершать операции только двух видов: снимать 300 долларов или добавлять 198 долларов. Какую максимальную сумму Петя может снять со счета, если других денег у него нет?

Решение

Поскольку 300 и 198 делятся на 6, Петя сможет снять лишь сумму, кратную 6 долларам. Максимальное число, кратное 6 и не превосходящее 500, - это 498.

Докажем, что снять 498 долларов возможно. Произведем следующие операции: 500-300=200, 200+198=398, 398-300=98, 98+198=296, 296+198=494. Сумма, лежащая в банке, уменьшилась на 6 долларов.

Проделав аналогичную процедуру 16 раз, Петя снимет 96 долларов, у него останется на счету 404 доллара. Затем он может снять 300, положить 198 и снова снять 300, в результате он снимет 2доллара, и у него останется 498 долларов.

Заключение

В результате выполнения данной работы у нас расширились знания по математике. Мы узнали, что кроме известных мне признаков на 2, 3, 5, 9 и 10 существуют еще признаки делимости на 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 19 и 25. Поняли, что в некоторых случаях без признаков делимости просто невозможно обойтись.

Познакомившись с признаками делимости чисел, мы считаем, что полученные знания сможем использовать в своей учебной деятельности, самостоятельно применить тот или иной признак к определенной задаче, применить изученные признаки в реальной ситуации.

Считаем, что применение признаков делимости чисел в изучении математики является эффективным. Знание их значительно ускоряет решение многих заданий интеллектуальных конкурсов, математического конкурса -игры «Кенгуру». В современном мире тоже  используют признаки делимости! Например, в банковском деле, при денежных расчетах в магазине.

Библиографический список

1. И. Я. Депман, «История арифметики», Москва, 1965, «Просвещение»

2. Г. И. Глейзер, «История математики в школе 7 – 8 классы», Москва, 1982, «Просвещение»

3. «1001 вопрос и ответ. Большая книга знаний», Москва, 2004, «Мир книги»

4. Энциклопедический словарь юного математика / Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1989

5. Я.И. Перельман, «Живая математика», Москва, 1978, «Наука»

6. Б.А. Кордемский, «Математическая смекалка», Москва, 1994, «Юнисам»

7. http://www.doronchenko.ru/2009/01/13/vse_pro_chislo_13.html

8. http://ru.wikipedia.org/wiki/3

9. htpp: // www.krugosvet.ru/articles/07/1000723/1000723a1.htm  

nsportal.ru

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.





Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка. + Признаки делимости на 11,13,25,36.

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка.  + Признаки делимости на 11,13,25,36.

  • Признак делимости на 2:если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2. Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2.
  • Признак делимости на 3 : если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а)276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б)563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3.
  • Признак делимости на 4 : число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б)8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.
  • Признак делимости на 5 : если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.а)370 и 1485 делятся без остатка на 5; б)числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся.
  • Признак делимости на 6 : число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а)2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б)3754 не делится на 6, так как 3754 не делится на 3
  • Признак делимости на 8 : число делится на 8, если оканчивается на 000, или число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 000 делится на 0, так как оканчивается на 000; б)8422 не делится на 8, так как 422 не делится на 8.
  • Признак делимости на 9 : если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а)5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7= 27, а 27 делится на 9; б)359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9.
  • Признак делимости на 10 : если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а)680 делится на 10; б)104 не делится на 10 без остатка.

Для отличников:

  • Признак делимости на 11: натуральное число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Примеры: а) 1234761 делится на 11; б) 252747 делится на 11;
  • Признак делимости на 13: чтобы узнать делится ли число на 13, необходимо от этого числа без последних трех цифр отнять число из трех последних цифр, если разность делится на 13 то и заданное число делится на 13 Примеры: а)5525 делится на 13; б)18928 делится на 13;
  • Признак делимости на 25: число делится на 25, если его последние две цифры – нули или образуют число, делящееся на 25. Примеры: а)625 делится на 25; б)18900 делится на 25;
  • Признак делимости на 36: число делится на 36, если оно в одно время делится на 4 и 9
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

dpva.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *