Производная от логарифма – Производная логарифма (logx)’

Производная логарифма по основанию a — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная логарифма базы а равна единице, деленной на суб логарифмическую функцию, умноженную на логарифм естественной базы.

Эта формула действительна для любых .

Заметим, что если основание логарифма a = e, то мы получаем натуральный логарифм и его производная равна

Примеры решения проблем на тему «Производные логарифма»

ПРИМЕР 1

  • Задача
  • Найдите производную функции

  • Решение
  • Требуемое производное

    Производные продукты мы находим формулу:

    Тогда в нашем случае для у нас есть:

    Производная независимой переменной x равна единице:

    производная от логарифма:

    Итак, у нас есть:

    Ответ

    ПРИМЕР 2

  • Задача
  • Найдите производную функции

  • Решение
  • Производная этой функции

    Задан десятичный логарифм, то есть его основание а = 10. И поскольку аргумент логарифма отличается от просто х, мы также умножаем на производную от аргумента. У меня будет:

    Найти производную от сублогарифмической функции. Константа берется из знака производной:

    Производная независимой переменной x равна единице:

    Таким образом, мы, наконец, имеем:

    Ответ

    sciterm.ru

    Логарифмическая производная — примеры вычисления

    Пусть
    (1)  
    есть дифференцируемая функция от переменной x. В начале мы рассмотрим ее на множестве значений x, для которых y принимает положительные значения:  . В дальнейшем мы покажем, что все полученные результаты применимы и для отрицательных значений  .

    В некоторых случаях, чтобы найти производную функции (1), ее удобно предварительно прологарифмировать
    ,
    а затем вычислить производную. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции,
    .
    Отсюда
    (2)   .

    Производная от логарифма функции называется логарифмической производной:

    .

    Логарифмическая производная функции   y = f(x) – это производная натурального логарифма этой функции: (ln f(x) )′.

    Случай отрицательных значений y

    Теперь рассмотрим случай, когда переменная может принимать как положительные, так и отрицательные значения. В этом случае возьмем логарифм от модуля и найдем его производную:
    .
    Отсюда
    (3)   .
    То есть, в общем случае, нужно найти производную от логарифма модуля функции .

    Сравнивая (2) и (3) мы имеем:
    .
    То есть формальный результат вычисления логарифмической производной не зависит от того, взяли мы по модулю или нет. Поэтому, при вычислении логарифмической производной, мы можем не беспокоится о том, какой знак имеет функция .

    Прояснить такую ситуацию можно с помощью комплексных чисел. Пусть, при некоторых значениях x, отрицательна: . Если мы рассматриваем только действительные числа, то функция не определена. Однако, если ввести в рассмотрение комплексные числа, то получим следующее:

    .
    То есть функции и отличаются на комплексную постоянную :
    .
    Поскольку производная от постоянной равна нулю, то
    .

    Свойство логарифмической производной

    Из подобного рассмотрения следует, что логарифмическая производная не изменится, если умножить функцию на произвольную постоянную :
    .
    Действительно, применяя свойства логарифма, формулы производной суммы и производной постоянной, имеем:

    .

    Применение логарифмической производной

    Применять логарифмическую производную удобно в тех случаях, когда исходная функция состоит из произведения степенных или показательных функций. В этом случае операция логарифмирования превращает произведение функций в их сумму. Это упрощает вычисление производной.

    Далее мы приводим примеры вычисления производных для следующих функций:
    ;   ;   .

    Пример 1

    Найти производную функции:
    .

    Решение

    Логарифмируем исходную функцию:
    .

    Дифференцируем по переменной x.
    В таблице производных находим:
    .
    Применяем правило дифференцирования сложной функции.
    ;
    ;
    ;
    ;
    (П1.1)   .
    Умножим на :

    .

    Итак, мы нашли логарифмическую производную:
    .
    Отсюда находим производную исходной функции:
    .

    Примечание

    Если мы хотим использовать только действительные числа, то следует брать логарифм от модуля исходной функции:
    .
    Тогда
    ;
    .
    И мы получили формулу (П1.1). Поэтому результат не изменился.

    Ответ

    Пример 2

    С помощью логарифмической производной, найдите производную функции

    .

    Решение

    Логарифмируем:
    (П2.1)   .
    Дифференцируем по переменной x:
    ;
    ;

    ;
    ;
    ;
    .

    Умножим на :
    .
    Отсюда мы получаем логарифмическую производную:
    .

    Производная исходной функции:
    .

    Примечание

    Здесь исходная функция неотрицательная: . Она определена при . Если не предполагать, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента, то формулу (П2.1) следует записать так:
    .
    Поскольку

    и
    ,
    то это не повлияет на окончательный результат.

    Ответ

    .

    Пример 3

    Найдите производную
    .

    Решение

    Дифференцирование выполняем с помощью логарифмической производной. Логарифмируем, учитывая что   :
    (П3.1)   .

    Дифференцируя, получаем логарифмическую производную.
    ;
    ;

    ;
    (П3.2)   .

    Поскольку   , то

    .

    Примечание

    Проделаем вычисления без предположения, что логарифм может быть определен для отрицательных значений аргумента. Для этого возьмем логарифм от модуля исходной функции:
    .
    Тогда вместо (П3.1) имеем:
    ;

    .
    Сравнивая с (П3.2) мы видим, что результат не изменился.

    Ответ

    .

    Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано:   Изменено:

    1cov-edu.ru

    Производная натурального логарифма, формула и примеры

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Производная натурального логарифма равна единице, деленной на подлогарифмическую функцию.

       

    Данную формулу легко получить из формулы производной логарифма по произвольному основанию , с учетом того, что и свойств логарифма:

       

    Примеры решения задач

    ПРИМЕР 1
    Задание Найти производную функции
    Решение Искомая производная равна:

       

    Производная логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию. И так как последняя является сложной функцией, то еще умножаем на ее производную:

       

    Производная синуса равна косинусу:

       

    Тогда имеем:

       

    Ответ
    Понравился сайт? Расскажи друзьям!

    ru.solverbook.com

    Производная натурального логарифма — энциклопедический справочник и словарь для студента от А до Я

    ОПРЕДЕЛЕНИЕ

    Производная натурального логарифма равна единице, деленной на подлогарифмическую функцию.

    Данную формулу легко получить из формулы производной логарифма по произвольному основанию a, с учетом того, что a=e и свойств логарифма:

    Примеры решения задач

    ПРИМЕР 1

  • Задание
  • Найти производную функции

  • Решение
  • Искомая производная равна:

    Производная логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию. И так как последняя является сложной функцией, то еще умножаем на ее производную:

    Производная синуса равна косинусу:

    Тогда имеем:

    Ответ

  • Задание
  • Найти производную функции

  • Решение
  • Искомая производная равна:

    Вначале берем производную как от степенной функции по формуле

    Мы домножили на производную основания степени, так как оно есть сложной функцией (отлично от просто x). Тогда для имеем:

    Было учтено, .

    Ответ

    sciterm.ru

    Логарифмическое дифференцирование, формулы и примеры решения задач

    Задание. Найти производную функции

    Решение. Если находить производную данной функции, используя таблицу производных и правила дифференцирования, то процесс будет очень трудоемким. Производную будем находить с помощью логарифмического дифференцирования. Прологарифмируем левую и правую части заданной функции:

    Используя свойства логарифмов, преобразуем правую часть полученного равенства к следующему виду:

    Таким образом, получаем, что логарифм заданной функции равен:

    Дифференцируем левую и правую часть последнего равенства, не забывая, что является функцией переменной :

    Итак,

    Отсюда

    Подставляя вместо функции ее выражение, окончательно будем иметь, что

    Ответ.

    Больше примеров решений Решение производных онлайн

    www.webmath.ru

    Логарифмическая производная

    Пусть задана дифференцируемая функция . Тогданазывают логарифмической производной этой функции. Ясно, что. Иногда бывает проще сначала найти логарифмическую производную.

    Пример. Найдем производную функции. Сначала найдем логарифмическую производную этой функции –

    Отюда следует

    Теперь найдем производную функции :

    1. Теорема Лагранжа

      1. Минимумы и максимумы

    Пусть функция определена в окрестности точки. Точканазывается точкой локального максимума, еслидля всехиз достаточно малой окрестности точки. Если выполняется неравенстводля всехиз достаточно малой окрестности точки, то a называется точкой локального минимума. Точка локального минимума или локального максимума называется точкой локального экстремума.

    Точек локального экстремума на заданном отрезке может быть сколь угодно много (в частности, бесконечно много). Значений в этих точках может быть также сколь угодно много. Но наибольшее (наименьшее) значение функции на заданном множестве может быть только одно. Каждая точка интервала, в которой достигается наибольшее значение (наименьшее значение) на этом интервале автоматически будет точкой локального максимума (локального минимума), но обратное неверно (см. рис.).

    Теорема Ферма; необходимое условие экстремума. Пусть- точка локального экстремума функции, причем эта функция определена в окрестности точкии имеет в этой точке производную. Тогда

    Доказательство. Предположим, что — точка локального максимума. Тогда дляимееми. Следовательно,. Но этот правый предел совпадает с двусторонним пределом. Отсюда. Аналогично, рассматривая левый предел, т.е. налагая условие, получим, что. Из последних двух неравенств следует равенство.□

    Теорема Ролля.Пусть функциянепрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале, а в концах отрезкапринимает одинаковое значение. Тогда найдется точкатакая, что.

    Доказательство. Пусть — точки в которых функциядостигает своих наименьшего и наибольшего значений (теорема Вейерштрасса). Еслине является концевой точкой отрезка, то— искомая точка по теореме Ферма.

    Аналогично рассуждаем в случае, когда не является концевой точкой. Итак, осталось разобрать случай, когда обе точки— концевые. Тогда, и поэтому функцияпостоянна на отрезке, ибо любое значениележит между. В этом случае в качестве c можно взять любую точку интервала.□

    Механический смысл теоремы Ролля: если материальная точка, двигаясь на оси, возвратилась в исходную точку, то найдется момент времени, в котором ее мгновенная скорость была равна нулю. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что если концы гладкой кривой лежат на одном и том же уровне относительно некоторой прямой, то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна заданной прямой.

    Теорема Лагранжа. Пусть функциянепрерывна на отрезкеи дифференцируема на интервале. Тогда найдется точкатакая, что

    или

    Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию и применим к ней теорему Ролля. Это можно сделать, так как. Тогда получаем точкус условием, т.е.

    Механический смысл теоремы Лагранжа: — если материальная точка движется на оси некоторый конечный отрезок времени, то найдется промежуточный момент времени, в котором ее мгновенная скорость была равна средней скорости. Геометрический смысл теоремы Лагранжа состоит в том, что если через концы гладкой кривой провести секущую ℓ , то найдется точка на этой кривой, касательная в которой параллельна прямой ℓ .

    Обобщим теорему Лагранжа

    Теорема Коши.Пусть функции f(x) и g(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифференцируема на интервале (a,b), причем g'(x)≠ 0 для любой точки x∈(a,b). Тогда найдется точка c∈(a,b) такая, что

    Доказательство такое же как и у теоремы Лагранжа, но следует взять вспомогательную функцию .

    studfiles.net

    Логарифмическая производная.

    Отношение называется логарифмической производной функции f(x)

    Логарифмическая производная– производная от натурального логарифма модуля (абсолютной величины) – данной функции:

    Используя формулу производной сложной функции, найдем, что
    (*)

    Логарифмическую производную используют, например, при дифференцировании (нахождении производной или дифференциала) степенно-показательной функции.

    Пример

    Найдём производную функции у = хx. Поскольку lny= xlnx, легко найти логарифмическую производную:

    Теперь с помощью формулы (*) получим:

    Логарифмическая производная функции имеет экономический смысл – отношение скорости изменения величины у (ее производной) к самой этой величине – темп изменения у; если темп положителен – скорость изменения увеличивается, если отрицателен – скорость падает.

    Производная функции, заданной неявно и параметрически.

    Неявно заданная функция

    Если функция задана уравнением у=ƒ(х), разрешенным относительно у, то функция задана в явном виде (явная функция).

    Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x;y)=0, не разрешенного относительно у.

    Всякую явно заданную функцию у=ƒ (х) можно записать как неявно заданную уравнением ƒ(х)-у=0, но не наоборот.

    Не всегда легко, а иногда и невозможно разрешить уравнение относительно у (например, у+2х+cosy-1=0 или 2у-х+у=0).

    Если неявная функция задана уравнением F(x; у)=0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у: достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом у как функцию х, и полученное затем уравнение разрешить относительно у’.

    Производная неявной функции выражается через аргумент х и функцию у.

    Пример:

    Найти производную функции у, заданную уравнением х33-3ху=0.

    Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем по х равенство х33-3ху=0. Из полученного соотношения

    2+3у2· у’-3(1· у+х· у’)=0

    следует, что у2у’-ху’=у-х2, т. е. у’=(у-х2)/(у2-х).

    Функция, заданная параметрически

    Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана параметрически в виде двух уравнений

    где t — вспомогательная переменная, называемая параметром.

    Найдем производную у’х, считая, что функции (21.1) имеют производные и что функция х=x(t) имеет обратную t=φ(х). По правилу дифференцирования обратной функции

    Функцию у=ƒ(х), определяемую параметрическими уравнениями (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у=y(t), где t=φ(х). По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у’х=y’t•t’x. С учетом равенства (21.2) получаем

    Полученная формула позволяет

    находить производную у’х от функции заданной

    параметрически, не находя непосредственной зависимости у от х.

    << Пример 21.2

    Пусть

    Найти у’х.

    Решение: Имеем x’t=3t2, y’t=2t. Следовательно, у’х=2t/t2, т. е.

    В этом можно убедиться, найдя непосредственно зависимость у от х.

    Действительно, Тогда Отсюда т. е. 29.Дифференциал функции, инвариантность формы 1- го дифференциала.

    Дифференциал функции

    Главная линейная часть приращения функции ADx в определении дифференцируемости функции

    Df=f(x) — f(x0)=A(x — x0)+o (x – x0), x®x0

    называется дифференциалом функции f(x) в точке x0 и обозначается

    df(x0)=f¢(x0)Dx= ADx.

    Дифференциал зависит от точки x0 и от приращения Dx. В каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения Dx.

    Если в качестве функции рассмотреть f(x)=x , то получим dx=Dx, dy=Adx. Это согласуется с обозначением Лейбница .

    Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

     
     

    Инвариантность формы первого дифференциала

    Если x — независимая переменная, то dx = xx0 (фиксированное приращение). В этом случае имеем

    df(x0) = f’(x0)dx. (3)

    Если x = φ(t) — дифференцируемая функция, то dx = φ’(t0)dt. Следовательно,

    т. е. первый дифференциал обладает свойством инвариантности относительно замены аргумента.

    Производные высших порядков. Ф-ла Лейбница.

    Производные высших порядков

    Ясно, что производная

    функции y =f (x) есть также функция от x:

    y’ =f ‘ (x)

    Если функция f ‘ (x) дифференцируема, то её производная обозначается символом y» =f » (x) и называется второй производной функции f(x) или производной функции f(x) второго порядка. Пользуясь обозначением

    можем написать

    ПРИМЕР:

    1. Найти вторую производную функции y = x4
    Р е ш е н и е: Имеем y = (x4) = 4x3
    далее: y» = (y) = (4x3) = 12x2
    2. Найти вторую производную функции y = 3cos(x)
    Р е ш е н и е: Имеем y = (3cos(x)) = -3sin(x)
    далее: y» = (y) = (-3sin(x)) = -3cos(x) 3. Найти вторую производную функции y = tg (x)
    Решение: Имеем
    далее:


    Очень удобно пользоваться также обозначением

    ,

    указывающим, что функция y=f(x) была продифференцирована по x два раза.
    Производная второй производной, т.е. функции y»=f»(x) , называется третьей производной функции y=f(x) или производной функции f(x) третьего порядка и обозначается символами

    .

    Вообще n-я производная или производная n-го порядка функции y=f(x) обозначается символами

    Ф-ла Лейбница:

    Предположим, что функции и дифференцируемы вместе со своими производными до n-го порядка включительно. Применяя правило дифференцирования произведения двух функций, получим



    Сопоставим эти выражения со степенями бинома :



    Бросается в глаза правило соответствия: чтобы получить формулу для производной 1-го, 2-го или 3-го порядков от произведения функций и , нужно заменить степени и в выражении для (где n = 1,2,3) производными соответствующих порядков. Кроме того, нулевые степени величин и следует заменить производными нулевого порядка, подразумевая под ними функции и :

    .

    Обобщая это правило на случай производной произвольного порядка n, получим формулу Лейбница,

    где — биномиальные коэффициенты:

    Рекомендуемые страницы:

    lektsia.com

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *