Производная от логарифма – Производная логарифма (logx)’

Производная логарифма по основанию a — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная логарифма базы а равна единице, деленной на суб логарифмическую функцию, умноженную на логарифм естественной базы.

Эта формула действительна для любых .

Заметим, что если основание логарифма a = e, то мы получаем натуральный логарифм и его производная равна

Примеры решения проблем на тему «Производные логарифма»

ПРИМЕР 1

Задача

Найдите производную функции

Решение

Требуемое производное

Производные продукты мы находим формулу:

Тогда в нашем случае для у нас есть:

Производная независимой переменной x равна единице:

производная от логарифма:

Итак, у нас есть:

Ответ

ПРИМЕР 2

Задача

Найдите производную функции

Решение

Производная этой функции

Задан десятичный логарифм, то есть его основание а = 10. И поскольку аргумент логарифма отличается от просто х, мы также умножаем на производную от аргумента. У меня будет:

Найти производную от сублогарифмической функции. Константа берется из знака производной:

Производная независимой переменной x равна единице:

Таким образом, мы, наконец, имеем:

Ответ

sciterm.ru

Логарифмическая производная — примеры вычисления

Пусть
(1)  
есть дифференцируемая функция от переменной x. В начале мы рассмотрим ее на множестве значений x, для которых y принимает положительные значения:  . В дальнейшем мы покажем, что все полученные результаты применимы и для отрицательных значений  .

В некоторых случаях, чтобы найти производную функции (1), ее удобно предварительно прологарифмировать
,
а затем вычислить производную. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции,
.
Отсюда
(2)   .

Производная от логарифма функции называется логарифмической производной:
.

Логарифмическая производная функции   y = f(x) – это производная натурального логарифма этой функции: (ln f(x) )′.

Случай отрицательных значений y

Теперь рассмотрим случай, когда переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае возьмем логарифм от модуля и найдем его производную:
.
Отсюда
(3)   .
То есть, в общем случае, нужно найти производную от логарифма модуля функции .

Сравнивая (2) и (3) мы имеем:
.
То есть формальный результат вычисления логарифмической производной не зависит от того, взяли мы по модулю или нет. Поэтому, при вычислении логарифмической производной, мы можем не беспокоится о том, какой знак имеет функция .

Прояснить такую ситуацию можно с помощью комплексных чисел. Пусть, при некоторых значениях x, отрицательна: . Если мы рассматриваем только действительные числа, то функция не определена. Однако, если ввести в рассмотрение комплексные числа, то получим следующее:
.
То есть функции и отличаются на комплексную постоянную :
.
Поскольку производная от постоянной равна нулю, то
.

Свойство логарифмической производной

Из подобного рассмотрения следует, что логарифмическая производная не изменится, если умножить функцию на произвольную постоянную :
.
Действительно, применяя свойства логарифма, формулы производной суммы и производной постоянной, имеем:

.

Применение логарифмической производной

Применять логарифмическую производную удобно в тех случаях, когда исходная функция состоит из произведения степенных или показательных функций. В этом случае операция логарифмирования превращает произведение функций в их сумму. Это упрощает вычисление производной.

Далее мы приводим примеры вычисления производных для следующих функций:
;   ;   .

Пример 1

Найти производную функции:
.

Решение

Логарифмируем исходную функцию:
.

Дифференцируем по переменной x.
В таблице производных находим:
.
Применяем правило дифференцирования сложной функции.
;
;
;
;
(П1.1)   .
Умножим на :

.

Итак, мы нашли логарифмическую производную:
.
Отсюда находим производную исходной функции:
.

Примечание

Если мы хотим использовать только действительные числа, то следует брать логарифм от модуля исходной функции:
.
Тогда
;
.
И мы получили формулу (П1.1). Поэтому результат не изменился.

Ответ

Пример 2

С помощью логарифмической производной, найдите производную функции
.

Решение

Логарифмируем:
(П2.1)   .
Дифференцируем по переменной x:
;
;

;
;
;
.

Умножим на :
.
Отсюда мы получаем логарифмическую производную:
.

Производная исходной функции:
.

Примечание

Здесь исходная функция неотрицательная: . Она определена при . Если не предполагать, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента, то формулу (П2.1) следует записать так:
.
Поскольку

и
,
то это не повлияет на окончательный результат.

Ответ

.

Пример 3

Найдите производную
.

Решение

Дифференцирование выполняем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем, учитывая что   :
(П3.1)   .

Дифференцируя, получаем логарифмическую производную.
;
;
;
(П3.2)   .

Поскольку   , то

.

Примечание

Проделаем вычисления без предположения, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента. Для этого возьмем логарифм от модуля исходной функции:
.
Тогда вместо (П3.1) имеем:
;

.
Сравнивая с (П3.2) мы видим, что результат не изменился.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 25-11-2016   Изменено: 29-01-2017

1cov-edu.ru

Производная натурального логарифма, формула и примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная натурального логарифма равна единице, деленной на подлогарифмическую функцию.

   

Данную формулу легко получить из формулы производной логарифма по произвольному основанию , с учетом того, что и свойств логарифма:

   

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти производную функции
Решение	Искомая производная равна:     Производная логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию. И так как последняя является сложной функцией, то еще умножаем на ее производную:     Производная синуса равна косинусу:     Тогда имеем:
Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Производная натурального логарифма — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная натурального логарифма равна единице, деленной на подлогарифмическую функцию.

Данную формулу легко получить из формулы производной логарифма по произвольному основанию a, с учетом того, что a=e и свойств логарифма:

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции

Решение

Искомая производная равна:

Производная логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию. И так как последняя является сложной функцией, то еще умножаем на ее производную:

Производная синуса равна косинусу:

Тогда имеем:

Ответ

Задание

Найти производную функции

Решение

Искомая производная равна:

Вначале берем производную как от степенной функции по формуле

Мы домножили на производную основания степени, так как оно есть сложной функцией (отлично от просто x). Тогда для имеем:

Было учтено, .

Ответ

sciterm.ru

Логарифмическое дифференцирование, формулы и примеры решения задач

Задание. Найти производную функции

Решение. Если находить производную данной функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, то процесс будет очень трудоемким. Производную будем находить с помощью логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем левую и правую части заданной функции:

Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть полученного равенства к следующему виду:

Таким образом, получаем, что логарифм заданной функции равен:

Дифференцируем левую и правую часть последнего равенства, не забывая, что является функцией переменной :

Итак,

Отсюда

Подставляя вместо функции ее выражение, окончательно будем иметь, что

Ответ.

Больше примеров решений Решение производных онлайн

www.webmath.ru

Логарифмическая производная

Пусть задана дифференцируемая функция . Тогданазывают логарифмической производной этой функции. Ясно, что. Иногда бывает проще сначала найти логарифмическую производную.

Пример. Найдем производную функции. Сначала найдем логарифмическую производную этой функции –

Отюда следует

Теперь найдем производную функции :

4. Теорема Лагранжа

1. Минимумы и максимумы

Пусть функция определена в окрестности точки. Точканазывается точкой локального максимума, еслидля всехиз достаточно малой окрестности точки. Если выполняется неравенстводля всехиз достаточно малой окрестности точки, то a называется точкой локального минимума. Точка локального минимума или локального максимума называется точкой локального экстремума.

Точек локального экстремума на заданном отрезке может быть сколь угодно много (в частности, бесконечно много). Значений в этих точках может быть также сколь угодно много. Но наибольшее (наименьшее) значение функции на заданном множестве может быть только одно. Каждая точка интервала, в которой достигается наибольшее значение (наименьшее значение) на этом интервале автоматически будет точкой локального максимума (локального минимума), но обратное неверно (см. рис.).

Теорема Ферма; необходимое условие экстремума. Пусть- точка локального экстремума функции, причем эта функция определена в окрестности точкии имеет в этой точке производную. Тогда

Доказательство. Предположим, что — точка локального максимума. Тогда дляимееми. Следовательно,. Но этот правый предел совпадает с двусторонним пределом. Отсюда. Аналогично, рассматривая левый предел, т.е. налагая условие, получим, что. Из последних двух неравенств следует равенство.□

Теорема Ролля.Пусть функциянепрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале, а в концах отрезкапринимает одинаковое значение. Тогда найдется точкатакая, что.

Доказательство. Пусть — точки в которых функциядостигает своих наименьшего и наибольшего значений (теорема Вейерштрасса). Еслине является концевой точкой отрезка, то— искомая точка по теореме Ферма.

Аналогично рассуждаем в случае, когда не является концевой точкой. Итак, осталось разобрать случай, когда обе точки— концевые. Тогда, и поэтому функцияпостоянна на отрезке, ибо любое значениележит между. В этом случае в качестве c можно взять любую точку интервала.□

Механический смысл теоремы Ролля: если материальная точка, двигаясь на оси, возвратилась в исходную точку, то найдется момент времени, в котором ее мгновенная скорость была равна нулю. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если концы гладкой кривой лежат на одном и том же уровне относительно некоторой прямой, то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна заданной прямой.

Теорема Лагранжа. Пусть функциянепрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале. Тогда найдется точкатакая, что

или

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию и применим к ней теорему Ролля. Это можно сделать, так как. Тогда получаем точкус условием, т.е.

Механический смысл теоремы Лагранжа: — если материальная точка движется на оси некоторый конечный отрезок времени, то найдется промежуточный момент времени, в котором ее мгновенная скорость была равна средней скорости. Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если через концы гладкой кривой провести секущую ℓ , то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна прямой ℓ .

Обобщим теорему Лагранжа

Теорема Коши.Пусть функции f(x) и g(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), причем g'(x)≠ 0 для любой точки x∈(a,b). Тогда найдется точка c∈(a,b) такая, что

Доказательство такое же как и у теоремы Лагранжа, но следует взять вспомогательную функцию .

studfiles.net

Логарифмическая производная.

Отношение называется логарифмической производной функции f(x)

Логарифмическая производная– производная от натурального логарифма модуля (абсолютной величины) – данной функции:

Используя формулу производной сложной функции, найдем, что
(*)

Логарифмическую производную используют, например, при дифференцировании (нахождении производной или дифференциала) степенно-показательной функции.

Пример

Найдём производную функции у = х^x. Поскольку lny= xlnx, легко найти логарифмическую производную:

Теперь с помощью формулы (*) получим:

Логарифмическая производная функции имеет экономический смысл – отношение скорости изменения величины у (ее производной) к самой этой величине – темп изменения у; если темп положителен – скорость изменения увеличивается, если отрицателен – скорость падает.

Производная функции, заданной неявно и параметрически.

Неявно заданная функция

Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2^у-х+у=0).

Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у’.

Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

Пример:

Найти производную функции у, заданную уравнением х³+у³-3ху=0.

Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х³+у³-3ху=0. Из полученного соотношения

3х²+3у²· у’-3(1· у+х· у’)=0

следует, что у²у’-ху’=у-х², т. е. у’=(у-х²)/(у²-х).

Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у’_х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у’_х=y’_t•t’_x. С учетом равенства (21.2) получаем

Полученная формула позволяет

находить производную у’_х от функции заданной

параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

<< Пример 21.2

Пусть

Найти у’_х.

Решение: Имеем x’_t=3t², y’_t=2t. Следовательно, у’_х=2t/t², т. е.

В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

Действительно, Тогда Отсюда т. е. 29.Дифференциал функции, инвариантность формы 1- го дифференциала.

Дифференциал функции

Главная линейная часть приращения функции ADx в определении дифференцируемости функции

Df=f(x) — f(x0)=A(x — x0)+o (x – x0), x®x0

называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается

df(x0)=f¢(x0)Dx= ADx.

Дифференциал зависит от точки x0 и от приращения Dx. В каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения Dx.

Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x , то получим dx=Dx, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница .

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

Инвариантность формы первого дифференциала

Если x — независимая переменная, то dx = x — x₀ (фиксированное приращение). В этом случае имеем

df(x₀) = f’(x₀)dx. (3)

Если x = φ(t) — дифференцируемая функция, то dx = φ’(t₀)dt. Следовательно,

т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

Производные высших порядков. Ф-ла Лейбница.

Производные высших порядков

Ясно, что производная

функции y =f (x) есть также функция от x:

y’ =f ‘ (x)

Если функция f ‘ (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y» =f » (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

можем написать

ПРИМЕР:

1. Найти вторую производную функции y = x⁴
Р е ш е н и е: Имеем y^‘ = (x⁴)^‘ = 4x³
далее: y^» = (y^‘)^‘ = (4x³)^‘ = 12x²
2. Найти вторую производную функции y = 3cos(x)
Р е ш е н и е: Имеем y^‘ = (3cos(x))^‘ = -3sin(x)
далее: y^» = (y^‘)^‘ = (-3sin(x))^‘ = -3cos(x) 3. Найти вторую производную функции y = tg (x)
Решение: Имеем
далее:

Очень удобно пользоваться также обозначением

,

указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
Производная второй производной, т.е. функции y»=f»(x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

.

Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

Ф-ла Лейбница:

Предположим, что функции и дифференцируемы вместе со своими производными до n-го порядка включительно. Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим

Сопоставим эти выражения со степенями бинома :

Бросается в глаза правило соответствия: чтобы получить формулу для производной 1-го, 2-го или 3-го порядков от произведения функций и , нужно заменить степени и в выражении для (где n = 1,2,3) производными соответствующих порядков. Кроме того, нулевые степени величин и следует заменить производными нулевого порядка, подразумевая под ними функции и :

.

Обобщая это правило на случай производной произвольного порядка n, получим формулу Лейбница,

где — биномиальные коэффициенты:

Рекомендуемые страницы:

lektsia.com

No related posts.